第二章 文獻探討
2.1 單階段生產系統
單階段生產系統的多次投料問題之相關文獻，我們從訂單需求量與交貨要求、生 產特性、成本項目及求解方法等四個觀點來探討。
2.1.1 訂單需求量與交貨要求
在訂單需求量方面，除Gerchak 和 Grosfeld-Nir[9]探討訂單需求量具不確定性外，
其餘都是探討訂單需求量為確定性[1, 2, 4, 8, 12, 14, 19-22, 25, 27, 28, 32, 33]。在交貨要 求方面，可分為無交期限制及有交期限制。無交期限制是指投料時點有無限多次，直 到產出的良品個數大於或等於需求量後，才停止生產活動，也就是訂單數量須全數滿 足(rigid demand)，不容許缺貨，因此不考慮缺貨成本，探討無交期限制的相關文獻有 [1, 2, 4, 8, 12, 14, 19, 21, 22, 27, 32, 33]。有交期限制是指投料時點為有限多次，直到交 期日，若產出的良品個數無法滿足訂單需求量(non-rigid demand)，則須付出缺貨成本，
探討有交期限制的相關文獻包括[20, 25, 27, 28]。
2.1.2 生產特性
在生產特性方面，我們將從良品個數的分配、生產週期時間及多種等級產品等角 度來探討。
1.良品個數的分配
在良品個數的分配方面，過去文獻假設產出的良品個數，可歸類為以下六種良率 分配。
(1)中斷式幾何(Interrupted Geometric, IG)分配，以下簡稱 IG 分配，如[2, 9, 14,
(2)離散型均等(Discrete Uniform, DU)分配，如[1, 9, 14, 19, 32]。離散型均等分 配的數學式如下。
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ! (1 )
! !( )!
y y k y y
k
P Y y y k
y y k y y
θ θ θ θ
− −= = − −
− −
1 2
( k , )
P Y = y y 表示投料k 個，分別產出y 個高級品與1 y 個低級品的機率，其2 中
θ
1與θ
2是三項分配的參數。(6)隨機比例模式，如[12, 14, 28]。所謂隨機比例(Stochastically Proportional)模 式是指假設投料k個，產出良品個數為Y ，k Yk =k⋅X ，其中X 服從某一連 續型機率分配的隨機變數，X 與k互相獨立。
2.生產週期時間
在生產週期時間方面，多數的研究是假設生產週期時間為一個週期，也就是說，
期初投入生產，期末就全部產出。過去研究只有Wang 和 Gerchak[28]是探討生產週期 時間大於一個週期，且生產週期時間大於投料間隔時間的多次投料問題。舉例來說，
從投料到產出的生產週期時間是3 天，兩個投料時點的間隔時間是 1 天，因此從投料 到產出之間還有2 次的投料機會。
3.多種等級產品
在多種等級產品方面，多數的研究是假設產出的良品只有二種可能性，不是良品 就是不良品。Gerchak 和 Grosfeld-Nir[8]探討一張訂單有多種等級產品的多次投料問 題。他們假設產出的良品個數服從三項式分配，產品等級分為高級品、低級品及不良 品三種，高級品可供低級品使用，低級品不能供高級品使用，每一種等級的數量須全 部滿足訂單需求。
2.1.3 成本項目
從成本項目的角度來看，大部分的研究考慮設置成本、變動成本、成品存貨持有 成本及缺貨成本[1, 2, 4, 8, 9, 12, 14, 19-22, 25, 27, 28, 32, 33]，只有少數研究除考慮設置 成本和變動成本外，另考慮檢驗成本[19]及生產過剩的處置成本和缺貨成本[28]。除
Gerchak 和 Grosfeld-Nir[9]以總利潤最大化為目標外，其餘都以最小生產成本為目標。
此外，Grosfeld-Nir 和 Gerchak [14]提出計算成本變異的方法，來評估投料決策風險。
2.1.4 求解方法
單階段生產系統的多次投料問題，其求解方法可分為二大類：(1)動態規劃求解；(2) 非動態規劃求解。利用動態規劃求解的文獻有[1, 2, 4, 8, 9, 12, 14, 19-22, 28, 32, 33]；利 用非動態規劃求解的文獻有[2, 25, 27]。
1.動態規劃求解
大部分的研究是利用動態規劃的手法求解，然而當需求量很大時，利用動態規劃 求解相當耗時，因此一些學者證明最佳投料量的特性，來縮小搜尋解空間[1, 2, 4, 9, 12, 14, 19, 20, 22, 28, 32, 33]。
Anily[1]和 Beja[4]探討當產出的良品個數分別服從離散型均等分與二項分配時，
Grosfeld-Nir 和 Gerchak[12]及 Wang 和 Gerchak[28]探討產出的良品個數服從隨機比例 模式，Grosfeld-Nir 和 Gerchak 假設產出的良率是服從 Beta 分配，Wang 和 Gerchak 假 設產出的良率是服從某一連續型的機率分配。他們都證明最佳投料量須大於或等於未 滿足的需求量。
Grosfeld-Nir 和 Gerchak[14]探討產出的良品個數服從 IG 分配，證明最佳投料量 不會超過未滿足的需求量。Zhang 和 Guu[32, 33]、Guu 和 Zhang[20] 及 Guu[22]探討 產出的良品個數服從IG 分配，證明當需求量為 D 及 D-1 的最佳投料量，分別為ND及
−1
ND 時，ND及ND−1滿足以下的關係式，ND ≤ ND−1 +1。此外，並定義兩條線性函數 以決定任一需求量D 的最佳投料量的上下界。該研究基於上述特性，設計求解動態規 劃問題的演算法，求得最佳投料量。Guu 和 Liou[21]改良 Zhang 和 Guu[33]的演算法，
簡述如下：當需求量小於或等於4 時，提出最佳投料量的判別準則；當需求量 D 大於 4 時，投料量N 從N =1開始，提出每增加一個投料量的邊際成本的計算公式，該公式 利用D 的遞迴關係式，可以簡單的算出邊際成本，並利用生產成本差額的正負號來判
別是否為最佳投料量，此演算法的求解時間優於Zhang 和 Guu[33]的演算法。
Gerchak 和 Grosfeld-Nir[9]建構訂單需求量為不確定時的期望總成本遞迴式。在給 定需求量的機率分配下，證明成品存貨量存在一個上界值。若當產出的成品庫存量超 過上界值時，則即停止生產活動，否則就繼續投料生產。
Grosfeld-Nir 等學者[19]將檢驗成本加入成本函數，建構需求量 D 時的期望總成 本遞迴式，期望總成本遞迴式包括期望生產成本與期望檢驗成本二項加總。作者提出 如何找到最佳投料量的條件式。在給定一個投料量下，代回成本遞迴式即可求得期望 總成本。投料量在一個有限的範圍內搜尋，滿足條件式的投料量可能不只一個，在從 中選擇最小的為最佳投料量。
Gerchak 和 Grosfeld-Nir[8]建構一張訂單須滿足多種等級產品的成本遞迴式，以動 態規劃的手法，求得最佳投料量。另外，作者也提出一張訂單須滿足二種等級產品時，
求期望檢驗個數的關係式。
2.非動態規劃求解
在非動態規劃求解方面，Pentico[25]與 Sepheri 等學者[27]探討產出的良品個數服 從二項分配，發展啟發式演算法，取代動態規劃求解，求得近似最佳投料量。Sepehri 等學者[27]提出每增加一單位投料的邊際成本公式，利用二項分配轉換成常態分配的 近似表示法，發展啟發式演算法，求得近似最佳投料量。Pentico[25]以 360 個案例驗 證Sepehri 等學者[27]的演算法發現，當訂單需求量很大及產出良品的機率值很低時，
近似解與最佳解之間誤差較大。誤差的主因是Sepehri 等學者[27]將二項分配轉換成標 準常態分配時，不論
z
值為正數或負數，都用同一演算公式求解。因此，Pentico 修正 Sepehri 的演算法，依z
值為正數或負數給予不同的演算公式求解。Pentico 驗證修正 後的演算法優於Sepehri 的演算法。Anily 等學者[2]探討產出的良品個數服從 IG 分配，證明當需求量小於某一值時，
最佳投料量等於需求量；當需求量很大時，可將原來動態規劃問題，轉換成簡單的非 動態規劃問題，來求得近似解。
本研究將上述單階段生產系統多次投料問題的相關文獻，分類整理在表2.1。