時間數列模型應用於合成型抵押擔保債務憑證之評價與預測 - 政大學術集成
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(2) 謝辭 兩年的時間真的過得非常快，當初考研究所等榜單的畫面還歷歷在目，因為 大學是數學系畢業，經由這兩年研究所的課程學習及磨練，使我在這段時間更加 增長了我的統計知識及更深入的學習到統計理論以及相關的實務應用。 首先，最感謝的是我的指導老師劉惠美老師，很感謝老師在這兩年研究所期 間對我們的耐心指導，每當我們遇到問題時，老師總是耐心的陪著我們一起解決 我們的問題，同時，老師也提供我們與金融信用衍生性商品領域相關的知識，讓. 政 治 大. 我從幾乎什麼都不懂到漸漸的了解這方面的知識，以至於能夠順利的完成論文，. 立. 且不僅是在論文的指導上，老師平常所分享對於在未來在職場上應具備的能力及. ‧ 國. 學. 態度，也使我在生涯規劃上獲益良多。. 此外，也感謝洪明欽教授、劉家頤教授與陳麗霞教授在我論文口試時所給予. ‧. 的寶貴意見，幫助我的論文更趨完善。. y. Nat. sit. 接著我要感謝我的好夥伴釋璟、慶龍，因為我在 code 這方面比較沒這麼擅. n. al. er. io. 長，釋璟在 code 這方面幫助我們許多，從一起討論、導出公式到程式，也很有. i n U. v. 耐心的解決我所不懂的問題，有你們論文才能漸入佳境的完成。. Ch. engchi. 感謝這兩年研究所的好同學、好麻吉們，能夠與你們課業上互相扶持以及一 起聚餐、出去玩真的很開心，很高興能夠認識你們，讓我在這兩年研究所生活過 得充實又精彩，希望大家未來不論是學業或工作上都能夠順利。 最後，要感謝我的家人，有你們的鼓勵、陪伴才有今天的成果。. I.
(3) 摘要 根據以往探討評價合成型抵押擔保債務憑證之文獻研究，最廣泛使用的方法 應為大樣本一致性資產組合(large homogeneous portfolio portfolio；LHP)假設之單 因子常態關聯結構模型來評價，但會因為常態分配的厚尾度及偏斜性造成與市場 報價間的差異過大，且會造成相關性微笑曲線現象。故像是 Kalemanova et al.在 2007 年提出之應用 LHP 假設的單因子 Normal Inverse Gaussian(NIG)關聯結構模 型以及邱嬿燁(2007)提出 NIG 及 Closed Skew Normal(CSN)複合分配之單因子關. 政 治 大 ，然而過去的文獻在評價合成型抵押擔保債務憑證時，需要將 CDS 價差、各分 立. 聯結構模型(MIX 模型)皆是為了改善其在各分劵評價時能達到更佳的評價結果. ‧ 國. 學. 劵真實報價之資訊導入模型，並藉由此兩種資訊進而得到相關係數及報價，故靜 態模型大多為事後之驗證，在靜態模型方面，我們嘗試使用不同概念之 CDS 取. ‧. 法以及相對到期日期數遞減之概念來比較此兩種不同方法與原始的關聯結構模. sit. y. Nat. 型進行比較分析，在動態模型方面，我們應用與時間序列相關之方法套入以往的. al. er. io. 評價模型，針對不同商品結構的合成型抵押擔保債券評價，並由實證分析來比較. v. n. 此兩種模型，而在最後，我們利用時間序列模型來對各分劵進行預測。. Ch. engchi. i n U. 關鍵字 : 合成型抵押擔保債權憑證、單因子關聯結構模型、NIG 分配、動態評 價模型. II.
(4) Abstract Based on the literature of discussing the approach for pricing synthetic CDOs, the most widely used methods used application of Large Homogeneous Portfolio (LHP) assumption of the one factor Gaussian copula model, however , it fails to fit the prices of synthetic CDOs tranches and leads to the implied correlation smile. The literature shows that one factor copula model adding the heavy-tail or skew can improve the above problem, and also has a good effect for pricing tranches such as. 政 治 大 NIG copula model and 立 Qiu Yan Ye (2007) proposed the application of. Kalemanova et al (2007) proposed the application of LHP assumption of one factor LHP. ‧ 國. 學. assumption of one factor NIG and CSN copula model. Both of them are in order to improve its evaluation to achieve better results , However , the evaluation of synthetic. ‧. CDOs in the most past literature needed to get the CDS quote and tranches spreads. sit. y. Nat. into the model. So the static model used to verify the tranches spreads. In terms of. n. al. er. io. static model , we try to use the different concept of CDS quote and decrease the. i n U. v. spread payment dates between the maturity of the synthetic CDO to compare different. Ch. engchi. concepts of these two different methods with the original one factor copula model and analyze the results. In terms of dynamic model , we apply the time-series concept to the. original model and evaluation the spreads with different commodity structure. Finally , we compare the static model and the dynamic model and use the time-series model to predict the tranches spreads.. Keyword : synthetic CDOs、one factor copula model、NIG distribution、Dynamic model III.
(5) 目錄 謝辭................................................................................................................................ I 摘要............................................................................................................................... II Abstract ........................................................................................................................ III 表目錄..........................................................................................................................VI 圖目錄........................................................................................................................ VII 第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節. 研究背景與動機................................................................................ 1. 第二節. 研究目的............................................................................................ 1. 第三節. 政 治 大 抵押擔保債務憑證(Collateralized Debtbligation ,CDO) ................. 2 立 合成型抵押擔保債務憑證(Synthetic CDOs ) .................................. 3. 第五節. ‧ 國. 學. 第四節. ‧. 第六節. 信用違約交換(Credit Default Swaps ,CDS) ..................................... 4. 本文架構............................................................................................ 9. y. sit. al. er. 文獻回顧.................................................................................................. 10. io. 第二章. Nat. 第七節. 信用違約指數（Credit Default Indexes） ....................................... 7. v. 單因子關聯結構模型(OneFactorCopula Model) .......................... 10. 第二節. Normal Inverse Gaussian Distribution(NIG 分配) .......................... 12. 第三章. n. 第一節. Ch. engchi. i n U. 合成型 CDO 之評價方法與單因子關聯結構模型 ............................... 13. 第一節. 合成型抵押擔保債務憑證之評價方法.......................................... 13. 第二節. 應用 LHP 假設之單因子高斯關聯結構模型 ................................ 17. 第三節. NIG 分配性質及定義 ..................................................................... 22. 第四節. 應用 LHP 假設之單因子 NIG 關聯結構模型 ............................... 26. 第四章. 動態模型及評價方法.............................................................................. 31. 第一節. 動態模型的演進.............................................................................. 31. 第二節. 動態模型之損失分配...................................................................... 33 IV.
(6) 動態模型之評價方法...................................................................... 38. 第三節 第五章. 實證分析：評價 DJ iTraxx..................................................................... 40. 第一節. 不同 CDS 價差取法對各分券評價之影響 .................................... 42. 第二節. 期數遞減對評價之影響.................................................................. 49. 第三節. 動態模型之評價.............................................................................. 57. 第四節. 以時間序列模型對各分劵做預測.................................................. 62. 第六章. 結論與建議.............................................................................................. 65. 參考文獻...................................................................................................................... 68. 政 治 大. 附錄一.......................................................................................................................... 70. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. V. i n U. v.
(7) 表目錄 表 1. 1 CDS 之種類說明 .................................................................................................. 6 表 1. 2 目前全世界主要的信用違約指數名稱 (資料來源 www.markit.com) ............. 9. 表 5. 1 商品結構變化 ..................................................................................................... 41 表 5. 2 高斯不同 CDS 價差取法總絕對誤差比較(單位:bp) ....................................... 45 表 5. 3 高斯不同 CDS 價差取法平均絕對誤差比較(單位:bp) ................................... 45. 政 治 大 表 5. 5 NIG(1)不同 CDS 價差取法平均絕對誤差比較(單位:bp) ............................... 49 立 表 5. 4 NIG(1)不同 CDS 價差取法總絕對誤差比較(單位:bp) ................................... 48. ‧ 國. 學. 表 5. 6 高斯期數有無遞減總絕對誤差比較(單位:bp) ................................................. 53 表 5. 7 高斯期數有無遞減平均絕對誤差比較(單位:bp) ............................................. 53. ‧. 表 5. 8 NIG(1)期數有無遞減總絕對誤差比較(單位:bp) ............................................. 56. sit. y. Nat. 表 5. 9 NIG(1)期數有無遞減平均絕對誤差比較(單位:bp) ......................................... 57. al. er. io. 表 5. 10 動、靜態高斯總絕對誤差比較(單位:bp) ...................................................... 60. v. n. 表 5. 11 動、靜態高斯平均絕對誤差比較(單位:bp) .................................................. 61. Ch. engchi. VI. i n U.
(8) 圖目錄 圖 1. 1 抵押擔保債劵架構流程圖 ................................................................................... 3 圖 1. 2 合成型抵押擔保債劵架構流程圖 ....................................................................... 4 圖 1. 3 信用違約交換架構流程圖 ................................................................................... 5. 圖 3. 1 NIG 參數α不同 ................................................................................................. 23 圖 3. 2 NIG 參數β不同 ................................................................................................. 24. 政 治 大 圖 3. 4 NIG 參數δ不同 ................................................................................................. 25 立 圖 3. 3 NIG 參數μ不同 ................................................................................................. 24. ‧ 國. 學. 圖 5. 1 高斯模型第一分劵(不同 CDS 價差取法) ........................................................ 42. ‧. 圖 5. 2 高斯模型第二分劵(不同 CDS 價差取法) ........................................................ 43. sit. y. Nat. 圖 5. 3 高斯模型第三分劵(不同 CDS 價差取法) ........................................................ 43. al. er. io. 圖 5. 4 高斯模型第四分劵(不同 CDS 價差取法) ........................................................ 44. v. n. 圖 5. 5 高斯模型第五分劵(不同 CDS 價差取法) ........................................................ 44. Ch. engchi. i n U. 圖 5. 6NIG(1)模型第一分劵(不同 CDS 價差取法)...................................................... 46 圖 5. 7NIG(1)模型第二分劵(不同 CDS 價差取法)...................................................... 46 圖 5. 8NIG(1)模型第三分劵(不同 CDS 價差取法)...................................................... 47 圖 5. 9NIG(1)模型第四分劵(不同 CDS 價差取法)...................................................... 47 圖 5. 10NIG(1)模型第五分劵(不同 CDS 價差取法).................................................... 48 圖 5. 11 高斯模型第一分劵(期數有無遞減比較) ........................................................ 50 圖 5. 12 高斯模型第二分劵(期數有無遞減比較) ........................................................ 51 圖 5. 13 高斯模型第三分劵(期數有無遞減比較) ........................................................ 51 圖 5. 14 高斯模型第四分劵(期數有無遞減比較) ........................................................ 52 VII.
(9) 圖 5. 15 高斯模型第五分劵(期數有無遞減比較) ........................................................ 52 圖 5. 16NIG(1)模型第一分劵(期數有無遞減比較) ..................................................... 54 圖 5. 17NIG(1)模型第二分劵(期數有無遞減比較) ..................................................... 54 圖 5. 18NIG(1)模型第三分劵(期數有無遞減比較) ..................................................... 55 圖 5. 19NIG(1)模型第四分劵(期數有無遞減比較) ..................................................... 55 圖 5. 20NIG(1)模型第五分劵(期數有無遞減比較) ..................................................... 56 圖 5. 21 動態模型與高斯模型五年期第一分劵之比較 ............................................... 58 圖 5. 22 動態模型與高斯模型五年期第二分劵之比較 ............................................... 58. 政 治 大 圖 5. 24 動態模型與高斯模型五年期第四分劵之比較 ............................................... 59 立 圖 5. 23 動態模型與高斯模型五年期第三分劵之比較 ............................................... 59. 圖 5. 25 動態模型與高斯模型五年期第五分劵之比較 ............................................... 60. ‧ 國. 學. 圖 5. 26 高斯及 NIG(1)模型預測第一分劵 .................................................................. 62. ‧. 圖 5. 27 高斯及 NIG(1)模型預測第二分劵 .................................................................. 63. y. Nat. 圖 5. 28 高斯及 NIG(1)模型預測第三分劵 .................................................................. 63. er. io. sit. 圖 5. 29 高斯及 NIG(1)模型預測第四分劵 .................................................................. 64 圖 5. 30 高斯及 NIG(1)模型預測第五分劵 .................................................................. 64. n. al. Ch. engchi. VIII. i n U. v.
(10) 第一章 緒論 本章節主要分為兩部分：第一部分說明本篇論文的主旨－研究背景與動機以 及研究目的；第二部分介紹主要評價商品－合成型抵押擔保債務憑證以及信用違 約指數。. 第一節. 研究背景與動機. 信用衍生性商品市場在近幾年成倍的增長，截至 2006 年底，其規模經估計. 政 治 大 融機構為了避免交易對手的信用違約風險，藉由此商品能將此信用風險移轉到金 立 已經超過了 300000 億美元，信用衍生性商品發展之所以如此迅速，原因在於金. ‧ 國. 學. 融市場，為一種類似保險性質之信用衍生性商品。其中，抵押擔保債務憑證 (Collateralized Debt Obligation,CDO)是近來快速成長的證劵化商品。2004 年全球. ‧. 的總發行量為 9025 億美金，在歐洲地區，該市場已經發展十分成熟；而亞洲地. sit. y. Nat. 區的日本，CDO 市場從 2000 年幾乎為零的發行量成長至 2004 年的 3 兆餘日圓，. al. er. io. 可見發展速度相當驚人。由於 CDO 的利率通常較定存或是一般公債來得高，在. v. n. 現今微利的時代，已經成為國際間相當熱門的投資商品，故抵押擔保債務憑證之. Ch. engchi. i n U. 評價為一重要之課題。然而過去的文獻幾乎都是評價單天的合成型抵押擔保債務 憑證或其事後價格的驗證，本文將著重於合成型抵押擔保債務憑證長時間之評價， 有別於以往的評價方法，藉由時間序列相關之動態模型進行評價及預測，以了解 商品之發展趨勢，比較此動態模型與以往靜態模型的差異並分析之。. 第二節. 研究目的. 在以往的文獻中採用的評價模型多為靜態，而由文獻可知評價結果會因分配 的厚尾度及偏斜性而與市場報價的差異過大，且會造成相關性微笑曲線現象，再 加上靜態模型中需代入各分劵的真實資訊方能求出相關係數，並進而得到較佳的 1.
(11) 評價結果，因此，靜態模型大多為單日之評價且為事後之驗證。 故在本文中將對長時間之資料進行評價，並以不同 CDS 之取法及期數遞減 之方式來比較評價上結果之差異；而在動態模型方面，我們使用時間序列概念導 入靜態模型中，視市場共同因子為 p 階自回歸隨機過程(時間序列之 p 階 AR 模 型)，以此不同方法得到之模型來對資料評價、比較分析結果，並在最後以時間 序列之方法對各分劵做預測。. 第三節. 抵押擔保債務憑證(Collateralized Debtbligation ,CDO). 政 治 大 通常為一創始機構(如金融機構)持有一個債劵或企業貸款的資產組合或債權人 立. 抵押擔保債務憑證(Collateralized Debt Obligation,CDO)是一種固定收益證券，. 向債務人取得債權(包含貸放款項及債劵)，然後將此資產組合轉賣給特殊目的機. ‧ 國. 學. 構(Special Purpose Vehicle，SPV)，特殊目的機構以此資產組合為擔保，並且將. ‧. 其重新分割及包裝後，以公開發行方式賣出固定收益證券或受益憑證給投資者，. y. Nat. 此商品有兩個特色，一是創始機構將風險性資產出售，對創始機構而言可活化流. er. io. sit. 動性差與風險性較高的資產，對投資者而言可避免創始機構破產的風險，二是將 受益證劵依信用評級的風險分類切割成不同的分券以提供投資者做選擇，經過重. al. n. v i n 組後的分劵讓投資人可以依據不同的存續期間、收益率、及風險承受程度作為購 Ch engchi U. 買的依據，其架構為債務人每月定期償還本金和利息給服務機構，服務機構扣除 服務費用後移交給特殊目的機構，特殊目的機構扣除信託費用後交給投資者， CDO 依信用評級可分為優先順位層級(Senior Tranche)、中間順位層級 (Mezzanine Tranche)、次順位(Junior Tranche)跟權益層級(實務上市場通常將此二. 類歸為同一類) ，主順位債券約占一個 CDO 總發行量的 70%-93%，中間順位債 券約占總發行量的 5%-15%，次順位債券跟權益層級占總發行量的 2%-15%，當 CDO 產生利息時，首先由優先順位層級投資人先收到利息，等到優先順位投資 人收到足額利息後，中間順位層級投資人才開始收到利息，等到中間順位投資人 2.
(12) 收到足額利息後，次順位投資人才開始收到利息。本金的償還也以此方式進行， 付清三個層級後，剩餘現金才支付給權益層級投資人。當發生損失時，由權益層 級投資人先承擔損失，一旦達到其本金餘額後，由權益層級投資人先承擔，再由 次順位投資人承擔，以此類推。因此，權益層級投資人承擔的風險最大，報酬率 最高，相對而言優先順位投資人風險最小，報酬率也最小。. 立. 政 治 大. sit. er. io. al. v i n Ch 合成型抵押擔保債務憑證(Synthetic CDOs ) engchi U n. 第四節. y. ‧. ‧ 國. 學. Nat. 圖 1. 1 抵押擔保債劵架構流程圖. 合成形抵押擔保債劵(合成型 CDO)為傳統 CDO 的衍生性商品，其商品結構 大部分與抵押擔保債劵相同，不同的是，合成型 CDO 的資產群組並不是向創始 機構購買的，而是另外物色一個投資群組，使得特殊目的機構與創始機構之間的 關係是一個信用違約交換(Credit Default Swap，簡稱 CDS)，創始機構為信用保護 買方，特殊目的機構則是信用保護賣方，這樣一來創始機構將債權群組的違約風 險轉嫁給特殊目的機構，同時創始機構約定定期給予權利金給特殊目的機構作為 承擔風險的代價。因此，過程中資產群組並沒有被真實移轉，仍然保留在創始機 3.
(13) 構中，而特殊目的機構則在期初會先得到由投資人所投入的大筆金額，但由於其 和創始機構交易的是信用衍生性商品，並不需要付任何費用給創始機構。如此一 來特殊目的機構就能藉由此筆金額去購買穩定的商品(如政府公債)，萬一日後發 生違約事件有能力支付現金給創始機構。而特殊目的機構可將從創始機構定期收 到的費用移轉給投資人作為定期投資收益，所以合成型 CDO 與傳統型 CDO 最 大的不同就是在傳統型 CDO 的架構下，債權群組有真實出售給特殊目的機構， 而合成型 CDO 沒有。傳統型 CDO 是利用債務人的還款來分配利息給投資者， 合成型 CDO 則是利用投資者的資金以及信用違約交換對手所支付的權利金所另. 政 治 大. 外購買的資產群組的孳息來支付投資者的利息。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 1. 2 合成型抵押擔保債劵架構流程圖. 第五節. 信用違約交換(Credit Default Swaps ,CDS). (一)CDS 交易方式 信用違約交換（credit default swap)，是現今國際金融市場上交易最廣泛的信 用衍生性金融商品（credit derivative） 。CDS 發展至今不到 10 年，已經成為金融 機構規避債務人信用風險最主要的工具。在本質上，CDS 是一種可供信用提供 4.
(14) 者（放款人或公司債持有人）規避信用風險的契約，交易主體分別是違約風險保 護買方（protection buyer，通常為銀行）與違約風險保護賣方（protection seller）， 典型的 CDS 契約依實際需求議定，通常是一至五年，但實務上超過十年，在約 定的期間內，買賣雙方針對某項參考資產(如某借款人所發行之某筆特定債劵)， 就所約定的名目本金與年限議定一信用價差(CDS spread)由買方定期支付權利金 (Premium，等於名目本金乘以信用價差)給賣方，賣方則提供信用保護，當參考 資產在所訂定期限內發生契約所定義的信用事件時，急需依約彌補賣方損失，所 以實際上承擔違約風險的為保護賣方，保護買方則透過信用風險的移轉使投資的. 政 治 大. 風險降低，其中信用違約交換架構如圖 1.3。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 1. 3 信用違約交換架構流程圖. (二)CDS 之評價 CDS 的價格即為 CDS 之價差(CDS spread)，為衡量信用風險的一個重要指 標，許多學者研究發現 CDS 價差具備迅速反應市場訊息的能力，如 2009 年 1 月 起因歐洲國家財政赤字惡化，希臘、義大利等國家的國家信評等級遭到調降之始， 5.
(15) CDS 的價差亦開始逐漸增大，這代表著 CDS 價差對信用風險的影響非常顯著， 是最能用來規避參考資產信用風險最佳金融工具之一。 由於 CDS 是以所連結之合約標的是否發生信用事件為依據，因此其定價或 收益是以合約標的之違約機率大小為依據。理論上，CDS 之評價決定於四個因 素：權利金利率(Premium)、回收率(Recovery rate，如債劵違約後之剩餘價值比 率)、信用價差(Credit spread，通常依信評來決定)及折現率(通常以 Libor 利率來 決定)。 (三)CDS 之種類. 政 治 大 契約 CDS(A basket CDS)及 CDS 指數(CDS index，或稱為 CDS 信用指數)。 立. CDS 主要包括三種類別，分別為單一契約 CDS(Single name CDS)、一籃子. 表 1. 1 CDS 之種類說明. ‧ 國. 學. 種類. 多個信用資產的 CDS. 多個信用資產，為標準化 CDS 契約，. CDS 指數(或稱為 CDS 信用指數). n. al. er. io. sit. y. Nat. 一籃子契約 CDS. 單一標的資產的 CDS. ‧. 單一契約 CDS. 說明. 相對於單一契約的 CDS，CDS 指數有. v i n Ch e n g不同的設計及交易的規則。 chi U. 一般最常見的一籃子契約 CDS 為第 N 個違約交換，意思為雙方約定當所參 考的資產群組發生違約事件共有 N 個或以上時，則保護賣方必須立刻付資產違 約損失給予保護買方。若違約事件為達到 N 個標準時，保護買方必須要定期的 支付費用給予保護賣方。. 6.
(16) 第六節. 信用違約指數（Credit Default Indexes）. 信用違約指數(或稱 CDS 指數)是另一種用來規避信用風險的組合信用衍生 性商品。由於 CDS 指數可規避債劵投資組合之違約風險，比逐一購個別單一契 約 CDS 來的便宜，且流動性優於單一契約 CDS，故買賣價差較小。其運作的方 式為選擇一般市場上流動性較高的公司的信用違約交換作為一籃子資產所合成 的綜合信用指數，將這群資產以平均加權(Equal Weight)的方式計算其權利金。因 此，此指數如同購買許多單一名稱的信用違約交換合約，且能減少交易成本。但. 政 治 大 支付的權利金立即停止，對於信用違約指數而言，保護買方則會在合約期間內(例： 立 其實際運作方式與信用違約交換有些許不同，若發生違約事件時，保護買方所需. 3、5、7 或 10 年)持續支付權利金，此金額會隨著剩餘的本金金額成比例，主要. ‧ 國. 學. 原因在於契約過程中發生數個標的的公司違約情況，使得需要被保護的資產群組. ‧. 減少，也降低了本金金額。信用違約指數的權利金規定每三個月付費，而付費日. y. Nat. 期定在每一年度的三月、六月、九月以及十二月的二十號。信用違約指數的成員. er. io. sit. 會每六個月定期依標準調整指數成員，若指數之標的資產群組無發生違約事件， 則指數的的成員維持不變，已發生違約或信用等級下降的標的資產則為從指數成. n. al. 員移出。. Ch. engchi. i n U. v. 第一個 CDS 指數是由 16 家投資銀行所組成的 Market 集團於 2004 年 6 月推 出，是由兩個主要指數家族(Index families)使用最具流動的單一契約 CDS 發展而 來。Market 集團所提供之兩個主要指數家族分別為 CDX 及 iTraxx 指數家族；CDX 指數家族主要參考實體(Reference entities)為北美地區及新興市場，iTraxx 指數家 族的主要參考實體則在歐洲及亞洲。CDX 和 iTraxx 指數之價格可以用來衡量指 數內所有企業發行債劵之整體違約風險，又 CDX 和 iTraxx 指數家族另針對不同 企業或地區，依到期日不同提供不同的子指數(Sub-indices)，但交易量最大的指 數為 CDX.NA.IG，主要包含註冊於北美地區之 125 家投資等級實體，另一個 7.
(17) CDX.NA.HY 則是由美國發行高收益債劵之投資等級之實體所組成。而信用違約 指數依據三大信用評等公司(S&P、Moody's 以及 Fitch rating）之評等結果分別在 、以及高收益（High 不同的地區編為投資級(Investment Grade)、高風險（High Vol） Yield）等指數名稱，其中各指數名稱在表 1.2。 隨著信用違約指數的發展，合成型 CDO 商品概念也被導入於信用違約指數 中，將指數切割分成不同層級的標準化分券型式以吸引不同風險偏好的投資者。 各分券提供了分層標的資產組合的保護如同之前所介紹過的 CDO 將受益證券分 層級的方式。而剛所提到的兩大信用違約指數－CDX 指數和 iTraxx 指數，被分. 政 治 大 分券。CDX 指數之標準化分券架構為 0-3%、3-7%、7-10%、10-15%以及 15-30%， 立 成五個分券：最高層級分券、優先層級分券、中間層級分券、次順位分券、權益. iTraxx 指數之標準化分券架構為 0~3%、3~6%、6~9%、9~12%及 12~22%。投資. ‧ 國. 學. 人在各分券能獲得的投資報酬主要分成兩大類：第一類的投資人在訂立契約期初. ‧. 時先收到一筆等同於市場報價的預付費用(Upfront payment)，並在每一期會拿到. y. Nat. 信用價差(Running spread)；第二類的投資人則只有在定期會得到信用價差。在. er. io. sit. 2008 年以前，權益分券的投資人屬於第一類報酬方式，其餘分券投資人皆屬於 第二類報酬方式。然而，自 2007 年美國發生「次級房貸」以來，一連串的金融. al. n. v i n 危機事件連帶影響到了較高層級分券之違約率增加，這也使得以信用違約指數為 Ch engchi U. 標的之合成型 CDO 商品在內容上產生了許多的變化。最主要的變化在於次順位 分劵以上給予投資人的報酬方式漸漸趨向權益分劵方式(第一類)，到了現今，各 分劵的投資人獲利方式皆為第一類，但不同分劵會有不同的信用價差價格及期初 市場報價金額。. 8.
(18) 表 1. 2 目前全世界主要的信用違約指數名稱 (資料來源 www.markit.com) 指數名稱. 分佈地區. 信用評等. 標的資產數目. CDX.NA.IG. 北美. 投資級. 125. CDX.NA.IG.HVOL. 北美. 高風險. 30. CDX.NA.HY. 北美. 高收益. 100. CDX.EM. 新興市場. 14. CDX.EM Diversified. 新興市場. 40. 治 政 投資級 大 歐洲 高風險 立 歐洲. iTraxx Europe iTraxx Europe HiVol. iTraxx Asia. 亞洲. 投資級. 澳洲. 投資級. ‧ 國. 高收益. iTraxx Australia. 50 25. y. Nat. io. sit. 本文架構. er. 第七節. 50. ‧. 歐洲. 30. 學. iTraxx Europe Crossover. 125. al. 本文架構如下：第二章回顧單因子關聯結構模型相關文獻；第三章介紹合成. n. v i n Ch 型抵押擔保債務憑證評價之相關內容及方法、應用 e n g c h i ULHP 假設之單因子關聯結構. 模型，並且介紹 Normal Inverse Gaussian 分配的性質及單因子 NIG 關聯結構模型； 第四章呈現動態之評價模型，介紹如何將時間序列的概念導入模型、損失分配之 推導及評價方法；第五章將以動態模型評價 2008 年到 2013 年之 DJ iTraxx Europe 分券、利用時間序列方法對分劵做預測，且與靜態之 NIG 及高斯模型進行比較 分析；第六章為結論與建議。. 9.
(19) 第二章 文獻回顧 在評價合成型抵押擔保債券憑證時，必須考慮各資產之間的違約相關性因素。 最早能處理違約相關性的模型為 Li 在 2000 年所提出的關聯結構模型(copula model)，後來更進一步演變成單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)，而 單因子關聯結構模型也將作為後面實證分析中的主要評價模型。本章將介紹及回 顧單因子關聯結構模型相關之文獻。如此一來更能了解此模型的觀點及應用方 法。. 第一節. 治 政 單因子關聯結構模型(OneFactorCopula Model) 大 立 ‧ 國. 學. 單因子關聯結構模型為關聯結構模型改良演變而來，其改良了關聯結構模型 在當資產組合數目過多時使得蒙地卡羅模擬的過程複雜度增加以及計算過程變. ‧. 得較為費時的問題，其概念為數個不同的信用標的資產給定相同的因子(市場因. sit. y. Nat. 子)條件下，各資產報酬彼此會互相獨立。此方法除了能簡單、快速地計算在不. al. n. 量時間。. er. io. 同時點下的違約損失分配，且能夠大幅縮短蒙地卡羅模擬過程中所需要耗費的大. Ch. engchi. i n U. v. 單因子結構模型概念最早是由 O’Kane and Schloegl (2001)所提出，對於單一 標的資產信用模型，其可以分為結構式模型(Structural model)與縮減式模型 (Reduced-form Model)。結構式模型主要應用 Merton(1974)模型原理，是以公司 本身的資產價值來衡量信用風險，當公司資產價值低於某一個門檻值時將視為公 司違約，故結構式模型又可稱為公司價值模型(Firm value model)。但是，此模型 的假設過於簡化，違約事件只會發生在到期日當天而已，不考慮除了公司價值以 外的可能違約事件。而 Black and Cox(1976)則進一步的延伸 Merton 模型中的違 約條件，其將公司在到期日前任意時點到達某個資產邊界(boundary)時視為公司 違約，故又可以稱為通過時點模型(Passage time model)。結構式模型優點在於風 10.
(20) 險事件定義上與一般財務上對於公司違約的定義極為類似，但是想要確實地掌握 公司整體的資本結構資訊卻是很不容易的事情，若是在無法正確估計出公司的資 產價值及負債總額，在計算信用價差時極有可能出現不合理的價格。相較於結構 式模型，縮減式模型不嘗試去解釋違約事件的發生原因(ex:公司價值)，而是盡可 能地去描述違約時點的統計性質。在縮減式模型裡，違約被視為一個外生事件 (exogenous event)，利用 poisson 過程來建置違約過程，其中隨機違約行為會被違 約率函數 (t ) 所決定(如同 Li(2000)所介紹的)，並且得到資產的存活時間為指數 分配。此模型評價方法與結構式模型是相同的，但此模型所考慮的違約機率、回. 政 治 大 額的才能做風險評估的結構型模型是相當不同的。而對於多資產組合的信用風險 立 復率、市場利率等皆是由外生所決定，與必須取得確實的公司資產價值和負債總. 模型建立，O’Kane and Schloegl(2001)則首次提出單因子關聯結構模型，此模型假. ‧ 國. 學. 定標的資產組合具有共通的市場因子 M(t)，則各資產從契約開始到第 t 時間的總. ‧. 資產報酬 Ai (t ) 為：. A t () i M t ( ) 1 i iX t ( )i, 1,, N. io. sit. y. Nat i. er. 其中 M (t ) 為市場因子， X i (t ) 為資產本身因子， M (t ) 與 X i (t ) 為相同且相互獨立. al. n. v i n 的隨機變數，並假換契約(Nth-to-default C h swap)的方法，此兩種方法的程序都是採 engchi U 用因子關聯結構模型(本文將其拓展成多因子關聯結構模型)並且能夠取代. Laurent, J-P and J. Gregory 在 2003 年所提的快速傅立葉轉換法。而兩種方法主要 差異是在於損失分配的計算，第一種方法稱為遞迴法(Recursive Method)，其假定 投資組合中各標的資產的權重比例為相等與回覆率為固定值下，利用遞迴關係去 求出在特定時點 K 個資產違約的損失機率，其中整個資產的總損失可以視為二 項式分配。第二種方法為機率勺斗法(probability bucketing method)，其與遞迴法 之差異為沒有限制各標的資產的權重比例為相等且回覆率可以為隨機(stochastic) 下去計算到期日前特定時點的總損失分配。此外，Hull andWhite (2004)對於單因 11.
(21) 子關聯結構模型提出了一個嶄新的觀點，也就是模型除了應用常態分配外，只要 在給定分配之期望值為零且變異數為一的條件下，任何的分配都可以套用在單因 子關聯結構模型裡，而不同的分配選擇就代表為不同的關聯結構模型，而本文是 使用快速傅立葉轉換法(Fast Fourier Transforms , FFT)計算，也就是由資產組合損 失之特徵函數來取得資產組合之損失分配。藉由此方法評價，與蒙地卡羅法比較， 會具有大幅度地減少計算時間的優點。設它們服從標準常態分配。由於 Ai (t ) 為. M (t ) 與 X i (t ) 的線性組合函數，由常態分配的性質可以知道 Ai (t ) 也為一服從標準 常態的隨機變數。而這樣的假設所帶來的優點為給定共同因子 M (t ) 的條件下，. 政 治 大. 各資產報酬 Ai (t ) 彼此為互相獨立。此外，若標的資產組合數目夠多的情形下，. 立. 增加 LHP (Large homogenous portfolio)的額外假設條件，視各個資產為同質性資. ‧ 國. 學. 產(homogenous assets)，藉由此額外假設條件，就能夠快速地計算出資產組合損. ‧. 失的分配函數以及 CDO 分券的期望損失。由於單因子結構模型擁有以上所說的. al Normal Inverse Gaussian Distribution(NIG 分配) iv n. 第二節. er. io. sit. y. Nat. 優點及其方便性，此模型遂成為市場上評價擔保債務憑證的主要方法。. Ch. n U engchi. NIG 分配為一個廣義雙曲分配(The generalised hyperbolic distributions)的特 殊例子，是由 Barndorff-Nielsen 在 1997 年所發表介紹的，為一由高斯分配與反 高斯分配(Inverse Gaussian Distribution)混合而成的分配，NIG 分配之所以能廣泛 的應用於一些金融、經濟方面的資料最主要是因為其所具備的某些特性，像是擁 有四個參數使得其能夠在同時間產生厚尾性及偏斜性質，以及在特定條件下為穩 定摺積(convolution)，且 Kalemanova et al. (2007)在應用 NIG 分配評價擔保債權 憑證分券時，也發現因其具備的特性在評價時能發揮得比其他分配來的優秀許 多。 12.
(22) 第三章 合成型 CDO 之評價方法與單 因子關聯結構模型 本章將會介紹有關合成型 CDO 的評價公式以及推導，像是損失分配的推導、 公平信用價差的計算方式及一些名詞的解釋，再來接著介紹如何應用給定 LHP 假設之單因子高斯及 NIG 關聯結構模型來計算合成型 CDO 分券價格。. 第一節. 合成型抵押擔保債務憑證之評價方法. 政 治 大 我們將考慮一個只包含信用違約交換契約為標的資產組合之合成型抵押擔 立. ‧ 國. 學. 保債務憑證。合成型 CDO 分劵的持有者或稱保護賣方會定期(通常為每季)收到 一筆由合成型 CDO 發行者或保護買方所支付的信用價差費用(credit spread)，當. ‧. 標的資產組合的總違約損失超過其分劵的面額(notionals)時，保護賣方將必須補. sit. y. Nat. 償分券損失費用給予保護買方。. al. er. io. 基本上，對於合成型 CDO 從 K1 分劵到 K 2 分劵 (0 K1 K 2 1) 的評價方法. v. n. 與信用違約交換是大致相同的。再來，是評價過程中所會用到的符號的定義及意 義。. Ch. engchi. i n U. 1.首先我們假設 t1 ... t n 為信用價差的付費日，其中 t n T 為信用價差的到期日 ，而 t 0 為評價日，且 t 0 t1 。 2.令 s 為信用價差費用。 3.以 L( K1 , K2 ) (t ) 表示此合成型 CDO 之 K1 ~ K 2 分劵在時間點 t 的損失百分比。 4. r (t ) 為無風險短期利率，並且假設其與分劵損失獨立。 5.合成型 CDO 之 K1 ~ K 2 分劵在風險中立測度(risk-neutral measure)為 Q 之下的期望分劵損失為 EQ [ L( K1 , K 2 ) (t )] 。 13.
(23) ti. . r ( u ) du. 6.折現因子為 EQ [e. ] ，我們以 B(t 0 , t i ) 表示，其意義為在 t i 時間點拿到的 1. t0. 元，經無風險短期利率 r (t ) 折現後在評價日 t 0 之現值。. 要評價合成型 CDO 各分劵之公平信用價差價格，首先必須計算出此分劵的 保護收入(Premium leg)與違約給付金額(Protection leg)，並且假設此兩筆預期預期 現值金額在中立風險測度 Q 下為相等，進而計算信用價差。. 政 治 大. 分劵的保護收入之計算為保護的賣方在未來可預期收到來自保護買方的所. 立. 有信用價差的現值價值：. premium leg t i s EQ [(1 L( K , K ) (t i ))e 1. i 1. . 學. ‧ 國. t1. n. r ( u ) du t0. 2. ]. n. ‧. t i s (1 EQ [ L( K1 , K 2 ) (t i )]) B(t 0 , t i ) i 1. er. io. sit. y. Nat. 其中t i t i t i 1 . (1). 分券的保護收入之信用價差就如剛才所提到的僅在 t i (i 1,2,, n) 時付費，. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 並簡單假設在 t i 時點的信用價差費用會與在此時點的剩餘本金百分比成比例。另 外，分券的保護收入還有另外可能一種型式，保護賣方除了在每一期收到來自保 護買方的信用價差，並且在契約訂立期初時會收到一筆等同於 K1 ~ K 2 分券市場 報價(market quote)的預付費用。 此類型式之分券的保護收入可以表示成：. n. premium leg t i s (1 EQ [ L( K , K ) (t i )) B(t 0 , t i ) mq i 1. 1. 2. 其中 mq 為 K1 ~ K 2 分券市場報價的預付費用 14. (2).
(24) 違約給付金額為當未來發生違約事件時，保護賣方必須給予保護買方的補償 金額現值，計算方法如下： t1. t1. protection. leg E Q [ e. . r ( u ) du t0. dL( K1 , K 2 ) ( s )]. t0. t1. n. E Q [e. . r ( u ) du. ( L( K1 , K 2 ) (t i ) L( K1 , K 2 ) (t i 1 )]. t0. i 1 n. ( E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i )] E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i 1 )]) B(t 0 , t i ). (3). i 1. 原本違約給付金額需在發生違約事件時立即付費，但為了簡化表示，我們定義在. 政 治 大. t i 1 到 t i 時間點的總違約金額僅在 t i 時間點付費。. 立. ‧ 國. 學. 當該分劵的保護收入等於違約給付金額時，我們就可以計算出合成型 CDO 的公平信用價差價格，所以由(1)式及(3)式，我們可以得到公平信用價差價格為：. ‧. [ L( K1 , K 2 ) (t i )] E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i 1 )]) B(t 0 , t i ). y. Q. n. t. io. i 1. i. al. (4). (1 E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i )]) B(t 0 , t i ). sit. i 1. Nat. tranch spread . (E. er. n. v. n. 而當分劵的保護收入為(2)式所提到的類型時，每期的信用價差會是一個固定金. Ch. engchi. i n U. 額，所需要計算的為期初 K1 ~ K 2 分劵市場報價的預付費用，同樣藉由保護收入 等於違約給付金額的方式，所以由(1)式及(2)式，我們可以得到 K1 ~ K 2 分劵的市 場報價為：. premium leg protection leg n. t i s (1 E Q [ L( K , K ) (t i )) B(t 0 , t i ) 1. i 1. 2. n. ( E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i )] E Q [ L( K1 , K 2 ) (t i 1 )]) B(t 0 , t i ) mq mq i 1. 15. (5).
(25) 假設標的資產組合在地 t i 時間點之資產組合損失為 L portfolio (t i ) ，我們可將 K1 ~ K 2 分劵之損失百分比表示為：. L ( K1 , K2 ). 0 , Lp o r t f o(til)i o K1 Lp o r t f o(til)i o K1 (t i ) , K K 2 1 1 , K2 Lp o r t f o(t il)i o . K Lp o r t f o(til)i o K2. 1. (6). 給定一個已知資產組合的連續型分配函數 F ( x；t) ，則 K1 ~ K 2 分劵在時間點 t 之 期望損失百分比為：. E Q [ L( K1 , K 2 ) ](t ) 1 K 2 K1. 治 政 大 (min( x, K ) K )dF ( x；t) 立 1. 2. 1. K1. K. 1. ‧ 國. 1. 1. 學. 2 1 ( ( x K 1 )d F ( x；t) ( K 2 K 1 )d F ( x；t)) K 2 K 1 K1 K2. 1. 1. ‧. 1 ( ( x K 1 )dF ( x；t) ( x K 1 )dF ( x；t) ( K 2 K 1 )dF ( x；t)) K 2 K 1 K1 K2 K2 1. io. y. sit. 1. 1 ( ( x K 1 )dF ( x；t) ( x K 2 )dF ( x；t)) K 2 K 1 K1 K2. n. al. Ch. engchi. er. 1. . Nat. 1 ( ( x K 1 )dF ( x；t) ( x K 2 K 1 K 1 )dF ( x；t)) K 2 K 1 K1 K2. i n U. (7 ). v. 根據(1)~(7)式，我們可以知道只要先找到各分劵的期望損失就能計算合成型 CDO 的公平信用價差價格，然而在計算期望損失之前，最困難的是要先計算出 標的資產的損失函數，所以在接下來的章節將介紹單因子關聯結構模型來導出資 產組合的損失函數及期望分劵損失。. 16.
(26) 第二節. 應用 LHP 假設之單因子高斯關聯結構模型. 在應用單因子高斯關聯結構模型時，我們考慮一個具有 N 個標的資產的信 用資產組合，若資產數 N 夠多的情況下，我們將對此信用資產組合假設為大樣 本一致性資產組合(large homogeneous portfolio portfolio ; LHP)，並且假定資產組 合中各個資產具有相同的違約機率、回復率，以及對共同因子的相關性使得其具 有同質性及假設各資產為相同權重比例。藉由以上的假設，我們能夠去預測真實 之信用資產組合。 再來我們假定各個資產的違約時間為一服從參數 的指數分配，其中 為該. 政 治 大 資產的信用違約強度(default intensity)，而信用違約強度 我們將使用市場上信用 立. 資產組合之平均 CDS 價差及固定的回復率(recovery rate)來估計，估計方法如下：. ‧ 國. 學. 首先，我們先定義違約強度函數(Hazard Rate Function)，又稱信用曲線，為資產. ‧. 違約機率之期間結構，即未來某一特定時間點至該時間點一年以後之資產平均違. y. Nat. 約率，一般可透過市場現有不同到期日之具違約風險債劵之票面利率或是資產交. er. io. sit. 換的價差反推而得。. 由於本研究之對象為合成型抵押擔保債務憑證，其標的為數個信用違約交換. al. n. v i n 所構成的資產組合，因此標的之違約強度函數可直接由數個不同到期日之信用違 Ch engchi U. 約交換之價差(市場報價)反推求得。假設各標的之違約強度於契約期間內為常數， 在此假設下，違約事件服從卜瓦松過程，且違約強度可由下列信用違約交換的評 價公式反推而得： T. CDS spread . 1( R) e. r( ) t. T. e. r( ) t. dt (1 R) . 0. dt. 0. 平均的CDS價差 違 約 強 度λ 1- 回 復 率. 17.
(27) 其中回復率為當第 i 個資產違約時，可以拿回的補償金額比例。 由以上定義及假設，我們可以知道第 i 個資產在第 t 時間前違約的機率為 P (t ) 1 e t 。. i. 在介紹完了違約強度以及違約機率的估計後，我們開始介紹單因子關聯結構 模型，給定此標的資產組合具有共同的市場因子 M (t ) ，第 i 個資產從契約開始到 第 t 時間點的資產報酬 Ai (t ) 可以寫成：. i. A t () i M t ( ) 1 i X t ( )i, 1,, N i. (8). 政 治 大 其中 X (t ) 為各資產本身因子，且 M (t ) 與 X (t ) 為相同且互相獨立的隨機變數， 立 i. i. i ,id. Mt. N. (01,) , M (t ) Xi (t ). ( )~ Xi (01,)t ,~ N( ). ‧. ‧ 國. 學. 並且假設他們皆服從標準常態分配：. 故由常態分配之性質，我們可以知道 Ai (t ) 也會服從標準常態分配. y. Nat. sit. i ,id. ~ (N). n. al. () i 1Xi t. (01,). (9). er. io. i( )M t iA t . i n U. v. 由(9)式，我們可以得知在給定共同市場因子 M (t ) 下，由於 X i (t ) 之間相互獨立，. Ch. engchi. 因此資產報酬 Ai (t ) 之間也為互相獨立。. 在此關聯模型中，總資產報酬 Ai (t ) 會相對應於第 i 個標的資產的違約時間點 t i ， 則我們可以運用百分比轉換(percentile-to-percentile transformation). Pi (t i t ) P [ Ai (t ) Ci (t )] 其中 Ci (t ) 為在時間點 t i 的違約門檻值，故 P [ Ai (t ) Ci (t )] 為違約事件在時間點 t i 的發生機率。. 18.
(28) 接著我們定義第 i 個標的資產在時間點 t 之前的違約機率為： i. q (t) Pi (ti t ). 在前面我們提到假定各個資產的違約時間為指數分配下，我們可以得到此違 約機率 qi (t ) 1 e t 。且能夠得到違約門檻值 Ci (t ) 1 (qi (t )) ，其中 為標準 常態的累積分配函數。 由(8)式，我們可以得知 X i (t ) . Ci (t ) i M (t ) 1 i. (10). 但在 LHP 的假設下，所有標的資產皆會擁有相同的違約門檻值 C (t ) ( Ci (t ) = C (t ) )，. 們可以將(8)式改寫成 X i (t ) . C (t ) M (t ) 1 . i. )，則我. 學. ‧ 國. 政 治 大 以及相同的本金及回復率，且各資產間的相關係數也會是相同的( 立 。. ‧. 如此一來，我們就能計算給定共同市場因子 M (t ) 下，第 i 個標的資產報酬 Ai (t ) 會. y. Nat. sit. 小於違約門檻值 C (t ) 的條件違約機率為：. n. al. er. io. Pi (t | M ) Pi ( Ai (t ) C (t ) | M ) Pi ( M (t ) 1 X i (t ) C (t ) | M ) Pi ( X i (t ) (. C (t ) M (t ). Ch. 1 . C (t ) M (t ) 1 . | M). engchi. i n U. v. ). 接著為了方便公式的推導，我們先假設回復率為零。則發生 K 個標的資產違約之 資產組合損失百分比 L(t ) . C (t ) M (t ) K )) ， 違約機率為二項分配 Bin( N , ( N 1 . 我們為了求出非條件下的資產組合損失百分比，必須要對共同市場因子 M (t ) 積 分，故資產組合損失百分比. 19.
(29) N C (t ) M (t ) K P( L(t ) ) K N 1 . K. 1 C (t ) M (t ) 1 . N K. d (m). 則我們就可以計算資產組合損失百分比的累積機率，並且考慮其違約的比例 不會大於 x Nx K FN (t , x) P L(t ) N k 0 Nx . N C (t ) m 1 k 0 K . K. 1 C (t ) m 1 . N K. d (m). (11). 政 治 大 從(11)式可以發現要導出最後的累積損失分配函數的推導過程會相當複雜，由於 立 其中 x [ 0 , 1 ]. ‧ 國. 學. 我們已經假定在 LHP 的情況下，因此就可以利用由 Vasicek(2002)所提出的 Large portfolio limit approximation 接著推導出損失分配。. ‧. y. n. al. Ch. engchi. sit. io. 1 1 ( s) C (t ) N K N K FN (t , x) s (1 s) d K 0 k 0 . er. 1 Nx . Nat. C (t ) M (t ) 並代入(11)式，我們可以得到 FN (t , x) 新的表示式為： 令 s 1 . i n U. v. 接著考慮一個具有無限多個資產之資產組合損失分配函數. 1 Nx N K 1 1 ( s) C (t ) N K F (t , x) lim s (1 s) d N 0 k 0 K . Nx N 0 , if x s 又因為 lim s K (1 s) N K N k 0 K 1 , if x s. 20.
(30) 故資產組合損失百分比的累積分配函數為： x C (t ) 1 1 ( x) C (t ) 1 1 ( x) 1 F (t , x) d 0 1 1 ( x) C (t ) (12) . 為了計算 K1 ~ K 2 的期望分劵損失，我們利用第(7)式並將它改寫成 K. 2 1 EQ [ L( K1, K 2 ) (t )] ( x K1 )dF ( x ; t ) (1 F (t , k 2 )) K 2 K1 K1. (13). 因為計算此積分須先求得資產組合的損失密度函數，故對(12)式微分可得到資產 組合的損失密度分配函數為：. 立. 政 治 大. ‧ 國. (14). 學. 1 1 ( x) C (t ) 1 f (t , x) 1 ( ( x)) . ‧. 其中 為標準常態的機率密度函數。. y. Nat. al. n. Ch. (15). engchi. er. io. K. 2 1 ( x K1 )df ( x ; t )dx K 2 K1 K1. sit. 再來我們將(13)式右半部的積分改寫成以下的形式：. i n U. v. 接著將(14)式中的 f (t , x) 代入(15)式，但因為式子會變得相當繁雜，無法直接計 算出積分結果，故我們採取變數變換的方法來避免此情況。 令 y 1 ( x) ，則 dy 1 K 2 K1. 1. ( 1 ( x)). dx ，所以第(15)式經變數變換之後為：. K2. ( x K )df 1. . ( x ; t )dx. K1. 1. ( K2 ) 1 y C (t ) 1 1 dy ( ( y ) K ) 1 1( K ) K 2 K1 1. 21.
(31) 以上為假設回復率為零之 K1 ~ K 2 分劵的期望損失推導過程及結果，倘若我 們假設資產的復原率並不為零，則 K1 ~ K 2 分劵的期望損失會與(13)式形成一個關 係式如下：. EQ [ LR( K1 , K 2 ) (t )] EQ [ L. (. K1 K 2 , ) 1 R 1 R. (t )]. (16). 其中 EQ [ LR( K1 , K 2 ) (t )] 即為假設回復率不為零之 K1 ~ K 2 分劵期望損失，此關係式在 接下來的各模型之單因子關聯結構皆適用。. 第三節. NIG 分配性質及定義 治. 政. 立. 大. 由前面的章節我們只有簡單的提到 NIG 分配，在此節我們將仔細的介紹 NIG. ‧ 國. 學. 分配的性質及定義，NIG 分配是一個由常態分配與反高斯分配( inverse Gaussian istribution，IG)混合而成的分配。首先我們先定義反高斯分配的機率密度函數，. ‧. 若一個非負隨機變數 Y 服從兩個正參數 、 的反高斯分配，則 Y 的機率密度. n. al. 2. , y0. Ch , y 0 engchi. er. io. 3 ( y ) y 2 e 2 y f IG ( y ; , ) 2 0 . sit. y. Nat. 函數形式如下：. i n U. v. (17). 則可將此隨機變數 Y 表示成 Y ~ IG( , ) 。 假設有一隨機變數 X 為 、 、 、 四個參數的 NIG 分配，且有一隨機變數 Y 滿足反高斯分配，其兩個正參數分別為 、 2 ，其中 2 2 ，則此隨 機變數 X 會符合以下的條件：. X | Y y ~ N ( y, y ). (18). 且其中參數須滿足下列條件： 0 及 0 。. 22.
(32) 我們將隨機變數 X 表示為 X ~ NIG( , , , ) ，其機率密度函數及累積分配 函數的表示式分別為 f NIG ( x, , , , ) 與 FNIG ( x, , , , ) 。 則 X 的機率密度函數如下：. f NIG ( x, , , , ) . exp( ( x )) (x ) 2. . . 2. . K1 2 ( x ) 2. . (19). . 1 1 其中 K 1 exp t t 1 dt 。 2 0 2 . 政 治 大 接著我們介紹 NIG 分配中的四個參數對機率密度函數的影響，分別以圖形呈現 立 如下：. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 圖 3. 1 NIG 參數α不同. 23. v.
(33) 立. 政 治 大. 圖 3. 2 NIG 參數β不同. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 圖 3. 3 NIG 參數μ不同. 24. v.
(34) 立. 政 治 大. 圖 3. 4 NIG 參數δ不同. ‧ 國. 學 ‧. 由圖可知，我們發現 NIG 分配能夠藉由改變四個參數來產生帶有厚尾度及. y. Nat. 偏斜性之分配， 、 改變其厚尾度及峰度。 改變其偏態，且當 0 時，NIG. er. io. sit. 分配會呈現對稱分配， 則是將函數平移。. al. n. v i n 在看完了 NIG 的定義及各參數的影響之後，下面將介紹 NIG 分配的一些性 Ch engchi U. 質及定理。. 1.雖然 NIG 分配的機率密度函數相當複雜，但其動差母函數不像機率密度函數 一樣如此複雜，反而是有一個簡單的型式如下： 若 X ~ NIG( , , , ) ，其動差母函數 M (t ) E (exp(tx)). M NIG ( x ; , , , ) . . exp 2 2. . 2 exp 2 t . 25.
(35) 2. X ~ NIG( , , , ) ，其參數與平均數、變異數、偏態、峰態的關係如下：. V a xr 3. E x S X 3 . 2. . 2 1 K X 3 3 1 4 . . 3.若有兩互相獨立的隨機變數 X ~ NIG( , , 1 , 1 ) 且 Y ~ NIG( , , 2 , 2 ) ，則. 治 政 大 給定一常數 c cX ~ NIG( , , , ) , cY ~ NIG( , , , ) 立c c c c. (1)尺度性質(Scaling property)：. 1. 1. 2. 2. ‧. ‧ 國. 學. (2)摺積(封閉)性質(Convolution property)： X Y ~ NIG( , , 1 2 , 1 2 ). 以上就是 NIG 分配的性質及定義。而在 NIG 程式計算方面，不論是其密度. sit. y. Nat. 函數、累積分配函數、反函數、生成樣本，在 R 軟體裡，皆能夠在 fBasics 套件. n. al. er. io. 中得到這些函數的資訊。. 第四節. Ch. en. hi. i n U. v. g c NIG 關聯結構模型 應用 LHP 假設之單因子. 將 NIG 分配導入單因子關聯結構模型裡，就如同前面所介紹到的單因子常 態關聯結構模型，我們假定有 N 個標的資產之信用資產組合，則第 i 個標的資產 報酬會是下列形式： i. A t () i M t ( ) 1 i iX t ( )i, 1,, N. 其中 M (t ) 為市場因子， X i (t ) 為資產本身因子， M (t ) 與 X i (t ) 為互相獨立的隨機 變數，並假設 M (t ) ~ NIG(1 , 1 , 1 , 1 ) 且 X i (t ) ~ NIG( 2 , 2 , 2 , 2 ) 。 26.
(36) 由 NIG 的尺度性質，我們可以得到：. i M (t ) ~ NIG(. 1 1 , , i 1 , i 1 ) i i. 2. 1 i X i (t ) ~ NIG(. 1 i. 2. ,. 1 i. (20). , 1 i 2 , 1 i 2). (21). 接著，為了能應用 NIG 的封閉性質，故(20)式、(21)式中的 及 參數必須相等. 1 2 i 1 i. 1 2 i 1 i. 且. 政 治 大 1 1 . 又因為 M (t ) 為共同市場因子，其不應該與投資組合之相關系數有關，所以我們. 立. 令 1 , 1 ，使得 2 . i. i. , 2 . i. i. . ‧ 國. 學. 經由這些轉換之後我們可以知道 Ai (t ) i M (t ) 1 i X i (t ) 依舊為 NIG 分配，. ‧. 且其分配之參數如下：. sit. y. Nat. n. al. er. , , i 1 1 i 2 , i 1 1 i 2 ) i i. io. Ai (t ) ~ NIG(. Ch. engchi. i n U. (22). v. 再來，為了要使資產報酬 Ai (t ) 標準化(期望值為 0，變異數為 1)，我們對其後兩 個參數( 、 )做一些變換如下：. 1 . 1 . 3 2. 2 2. , 2 . , 2 . 1 i. i. . 2 2. 1 i 3 2 ，其中 2 2. i. 27. .
(37) 故最後 M (t ) (市場因子)、 X i (t ) (資產本身因子)、 Ai (t ) (資產報酬)的分配將會是：. 2 2 1 i , i. M (t ) ~ NIG( , ,. 3 ) 2 1 i. ,. 1 i , X i (t ) ~ NIG i i 1 2 1 , , , A i (t ) ~ NIG 2 i i i i i .id. 2 1 i 3 , 2 2 i . 3 2 . . (23). 政 治 大. 為了簡化分配函數的參數符號，我們定義分配函數 FNIG( s ) ( x) 為. 立. ‧. ‧ 國. . 學. 2 3 F s , s , s , s NI G 2 2 . 同樣的，我們定義市場因子 M (t ) 的分配函數為 FNIG (1) ( x) ，而資產因子 X i (t ) 的分 ( x). io. sit. . er. 1 i NIG i . y. Nat. 配函數為 F. al. n. v i n C h分配的性質來計算得到答案 而違約門檻值 C (t ) 就能藉由 NIG engchi U i. qi (t ) P( Ai (t ) Ci (t )) F. 1 NIG i . (Ci (t )) Ci (t ) F. 1 NIG i. 1 . (qi (t )). 由於在 LHP 的假設下，所有標的資產皆會擁有相同的違約門檻值 C (t ) ( Ci (t ) = C (t ) )，以及相同的本金及回復率，且各資產間的相關係數也會是相同的 ( i )，則我們計算給定共同市場因子 M (t ) 下，第 i 個標的資產報酬 Ai (t ) 會小 於違約門檻值 C (t ) 的條件違約機率為： 28.
(38) Pi (t | M ) Pi ( Ai (t ) C (t ) | M ) Pi ( M (t ) 1 X i (t ) C (t ) | M ) Pi ( X i (t ) F. 1 NIG . . C (t ) M (t ) 1 . | M). C (t ) M (t ) 1 . 為了方便公式推導，我們先假設復原率為零。則發生 k 個標的資產違約之資產組 合損失百分比 L(t ) . K 違約機率為二項式分配 N C (t ) M (t ) B i nN, F 1 N I G 1 . 政 治 大 接著為了求出非條件下的資產組合損失百分比，我們必須要對共同市場因子 立. 1 FNIG . C (t ) m 1 1 . N K. dFNIG (1) (m) . y. K. sit. C (t ) m 1 1 . Nat. N K FNIG . ‧ 國. . ‧. K P L(t ) N . 學. M (t ) 積分：. n. al. er. io. 接下來如同前面(11)式~(12)式的步驟，再由 Vasicek(2002)所提出的 Large portfolio. i n U. limit approximation 去推導出資產組合損失分配如下：. Ch. e n g c (hx)i . C (t ) 1 F NIG F (t , x) 1 FNIG (1) . 1. 1 . . 1. 其中 x [ 0 , 1 ] ，違約門檻值 C (t ) F. 1 NIG . v. (24). (qi (t )) ，而 qi (t ) 為各標的資產之違. 約機率。 為了計算 K1 ~ K 2 的期望分劵損失，我們利用第(7)式並將它改寫成： K. 2 1 EQ [ L( K1, K 2 ) (t )] ( x K1 )dF ( x ; t ) (1 F (t , k 2 )) K 2 K1 K1. 29. (25).
(39) 因為計算此積分須先求得資產組合的損失密度函數，故對(24)式微分可得到資產 組合的損失密度分配函數為： 1 C (t ) 1 F ( x) 1 NIG f NIG (1) 1 f (t , x) 1 f 1 F 1 ( x) NIG NIG . (26). 再來我們將(25)式左半部的積分改寫成以下的形式： K. 2 1 ( x K1 )df ( x ; t )dx K 2 K1 K1. 政 治 大. 立. (27). 接著將(26)式中的 f (t , x) 代入(27)式，但因為式子會變得相當繁雜，無法直接計. ‧ 國. 學. 算出積分結果，故我們採取變數變換的方法來避免此情況。. ( x K )df 1. . al. ( x ; t )dx. K1. F. . 1 ( x ) 1 . 1 NIG . 1 1 K 2 K1 F. NIG . dx ，所以第(27)式經變. y. NIG . F 1 NIG . n. K2. io. 1 K 2 K1. f. Nat. 數變換之後為：. 1. ( x)) ，則 dy . sit. . ‧. 1 NIG . er. 1. 令yF. 1. Ch. ( K2 ). engchi. 1 FNIG ( K1 ) 1 . i n U . v. C (t ) 1 y dy . y K1 f NIG (1) 1 . . . . 此積分函數能夠藉由 NIG 之密度函數、累積分配函數及反函數來計算，雖然其 中的計算相當複雜，但藉由 R 軟體中的 fabsics 套件之 dnig、pnig 及 qnig 函數能 夠快速計算此積分，而且，由於 NIG 分配之摺積性質，對違約門檻值 C (t ) 也能 夠快速地計算求得。. 30.
(40) 第四章 動態模型及評價方法 本章將介紹動態模型的概念，一開始先介紹動態模型之演進，接著介紹相關 公式的推導及對合成型 CDO 的評價方法，從中了解動態模型的來龍去脈以及過 去各文獻對於模型的觀點及應用方法。. 第一節. 動態模型的演進. 隨著信用衍生性商品市場在近幾年成倍的增長，截至 2006 年底，其規模超. 政 治 大 務憑證，大部分合成型抵押擔保債務憑證中的交易圍繞著標準化合約如 iTraxx 立. 過了 300000 億美元，其中交易最活躍的信用衍生性商品就是合成型抵押擔保債. ‧ 國. 學. 和 CDX 指數運轉，而在這些合約中最為基本且最廣泛的交易就是單一契約 CDS(Single name CDS)的債劵發行，又因為其在國際債劵市場對於信用衍生性商. ‧. 品之重要性就像是 iTraxx 和 CDX 指數對於投資者在市場之投資取捨扮演一個重. y. sit. al. er. io. 模型。. Nat. 要的角色一樣，故許多學者開始研究一系列對於合成型抵押擔保債務憑證之評價. v. n. 其中最重要且被市場投資者廣泛使用的就是 Vasicek(1991)根據損失分配發. Ch. engchi. i n U. 展之模型，此模型在之後被 Schonbucher (2002)、 Laurent and Gregory (2005) 及 Hull and White (2004)更詳盡的拓展，然而，Schonbucher and Schubert 在 2001 年時著重於發展關於違約傳染性(Infectious defaults，一個或少數信用主體經營困 難或破產造成違約事件，就會導致信用鏈條的中斷和整個信用秩序的紊亂)之模 型，有關違約傳染性之模型最早的例子可以追溯至 Davids and Lo(2001)。接著， Li 在 2000 年發表了如何使用高斯關聯結構來模擬違約事件，進而取代原本 Vasicek 使用損失分配的方法來建構模型。 而 Vasicek 所發展的模型主要缺點在於它是屬於靜態的模型，其在計算各分 劵合約價值時，是將其損失分配中各分劵的期望損失折現，而這種計算方法會因 31.
(41) 為將不同到期日之風險以單個時間點的角度模擬，進而造成分劵定價不一致的問 題，此外，靜態模型只能對單一時間點之價格進行評價，對於有時間變動之評價 是有相當的困難度的。 基於這些原因，許多學者已經開始積極的拓展及推廣動態之 CDO 評價模型， 而 Duffie and Garleanu 在 2001 年以動態模型來評價 CDO 為最早有關動態模型的 研究之一，接著像是 Chapovsky, Rennie and Tavares 在 2006 年提出了一個類似的 模型，在他們的架構下，個別違約由違約強度等於一個常見之動態隨機過程的合， 如 CIR process(Cox-Ingersoll-Ross process)，Giesecke and Goldberg 在 2005 年發. 政 治 大 及 Hull and White 在 2008 年提出了假定各個公司的違約強度都遵循一個具有週 立. 展出基於違約強度的方法(Intensity based approach)來模擬投資組合的總損失，以. 期性衝擊且固定的過程導致其累積違約強度將為一跳躍過程，進而得到一個簡化. ‧ 國. 學. 型式的模型，此模型可用於評價 CDO 及解析 CDO 之相關項目。. ‧. 近年來，Sidenius，Piterbarg and Anderson (2006)、Schonbucher (2006)及 Brigo，. y. Nat. Pallavicini and Torresetti (2007)，其中包括了動態模型對損失函數模擬的方法之演. er. io. sit. 變，而 Sidenius et al. (2006) and Schonbucher (2006)所發展之模型在概念上非常類 似，其相似處就是這兩種模型在對損失分配的模擬過程都類似 Heath-Jarrow-. al. n. v i n Morton 的結構框架，而 Sidenius Cethal. (2006)的模型不需要違約時間的資訊就能模 engchi U. 擬損失函數，透過其背後的處理過程來校準市場，而此損失過程進而演變成現在 的馬可夫過程(Makov process)。 然而，Schonbucher 在 2006 年推斷損失過程之轉換率(Transitive rate)是由某. 些機率密度函數變化為基礎下的馬可夫鏈，而動態就是允許轉換率為隨機的，接 著，Brigo et al.在 2007 年結合相關性將損失過程為多個獨立之卜瓦松分配之合的 假設加入模型中，並且將動態的概念導入卜瓦松過程進而建構出一個新的動態模 型。 而 Lamb and Perraudin 在 2006 年藉由將共同因子轉化為自回歸時間序列的 32.
(42) 形式進而將動態的概念導入 Vasicek 之模型中，並且對信用資產組合的損失之簡 單轉換導出一個封閉的表達式，之後更是將此模擬損失之方法應用在美國各大知 名銀行信貸的投資組合上。 以上為對 Vasicek 之模型對損失分配由靜態演進為動態的概括，並且運用這 些方法來對合成型抵押擔保債務憑證進行評價。. 第二節. 動態模型之損失分配. 本章將介紹關於動態模型之損失分配的推導，我們根據前面所介紹過的應用 LHP. 政 治 大. 假設( Ci (t ) C (t )、 i )之單因子高斯關聯結構模型下，其第 i 個資產從契約開. 立. 始到第 t 時間點的資產報酬 Ai (t ) 可以寫成：. ‧ 國. 學. Ai (t ) M (t ) 1 X i (t ) , i 1,, N. (25). ‧. 其中 M (t ) 為市場因子， X i (t ) 為各資產本身因子，且 M (t ) 與 X i (t ) 為相同且互相. io. N. n. al. ( )~ Xi (01,)t ,~ N( ). Ch. y. sit. i ,id. Mt. (01,) , M (t ) Xi (t ). er. Nat. 獨立的隨機變數，並且假設他們皆服從標準常態分配：. i n U. v. 故由常態分配之性質，我們可以知道 Ai (t ) 也會服從標準常態分配. i. engchi. i ,id. At () M t ( ) 1 Xi t ~ ( )N. (01,). 由(25)式，我們可以得知在給定共同市場因子 M (t ) 下，由於 X i (t ) 之間相互獨立， 因此資產報酬 Ai (t ) 之間也為互相獨立。 在動態模型中，我們將符號之假設做變換，為了能更清楚的看出套入時間序列模 型後之差異，代換後之資產報酬模型如下：. A i (t) X t . 1 i t ( )i, 1,, N. 其中 X t 為共同因子， i (t ) 為各資產本身因子，且 X t 與 i (t ) 為相互獨立之隨機 33.
(43) 變數，並且假設他們皆服從常態分配： i ,id. Xt. ~ i(01,)t, ~ N (). N. (01,) , X t i (t ). 故由常態分配之性質，我們可以知道 Ai (t ) 也會服從標準常態分配 i ,id. Xt A i (t) . 1 i t ~ ()N. (01,). 到目前為止都還是與之前靜態模型相同，接著我們將把此模型推廣為動態，我們 根據 Lamb and Perraudin(2009)之方法將 X t 視為 p 階自回歸隨機過程(時間序列之 p 階 AR 模型)，可將 X t 改寫成以下形式：. 治 政 大. p. Xt Xi. 立. i 1. t i. t. ‧ 國. 學. ，其中 t ~ N (0,1) ，且與 i (t ) 互相獨立. 又因為 Ai (t ) 為一期望值為 0，變異數為 1 之分配，表示 X t 之變異數應為 1，此時. ‧. 將須符合某些假設才能使 X t 之變異數應為 1，我們在這邊就不詳細敘述，詳情. y. Nat. er. io. al. sit. 可參考 Lamb Perraudin and Landschoot(2009)之附錄。. n. 接著，我們就能計算給定共同因子 X t 下，第 i 個標的資產報酬 Ai (t ) 在時間點 t 之. Ch. engchi. 前會小於違約門檻值 C t 的條件違約機率為：. i n U. v. Pi (t | M ) Pi ( Ai (t ) Ct | M ) Pi ( X t 1 i (t ) Ct | M ) p. Pi ( i (t ) . Ct ( i X t i t ) i 1. | M). 1 p. (. Ct ( i X t i t ) i 1. 1 . ). 34.
(44) 接著為了方便公式的推導，我們先假設回復率為零。則發生 K 個標的資產違約之 p. K 損失百分比 L(t ) 違約機率為二項分配 Bin( N , ( N. Ct ( i X t i t ) i 1. 1 . )) ，. 我們為了求出非條件下的資產組合損失百分比，必須要對共同因子 X t 積分，故 資產組合損失百分比 p ( i X t i t ) C t N K i 1 P( L(t ) ) K N 1 . K. 政 治 大 d ( ) t. ‧ 國. 立. N K. (26). 學. p Ct ( i X t i t ) i 1 1 1 . 則我們就可以計算資產組合損失百分比的累積機率，並且考慮其違約的比例不會. N . . K. Nat. io. p C ( i X t i t ) t N N i 1 1 k 0 K . K. n. al. Ch. sit. k 0. y. P L(t ) N . engchi. er. FN (t , x) . ‧. 大於 . i n U. p Ct ( i X t i t ) i 1 1 1 . v. N K. d ( t ). (27). 其中 [ 0 , 1 ] 從(27)式可以發現要導出最後的累積損失分配函數的推導過程會相當複雜，由於 我們已經假定在 LHP 的情況下，因此就可以利用由 Vasicek(2002)所提出的 Large portfolio limit approximation 接著推導出損失分配。 35.
(45) p Ct ( i X t i t ) 並代入(27)式，我們可以得到 F (t , ) 新的表 i 1 令 s N 1 . 示式為： p 1 1 ( s ) C i X t i 1 N t N K N K i 1 FN (t , ) s (1 s) d K 0 k 0 p 1 1 ( s) Ct i X t i i 1 又我們令 W ( s) . 立. . . 政 治 大. 接著考慮一個具有無限多個資產之資產組合損失分配函數. ‧ 國. 學 ‧. 1 N N F (t , ) lim s K (1 s) N K dW ( s) N 0 k 0 K . y. Nat. n. al. Ch. engchi. er. io. 0 , if s 又因為 lim s K (1 s ) N K N k 0 K 1 , if s. sit. N N . i n U. v. 故資產組合損失百分比的累積分配函數為： 1. F (t , ) 1( s )dW ( s ) W ( ) W (0) W ( ). (28). 0. 因此，資產組合損失百分比的累積分配函數將時間數列概念導入之後在給定 X t i 之下為： p 1 1 ( t ) Ct i X t i i 1 W t . 36. . (29).
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