計算流程

當 x < 0 時，第 i 個格點位置為： 量是以 error function 遞減，這個分割方法可使距離界面越遠處，格點距離愈 大，節省計算資源。

4-3 數值計算驗證

鉛錫合金性質 數值(單位)

液相熱傳導係數K_L 0.159(cal cm C/ ° ) 固相熱傳導係數K _S 0.297(cal cm C/ ° ) 液相熱擴散係數α_{L 0.108(cm}²_{/ )s} 固相熱擴散係數α_S 0.202(cm²/ )s 轉換後的液相熱擴散係數α_e 0.0875(cm²/ )s

液相質傳係數D_L 3.0 10 (× ⁻⁵ cm²/ )s 固相質傳係數D _S 1.0 10 (× ⁻⁹ cm²/ )s 轉換後的液相質傳係數D _e 2.43 10 (× ⁻⁵ cm²/ )s

固相鉛的密度 11350(kg m ) ^-3 液相鉛的密度 10215(kg m ) ^-3

固液密度差ε _0.111

單位體積潛熱值L _v 256.0(cal cm/ ³) 液相線斜率m −2.33(°C wt/ %)

分離係數k 0.3

動態效應係數μ[36] ³³

(

^cm/

( )

^sK

)

表(一) 鉛錫合金性質表[33,34,36]

本文以鉛錫合金為例，性質如表(一)所示，系統的溫度均以

(

T −TM

)

來表 示，因此 T=0 在計算上代表鉛的融化溫度T 。以無限域純物質的固化做為數值_M 計算的驗證，令 L 為數值計算時採用模擬無限域的系統總長度，藉由相似解的結 果，來估計 L 的最佳長度。茲以液相溫度作為估計的標準：

( ) 2

故取 L=300cm。計算參數設定為：f=0.525，dt=0.05 秒，初始固液相區各取 150 個格點(n=150)，且忽略動態固化效應。

( )

^{0.05 1 150 400 0.05}

0.05

i

x i = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ −

第四組的計算熱傳格點和第二、第三組一樣，只是在初始界面位置處，計算質傳 的格點密度更高，如下式所示：

( )

^{0.01 1 150 400 0.01}

0.01

i

x i = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ −

圖(六 a)和圖(六 b)為固化發生的前 90 秒內，各組界面位置和濃度的變化。因為 數值無法處理奇異點，導致界面濃度在 t=0 處有個高起。由圖(六 b)可得知：若 是質傳格點不夠密，t=0 的界面濃度越高，收斂速度越慢，致使界面位置成長緩 慢；若是取得夠密，如第四組，t=0 的界面濃度就越低，收斂到相似解的速度也 越快，使計算結果幾乎和相似解相同。由此不但可知，本文的數值計算精確可信，

而且也可得到一個結論：計算合金固化時，由於溶質擴散係數(D)遠小於熱擴散 係數(α)(以鉛錫合金為例，液相內，幾乎是 3600 倍以上的差距)，所以將計算 質傳的格點數目相對加高、密度加大，不但可解決計算誤差的問題，且可避免為 了提高質傳計算的精確度，導致溫度計算的發散。此外，由以上各組數值計算的 結果可知，忽略動態固化效應的ㄧ維無線域合金固化，溶質析出速率和和擴散速 率相等，致使界面濃度維持定值，不隨時間改變。

第五章 數值計算結果與討論

上一章驗證了數值模型的準確性，也由數值計算得知無限域合金固化並無偏 析現象發生。此章主要以數值模擬無相似解的固化現象；先觀察動態效應對固化 的影響，再討論有限域的邊界效應對合金偏析的影響。同時為了方便結果的表 達，所有的數值計算均以T 為基準，並令其等於零。 _M

5-1 動態效應的影響

固化時間 t 以相似解為基準，動態效應對

界面凝固溫度下降的影響(K) 10⁻10 122.1473 K

10⁻9 38.62637 K 10⁻8 12.21473 K 10⁻7 3.862637 K 10⁻6 1.221473 K 10⁻5 0.386264 K 10⁻4 0.122147 K 10⁻3 0.038626 K 10⁻2 0.012215 K 10⁻1 0.003863 K 1 0.001221 K

表(二) 初始條件為T_L∞ =10 ,K T_S∞ = −40K，動態效應 對界面固化溫度下降的影響。

利用數值計算之前，先分析界面溫度各項的數量級，界面溫度表示如下：

不受動態效應的影響；以及μ=33，代表存在動態效應。除了在 t = 0 附近以外，

兩條曲線在 0.005 秒後幾乎成平行成長，顯示動態固化效應對界面的影響幾乎只 在固化剛發生的 0.005 秒內，和級數分析預測的結果一致。在第 0.1 秒時，μ=

∞和μ=33 的界面位置分別為 0.054220cm 和 0.05161cm，差了 0.00261cm，第 5800 秒時，忽略和加入動態效應的界面位置分別為 6.1435cm 和 6.1409cm，相差亦為 0.0026cm。雖然μ=∞和μ=33 的界面最後幾乎平行成長，但是兩者的差値和界 面成長長度相比，可忽略。由此得到一個結論：動態效應使界面的凝固溫度下降，

固化更加困難，界面成長速率減緩，但影響時間極短，幾乎可忽略；因此，長時 間固化時，動態效應可忽略。

合金固化的過程，主要觀察動態效應對於溶質偏析效應的影響。給予初始條 件為T_L∞ =15, T_S∞ = −24, C_L∞ =0.5wt%, C_S∞ =2.2wt%，觀察μ=∞和μ=33 的 的界面位置及濃度變化。圖(八)顯示μ=∞和μ=33 的界面位置，和圖(七)類似，

影響幾乎只在 0.05 秒以內，在第 0.05 秒時，μ=∞和μ=33 分別為 0.012550cm 和 0.012545cm，差了 0.00005cm，而後幾乎維持此平行差距，和純物質的趨勢一 樣。圖(九)為μ=∞和μ=33 的界面濃度曲線比較，同樣在 0.05 秒內，偏析效應 較為明顯，但影響最大不過 0.25wt%。由以上結果可得：動態效應使固化界面速 率減緩，界面溶質析出量相對減少，故降低界面濃度，但是析出減少的量非常少，

幾乎可以忽略，且影響時間非常短；長時間後，仍會收斂於相似解的結果。

綜合以上對於純物質與合金固化現象的計算結果，其變化趨勢均與上一章透 過微擾分析的預測相符合；由於動態效應影響非常小，故以下章節的討論皆忽略 不計。

5-2 有限域邊界效應對固化的影響

( )

隨著固化進行，漸漸趨於固化界面的溫度。

( ) ( ) ( )

第 15900 秒時的數值計算界面位置和濃度分別為 3.414cm 和 1.1207wt%，將 1.1207wt%代入(49)得界面位置的近似值：3.493cm，和 3.414cm 比較，誤差為

表(三)和圖(十七)同時顯示界面最高濃度隨時間的變化趨勢和系統的長度平方 成正比，符合擴散方程式的擴散關係。由此得到一個結論：一維有限域定溫邊界 的合金固化，在相等初始條件之下，界面最高濃度隨時間的變化趨勢和系統長度 的平方成正比；且無論系統長度為何，其固化過程都會達到一個相同的最高濃度。

第六章 由密度差引發之對流效應對合金固化的影響

固相區：

( )

( )

2 2

Erfc Exp Erfc Exp

ε λ

Erfc Exp Erfc Exp

D D D D

由(57a)和(57b)可聯立解得C 和λ。 _LI

初始條件仍為T_L∞ =15, T_S∞ = −24, C_L∞ =0.5wt%, C_S∞ =2.2wt%。以表(四)的性 質代入式子(59)，可得界面成長係數λ為 0.0169945cm/ s ，界面濃度C 為_LI

1.40189wt%，而ε=0 計算的結果為：界面成長係數λ為 0.01959547cm/ s ，界 面濃度C 為 1.32056wt%；由表(四)的性質可知：當ε>0，即固相的密度大於液_LI 相的密度，對應液相區的有效熱擴散係數和有效溶質擴散係數均下降，且導致液 相區的流體往界面方向流動，將熱和溶質帶入界面，因此界面濃度升高，固化速 率減緩。為了說明此對流效應，茲令ε=-0.111，即固相密度小於液相密度，此 時界面成長係數λ上升為 0.0229425cm/ s ，界面濃度C 降低為 1.22643wt%，_LI 這是因為液相區的有效熱擴散係數和溶質擴散係數均變大，且熔液向遠離界面的 方向流動，帶走界面上的溶質，固化速率因而增加。

此外，由於統御方程式經轉換後，仍然維持單純的熱擴散與溶質擴散方程 式，且相似解依舊存在，數學模式無根本上的改變；因而可推知：即使考慮了因 固液相密度所引發的對流效應，一維的合金固化現象依舊存在動力不穩定，而無 型態不穩定。

第七章 多重根的性質與探討

Erfc Exp Erfc Exp

D D D D

C k D D k

Erfc Exp Erfc Exp

D D D D

( ) ( ( ) ) ( )

0.0011706，界面濃度C 分別為 2.1335、0.807371、0.566807wt%；為了更深入_LI 了解其中物理機制，茲探討合金性質和初始條件對多重根的影響。

K=1 時，多重根為λ=-0.014251、-0.001199、0.001828，界面濃度C 分別_LI 為 2.13264、0.807473、0.5wt%；k=3.33 時，多重根為λ=-0.01425、

-0.0012025、0.0044254，界面濃度C 分別為 2.13254、0.807828、_LI

0.236212wt%；以上得知：改變 k 對融化影響不大，只改變固化速率，但多重 根現象依然存在，故以下的討論，k 依然維持 0.3。本文亦發現α和T_S∞的改 變只是改變多重根發生的區域，故 k、α、T_S∞等並非此物理現象的主要機制。

(2) 液相線斜率 m 的效應：

初始條件仍為T_S∞ = −24K,C_S∞ =2.2wt%,C_L∞ =0.5wt%，m 分別為 0、-0.7、

-1.5、-2.33、-3.0，可得圖(二十)；m越大，多重根區域越大。m 越大，表 示熱傳和質傳的耦合就越強，所以多重根為熱傳和質傳耦合的結果。

(3) 溶質擴散係數 D 的效應：

初始條件仍為T_S∞ = −24K,C_S∞ =2.2wt%,C_L∞ =0.5wt%，D 維持_L 3.0 10× ⁻⁵，

D 分別為S 1.0 10 ,3.0 10 , 3.0 10 ,1.0 10 , 3.0 10× ⁻⁹ × ⁻⁷ × ⁻⁶ × ⁻⁵ × ⁻⁵，可得圖(二十一)；

D 越大，多重根區域越小，甚至消失，且S D 變大甚至會使原本應為固化的_S 現象轉變成融化。若D 維持_S 1.0 10× ⁻⁹，D 分別為_L 3.0 10 ,1.0 10 ,× ⁻⁶ × ⁻⁵

3.0 10 ,× ⁻5 1.0 10 ,× ⁻⁴ 3.0 10× ⁻⁴的圖畫出，得圖(二十二)；D 越大，多重根區_L 域越小。

(4) 初始濃度 C 的效應：

令T_S∞ = −24K，以表(一)的性質計算。當C_L∞ =0.5wt%時，分別令C_S∞ = 0.0、

0.5、1.5、2.2、3.0wt%，可得圖(二十三)，由此圖發現當C_S∞越大時，發 生多重根趨勢越大；當C_S∞ =2.2wt%時，分別令C_L∞ = 0.0、0.5、1.0、1.5、

2.2wt%，得圖(二十四)，可觀察出C_L∞越大，多重根區域越小，甚至消失。

7-3 以數值方法檢測多重根區域

以鉛錫合金的性質(表(一))計算，初始條件T_L∞ =29 ,K T_S∞ = −24 ,K 0.5 %,

CL_∞ = wt C_S∞ =2.2wt%為多重根發生的範圍；數值計算的結果仍然只有固化 現象。但若是強迫界面濃度分別等於其他兩個融化現象的値：即強迫界面濃度分 別為 2.1335 和 0.807371wt%，則得圖(二十五 a)和(二十五 b)，數值計算的界面 位置和相似解的一致，證明了若強制界面出處於質熱平衡的條件下，融化現象確 實存在。但是由於D_S <<D_L，因此融化時欲達到界面質熱平衡條件，遠比固化時 的困難許多，也因此當系統處於多重根的範圍內時，實際的計算結果都只有固化 現象會發生。

第八章 結論

本文探討的一維合金固化現象，分析的因素包含了動態效應、有限域的固 化、因固液相密度差所引發的對流效應、以及多重根現象。研究的結果可歸納成 以下的結論：

(1) ㄧ維無限域的合金固化現象存在著相似解，且無偏析現象發生，系統亦只存 在動力不穩定，而無型態不穩定。

(2) 當考慮動態效應後，一維無限域的合金固化不復存在相似解，且會導致溶質 的偏析現象，但偏析的量非常微小，且只存在固化剛發生的微小時間尺度之內。

(3) 有限域的固化亦不存在相似解，溶質的偏析現象變得明顯。

(4) 考慮因固液相密度差引發的對流效應時，對固化現象並無根本的改變，溫度 場及濃度場依舊存在著相似解，也無偏析現象發生，系統應亦只存在動力不穩 定，而無型態不穩定。

(5) 若固化是發生在多重根區域內，只有最大固化正根會發生，其餘兩個根是因 為溶質擴散係數遠小於熱擴散係數、假設界面處於質熱平衡的理想狀態下、溫度 場和濃度場耦合的可能數學解，實際上並不會發生。

展望：

若要更深入探討合金的固化現象，且符合工業上的應用需求，未來的研究應 擴展至二維及三維的固化現象，並應著重於型態不穩定的研究，探討其成因及物 理機制。

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在文檔中 對流效應對雙成分合金固化之影響-固化速率、多重解與形態不穩定研究(2/2) (頁 36-0)