第二章 文獻探討
2.2 多階段生產系統
2.2.4 決策變數
在決策變數方面，大多數的研究僅選定某一生產階段並決定投料量，未被選定的 其他各階段，則閒置不投料生產。Ben-Zvi 和 Grosfeld-Nir[5]及 Pentico[26]僅決定初始 階段的投料量，Grosfeld-Nir 和 Ronen[10]決定瓶頸機台的投料量。Barad 和 Braha[3]、
Braha[7] 、 Lee 和 Yano[23] 及 Wein[29] 決 定 下 一 階 段 的 投 料 量 。 Grosfeld-Nir 和 Robinson[11] 、 Grosfeld-Nir 和 Gerchak[13] 、 Grosfeld-Nir[15] 、 Grosfeld-Nir[17] 及 Grosfeld-Nir 等學者[18]是從所有階段中選定某一生產階段並決定投料量。
2.2.5 求解方法
多階段生產系統的多次投料問題，其求解方法可分為二大類：(1)動態規劃求解；(2) 非動態規劃求解。利用動態規劃求解的文獻有[5, 10, 13]；利用非動態規劃求解的文獻
有[3, 7, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 29]。
1.動態規劃求解
Grosfeld-Nir 和 Ronen[10]將多階段單一瓶頸機台系統合併成單一階段求解。首先計 算從起始階段投一單位到瓶頸機台，瓶頸機台(含)前的合併變動成本為
β
ˆ1，合併良率 為θ
ˆ1(θ
ˆ1等於瓶頸機台的良率)，再計算投一單位到瓶頸機台的下一階段，瓶頸機台後 的合併變動成本為β
ˆ2，合併良率為θ
ˆ2(θ
ˆ2等於瓶頸機台後的每個非瓶頸機台良率相乘)。其次利用
β
ˆ1、θ
ˆ1、β
ˆ2及θ
ˆ2，導出期望總變動成本的函數，再將期望總變動成本 函數代入成本遞迴式。求解瓶頸機台的最佳投料量，ND，是從需求量 D 開始搜尋，每次增加一單位投料量，直到增加一單位投料量無法降低成本。在瓶頸機台後產出的 良品在製品，每次僅投料一個到非瓶頸機台，直到產出達到需求量D，才停止投料。
Ben-Zvi 和 Grosfeld-Nir[5]建立需求量為 D，起始階段投入 N 個的期望總成本遞 迴式，各階段的期望總成本分為設置成本及變動成本，以產出大於零的機率設為設置 成本發生的機率，變動成本以上一階段的期望產出為下一階段投入的數量計算，由此 構建需求量為 D 的成本遞迴式，以該總成本函數最小為目標，搜尋起始階段的最佳 投料量 N。為了求得需求量 D 的最佳成本，必須利用成本遞迴式，先求得需求量等 於1 到 D-1 的最佳成本。
Grosfeld-Nir 和 Gerchak[13]將不良品可重工加入單階段系統、多階段單一瓶頸機 台系統及多瓶頸機台系統，修改原本的期望總成本遞迴式。
2.非動態規劃求解
Wein[29]建立各階段的期望總成本遞迴式，作者證明各階段的成本函數為凸函數 (convex function)，各階段要決定投料量的控制水準上下界(L,U)，作為下一階段的投料 量依據。決定上下界的作法為：(1)在低良率下，找到該階段的最佳投料量，與需求量
D 比較，二者取較大者，再與上一階段的投料量比較，取較小者為下界(L)。(2)在高良 率下，找到該階段的最佳投料量，與需求量 D 比較，二者取較大者為上界(U)。利用 各階段投料量的上下界，作為下一階段投料決策判斷的準則，令各階段的良品在製品 以WIP 表示。當WIP L< 時，投L 個到下一階段去生產，L 個是包括所有的 WIP，不 足的部分由不良品加以重工來補足；當L WIP U≤ < 時，將所有的 WIP 投到下一階段 去生產；當WIP U≥ 時，僅投U 個到下一階段去生產，並移除多餘的在製品。
Pentico[26]建立各階段的期望總成本遞迴式，共有M 、、、N M1個階段，其中MN 是初始階段，各階段的良率分別為
θ
N、、、θ
1，作者提出二個啟發式解法，來取代動 態規劃求解：(1)將需求量 D 逐一往前一階段回推，計算初始階段的需求量D ，可表N 示成1 2 1
θ
...θ θ
− −=
N N N
D D 。因此，多階段系統可簡化成決定起始階段，在需求量D 下的N
最佳投料量問題；(2)將多階段合併成單一階段求解，合併後的良率為θˆ=θNθN−1...θ1， 合 併 後 的 設 置 成 本 為
α
ˆ =α
N +α
N−1+...+α
1 ， 合 併 後 的 變 動 成 本 為1 1 ...
ˆ β β β
β = N + N− + + 。
Grosfeld-Nir[17]將瓶頸機台(含)前合併成單一約當機台，捨棄瓶頸機台後的非瓶 頸機台進行求解。針對產出的良品個數服從A-N 分配時，提出二種投料決策：(1)非瓶 頸機台每次投需求量D，瓶頸機台投 D 的倍數；(2)當WIP=0，投料量至少須大於D，
且 投 到 瓶 頸 機 台 去 生 產 ； 當WIP>0， 須 決 定 一 個 投 料 量 的 控 制 水 準(CLT)。若 CLT
WIP> 或WIP 不是需求量 D 的倍數時，則每次只投一個到非瓶頸機台去生產，否 則每次投D 個到非瓶頸機台去生產。
Grosfeld-Nir 和 Robinson[11]首先建構一系列的線性規劃模式，來求解二階段生產 系統，目標式是使二階段的期望總成本最小，其次將原始問題轉換成對偶問題來求解，
最後針對產出的良品個數服從二項分配，發展一啟發式演算法，求得一個近似解。
Grosfeld-Nir[15]建構二瓶頸機台的期望總成本遞迴式。期望總成本遞迴式包括投 到第一階段的期望總成本與第二階段的期望總成本，比較這兩個階段的期望總成本，
取成本最低者作為投料階段，並決定最佳投料量。作者提出三種啟發式演算法：(1)固
定的投料策略(Fixed policy)：根據在製品庫存水準，給定一個固定的投料策略，該投 料策略已事先決定要投到那一部機台及其投料量，並估算此投料策略的近似期望總成 本；(2)改進固定投料策略(Policy improvement)：在給定一個固定的投料策略後，隨後 從WIP=0、1、2、、、，逐一對每一種情況的在製品庫存，改善其對應的投料量。改 善的方法是，其他在製品庫存對應的投料決策不變，僅改變一種在製品庫存對應的投 料決策，每次增加一個投料量，直到多增加一個投料量，近似期望總成本也無法降低 為止。(3)綜合投料策略(1)和(2)，得到一個混合投料策略(Fixed policy improvement)。
Grosfeld-Nir 等 學 者 [18] 探 討 二 階 層 的 生 產 系 統 ， 提 出 IDA (Intermediate-Demand-Algorithm)演算法。IDA 的基本概念是，在需求量 D 時，搜尋第 一階層的中間需求量，KD，即第一階層的各機台(M i )可視為單獨面對需求量KD的 單 階 段 生 產 系 統 ， 最 佳 投 料 量 為 i
i D
M WIP
NK − ， 各 零 件 的 庫 存 分 別 為WIP ，i }
,..., min{WIP1 WIPS
WIP≡ ，而第二階層的機台的最佳投料量為NDMS+1。因此給定一個
KD，可求出一組對應的投料策略，投料策略的產生是根據，當WIP≥ NDMS+1，則投NDMS+1 個到第二階層的機台MS+1；當WIP≥KD且WIP< NDMS+1，則投WIP個到第二階層的機
台M ；當S+1 WIP<KD且WIP<NDMS+1，則投NKMDi−WIPi個到第一階層中庫存量最小的機台。
Lee 和 Yano[23]在不容許外購(重工)在製品的情況下，建立各階段的期望總成本 遞迴式。各階段的期望總成本遞迴式包括：變動成本、生產過剩的處置成本及下一階 段期望的最佳成本。作者證明各階段的期望總成本遞迴式為嚴格凸(Strict convexity)函 數，利用一階微分等於生產過剩的單位處置成本，求得各階段的控制水準(CLT)。若
CLT
WIP< ，則投WIP個到下一階段去生產；否則投CLT個到下一階段去生產。
Barad 和 Braha[3]及 Braha[7]建構各階段的期望總成本遞迴式，和 Lee 及 Yano[23]
的概念相同，但不同的是Barad 和 Braha[3]及 Braha[7]容許外購(重工)在製品。因此期 望總成本函數考慮三種投料策略的成本，分別是：(1)上一階段產出全部投入下一階段 的成本；(2)移除部分在製品後的成本；(3)補充在製品後的成本，比較這三種投料策略
的成本，取成本最小者為最佳投料決策。他們在二階段間決定二個控制水準，求控制 水準是先計算多投一單位與少投一單位的生產成本，得到邊際生產成本。先利用邊際 生產成本與單位外購或重工成本作比較，直到找到第一個邊際生產成本的絕對值小於 外購或重工成本的投料量，設定為投料量的下界(L)；再利用邊際生產成本與生產過剩 的單位處置成本作比較，直到找到第一個邊際生產成本大於生產過剩的單位處置成本 的投料量，設定為投料量的上界(U)，利用各階段投料量的上下界來決定投料量。(1) 若L≤WIP≤U，則投WIP個到下一階段去生產；(2)若WIP>U，則投U 個到下一階段 去生產，並移除多餘的在製品；(3)若WIP<L，則投L 個到下一階段去生產，不足的 部分可透過對外採購在製品，或將庫存的不良品加以重工來補足。
本研究將上述多階段生產系統多次投料問題的相關文獻，分類整理在表2.2。
表2.1 單階段多次投料問題的相關文獻整理
備註：DU: Discrete Uniform; B: Binomial; IG: Interrupted Geometric; SP: Stochastically Proportional; A-N: All-or-Nothing; T: Trinomial DP: Dynamic Programming
問題 求解
需求 良率分配 成本項目 DP non-DP
文獻 確定
不確定 無交期限制 (rigid demand)
有交期限制
Grosfeld-Nir &
Gerchak[14] z z z z SP z z z
Zhang & Guu[32] z z z z A-N z z z
Gerchak &
Grosfeld-Nir[9] z z z z A-N z z z
Grosfeld-Nir &
Gerchak[12] z SP z z z
Wang &
Gerchak[28] z SP z z z 處置 z
Grosfeld-Nir et
al.[19] z z z z z z 檢驗 z
Gerchak &
Grosfeld-Nir [8] z T z z z
本論文主題一 z z z z z z z
表2.2 多階段多次投料問題的相關文獻整理
備註：DU: Discrete Uniform; B: Binomial; IG: Interrupted Geometric; SP: Stochastically Proportional; A-N: All-or-Nothing; DP: Dynamic Programming
問題 決策 參數 求解
本論文與過去相關研究不同之處：
1.以上文獻，除 Wang 和 Gerchak[28]探討生產週期時間大於一個週期且為已 知常數外，其餘皆不涉及生產週期時間。然而，現實的生產情境中，因為 供應商的供貨不可靠、搬運時間不穩定、等候加工、機器故障及重工等不 可預期的因素，使得生產週期時間具不確定性。因此，本論文主題一是探 討生產週期時間具不確定性，單階段生產系統有交期限制的多次投料問 題。
2.對於多階段多次投料問題的相關文獻，大多數的研究是在每個投料時點，
僅選定某一生產階段並決定投料量，未被選定的各階段皆閒置，不投料生 產。為了在短時間內提高總產出量，滿足訂單需求，各階段的機台須同時 決定其投料量。因此，本論文主題二是探討多階段流線型生產系統的多次 投料問題，在每個投料時點上，須同時決定各階段的投料量。
3.探討多階段流線型生產系統的多次投料問題，過去相關研究大都是利用動 態規劃的手法來求解，但是在需求量很大時，動態規劃的網路規模變得相 當的龐大，需耗費很長的計算時間才能求得最佳解，在實務上並不可行。
因此，本論文也針對主題二的問題，提出一個啟發式演算法，來滿足實務 上的需要。