勾股定理幾何證明分類

魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將 109 個「代 數」的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成 十種類型，以下我們主要介紹魯米斯《勾股定理》中的「幾何」證明：

幾何證明的分類---依圖形劃分

從魯米斯《勾股定理》這本書中我們發現，在「幾何」的證明中魯米斯依 據圖形的繪製方法不同，將「幾何」的證明分為以下十種類型：

類型 圖形說明 示意圖形

類型 1 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心 向外側延伸。

類型 2 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的 中心外側，斜邊上的正方形則是朝向內側。

類型 3 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角 形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝 向外側。

類型 4 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角 形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝 向外側。與類型三的差異在於兩股上的正方形 朝向位置相反。

類型 圖形說明 示意圖形 類型 5 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正

方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角 形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝 向內側。

類型 6 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形

形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向 內側。

類型 7 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中 心內側，斜邊上的正方形朝向外側。

類型 8 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形，三個正方形位置皆朝向直角三角形的中心內 側。

類型 9 此種類圖形以直角三角形的三邊為邊長作正方 形，其中正方形的位置並非全部都與直角三角形 的邊作齊，右圖形僅為示意，證明的圖形中只要 正方形的位置為前 8 類作轉移，皆蒐集在此分 類。

類型 10 此類證明圖形並沒有作出三個以直角三角形的三 邊為邊長的正方形，在此分類下又可細分兩類：

(1)圖形以正方形為主軸的證明 (2)圖形以三角形為主軸的證明

在此，本研究中所提供的 50 個勾股定理的幾何證明，圖形分別分佈在以上 的第 3、4、5、7、9、10-(1)種類型，不論圖形的變化為何，其證明目標皆為

「以直角三角形兩股為邊形成的正方形面積和，會等於斜邊上的正方形面積」。

幾何證明的分類----依證明手法劃分 G166, G173, G177, G186, G188, G189

②G110, G113, G114, G168, G169, G174

③G141, G167, G187

類型 2 運用圖形之間的全等關係，將相同的圖形面積 以兩種不同的圖形分割來表示，比較兩種面積 表示法，可發現三個正方形的面積關係。

G107, G111, G122

類型 3 無法完全運用圖形的全等關係作圖形的割補，

必須輔以少量的代數的運算，去找出三個正方 形的面積關係。

G120, G121, G135, G136, G139,

G123, G126, G137, G140, G170, G172, G175, G178, G180, G190, G212 G220, G221, G222.