動態規劃問題的演算法(OPS 演算法)

根據前一小節證明的定理，我們提出求解動態規劃問題的演算法，這個演 算法(Optimum-solution search algorithm)我們簡稱為 OPS 演算法，它可以求得最 佳解。已知訂單需求量D 和總剩餘期數T ，期初狀態為s_T =(D ,0)，求解期初的 最佳投料量N s 。在附錄 B 我們詳細地說明 OPS 演算法每個步驟的運算過_T^*( )_T 程，在此我們簡介OPS 演算法的基本概念，求解的步驟如下：

歩驟4.1：根據 4.2.4 節第一個邊界條件。當1 t T≤ ≤ ，狀態為s_t =(0 ,B_t)，設定最 佳成本與各階段的最佳投料量。

歩驟4.2：根據 4.2.4 節第二個邊界條件。當t =0，狀態為s₀ =(D₀,B₀))，設定最 佳成本與各階段的最佳投料量。

歩驟4.3：根據定理 4.1。當t=1，狀態為s₁=(D₁≥1, B₁ ≥ ，計算最佳成本與第0) 二階段的最佳投料量。

歩 驟 4.4 ： 根 據 公 式 (4-1) 、 定 理 4.3 及 定 理 4.4 。 當 2≤ ≤ − ，狀態為t T 2 )

0 , 1 ( ≥ ≥

= _{t t}

t D B

s ，計算最佳成本與各階段的最佳投料量。

歩 驟 4.5 ： 根 據 公 式 (4-1) 、 定 理 4.3 及 定 理 4.4 。 當 t T= −1， 狀 態 為 )

0 , 1 ( ≥ ≥

= _{t t}

t D B

s ，計算最佳成本與各階段的最佳投料量。

歩 驟 4.6 ： 根 據 公 式 (4-1) 、 定 理 4.3 及 定 理 4.4 。 當 t T= ， 狀 態 為 ( 1, 0)

T T T

s = D ≥ B = ，計算最佳成本與第一階段的最佳投料量。

綜合上述，步驟4.1 和 4.2 是根據二個邊界條件，設定最佳成本與各階段的 最佳投料量；步驟4.3 至 4.5 是計算第 1 期到T−1期各種狀態的最佳成本與最佳 投料量；步驟4.6 是計算期初狀態的最佳成本與第一階段的最佳投料量。

接著我們利用圖形來展示演算法各個步驟的主要概念。圖形是以三個維度來 表示：(1) t：距離交期日剩下的期數；(2)D ：第 t 期未滿足的訂單需求量；(3)_t B ：_t 第t 期的製品庫存量。

歩驟4.1 是顧客的訂單需求量已經滿足，即D_t = 。根據 4.2.4 節第一個邊界0 條件，設定最佳成本與最佳投料量，如圖 4.5 所示；歩驟 4.2 是到了交期日，即

0

t= ，產出的良品個數比訂單需求量少D 個。根據 4.2.4 節第二個邊界條件，設₀ 定最佳成本與最佳投料量，如圖4.5 所示。

Bt

Dt

圖4.5 根據二個邊界條件，設定各種狀態的最佳成本與最佳投料量

歩驟4.3 是根據定理 4.1。當t=1，計算最佳成本與第二階段的最佳投料量，

得到t=1的平面，如圖4.6 所示。

Bt

Dt

圖4.6 當t=1時，計算最佳成本與最佳投料量

歩驟4.4：根據公式(4-1)、定理 4.3 及定理 4.4。當 2≤ ≤ − 時，計算最佳t T 2 成本與各階段的最佳投料量，得到t=2,3,...,T− 的平面，如圖 4.7 所示。 2

1

1

1 2

2

T-1 0

T . . .

. . .

. . .

0

Bt

Dt

未滿足的 需求量

剩下的 期數

在製品 庫存量

步驟 4.4 步驟 4.4

圖4.7 當 2≤ ≤ − 時，計算最佳成本與最佳投料量 t T 2

歩驟4.5：根據公式(4-1)、定理 4.3 及定理 4.4。當t T= −1，計算最佳成本 與各階段的最佳投料量，得到t T= −1的平面，如圖4.8 所示。

Bt

Dt

圖4.8 當t T= − 時，計算最佳成本與最佳投料量 1

歩驟4.6：根據公式(4-1)、定理 4.3 及定理 4.4。當^{t T=} ，計算最佳成本與 各階段的最佳投料量，得到^{t T=} 的平面，如圖4.9 所示。

Bt

Dt

( , 0) sT= D

圖4.9 當t T= 時，計算最佳成本與最佳投料量

接著我們分析OPS 演算法的複雜度，它的複雜度是O T D ，分為以下三( ^{4 6}) 點作說明：

(1)生產系統狀態s_t =( , )D B_{t t} 的總數是由三個變數：t 、D 及_t B 所限制，而 t 、_t D 及t B 的上界分別是_t T 、 D 及TD 。在最差的情況下，生產系統狀態的總 數是T D TD⋅ ⋅ =(T D^{2 2})。

(2) 在 每 一 個 狀 態 s_t =( , )D B_{t t} 下 ， 因 為 第 一 階 段 投 料 量 的 最 大 範 圍 是

(1) ( 1)

t t

k ≤ − ⋅t D ≤TD，第二階段投料量的最大範圍是k_t⁽²⁾ ≤min{ , }D B_{t t} ≤ ，D

所以我們最多可採取投料決策(k_t⁽¹⁾ , k_t⁽²⁾ )的個數是D⋅TD=(TD²)。

(3) 每 一 個 投 料 決 策 (k_t⁽¹⁾ , k_t⁽²⁾ ) 所 有 可 能 產 出 的 狀 態 個 數 最 多 也 是 ( 2)

TD D⋅ = TD 。

綜 合 以 上 三 點 ， 在 最 差 的 情 況 下 ，OPS 演 算 法 的 複 雜 度 是

4 6 2 2 2 2

( )

O T D =T D TD TD⋅ ⋅ 。

在T 和 D 很大的情況下，利用動態規劃的手法求解時，因為動態規劃的網 路規模是由二階段投料量k 和_t⁽¹⁾ k 的上界所決定，導致動態規劃的網路規模變_t⁽²⁾ 得相當龐大，需耗費很長的時間才能求得最佳解。舉例來說，當T =10和D=50 時，就需要耗費大約 4 個小時才能求得最佳解。若能限定k 和_t⁽¹⁾ k 的上界，即_t⁽²⁾ 可縮小態規劃的網路規模，以縮短計算時間。因此，我們將提出一個啟發式演算 法，來求解二階段生產系統有交期限制的多次投料問題。