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第二章 文獻回顧
在評價合成型抵押擔保債券憑證時，必須考慮各資產之間的違約相關性因素。
最早能處理違約相關性的模型為 Li 在 2000 年所提出的關聯結構模型(copula model)，後來更進一步演變成單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)，而 單因子關聯結構模型也將作為後面實證分析中的主要評價模型。本章將介紹及回 顧單因子關聯結構模型相關之文獻。如此一來更能了解此模型的觀點及應用方 法。
第一節 單因子關聯結構模型(OneFactorCopula Model)
單因子關聯結構模型為關聯結構模型改良演變而來，其改良了關聯結構模型 在當資產組合數目過多時使得蒙地卡羅模擬的過程複雜度增加以及計算過程變 得較為費時的問題，其概念為數個不同的信用標的資產給定相同的因子(市場因 子)條件下，各資產報酬彼此會互相獨立。此方法除了能簡單、快速地計算在不 同時點下的違約損失分配，且能夠大幅縮短蒙地卡羅模擬過程中所需要耗費的大 量時間。
單因子結構模型概念最早是由 O’Kane and Schloegl (2001)所提出，對於單一 標的資產信用模型，其可以分為結構式模型(Structural model)與縮減式模型 (Reduced-form Model)。結構式模型主要應用 Merton(1974)模型原理，是以公司 本身的資產價值來衡量信用風險，當公司資產價值低於某一個門檻值時將視為公 司違約，故結構式模型又可稱為公司價值模型(Firm value model)。但是，此模型 的假設過於簡化，違約事件只會發生在到期日當天而已，不考慮除了公司價值以 外的可能違約事件。而 Black and Cox(1976)則進一步的延伸 Merton 模型中的違 約條件，其將公司在到期日前任意時點到達某個資產邊界(boundary)時視為公司 違約，故又可以稱為通過時點模型(Passage time model)。結構式模型優點在於風
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險事件定義上與一般財務上對於公司違約的定義極為類似，但是想要確實地掌握 公司整體的資本結構資訊卻是很不容易的事情，若是在無法正確估計出公司的資 產價值及負債總額，在計算信用價差時極有可能出現不合理的價格。相較於結構 式模型，縮減式模型不嘗試去解釋違約事件的發生原因(ex:公司價值)，而是盡可 能地去描述違約時點的統計性質。在縮減式模型裡，違約被視為一個外生事件 (exogenous event)，利用 poisson 過程來建置違約過程，其中隨機違約行為會被違 約率函數(t)所決定(如同 Li(2000)所介紹的)，並且得到資產的存活時間為指數 分配。此模型評價方法與結構式模型是相同的，但此模型所考慮的違約機率、回 復率、市場利率等皆是由外生所決定，與必須取得確實的公司資產價值和負債總 額的才能做風險評估的結構型模型是相當不同的。而對於多資產組合的信用風險 模型建立，O’Kane and Schloegl(2001)則首次提出單因子關聯結構模型，此模型假 定標的資產組合具有共通的市場因子 M(t)，則各資產從契約開始到第t時間的總 資產報酬Ai(t)為：
iA t ()i Mt () 1i Xi t()i, ,1,N
其中M(t)為市場因子，Xi(t)為資產本身因子，M(t)與Xi(t)為相同且相互獨立 的隨機變數，並假換契約(Nth-to-default swap)的方法，此兩種方法的程序都是採 用因子關聯結構模型(本文將其拓展成多因子關聯結構模型)並且能夠取代
Laurent, J-P and J. Gregory 在 2003 年所提的快速傅立葉轉換法。而兩種方法主要 差異是在於損失分配的計算，第一種方法稱為遞迴法(Recursive Method)，其假定 投資組合中各標的資產的權重比例為相等與回覆率為固定值下，利用遞迴關係去 求出在特定時點 K 個資產違約的損失機率，其中整個資產的總損失可以視為二 項式分配。第二種方法為機率勺斗法(probability bucketing method)，其與遞迴法 之差異為沒有限制各標的資產的權重比例為相等且回覆率可以為隨機(stochastic) 下去計算到期日前特定時點的總損失分配。此外，Hull andWhite (2004)對於單因
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子關聯結構模型提出了一個嶄新的觀點，也就是模型除了應用常態分配外，只要 在給定分配之期望值為零且變異數為一的條件下，任何的分配都可以套用在單因 子關聯結構模型裡，而不同的分配選擇就代表為不同的關聯結構模型，而本文是 使用快速傅立葉轉換法(Fast Fourier Transforms , FFT)計算，也就是由資產組合損 失之特徵函數來取得資產組合之損失分配。藉由此方法評價，與蒙地卡羅法比較，
會具有大幅度地減少計算時間的優點。設它們服從標準常態分配。由於Ai(t)為 )
(t
M 與Xi(t)的線性組合函數，由常態分配的性質可以知道Ai(t)也為一服從標準 常態的隨機變數。而這樣的假設所帶來的優點為給定共同因子M(t)的條件下，
各資產報酬Ai(t)彼此為互相獨立。此外，若標的資產組合數目夠多的情形下，
增加 LHP (Large homogenous portfolio)的額外假設條件，視各個資產為同質性資 產(homogenous assets)，藉由此額外假設條件，就能夠快速地計算出資產組合損 失的分配函數以及 CDO 分券的期望損失。由於單因子結構模型擁有以上所說的 優點及其方便性，此模型遂成為市場上評價擔保債務憑證的主要方法。
第二節 Normal Inverse Gaussian Distribution(NIG 分配)
NIG 分配為一個廣義雙曲分配(The generalised hyperbolic distributions)的特 殊例子，是由 Barndorff-Nielsen 在 1997 年所發表介紹的，為一由高斯分配與反 高斯分配(Inverse Gaussian Distribution)混合而成的分配，NIG 分配之所以能廣泛 的應用於一些金融、經濟方面的資料最主要是因為其所具備的某些特性，像是擁 有四個參數使得其能夠在同時間產生厚尾性及偏斜性質，以及在特定條件下為穩 定摺積(convolution)，且 Kalemanova et al. (2007)在應用 NIG 分配評價擔保債權 憑證分券時，也發現因其具備的特性在評價時能發揮得比其他分配來的優秀許 多。
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