第五章 數值模型計算結果與討論
5.1 動態效應的影響
固化時間 t 以相似解為基準，動態效應對
界面凝固溫度下降的影響(K) 10−10 122.1473 K
10−9 38.62637 K 10−8 12.21473 K 10−7 3.862637 K 10−6 1.221473 K 10−5 0.386264 K 10−4 0.122147 K 10−3 0.038626 K 10−2 0.012215 K 10−1 0.003863 K 1 0.001221 K
表(二) 初始條件為TL∞ =10 ,K TS∞ = −40K，動態效應 對界面固化溫度下降的影響。
利用數值計算之前，先分析界面溫度各項的數量級，界面溫度表示如下：
不受動態效應的影響；以及μ=33，代表存在動態效應。除了在 t = 0 附近以外，
兩條曲線在 0.005 秒後幾乎成平行成長，顯示動態固化效應對界面的影響幾乎只 在固化剛發生的 0.005 秒內，和級數分析預測的結果一致。在第 0.1 秒時，μ=
∞和μ=33 的界面位置分別為 0.054220cm 和 0.05161cm，差了 0.00261cm，第 5800 秒時，忽略和加入動態效應的界面位置分別為 6.1435cm 和 6.1409cm，相差亦為 0.0026cm。雖然μ=∞和μ=33 的界面最後幾乎平行成長，但是兩者的差値和界 面成長長度相比，可忽略。由此得到一個結論：動態效應使界面的凝固溫度下降，
固化更加困難，界面成長速率減緩，但影響時間極短，幾乎可忽略；因此，長時 間固化時，動態效應可忽略。
合金固化的過程，主要觀察動態效應對於溶質偏析效應的影響。給予初始條 件為TL∞ =15, TS∞ = −24, CL∞ =0.5wt%, CS∞ =2.2wt%，觀察μ=∞和μ=33 的 的界面位置及濃度變化。圖(八)顯示μ=∞和μ=33 的界面位置，和圖(七)類似，
影響幾乎只在 0.05 秒以內，在第 0.05 秒時，μ=∞和μ=33 分別為 0.012550cm 和 0.012545cm，差了 0.00005cm，而後幾乎維持此平行差距，和純物質的趨勢一 樣。圖(九)為μ=∞和μ=33 的界面濃度曲線比較，同樣在 0.05 秒內，偏析效應 較為明顯，但影響最大不過 0.25wt%。由以上結果可得：動態效應使固化界面速 率減緩，界面溶質析出量相對減少，故降低界面濃度，但是析出減少的量非常少，
幾乎可以忽略，且影響時間非常短；長時間後，仍會收斂於相似解的結果。
綜合以上對於純物質與合金固化現象的計算結果，其變化趨勢均與上一章透 過微擾分析的預測相符合；由於動態效應影響非常小，故以下章節的討論皆忽略 不計。
5-2 有限域邊界效應對固化的影響
( )
隨著固化進行，漸漸趨於固化界面的溫度。
( ) ( ) ( )
第 15900 秒時的數值計算界面位置和濃度分別為 3.414cm 和 1.1207wt%，將 1.1207wt%代入(49)得界面位置的近似值：3.493cm，和 3.414cm 比較，誤差為
表(三)和圖(十七)同時顯示界面最高濃度隨時間的變化趨勢和系統的長度平方 成正比，符合擴散方程式的擴散關係。由此得到一個結論：一維有限域定溫邊界 的合金固化，在相等初始條件之下，界面最高濃度隨時間的變化趨勢和系統長度 的平方成正比；且無論系統長度為何，其固化過程都會達到一個相同的最高濃度。
第六章 由密度差引發之對流效應對合金固化的影響
固相區：
( )
( )
2 2
Erfc Exp Erfc Exp
ε λ
Erfc Exp Erfc Exp
D D D D
由(57a)和(57b)可聯立解得C 和λ。 LI
初始條件仍為TL∞ =15, TS∞ = −24, CL∞ =0.5wt%, CS∞ =2.2wt%。以表(四)的性 質代入式子(59)，可得界面成長係數λ為 0.0169945cm/ s ，界面濃度C 為LI
1.40189wt%，而ε=0 計算的結果為：界面成長係數λ為 0.01959547cm/ s ，界 面濃度C 為 1.32056wt%；由表(四)的性質可知：當ε>0，即固相的密度大於液LI 相的密度，對應液相區的有效熱擴散係數和有效溶質擴散係數均下降，且導致液 相區的流體往界面方向流動，將熱和溶質帶入界面，因此界面濃度升高，固化速 率減緩。為了說明此對流效應，茲令ε=-0.111，即固相密度小於液相密度，此 時界面成長係數λ上升為 0.0229425cm/ s ，界面濃度C 降低為 1.22643wt%，LI 這是因為液相區的有效熱擴散係數和溶質擴散係數均變大，且熔液向遠離界面的 方向流動，帶走界面上的溶質，固化速率因而增加。
此外，由於統御方程式經轉換後，仍然維持單純的熱擴散與溶質擴散方程 式，且相似解依舊存在，數學模式無根本上的改變；因而可推知：即使考慮了因 固液相密度所引發的對流效應，一維的合金固化現象依舊存在動力不穩定，而無 型態不穩定。
第七章 多重根的性質與探討
Erfc Exp Erfc Exp
D D D D
C k D D k
Erfc Exp Erfc Exp
D D D D
( ) ( ( ) ) ( )
0.0011706，界面濃度C 分別為 2.1335、0.807371、0.566807wt%；為了更深入LI 了解其中物理機制，茲探討合金性質和初始條件對多重根的影響。
K=1 時，多重根為λ=-0.014251、-0.001199、0.001828，界面濃度C 分別LI 為 2.13264、0.807473、0.5wt%；k=3.33 時，多重根為λ=-0.01425、
-0.0012025、0.0044254，界面濃度C 分別為 2.13254、0.807828、LI
0.236212wt%；以上得知：改變 k 對融化影響不大，只改變固化速率，但多重 根現象依然存在，故以下的討論，k 依然維持 0.3。本文亦發現α和TS∞的改 變只是改變多重根發生的區域，故 k、α、TS∞等並非此物理現象的主要機制。
(2) 液相線斜率 m 的效應：
初始條件仍為TS∞ = −24K,CS∞ =2.2wt%,CL∞ =0.5wt%，m 分別為 0、-0.7、
-1.5、-2.33、-3.0，可得圖(二十)；m越大，多重根區域越大。m 越大，表 示熱傳和質傳的耦合就越強，所以多重根為熱傳和質傳耦合的結果。
(3) 溶質擴散係數 D 的效應：
初始條件仍為TS∞ = −24K,CS∞ =2.2wt%,CL∞ =0.5wt%，D 維持L 3.0 10× −5，
D 分別為S 1.0 10 ,3.0 10 , 3.0 10 ,1.0 10 , 3.0 10× −9 × −7 × −6 × −5 × −5，可得圖(二十一)；
D 越大，多重根區域越小，甚至消失，且S D 變大甚至會使原本應為固化的S 現象轉變成融化。若D 維持S 1.0 10× −9，D 分別為L 3.0 10 ,1.0 10 ,× −6 × −5
3.0 10 ,× −5 1.0 10 ,× −4 3.0 10× −4的圖畫出，得圖(二十二)；D 越大，多重根區L 域越小。
(4) 初始濃度 C 的效應：
令TS∞ = −24K，以表(一)的性質計算。當CL∞ =0.5wt%時，分別令CS∞ = 0.0、
0.5、1.5、2.2、3.0wt%，可得圖(二十三)，由此圖發現當CS∞越大時，發 生多重根趨勢越大；當CS∞ =2.2wt%時，分別令CL∞ = 0.0、0.5、1.0、1.5、
2.2wt%，得圖(二十四)，可觀察出CL∞越大，多重根區域越小，甚至消失。
7-3 以數值方法檢測多重根區域
以鉛錫合金的性質(表(一))計算，初始條件TL∞ =29 ,K TS∞ = −24 ,K 0.5 %,
CL∞ = wt CS∞ =2.2wt%為多重根發生的範圍；數值計算的結果仍然只有固化 現象。但若是強迫界面濃度分別等於其他兩個融化現象的値：即強迫界面濃度分 別為 2.1335 和 0.807371wt%，則得圖(二十五 a)和(二十五 b)，數值計算的界面 位置和相似解的一致，證明了若強制界面出處於質熱平衡的條件下，融化現象確 實存在。但是由於DS <<DL，因此融化時欲達到界面質熱平衡條件，遠比固化時 的困難許多，也因此當系統處於多重根的範圍內時，實際的計算結果都只有固化 現象會發生。
第八章 結論
本文探討的一維合金固化現象，分析的因素包含了動態效應、有限域的固 化、因固液相密度差所引發的對流效應、以及多重根現象。研究的結果可歸納成 以下的結論：
(1) ㄧ維無限域的合金固化現象存在著相似解，且無偏析現象發生，系統亦只存 在動力不穩定，而無型態不穩定。
(2) 當考慮動態效應後，一維無限域的合金固化不復存在相似解，且會導致溶質 的偏析現象，但偏析的量非常微小，且只存在固化剛發生的微小時間尺度之內。
(3) 有限域的固化亦不存在相似解，溶質的偏析現象變得明顯。
(4) 考慮因固液相密度差引發的對流效應時，對固化現象並無根本的改變，溫度 場及濃度場依舊存在著相似解，也無偏析現象發生，系統應亦只存在動力不穩 定，而無型態不穩定。
(5) 若固化是發生在多重根區域內，只有最大固化正根會發生，其餘兩個根是因 為溶質擴散係數遠小於熱擴散係數、假設界面處於質熱平衡的理想狀態下、溫度 場和濃度場耦合的可能數學解，實際上並不會發生。
展望：
若要更深入探討合金的固化現象，且符合工業上的應用需求，未來的研究應 擴展至二維及三維的固化現象，並應著重於型態不穩定的研究，探討其成因及物 理機制。
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附錄(A) 擾動邊界條件的推導
S t higher order terms
x x x
將 higher order terms 略去
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
附錄(B) β<0 的差分式形式
固相區界面的溫度梯度差分式：
( ) ( )
界面熱傳差分式：
界面溶質守恆差分式：
符號說明
k: 平衡分離係數(equilibrium segregation coefficient) KL：液體的熱傳導係數
w:固化作用所導致的液相對流速度 x:位置座標(介面成長方向)
( )
x i ：第 i 個格點的位置座標 y:位置座標
z:位置座標
αe：轉換後的液相熱擴散係數 αL：液相熱擴散係數
αS：固相熱擴散係數 β：數值計算的格點分率 Γ ：表面張力效應係數
λ：固化介面成長係數( parabolic growth rate ) ε：固液密度差的和液體密度的比
ρL：液相密度 ρS：固相密度 µ ：動力效應係數 ξ ：變數變換
上標
0：原本 similarity solution 的解 1：small perturbation 的解
圖(一) 雙元合金的平衡相圖
圖(二) 過冷度∆ =T