第五章 實證分析：評價 DJ iTraxx
第三節 動態模型之評價
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第三節 動態模型之評價方法
由上節我們可以經由推導得知資產組合損失百分比的密度函數之轉換~t
，所 以在動態的評價中，首先我們假設：
1.在時間為第 0 期的條件下，v0,j，j 1 , ,t，其中 t 為期數，為債務人在第 j1 期與第 j期間違約的機率。
2.V0,t為債務人在第 0 期至第 t 期間違約的機率，且期與v0,j之關係如下：
t
j
j
t v
V
1
,0
,0 1 (1 ) (33)
接著，我們利用單一契約之 CDS 定價公式來推斷違約機率，我們將 CDS 之公平 價差以表示，其定價公式如下：
t
j
t
j
j j
j j
t
i t V B R V V B
1 1
,0 1 ,0 ,0 ,0
,0 (1 ) ( ) (34)
) 1
(
其中 R 為回復率，B0,j為折現因子(將第 j期的金額折現至第 0 期)，ti ti ti1 利用(34)式，給定同一商品不同年期 CDS 公平價差資料，可以計算各期v0,j使得 真實 CDS 報價與估計 CDS 報價的誤差平方最小，進而得到v0,j， j1 , ,t。
在計算v0,j方面，我們須先利用(33)、(34)式之 CDS 公平價差定價公式來找 出各期之v0,j， j 1 , ,t，我們利用同一商品不同年期之 CDS 價差來算出v0,j數 列，舉例來說，當我們要計算某一天之v0,j數列時，我們利用當天五年期、七年 期、十年期之 CDS 價差先經由
回復率
-1
CDS價差 λ
違約強度 算出各年期之違約強度，
再由1e0.25算出各年期之起始v0,1，接著利用這三個不同年期之v0,1，五年期之
1 ,
v0 重複 20 次、七年期v0,1重複 8 次及十年期之v0,1重複 12 次做為起始值，以真
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第五章 實證分析：評價 DJ iTraxx
在此章節我們將選擇以十年為到期日之 DJ iTraxx Europe (Series 9)信用違約 交換指數為標的之合成型 CDO 分券進行實證分析，由此商品發行日(2008 年 3 月 21 日)至 2013 年 3 月 15 日期間每週五之資料(共 261 週)，進行評價分析，藉 由 LHP 假設之單因子關聯結構模型去評價不同時期 DJ iTraxx Europe 並且會以 Gaussian、NIG 模型進行評價及分析，DJ iTraxx Europe 包含 125 種相同權重比例 之信用交換契約標的資產組合，以其為標的之合成型 CDO 分券為一個標準化契 約，分券分成 0~3%、 3%~6%、 6%~9%、 9%~12%及 12%~22%。各分券給予 投資人的獲利方式，如第一章所描述，投資人的獲利方式主要分為兩大類方式，
第一類為在訂立契約期初時會先給予投資人一筆等同於市場報價的預付費用，並 在每一期給予信用價差；第二類僅在每一期給予信用價差，以上給予投資人的金 額會以本金面額百分比或 bp 為單位。
各模型參數估計方面，Gaussian 模型僅須估計相關係數；NIG(1)模型限制 參數 為零，由最小絕對誤差來估計參數及，並且假設回復率為 0.4，利率 的使用為 LIBOR 網站上所提供的三個月拆款利率，因為我們選擇之資料為十年 期之合成型 CDO，故在評價公式中之期數n為 40。
接著我們將在第一節將以不同 CDS 價差取法來比較其對高斯及 NIG 模型之 影響，而接著在第二節我們將期數以遞減的方式來評價，並比較其與固定期數評 價結果之差異，第三節則以動態模型進行評價，並比較靜態模型與動態模型之差 異，最後，我們將以時間數列模型結合評價模型來對各分劵之報價做預測。
由於我們所選擇之資料長度較長，故隨著時間之變化其商品結構將會隨之改 變，又因為我們無法確切的知道其商品結構改變之日期，所以我們將在
CreditFixings 網站查到的 iTraxx Series 9 之商品結構做為依據及觀察我們資料數 據變化依時間分割成以下五種時期：
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表 5. 1 商品結構變化
(來源：http://www.creditfixings.com/CreditEventAuctions/itraxx.jsp) iTraxx Europe
Series 9
分券 2008/3/31 2009/2/6 2009/3/20 2010/5/27 2010/12/3 0-3% 500bp(%) 500bp(%) 500bp(%) 500bp(%) 500bp(%) 3-6% (bp) 500bp(%) 500bp(%) 500bp(%) 500bp(%) 6-9% (bp) (bp) 500bp(%) 500bp(%) 300bp(%) 9-12% (bp) (bp) (bp) 100bp(bp) 100bp(bp) 12-22% (bp) (bp) (bp) 100bp(bp) 100bp(bp)
由上表可知，我們將資料日期 2008/3/31 至 2009/2/5 分為第一型之商品結構 (第一分劵為第一類，預付費用為 500bp，單位為百分比，其他二到五分劵皆為第 二類，且單位為 bp)，資料日期 2009/2/6 至 2009/3/19 分為第二型之商品結構(第 一到二分劵皆為第一類，預付費用為 500bp，單位為百分比，三到五分劵為第二 類，且單位為 bp)資料日期，2010/3/20 至 20105/26 分為第三型之商品結構(第一 到三分劵皆為第一類，預付費用為 500bp，單位為百分比，四、五分劵為第二類，
且單位為 bp)，資料日期 2010/5/27 至 2010/12/2 分為第四型之商品結構(各分劵皆 為第一類，預付費用分別為 500、500、500、100 及 100bp，第一至三分劵單位 為百分比，四、五分劵單位為 bp)，資料日期 2010/12/3 之後皆為第五型之商品 結構(各分劵皆為第一類，預付費用分別為 500、500、300、100 及 100bp，第一 至三分劵單位為百分比，四、五分劵單位為 bp)。
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第一節 不同 CDS 價差取法對各分券評價之影響
由前面章節提到違約強度之估計為：
回復率
-1
平均的CDS價差 λ
違約強度
我們以兩種不同之 CDS 價差取法來計算違約強度，第一種是將每日之 CDS 價差 代入以上之公式計算出違約強度，第二種則是從訂立契約開始到發佈市場報價當 日的每日的 CDS 價差平均計算得到之 CDS 價差代入以上公式，首先我們先比較 高斯模型之差異，兩種不同 CDS 取法對於各分劵評價結果如下：
圖 5. 1 高斯模型第一分劵(不同 CDS 價差取法)
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圖 5. 2 高斯模型第二分劵(不同 CDS 價差取法)
圖 5. 3 高斯模型第三分劵(不同 CDS 價差取法)
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圖 5. 4 高斯模型第四分劵(不同 CDS 價差取法)
圖 5. 5 高斯模型第五分劵(不同 CDS 價差取法)
圖中黑色虛線所代表的是商品結構的轉換，故將資料分為五個不同的區間。
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其各分劵之誤差如下：
表 5. 2 高斯不同 CDS 價差取法總絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 高斯(LHP) 高斯(平均 CDS) 0%-3% 157891.5 171127.2 3%-6% 44002.19 31204.92 6%-9% 168909.3 118224.8 9%-12% 389385.8 348044.9 12%-22% 257715.8 195315.5 誤差總和 1017904.59 863917.32
表 5. 3 高斯不同 CDS 價差取法平均絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 高斯(LHP) 高斯(平均 CDS) 0%-3% 604.95 655.66 3%-6% 168.59 119.56 6%-9% 647.16 452.97 9%-12% 1491.9 1333.51 12%-22% 987.42 748.34
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接著我們比較 NIG(1)(限制參數為零)模型之差異，其各分劵評價結果如下：
圖 5. 6NIG(1)模型第一分劵(不同 CDS 價差取法)
圖 5. 7NIG(1)模型第二分劵(不同 CDS 價差取法)
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圖 5. 8NIG(1)模型第三分劵(不同 CDS 價差取法)
圖 5. 9NIG(1)模型第四分劵(不同 CDS 價差取法)
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圖 5. 10NIG(1)模型第五分劵(不同 CDS 價差取法)
其各分劵之誤差如下：
表 5. 4 NIG(1)不同 CDS 價差取法總絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 NIG(1)(LHP) NIG(1)(平均 CDS)
0%-3% 13177.22 19175.61 3%-6% 50189.51 33056.07 6%-9% 53625.19 63085.8 9%-12% 274025.5 258909.9 12%-22% 181481.3 139072 誤差總和 572498.72 513299.4
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表 5. 5 NIG(1)不同 CDS 價差取法平均絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 NIG(1)(LHP) NIG(1)(平均 CDS)
0%-3% 50.49 89.85 3%-6% 192.3 125.2 6%-9% 205.46 252.13 9%-12% 1049.91 983.27 12%-22% 695.33 526.32
由以上兩種不同模型可知，雖然使用平均 CDS 價差估計違約強度在第一分 劵的評價相較於與用當日 CDS 價差誤差較大，但在其他分劵上誤差明顯的下降，
由其在四、五分劵下降最為明顯，而之所以嘗試兩種不同取法是因為由先前文獻 得知，在靜態模型中，其假設違約強度為常數，而當日之 CDS 價差為一會變動 之數值，若將其平均，隨著時間之增加將逐漸平穩，也較符合假設，且在實際評 價上也得到了較佳的結果，故我們在使用靜態之模型時，將傾向使用其平均之 CDS 價差來進行評價，使其評價結果更為準確。
第二節 期數遞減對評價之影響
在前一節中我們嘗試比較不同 CDS 之取法對評價結果之差異，我們發現平 均 CDS 之評價結果會比使用當日 CDS 評價的結果來的好，在此節中，我們依舊 將新的想法套入到我們的模型中來探討不同方法之差異，什麼是期數遞減？簡單 來說，就是在我們評價分劵報價的時候隨著時間的拉長，商品距離到期日之期數 會隨時間遞減，而這邊提到的期數就是在第三章評價模型中的n，舉例來說，有 一商品之到期日為五年，而一期就是我們常說的一季(三個月)，故隨著時間的推
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演此商品每過一期距離到期日之期數也會隨之減少，又因為我們所選取的資料為 週資料，所以每經過 13 週我們在評價模型中的期數n就會遞減一期，而在 CDS 之選取方面，由前一節可得知，使用平均 CDS 會大幅縮小分劵之誤差，故我們 在比較期數遞減方面皆使用平均 CDS 來評價，接著，我們將此想法套入高斯模 型及 NIG(1)模型中來評價，首先我們先比較高斯模型之差異，比較期數無遞減 及期數有遞減之評價結果如下：
圖 5. 11 高斯模型第一分劵(期數有無遞減比較)
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圖 5. 12 高斯模型第二分劵(期數有無遞減比較)
圖 5. 13 高斯模型第三分劵(期數有無遞減比較)
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圖 5. 14 高斯模型第四分劵(期數有無遞減比較)
圖 5. 15 高斯模型第五分劵(期數有無遞減比較)
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其各分劵之誤差如下：
表 5. 6 高斯期數有無遞減總絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 高斯(期數無遞減) 高斯(期數遞減) 0%-3% 171127.2 31121.32 3%-6% 31204.92 108553.3 6%-9% 118224.8 141622.4 9%-12% 348044.9 230206.7 12%-22% 195315.5 86145.8 誤差總和 863917.32 597649.52
表 5. 7 高斯期數有無遞減平均絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 高斯(期數無遞減) 高斯(期數遞減) 0%-3% 655.66 119.24 3%-6% 119.56 415.91 6%-9% 452.97 542.61 9%-12% 1333.51 882.02 12%-22% 748.34 330.06
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接著我們比較 NIG(1)(限制參數為零)模型之差異，其各分劵評價結果如下：
圖 5. 16NIG(1)模型第一分劵(期數有無遞減比較)
圖 5. 17NIG(1)模型第二分劵(期數有無遞減比較)
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圖 5. 18NIG(1)模型第三分劵(期數有無遞減比較)
圖 5. 19NIG(1)模型第四分劵(期數有無遞減比較)
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圖 5. 20NIG(1)模型第五分劵(期數有無遞減比較)
其各分劵之誤差如下：
表 5. 8 NIG(1)期數有無遞減總絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 NIG(1)(期數無遞減) NIG(1)(期數遞減) 0%-3% 19175.61 14923.41 3%-6% 33056.07 22781.87 6%-9% 63085.8 84617.04 9%-12% 258909.9 174319.5 12%-22% 139072 67950.72 誤差總和 513299.4 364592.54
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表 5. 9 NIG(1)期數有無遞減平均絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 NIG(1)(期數無遞減) NIG(1)(期數遞減) 0%-3% 89.85 57.18 3%-6% 125.2 87.29 6%-9% 252.13 324.2 9%-12% 983.27 667.89 12%-22% 526.32 260.35
由以上兩種不同模型可知，將期數遞減之概念考量進去之後，在兩種模型中 第一分劵及四、五分劵之誤差都明顯的下降，雖然在高斯模型中，二、三分劵之 誤差有相較增高，但反觀 NIG(1)模型，除了第三分劵，所有分劵之誤差皆有明 顯的下降，在兩種模型之總誤差都比期數無遞減來的好，故由此節及上節之結果，
我們在評價中，將會傾向使用平均 CDS 以及期數遞減的方法來得到更佳的評價 結果。
第三節 動態模型之評價
由於計算及模擬相當費時，故與靜態不同的是，在動態評價方面我們使用的 資料是五年期之 iTraxx Series 9 之商品，故我們會得到v0,j，j 1 , ,20，在得到
每天之v0,j後，我們就可以利用前面所提到的方法來進行評價，而在動態模型中，
我們使用的是單日之 CDS 價差且期數未遞減，進而跟原本的高斯模型做比較分 析，其與高斯模型對此筆資料的各分劵評價結果如下：
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圖 5. 21 動態模型與高斯模型五年期第一分劵之比較
圖 5. 22 動態模型與高斯模型五年期第二分劵之比較
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圖 5. 23 動態模型與高斯模型五年期第三分劵之比較
圖 5. 24 動態模型與高斯模型五年期第四分劵之比較
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圖 5. 25 動態模型與高斯模型五年期第五分劵之比較
其各分劵之誤差如下：
表 5. 10 動、靜態高斯總絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 靜態高斯(五年期) 動態高斯(五年期) 0%-3% 21948.2 350503.1 3%-6% 147192.7 56943.2 6%-9% 136150.6 46604.2 9%-12% 134406.4 87116.3 12%-22% 70091.2 37622.6 誤差總和 509789.1 578789.4
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表 5. 11 動、靜態高斯平均絕對誤差比較(單位:bp) 分劵 靜態高斯(五年期) 動態高斯(五年期) 0%-3% 84.1 1342.9 3%-6% 564 218.2 6%-9% 521.7 178.6 9%-12% 515 333.8 12%-22% 268.6 114.2
我們在動態模型中，使用的是當日 CDS 價差代入模型、期數固定之方式來 評價，在靜態方面，我們使用高斯靜態模型且也是以當日 CDS 價差及期數固定 之方式來評價，由圖可知，高斯模型在第一分劵的評價可以說是相當準確，但反 觀動態模型，第一分劵皆是低估真實報價許多，在其餘分劵中，動態模型雖然大 略抓到了報價變動的趨勢，但不實的有些突然高估的現象，在第二到五分劵上則 大幅縮小了靜態模型的誤差，所以我們可以得知，動態模型在評價時可能常會有 些突然之跳動使得評價結果高估許多，這方面應為模型上有缺陷導致這些不穩定 之現象，還有待改善及探討。
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