勾股定理證明工作單內容說明

勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃 及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究，由於避免此定理起源的爭辯，底下 我們不以人名作為此定理的名稱，皆稱之為「勾股定理」，我們簡單的將其歷史 分為三部分，從發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、到其定理的證明 這三方面來作簡單的說明：

發現勾股數

勾股數發現的時間最早可回溯至古埃及在西元前 2600 年的紙草書就有 (3,4,5)這一組勾股數，除了埃及人外也從古巴比倫泥板中發現，約西元前 1900-1600 年時，古巴比倫人已經知道至少 15 組勾股數，其中涉及的最大的一 個勾股數組是(18541，12709，13500)。

普遍定理的發現

巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量獲得，因此我們猜 想古巴比倫人可能已經發現了某些規律。在中國，最早《史記》記載大禹治水

—左治繩右規矩，那就是運用勾股測量的工具，有關勾股定理的記載，最早出 現在西元前 100 年西漢時代《周髀算經·趙君卿注》中，文中敘述商高在西元前 1100 年曾提過「勾廣三、股脩四、徑偶五」，然而商高所提到的是一個特別的 直角三角形之邊長關係，即邊長為 3、4、5 的直角三角形，並無觸及一般性的

「勾股定理」，有關一般性的勾股定理最早記載在《周髀算經·榮方問於陳子》

中「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得 邪至日」，這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到定理的一般性原則，

即「句股各自乘，並而開方除之」。在印度勾股定理也出現在古代婆羅門教 的經典-《繩法經》(Sulbasutras)可能在西元前六世紀成書，書中討論拉繩設 計祭壇時所體現到的幾何法則，並廣泛地應用了勾股定理，書中只有敘述法 則，並無證明。在西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」

(Pythagorean theorem)，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras,

560B.C.- 480B.C.)在觀察地面上磁磚的鋪設而發現此定理的，或至少是最先證 明它的，但其實並沒有留下任何的證據讓我們相信畢達哥拉斯是首位完成此證 明的人，但我們能確認的是畢達哥拉斯並非首位發現此定理者。

定理的證明

早在勾股定理證明出現之前，勾股測量對於解決生活中相關的應用問題，

已有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明，中國自《九章算術》之 後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君 卿)的「弦圖」出現才為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。而在西方國 家最早有關勾股定理證明的紀載出現在約西元前 300 年，歐幾里得完成《幾何 原本》，勾股定理出現在命題 I.47，並且他在命題 VI.31 再給了另一個不同的 證明，勾股定理的逆定理則出現在命題 I.48，而歐幾里得在為其著作《幾何原 本》做註解時仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。至今關於勾股定 理的證明已有 400 多個，而且還在持續增加當中。

第二節 魯米斯的簡介

魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納 鎮，他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家、律師和土木工程師，除此之 外最值得讚譽的頭銜是「教師」，這也是他最喜歡的工作，魯米斯曾經以第三人 稱來描述自己：「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過 4000 名的男 孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記」，他也是一個勤 奮的學生，在從事教學工作的同時也不斷的在學習，他的法律學位便是在此期 間取得，並成為成為俄亥俄州的律師。

魯米斯撰寫了寫了上百篇的文章、出版了好幾本書，範圍從幾何教學到倫 理學、哲學及宗教等主題，其中他所撰寫的數學著作中，魯米斯認為他在 1907 年動筆，直到 1927 年才完成出版的《勾股定理》(The Pythagorean

Proposition)是他最好的著作，1940 年，他做了修改，同時，也在這一年去 世，雖然魯米斯在數學圈中並不是家喻戶曉的名字，除了《勾股定理》這本書 之外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學的 教育而言是相當重要的一本叢書，在 1968 年，美國數學教師協會(NCTM)重印這 本著作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。

第三節 魯米斯的著作－《勾股定理》

(The Pythagorean Proposition)

由魯米斯所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)搜集且分 類了勾股定理的 371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可 供下載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元 1940 年做了修改後出版，在 書的最後，他將第二版的第 257 頁，「來自各方」的一些值得注意的證明當成附 錄，並在書上寫下「E. S. Loomis 博士，年齡將近 88 歲，1940 年 5 月 1 日」。

這本書除了忠實的呈現畢氏定理的證明，也反映出作者的獨特性格，全書 穿插了 12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當 然也包括了畢德哥拉斯，特別的是卷首的肖像則是魯米斯本人(圖 2.3.1)，正 文的首頁展示了一個神祕的三角形，三個頂點標記著字母 E. S. L.，顯然是作 者名字的開頭字母，以及費人疑猜的數字 4，及題字「32」(圖 2.3.2)。

魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自中世紀時期，學生 想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明。《勾股定理》這 本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西(Leonardo da Vinci)、托勒密 (Claudius Ptolemaeus)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)、荷蘭物理 學家惠更斯(Huygens)的證明，還有盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)約在 1888 年提出的證明，及 16 歲的高中女生安‧康地(Ann Condit)提出的，甚至 是美國總統所提供的……等經典證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供 的證明，可惜的是有些作者可能已無法考據，簡言之，這是數學史上名聲顯赫 之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。

圖 2.3.1 魯米斯肖像 圖 2.3.2 《勾股定理》首頁

第四節 教科書的現況

勾股定理在目前的課綱中編排至國民中學第三冊，在此我們挑選 A、B、C 三個教育部審核通過之教科書版本，針對課本證明內容來探究其證明方式，三 個版本對於勾股定理的證明有不同的呈現方式：

版本 A (圖 2.4.1)

證明方式：利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動(圖 2.4.1)進一步說明「以兩 股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，相同的 圖形提供兩種不同面向的證明方式，第一種透過圖形拼湊比較可直 觀的得到勾股定理的結果，不需輔以代數運算(圖 2.4.2)，屬於幾 何證明。第二種方式則需由圖形輔佐，再透過代數運算，進一步得 勾股定理(圖 2.4.3)，較傾向代數證明，幾何圖形為輔。

證明評析：以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正 方形為主軸去說明三個正方形面積關係，學生較能感受其幾何意 義，此外也可幫助記憶定理，提供兩種觀點也讓不同思考模式的學 生找到適合的解釋方法，對於代數運算較差的學生提供了直觀的證 明方式也避免學生有過度負荷的現象，而對於代數思考模式的學生 則提供了代數嚴謹的證明方式。

圖 2.4.1 版本 A 探索活動

圖 2.4.2 版本 A 的幾何證明 圖 2.4.3 版本 A 的代數證明

版本 B (圖 2.4.4)

證明方式：利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊 長c²的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差(a b )的小正方 形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比 較兩種面積表現式，整理得c² a²b²，傾向代數證明。

證明評析：在證明過程中，因為圖形中只看出以直角三角形斜邊為邊長的正方 形面積，看不見另外以兩股為邊的正方形甚至是與前者正方形的關 係，又最後是以代數式子整理出定理結果，證明雖較嚴謹但學生也 許會因此對一開始的圖形較沒有感覺，所以學生可能無法從此證明 中感受到勾股定理c² a²b²在幾何上的意義。

圖 2.4.4 版本 B 的證明 版本 C (圖 2.4.5)

證明方式：將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和(a b) 為邊長的正方形，

其圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩種方式去表 示以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現 式，整理得c² a²b²，此傾向代數證明。

證明評析：此版本證明方式與版本 B 雷同，差異是四個直角三角形的排列方法 不同，雖然證明手法同樣看起來較嚴謹，但著重在代數運算而圖形 淪為輔助，因此由於學生從圖形中較難對勾股定理的幾何意義有所 感受，因此缺少了較直觀的看法。

圖 2.4.3 版本 C 的證明

結語：綜合以上我們發現三個版本雖然皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，其 中版本 B、C 主要以代數運算來證明，雖有圖形輔佐但較難直觀的想出拼 湊方法，而版本 A 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作 圖形輔助可直接發現三個正方形面積關係，相較之下則較直觀，不過三 者皆缺少拼圖活動讓學生直接從直角三角形三邊所延伸的正方形去感受 面積關係，因此若在教學中能夠額外提供教材讓學生透過實際動手操 作，去體會兩股上的正方形面積和會等於斜邊上的大正形面積，如此一 來不僅能加深學生印象，也能讓學生感受到數學的樂趣。

第三章 勾股定理的證明分類

勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，雖然如此仍有 許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。數學有相當久遠的歷史，從 史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，一直到了 14 世紀 文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當

勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，雖然如此仍有 許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。數學有相當久遠的歷史，從 史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，一直到了 14 世紀 文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當