第三章 合成型 CDO 之評價方法與單因子關聯結構模型
第二節 應用 LHP 假設之單因子高斯關聯結構模型
國
立 政 治 大 學
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N a tio na
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第二節 應用 LHP 假設之單因子高斯關聯結構模型
在應用單因子高斯關聯結構模型時，我們考慮一個具有 N 個標的資產的信 用資產組合，若資產數 N 夠多的情況下，我們將對此信用資產組合假設為大樣 本一致性資產組合(large homogeneous portfolio portfolio ; LHP)，並且假定資產組 合中各個資產具有相同的違約機率、回復率，以及對共同因子的相關性使得其具 有同質性及假設各資產為相同權重比例。藉由以上的假設，我們能夠去預測真實 之信用資產組合。
再來我們假定各個資產的違約時間為一服從參數的指數分配，其中為該 資產的信用違約強度(default intensity)，而信用違約強度我們將使用市場上信用 資產組合之平均 CDS 價差及固定的回復率(recovery rate)來估計，估計方法如下：
首先，我們先定義違約強度函數(Hazard Rate Function)，又稱信用曲線，為資產 違約機率之期間結構，即未來某一特定時間點至該時間點一年以後之資產平均違 約率，一般可透過市場現有不同到期日之具違約風險債劵之票面利率或是資產交 換的價差反推而得。
由於本研究之對象為合成型抵押擔保債務憑證，其標的為數個信用違約交換 所構成的資產組合，因此標的之違約強度函數可直接由數個不同到期日之信用違 約交換之價差(市場報價)反推求得。假設各標的之違約強度於契約期間內為常數，
在此假設下，違約事件服從卜瓦松過程，且違約強度可由下列信用違約交換的評 價公式反推而得：
1-回 復 率 平 均 的 C D S 價 差 λ
違 約 強 度
) 1 ( )
1 (
0 ) ( 0
) (
R dt
e
dt e
R spread
CDS T
t r T
t r
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其中回復率為當第i個資產違約時，可以拿回的補償金額比例。
由以上定義及假設，我們可以知道第i個資產在第t時間前違約的機率為
t
i t e
P()1 。
在介紹完了違約強度以及違約機率的估計後，我們開始介紹單因子關聯結構 模型，給定此標的資產組合具有共同的市場因子M(t)，第i個資產從契約開始到 第t時間點的資產報酬Ai(t)可以寫成：
iA t ()i Mt () 1i Xi t(),i ,1,N (8)
其中Xi(t)為各資產本身因子，且M(t)與Xi(t)為相同且互相獨立的隨機變數，
並且假設他們皆服從標準常態分配：
()~ (01,),
~
() (01,) , () (),
t X t M N
t X N
t
M i
id i
i
故由常態分配之性質，我們可以知道Ai(t)也會服從標準常態分配
() () 1
~
() (01,) (9),
N t X t
M t
A
id i i i i
i
由(9)式，我們可以得知在給定共同市場因子M(t)下，由於Xi(t)之間相互獨立，
因此資產報酬Ai(t)之間也為互相獨立。
在此關聯模型中，總資產報酬Ai(t)會相對應於第i個標的資產的違約時間點t ，i 則我們可以運用百分比轉換(percentile-to-percentile transformation)
Pi(ti t)P[Ai(t)Ci(t)]
其中Ci(t)為在時間點t 的違約門檻值，故i P[Ai(t)Ci(t)]為違約事件在時間點ti 的發生機率。
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我們已經假定在 LHP 的情況下，因此就可以利用由 Vasicek(2002)所提出的 Large portfolio limit approximation 接著推導出損失分配。令