勾股定理幾何證明教材初探

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 勾股定理幾何證明教材初探. 研究生：洪藝芳. 中華民國一百零四年六月.

(2) 摘要勾股定理是歐氏平面幾何的核心結果，但學生通常將此定理訴諸於代數式子的操弄，忽略了其背後的幾何意義，本研究以勾股定理為題材，在魯米斯 (Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)這本書蒐集的眾多勾股定理中，選取 50 個幾何證明做為研究範圍，以提升學生的幾何學習層面為出發點，修補《勾股定理》書中證明的不完整，並與數位教材團隊合作開發互動數位教材，不論是透過書面嚴密的邏輯證明或是動畫展示、互動拼圖、歷史典故等方式呈現勾股幾何藝術，目的為加強學生視覺化的思考能力藉此加深幾何概念，也藉此填補教科書在勾股定理證明的單一性，期望讓學生具體的體會數學之美，更進一步藉由網路分享，提升國人的數學素養。關鍵字：勾股定理、魯米斯(Elisha Scott Loomis)、幾何證明、中學數學.

(3) 目錄摘要第一章緒論 ……………………………………………………………………… 1 第一節研究背景與動機 …………………………………………………… 1 第二節研究目的 …………………………………………………………… 2 第三節研究範圍與後續 …………………………………………………… 3 第二章文獻探討 ………………………………………………………………… 4 第一節勾股定理 …………………………………………………………… 4 第二節魯米斯的簡介 ……………………………………………………… 5 第三節魯米斯的著作－《勾股定理》 …………………………………… 6 第四節教科書的現況 ……………………………………………………… 7 第三章勾股定理的證明分類 …………………………………………………… 10 第一節魯米斯《勾股定理》的證明分類 ………………………………… 11 第二節勾股定理的代數證明與幾何證明 ………………………………… 11 第三節勾股定理幾何證明分類 …………………………………………… 16 第四章勾股定理證明工作單 …………………………………………………… 19 第一節勾股定理證明工作單內容說明 …………………………………… 19 第二節工作單內容 ………………………………………………………… 20 G107 …………………………………………………………………………21 G110 …………………………………………………………………………24 G111 …………………………………………………………………………27 G113 …………………………………………………………………………30 G114 …………………………………………………………………………33 G119 …………………………………………………………………………35 G120 …………………………………………………………………………39 G121 …………………………………………………………………………42 G122 …………………………………………………………………………45 G123 …………………………………………………………………………47.

(4) G126 …………………………………………………………………………50 G135 …………………………………………………………………………53 G136 …………………………………………………………………………55 G137 …………………………………………………………………………58 G139 …………………………………………………………………………61 G140 …………………………………………………………………………65 G141 …………………………………………………………………………68 G142 …………………………………………………………………………71 G165 …………………………………………………………………………74 G166 …………………………………………………………………………77 G167 …………………………………………………………………………80 G168 …………………………………………………………………………83 G169 …………………………………………………………………………86 G170 …………………………………………………………………………89 G171 …………………………………………………………………………92 G172 …………………………………………………………………………94 G173 …………………………………………………………………………97 G174 ……………………………………………………………………… 100 G175 ……………………………………………………………………… 102 G177 ……………………………………………………………………… 104 G178 ……………………………………………………………………… 107 G180 ……………………………………………………………………… 110 G186 ……………………………………………………………………… 113 G187 ……………………………………………………………………… 116 G188 ……………………………………………………………………… 120 G189 ……………………………………………………………………… 123 G190 ……………………………………………………………………… 126 G212 ……………………………………………………………………… 128 G214 ……………………………………………………………………… 130.

(5) G215 ……………………………………………………………………… 132 G219 ……………………………………………………………………… 135 G220 ……………………………………………………………………… 137 G221 ……………………………………………………………………… 139 G222 ……………………………………………………………………… 141 G223 ……………………………………………………………………… 144 G224 ……………………………………………………………………… 146 G225 ……………………………………………………………………… 148 G227 ……………………………………………………………………… 151 G228 ……………………………………………………………………… 154 G229 ……………………………………………………………………… 157 第五章參考文獻 …………………………………………………………………159.

(6) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 關於勾股定理的證明方法多達約 400 種，堪稱所有定理之冠，可見此定理的重要性與普及性，勾股定理也是目前課綱編制中，中學生在幾何學習上一個重要的開端，但很可惜的是，即便教科書中有透過圖形的割補來做為勾股定理的證明，但大多的教學甚至教材最後仍將此定理的重點訴諸於代數式子的操弄，也就是「直角三角形，兩股平方和等於斜邊平方」，主要原因是因為考試領導教學，學生習慣去記結果而不重視過程，如此一來便減損了這個定理背後的幾何意義，忽略了定理本身固有樸拙的「美術勞作」風格，讓學生實際體驗教材上的內容，這樣才能學得輕鬆、記的深刻，體會數學的另一面。雖然數學的證明對數學家很重要，但對於初學者而言對數學有「感覺」更是重要，若是暫時拋棄那些容易令人迷失的符號與算式，則勾股定理的證明有著「圖說一體、不證自明」的幾何無限想像，克卜勒(Johannes Kepler)甚至將畢氏定理與黃金比例稱之為幾何學上的二個瑰寶，因此在初等教育階段，它也是非常值得引進課堂的一個經典定理。許多研究指出若要提升學生在幾何概念上的學習則必須增強視覺化思考，例如 Hoffer (1983)認為學習幾何概念與改善視覺知覺間的能力是會交互影響的，在 Fuys 和 Geddes(1988)的研究中，發現學生在學習一個新的幾何概念時，經常以視覺的思考為出發點，由此可知加強學生視覺化的思考能力，將有助於學生獲得較佳的學習效果，因此若能增強視覺知覺能力將對學習幾何概念有所助益(李俊儀,2003)，Duval (1995)認為某些圖形是具啟發性的，經由圖形的操弄及維度的轉變，可以幫助我們解決原來並不容易解決的幾何問題，藉著親自動手操作，也能促進提升學生的幾何層次。在 2013 教育部提升國民素養專案計畫報告書初稿中提及，高中數學科核心素養中必須包含「藝術欣賞與環境美學」，其意涵為能欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神與結構嚴謹的特質，在 12 年國民教育的體制下，逐漸淡化考試領導教學的教育現象，提高學生的數學素養將成為數學教育的主要目的，有鑑於此，若能將幾何知識與藝術結合，讓學生看見數學的不同面相，提供一個有助於學習的環境，而不是去強調學習目標，有鑑於畢氏定理在幾何上的重要性及美學，讓學生體會其證明之美，不論是透過書面、動畫展示或是動手操作，相關的教材若能系統化透過網路平台上傳分享，能讓更多的學子及民眾受惠。 1.

(7) 第二節. 研究目的. 為了提升學生的數學素養及促進幾何層次的發展，彌補教學上所缺乏的多樣性及趣味性，在此我們以魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposution)中所蒐集的幾何證明去深究，除了目前教科書所提供的定理證明方法外，是否還有其他勾股證明適合讓學生探討，再由數位教材團隊完成教材開發，透過網路分享讓學生、社會大眾甚至是孩童及銀髮族都能夠透過教材欣賞幾何之美，提升國人數學素養，也可提供教學者課堂教材或是延伸教材及特色課程的發展方向。. 2.

(8) 第三節. 研究範圍與後續. 本研究範圍限制在魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》 (The Pythagorean Proposition)這本書中的其中 50 個勾股定理幾何證明，研究著重修補《勾股定理》書上證明的不完整，並將適合用於教學活動的勾股幾何證明做互動教材上的研討，除了證明外還提供一些個人淺見，最後與製作團隊合作開發數位教材，目前已將部分教材放置於所設立的專屬網站《非想非非想數學網》http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/提供各年齡學子及社會大眾進行數位學習之用。因勾股定理證明繁多，本研究目前已完整的將研究範圍內的幾何證明修補完整，其餘證明修補或數位教材則將由勾股定理之製作團隊持續完成，並上傳至專屬網站《非想非非想數學網》平台上提供大眾做交流，也可透過網路留言板或電子郵件分享自己的教學方式或閱讀心得與建議。. 3.

(9) 第二章文獻探討第一節. 勾股定理. 勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究，由於避免此定理起源的爭辯，底下我們不以人名作為此定理的名稱，皆稱之為「勾股定理」，我們簡單的將其歷史分為三部分，從發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、到其定理的證明這三方面來作簡單的說明：. 發現勾股數勾股數發現的時間最早可回溯至古埃及在西元前 2600 年的紙草書就有 (3,4,5)這一組勾股數，除了埃及人外也從古巴比倫泥板中發現，約西元前 1900-1600 年時，古巴比倫人已經知道至少 15 組勾股數，其中涉及的最大的一個勾股數組是(18541，12709，13500)。. 普遍定理的發現巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量獲得，因此我們猜想古巴比倫人可能已經發現了某些規律。在中國，最早《史記》記載大禹治水 —左治繩右規矩，那就是運用勾股測量的工具，有關勾股定理的記載，最早出現在西元前 100 年西漢時代《周髀算經·趙君卿注》中，文中敘述商高在西元前 1100 年曾提過「勾廣三、股脩四、徑偶五」，然而商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係，即邊長為 3、4、5 的直角三角形，並無觸及一般性的「勾股定理」，有關一般性的勾股定理最早記載在《周髀算經·榮方問於陳子》中「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」，這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到定理的一般性原則，即「句股各自乘，並而開方除之」。在印度勾股定理也出現在古代婆羅門教的經典-《繩法經》(Sulbasutras)可能在西元前六世紀成書，書中討論拉繩設計祭壇時所體現到的幾何法則，並廣泛地應用了勾股定理，書中只有敘述法則，並無證明。在西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」 (Pythagorean theorem)，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 4.

(10) 560B.C.- 480B.C.)在觀察地面上磁磚的鋪設而發現此定理的，或至少是最先證明它的，但其實並沒有留下任何的證據讓我們相信畢達哥拉斯是首位完成此證明的人，但我們能確認的是畢達哥拉斯並非首位發現此定理者。. 定理的證明早在勾股定理證明出現之前，勾股測量對於解決生活中相關的應用問題，已有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明，中國自《九章算術》之後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿)的「弦圖」出現才為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。而在西方國家最早有關勾股定理證明的紀載出現在約西元前 300 年，歐幾里得完成《幾何原本》，勾股定理出現在命題 I.47，並且他在命題 VI.31 再給了另一個不同的證明，勾股定理的逆定理則出現在命題 I.48，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做註解時仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。至今關於勾股定理的證明已有 400 多個，而且還在持續增加當中。. 第二節. 魯米斯的簡介. 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納鎮，他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家、律師和土木工程師，除此之外最值得讚譽的頭銜是「教師」，這也是他最喜歡的工作，魯米斯曾經以第三人稱來描述自己：「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過 4000 名的男孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記」，他也是一個勤奮的學生，在從事教學工作的同時也不斷的在學習，他的法律學位便是在此期間取得，並成為成為俄亥俄州的律師。魯米斯撰寫了寫了上百篇的文章、出版了好幾本書，範圍從幾何教學到倫理學、哲學及宗教等主題，其中他所撰寫的數學著作中，魯米斯認為他在 1907 年動筆，直到 1927 年才完成出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年，他做了修改，同時，也在這一年去世，雖然魯米斯在數學圈中並不是家喻戶曉的名字，除了《勾股定理》這本書之外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學的教育而言是相當重要的一本叢書，在 1968 年，美國數學教師協會(NCTM)重印這本著作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。 5.

(11) 第三節. 魯米斯的著作－《勾股定理》. (The Pythagorean Proposition) 由魯米斯所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)搜集且分類了勾股定理的 371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元 1940 年做了修改後出版，在書的最後，他將第二版的第 257 頁，「來自各方」的一些值得注意的證明當成附錄，並在書上寫下「E. S. Loomis 博士，年齡將近 88 歲，1940 年 5 月 1 日」。這本書除了忠實的呈現畢氏定理的證明，也反映出作者的獨特性格，全書穿插了 12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，特別的是卷首的肖像則是魯米斯本人(圖 2.3.1)，正文的首頁展示了一個神祕的三角形，三個頂點標記著字母 E. S. L.，顯然是作者名字的開頭字母，以及費人疑猜的數字 4，及題字「 32 」(圖 2.3.2)。魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明。《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西(Leonardo da Vinci)、托勒密 (Claudius Ptolemaeus)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)、荷蘭物理學家惠更斯(Huygens)的證明，還有盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)約在 1888 年提出的證明，及 16 歲的高中女生安‧康地(Ann Condit)提出的，甚至是美國總統所提供的……等經典證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能已無法考據，簡言之，這是數學史上名聲顯赫之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。. 圖 2.3.1 魯米斯肖像. 圖 2.3.2 《勾股定理》首頁 6.

(12) 第四節. 教科書的現況. 勾股定理在目前的課綱中編排至國民中學第三冊，在此我們挑選 A、B、C 三個教育部審核通過之教科書版本，針對課本證明內容來探究其證明方式，三個版本對於勾股定理的證明有不同的呈現方式：版本 A (圖 2.4.1) 證明方式：利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動(圖 2.4.1)進一步說明「以兩股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，相同的圖形提供兩種不同面向的證明方式，第一種透過圖形拼湊比較可直觀的得到勾股定理的結果，不需輔以代數運算(圖 2.4.2)，屬於幾何證明。第二種方式則需由圖形輔佐，再透過代數運算，進一步得勾股定理(圖 2.4.3)，較傾向代數證明，幾何圖形為輔。證明評析：以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸去說明三個正方形面積關係，學生較能感受其幾何意義，此外也可幫助記憶定理，提供兩種觀點也讓不同思考模式的學生找到適合的解釋方法，對於代數運算較差的學生提供了直觀的證明方式也避免學生有過度負荷的現象，而對於代數思考模式的學生則提供了代數嚴謹的證明方式。. 圖 2.4.1 版本 A 探索活動. 圖 2.4.2 版本 A 的幾何證明. 圖 2.4.3 版本 A 的代數證明. 7.

(13) 版本 B (圖 2.4.4) 證明方式：利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊長 c 2 的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差 (a  b) 的小正方形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比較兩種面積表現式，整理得 c 2  a 2  b2 ，傾向代數證明。證明評析：在證明過程中，因為圖形中只看出以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積，看不見另外以兩股為邊的正方形甚至是與前者正方形的關係，又最後是以代數式子整理出定理結果，證明雖較嚴謹但學生也許會因此對一開始的圖形較沒有感覺，所以學生可能無法從此證明中感受到勾股定理 c 2  a 2  b2 在幾何上的意義。. 圖 2.4.4 版本 B 的證明版本 C (圖 2.4.5) 證明方式：將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和 (a  b) 為邊長的正方形，其圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩種方式去表示以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現式，整理得 c 2  a 2  b2 ，此傾向代數證明。. 8.

(14) 證明評析：此版本證明方式與版本 B 雷同，差異是四個直角三角形的排列方法不同，雖然證明手法同樣看起來較嚴謹，但著重在代數運算而圖形淪為輔助，因此由於學生從圖形中較難對勾股定理的幾何意義有所感受，因此缺少了較直觀的看法。. 圖 2.4.3 版本 C 的證明結語：綜合以上我們發現三個版本雖然皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，其中版本 B、C 主要以代數運算來證明，雖有圖形輔佐但較難直觀的想出拼湊方法，而版本 A 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作圖形輔助可直接發現三個正方形面積關係，相較之下則較直觀，不過三者皆缺少拼圖活動讓學生直接從直角三角形三邊所延伸的正方形去感受面積關係，因此若在教學中能夠額外提供教材讓學生透過實際動手操作，去體會兩股上的正方形面積和會等於斜邊上的大正形面積，如此一來不僅能加深學生印象，也能讓學生感受到數學的樂趣。. 9.

(15) 第三章. 勾股定理的證明分類. 勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，雖然如此仍有許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。數學有相當久遠的歷史，從史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，一直到了 14 世紀文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當完整且豐富，此時勾股定理的分類一般而言可以分為三種： 1.. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47，收錄在魯米斯《勾股定理》的 G033，主要依賴面積相等的概念來證明。. 2.. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》G127，在印度則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》A036、 G225。. 3.. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31，亦收錄在《勾股定理》的 A001 運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代數操作。 (為方便敘述，我們編制 A 為魯米斯《勾股定理》這本書中的代數證明，G 為幾何證明。) 在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除. 了算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及在研究力學的過程中微積分的發展等，從歷史的脈絡我們可知，數學從古至今便一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展，此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或領域）將數百個勾股定理證明分為七大類，分類如下： 1.. 代數證明(包含前述「比例證法」). 2.. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」). 3.. 向量證明. 4.. 數列與級數的證明. 5.. 三角證明. 6.. 動態證明(使用物理知識證明). 7.. 微積分證明. 其中上述第 1 到第 5 種證明分類，皆屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。 10.

(16) 第一節. 魯米斯《勾股定理》的證明分類. 在本論文中的勾股定理證明方式皆來自於魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，且魯米斯在書中粗略的將其證明分成四類，如下： 1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。 2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。 3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。 4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。由上一頁內容可知以上這四種分類隸屬於上一頁七大分類中，其中因為「向量」及「動態」的證明是從「幾何」的證明所分出來的，且關於此類證明著墨甚少，所以《勾股定理》這本書主要是討論勾股定理的「代數」證明與「幾何」證明，而書中也特別提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即 cos 2 x  sin 2 x  1 這個等式是由勾股定理而來，因此為了避免循環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明(Trigonometric proof)。. 第二節. 勾股定理的代數證明與幾何證明. 魯米斯《勾股定理》這本書將其蒐集的 109 個勾股定理代數證明，依證明方式再分成七個小類，而 256 個幾何的證明則依圖形可再分成十小類，雖然魯米斯為勾股定理的代數與幾何證明做分類，然而區分代數與幾何的標準並不明確，關於此每個人可能有不同的見解，因此筆者認為似乎是根據證明目標做以下區分：「代數」的證明最終目標是要顯示 a 2  b2  c 2 ，將勾股定理結果看成是純粹的代數表示，並無涉及以兩股為邊長的正方形面積及以斜邊為邊長的正方形面積關係；「幾何」證明則是如同畢達哥拉斯所理解的，「以直角三角形兩股為邊形成的正方形面積和，會等於斜邊上的正方形面積」，將圖形的面積關係作為證明核心。這邊舉一個有名的例子讓大家能夠更清楚的分辨「代數」與「幾何」的差異，此證明的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，以下我們分別用「代數」和「幾何」兩種不同的方式說明，此兩種證明在魯米斯《勾股定理》這本書中，也分別收錄在 A034 及 G225，且 A034 亦為前述 2-4 節中教科書版本 B 的證明方式。 11.

(17) 在證明之前，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：. 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊長向內作正方形 ABDE 。 2. 在正方形 ABDE 裡取一點 F ，使得 DF  AC 且 EF  BC 。 3. 將 BC 延長，交 DF 於 G 點，將 EF 延長，交 AC 於 H 點，如圖 3.2.1。 D. E. G C. F. H. A. B. 圖 3.2.1. 婆什迦羅的證明圖. 接下來 A034 求證過程，是運用上圖並使用「代數」證明方法來說明勾股定理：. 【A034 的求證過程】 1. 首先證明圖形中三角形 ABC 、三角形 DEF 、三角形 EAH 與三角形 BDG 皆全等：因為 EF  BC , DF  AC , 且 AB  DE ，所以可推得. DEF  ABC (SSS 全等). 因為 EAH  90  BAC  ABC , AEH  90  DEF  EDF  BAC ，且 EA  AB ，所以可推得 EAH  ABC (ASA 全等).. 同理，可推得 BDG  ABC ，由此可知： EAH  BDG  DEF  ABC.. 2. 說明四邊形 CGFH 為正方形：因為四邊形 CGFH 四個角的外角皆為直角，所以四邊形 CGFH 四個角的皆 12.

(18) 為直角，且每邊長皆為 b  a ，推得四邊形 CGFH 為正方形。 3. 最後運用正方形 ABDE 的圖形分割，來推出勾股定理的相關式：將正方形 ABDE 拆解成三角形 AEH 、三角形 BDG 、三角形 DEF 、三角形 ABC 、正方形 CGFH ，即. ABDE  AEH  BDG  DEF  ABC  CGFH. . c 2  4  ABC  AC  AH. . 2. 1 2 c 2  4  ab   b  a  2 2 c  2ab  b 2  2ab  a 2 , 即可得. c 2  a 2  b2 . 接著 G225 的求證過程，同樣利用上圖，且使用「幾何」的證明方法來說明：. 【G225 的求證過程】 1. 由上面 A034 的證明中，已經可知三角形 ABC 與三角形 DEF 、三角形 EAH 、三角形 BDG 皆全等，且四邊形 CGFH 為正方形。 2. 再來利用圖形的分割，將正方形 ABDE 重新拼湊：先將正方形 ABDE 作適當的旋轉，如下圖 3.2.2： E. F A. H. G. D. C. B. 圖 3.2.2. 婆什迦羅的證明圖. 將三角形 AEH 固定 A 點旋轉，並將 AE 與 AB 重合(圖 3.2.3)：. 13.

(19) 圖 3.2.3. 將三角形 AEH 旋轉. 同理，再將三角形 DEF 固定 D 點旋轉，並將 DE 與 DB 重合(圖 3.2.4)：. 圖 3.2.4. 將三角形 DEF 旋轉. 3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形：延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.5：. 14.

(20) F A. G C. H. H’. D. I 圖 3.2.5. F’. B 拼湊出來的圖形. 因為 ABC  ABH '  BDG  BDF ' ，所以矩形 ACBH ' 與矩形 BGDF ' 的長與寬皆為 AC 與 BC ，因為 FG  BI  AC  BC ，推得. . . AH  IH '  AC  AC  BC  BC ，所以四邊形 AHIH ' 是邊長為 BC 的正方形；. . . 同理，因為 DF  IF '  BC  AC  BC  AC ，所以四邊形 DFIF ' 是邊長為 AB 的正方形。 4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式：因為正方形 ABDE 是邊長為 AC 的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形 AHIH ' 與正方形 AFIF ' ，所以整理得. ABDE  AHIH ' AFIF ' 2. 2. 2. AB  BC + AC , 即 c2  a 2  b2 .. 以上證明透過圖形的旋轉，比較原圖形面積與重組後的面積表示法，即由三個正方形的面積關係推導出勾股定理關係式。由上述例子可印證，「代數」的證明透過已知條件，來證明 a 2  b2  c 2 這個等式，過程中並無涉及「以兩股為邊長的正方形面積及以斜邊為邊長的正方形面積關係」；而「幾何」的證明則是由直角三角形製造出以兩股為邊的正方形，接著證明兩股為邊形成的正方形面積和，會等於斜邊上的正方形面積。. 15.

(21) 第三節. 勾股定理幾何證明分類. 魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將 109 個「代數」的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類型，以下我們主要介紹魯米斯《勾股定理》中的「幾何」證明：. 幾何證明的分類---依圖形劃分從魯米斯《勾股定理》這本書中我們發現，在「幾何」的證明中魯米斯依據圖形的繪製方法不同，將「幾何」的證明分為以下十種類型：. 類型. 圖形說明. 類型 1. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心向外側延伸。. 類型 2. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中心外側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 類型 3. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。. 類型 4. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。與類型三的差異在於兩股上的正方形朝向位置相反。. 16. 示意圖形.

(22) 類型類型 5. 圖形說明. 示意圖形. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 類型 6. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 類型 7. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中心內側，斜邊上的正方形朝向外側。. 類型 8 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，三個正方形位置皆朝向直角三角形的中心內側。. 類型 9 此種類圖形以直角三角形的三邊為邊長作正方形，其中正方形的位置並非全部都與直角三角形的邊作齊，右圖形僅為示意，證明的圖形中只要正方形的位置為前 8 類作轉移，皆蒐集在此分類。類型 10 此類證明圖形並沒有作出三個以直角三角形的三邊為邊長的正方形，在此分類下又可細分兩類： (1)圖形以正方形為主軸的證明 (2)圖形以三角形為主軸的證明在此，本研究中所提供的 50 個勾股定理的幾何證明，圖形分別分佈在以上的第 3、4、5、7、9、10-(1)種類型，不論圖形的變化為何，其證明目標皆為「以直角三角形兩股為邊形成的正方形面積和，會等於斜邊上的正方形面積」。 17.

(23) 幾何證明的分類----依證明手法劃分在前述魯米斯勾股定理幾何證明的 10 種分類中，可知證明的圖形雖有所差異，但證明方向都是去說明以兩股為邊長的兩個正方形面積和，相當於以斜邊為邊長的正方形面積，儘管如此證明的手法仍有所不同，接下來我們不論前述的圖形分類，去檢視證明手法的差異，則大致可歸納出以下的 5 種證明手法，當然這些手法仍屬幾何分類之中。(在此所區分的類型限制在附錄工作單的 50 個幾何證明，但應以包羅大多數的方法)：類型. 證明手法說明. 可參考之工作單編號. 類型 1 (可做. 運用圖形的全等關係，將圖形作切、割、移、補的動作，亦即可將圖形分割後運用拼圖方式. ①G119, G165, G166, G173, G177,. 拼圖). 進行填補，找出三個正方形面積關係，此分類方法訴諸直觀的操作。在此分類下又可依據拼圖方式細分為 3 個小類： (1)圖形的各分割部位均移動一次即可作拼圖填補，可以實物做拼貼。. G186, G188, G189 ②G110, G113, G114, G168, G169, G174 ③G141, G167, G187. (2)圖形的有些分割部位需移動兩次，作二次拆解才可完成拼圖，較不直觀。 (3)圖形的分割部位在進行填補動作時有重疊部分，在實際操作上可能較不容易。類型 2. 運用圖形之間的全等關係，將相同的圖形面積以兩種不同的圖形分割來表示，比較兩種面積表示法，可發現三個正方形的面積關係。. G107, G111, G122. 類型 3. 無法完全運用圖形的全等關係作圖形的割補，. G120, G121, G135,. 必須輔以少量的代數的運算，去找出三個正方形的面積關係。. G136, G139, G141,G142, G171. 運用矩形、正方形、平行四邊形或是三角形面積之間的等底同高關係，去計算面積，可得到三個正方形的面積關係，此分類證明精髓與歐. G123, G126, G137, G140, G170, G172, G175, G178, G180,. 幾里得《幾何原本》卷一命題四十七的證明相同，也就是俗稱的「面積證法」。. G190, G212. 此類型證明大多沒有作出直角三角形邊上的三個正方形，因此較難比較三個正方形面積的關. G214, G215, G219, G220, G221, G222.. 類型 4. 類型 5. 係，大多直接看到直角三角形的三個邊長關係證明過程可能是透過割補、圖形重組、計算面積去得到結果，大多需要代數運算作為輔佐。. 18.

(24) 第四章. 勾股定理證明工作單. 第一節. 勾股定理證明工作單內容說明. 由於學生在學習勾股定理的過程中較容易忽略其幾何意義，因此在本章的第二節中，將會介紹 50 個勾股定理的幾何證明，這 50 個證明皆從魯米斯的《勾股定理》這本書中擷取，將其內容作進一步的說明。在每個證明中我們皆從以角 C 為直角的直角三角形 ABC 出發，並假設 BC  a , AC  b , AB  c (如圖 4.1.1)，由於這些勾股定理的證明都歸類在幾何證明內，因此其證明目標為「兩股為邊形成的正方形面積和，會等於斜邊上的正方形面積」，最後才整理出結論 a 2  b2  c 2 。. C. a. b. A. c 圖 4.1.1. B. 直角三角形 ABC. 在每個證明工作單中皆包含【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】這三個部分，以下我們分別就其內容作說明：第一部分【作輔助圖】：在證明之前，我們先為直角三形 ABC 繪製證明的輔助圖，由輔助圖的差異會有不同的證明圖形，因此會有許多種不同的證明方式，甚至相同的圖形也會有不同的證明方式，在此部分我們會將作圖步驟完整列出，而所有的作圖步驟使用尺規即可完成，因此學生可依步驟自行作圖，對於尺規作圖還不熟悉的學生也可以參考底下已完成的輔助圖直接進入證明步驟。第二部分【求證過程】：此部分是整個證明的重點，為了讓讀者了解證明的過程，在每個證明之前會先簡單介紹此證明的脈絡，接著從已經完成的輔助圖，證明出勾股定理關係式，學生可以閱讀完脈絡即可開始嘗試自行證明，或者可以跟著步驟分段來完成證明。在每個證明步驟中，也都會作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟 19.

(25) 要推論的內容，在此由於我們的目標是要讓學生對於勾股定理有直觀的幾何想法，因此學生必須將重點放在圖形的變化，可不需拘泥在較繁瑣的證明內容。第三部分【註與心得】：此部分又分為四項，底下我們為此四項作簡單的內容說明： 1.「來源」：這部分標明原證明的出處，有些證明可能是有名數學家所證明的，或是出自某本書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去收集資料來閱讀。 2.「心得」：此為研究者本人對於此證明作的簡單評論或與其他證明的比較，也可能是研究者讓學生閱讀後的心得，及可直接運用拼圖方式呈現的證明也會在此提供拼湊圖形供給讀者參考。 3.「評量」：此部分分為五個選項，評估此證明是否適合在國中或高中階段所能理解，以及適合教學否，另外也有也針對是否欣賞此證明及此證明是否具有美學來做勾選，這些皆是研究者整理完此證明，主觀的評價證明內容，提供讀者參考來判斷此證明是否符合所預期的內容。 4.「補充」：部分證明內容涉及學生課綱中未學過的定理，或某些作圖結果需要另行說明皆會再補充中作說明，協助學生對此證明的理解，較經典的證明也會簡單的將數學史內容納入，藉由一些史料故事也希望引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。. 第二節. 工作單內容. 以下工作單我們將介紹 50 個幾何分類中的勾股定理證明，如本章第一節所述，每一個證明皆包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本研究的 50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗，其中包含許多經典證明，我們將介紹下述 50 個勾股定理證明： G107、G110、G111、G113、G114、G119、G120、G121、G122、G123、G126、 G135、G136、G137、G139、G140、G141、G142、G165、G166、G167、G168、 G169、G170、G171、G172、G173、G174、G175、G177、G178、G180、G186、 G187、G188、G189、G190、G212、G214、G215、G219、G220、G221、G222、 G223、G224、G225、G227、G228、G229。 20.

(26) 勾股定理證明-G107 【作輔助圖】 1.. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABDE ，以 BC 為邊，向外作一正方形 BCFG ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACHI 。. 2.. 從 E 點作一直線與 BC 平行，從 D 點作第二條直線與 AC 平行，且兩直線交於 J 點。. 3.. 延長 AC 與第一條直線交於 K 點。. 4.. 分別延長 FG , BC , AI 與第二條直線分別交於 L , M , N 點。 F C G A. B H L. K M. I E. D N J. 【求證過程】證明圖中若干個圖形全等，利用上述作圖結果將圖中外圍最大矩形面積作兩種不同表現式子，比較兩種面積表現式，即可推出勾股定理關係式。 1. 首先證明三角形 AEI , 三角形 EAK 全等於三角形 ABC ：因為 BAC  BAI  90 , 且 EAI  BAI  90 , 所以 EAI  BAC , 因為 AE  AB , AIE  90=ACB , 及前述 EAI  BAC , 所以 AEI  ABC (AAS 全等),. 因為由作圖過程可知四邊形 AIEK 為矩形，所以可推得 EAK  AEI  ABC .. 2. 藉由三角形全等關係說明四邊形 EINJ 為正方形： 21.

(27) 因為由圖形可推得 AEK  DEJ  90 , 且由第 1 點結論可推得 AEK  BAC , 所以 DEJ  90  AEK  90  BAC  ABC , 即 DEJ  ABC ; 同理由 BDM  ABC 可推得 EDJ  BAC , 因為 DE  AB 及前述 DEJ  ABC , EDJ  BAC , 所以. DEJ  ABC (AAS 全等),. 因為作圖過程可知四邊形 EINJ 為矩形，且由上述得 EJ  BC , 及由第 1 點可得 IE  BC , 推得 IE  EJ , 所以四邊形 EINJ 為正方形。 3. 說明矩形 EJMH 全等於矩形 CFLM ：因為四邊形 FLJK 為矩形，所以 FL  JK , 且因為 EJ  BC  FG , 推得 GL  EK  AC , 所以矩形 CFLM 的長邊 FL 長度為 FG  GL  BC  AC , 因. 為矩形 EJMH 的長邊 EH 長度為 EI  IH  BC  AC 與矩形 CFLM 的長邊等長，且短邊長度都為 BC , 所以推得矩形 EJMH  矩形 CFLM . 4. 說明矩形 AIEK 與矩形 BGLM 的面積可視為兩個直角三角形 ABC 的和：因為 AE 為矩形 AIEN 的對角線，所以 AIEK = 2AEI  2ABC ;. 因為. BGLM =. AIEK ，所以可得. BGLM = 2ABC .. 5. 比較長方形 FLJK 的兩種不同面積表現式：因為由圖形可知 FLJK  ABDE . CFLM  4ABC ;. 另外再由圖形及第 3, 4 點結論可推得： FLJK  BCFG  ACHI  AIEK  EJMH  BGLM FLJK  BCFG  ACHI  2ABC  CFLM  2ABC FLJK  BCFG  ACHI  CFLM  4ABC ,. 所以比較上述兩式可得： ABDE  CFLM  4ABC  BCFG  ACHI  CFLM  4ABC ,. 即 ABDE  BCFG  ACHI .. 6. 整理第 5 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係： 22.

(28) 因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 BCFG 邊長為 BC , 正方形 ACHI 邊長為 AC , 所以由第 5 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自以下書籍： Joh. Hoffmann (1821). Der Pythagoräische Lehrsatz. London : Henry Board. J. Wipper(1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p.19). Leipz. : Friese. 2. 心得：此證明是利用外圍長方形面積的兩種不同分割表現式，說明圖形中三個正方形的關係，因此這兩種不同面積表現式應分別要有具有正方形面積，才能夠比較出三個正方形的關係，此種方式沒有辦法讓學生用拼圖的方式操作。 3. 評量：國中. 高中. ●. 23. 教學. 欣賞. ●. ●. 美學.

(29) 勾股定理證明-G110 【作輔助圖】 1.. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG ，以 BC 為邊，向內作一正方形 BCHI ，且 HI 交 AB 於 J 點。. 2.. 連接 DI （於證明過程第 1 點說明 H  I  D 三點共線）。. 3.. 從 H 點作 AB 的平行線交 AG 於 K 點。. 4.. 從 E 點作 AC 的平行線交 DI 於 L 。. 5.. 連接 FH 。 F. G C K A. H J. B I. L. D. E. 【求證過程】上述輔助圖將正方形 ABDE 分割成四部分，找出這些分割區塊與其他正方形分割區塊的全等關係，並證明其全等，利用圖形之間的割補，可推出勾股定理關係式。 1.. 首先證明圖中若干個三角形全等於三角形 ABC ，進一步推得 H  I  D 三點共線：. 因為 ABC  JBI  90 , JBI  IBD  90 , 所以 IBD  ABC , 且因為 BI  BC , BD  AB ，所以 DBI  ABC (SAS 全等),. 因此可進一步推得 BID  90 , 且因為 BIJ  90 , 所以 H  I  D 三點共線; 因為 EL // AC , ED // AB , 所以 LED  CAB ；因為 24.

(30) BDI  LDE  90 , BDI  IBD  90 , 所以 LDE  IBD  CBA ,. 由前述 LED  CAB , LDE  CBA , 及 ED  AB 可得 EDL  ABC (ASA 全等),. 因為 FC  AC , FCH  ACB , CH  BC , 所以 FHC  ABC (SAS 全等).. 2.. 運用平行四邊形性質說明三角形 AJH 全等於三角形 HKA ：因為由作圖過程可推得 KH // AJ , AK // JH , 所以四邊形 AJHK 為一平行四邊形，因此可推得 AJH  HKA .. 3.. 說明四邊形 AELJ 全等於四邊形 HFGK ：因為 DH  HI  DI  BC  AC , 且 DH  HL  DL  HL  BC , 比較前述兩式可得 BC  AC  HL  BC , 推得 HL  AC , 且由圖形可得 JL  HL  HJ  AG  AK  GK , 即 JL  GK ; 因為 EL // GF , AE // FH , 所. 以 AEL  HFG . 根據上述第 1, 2 點的結論可推得 EL  AC  GF , FH  AB  AE , KH  AJ , 因為前述 JL  GK , EL  GF , FH  AE , KH  AJ , AEL  HFG , 及 ELJ  90  FGK , EAJ  90  FHK , 所以. 四邊形 AELJ  四邊形 HFGK . 4.. 運用作圖將正方形 ABDE 分割為四區塊，利用前述證明將正方形 ABDE 重新拼湊：. 由圖形及前述證明可知 ABDE  四邊形AELJ  EDL  DBI  BJI ABDE  四邊形HFGK  ABC  FHC  BJI ABDE  四邊形HFGK  (AJH  四邊形BCHJ )  FHC  BJI ABDE  (四邊形HFGK  HKA  FHC )  (四邊形BCHJ  BJI ) ABDE  ACFG  BCHI. 即 ABDE  ACFG  BCHI .. 5.. 整理第 4 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 BCHI 邊長為 BC , 正方形 ACFG 邊長為 AC ,所以由第 4 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 25.

(31) 即 c 2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.155). New York : Macmillan and co. 2. 心得：此證明運用圖形之間的全等關係，可運用以斜邊為邊長的正方形分割，將各分割部分移動到以兩股為邊長的正方形上，因此可得到三個正方形的面積關係，學生若將圖形割補運用拼圖方式，以操作取代證明則較能體會畢氏定理的意義。 3. 評量：國中. 高中. ●. 26. 教學. 欣賞. ●. ●. 美學.

(32) 勾股定理證明-G111 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABDE ，以 BC 為邊，向內作一正方形 BCFG ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACHI 。. 2. 延長 HB ，使 BJ  AC ，延長 HI ，使 IK  BC 。 3. 從 K 點作 KL  AC ，使四邊形 CHKL 為一矩形。 4. 延長 KL , JD 交於 M 點，且 E 點在 KM 上（於證明第 1 點中說明）。 5. 連接 GD 。. H. I C K F B. A. L. G J. D. E. M 【求證過程】如上圖的分割，可將長方形 JHKM 的面積作兩種不同組合，利用三角形的全等，及矩形面積為三角形面積兩倍的關係，比較長方形 JHKM 面積的兩種不同組合，可推得作圖步驟一的三個正方形面積關係，即勾股定理關係式。 1. 首先說明圖中若干個三角形全等：因為 CBA  CAB  90 , 且 CBA  DBJ  90 , 所以 CAB  DBJ , 27.

(33) 因為 AC  BJ , CAB  DBJ , AB  BD , 所以 BDJ  ABC (SAS 全等); 因為 EDM  BDJ  90  DBJ  BDJ , 所以 EDM  DBJ  BAC ,. 因為 DE  AB , DME  90  ACB , 及前述 EDM  BAC , 所以 DEM  ABC (AAS 全等),. 因為 ALE  90  ACB , AL  BC , AE  AB , 所以 EAL  ABC (RHS 全等), 由前述 EAL  ABC 及 DEM  ABC , 推得 AEL  DEM  90 , 即 E. 點在 KM 上；因為 CBA  ABG  90 , 且 GBD  ABG  90 , 所以 CBA=DBG . 因為 BG  BC , CBA=DBG , BD  AB , 所以 DBG  ABC (SAS 全等);. 由以上說明可結論： BDJ  DEM  EAL  DBG  ABC . 2. 說明圖中矩形面積相當於兩個直角三角形 ABC 的和：. 因為 AI  AC , IK  BC , 所以 AIKL =2ABC ;. 同理， BJDG  2ABC . 3. 運用邊長關係說明矩形 DMLF 與矩形 CHKL 全等：. 因為 FG  GD  BC  AC  EM  EL , 且因為 FLM  DML  90 , 所以四邊形 DMLF 為一矩形，且邊長與矩形 CHKL 相等，可進一步得知矩形 DMLF  矩形 CHKL . 4. 運用圖形前面幾點證明結果將矩形 JHKM 面積以兩種不同方式呈現並比較：由圖形及上述第 1 點可知 JHKM  ABDE  CHKL  ABC  BDJ  DEM  EAL JHKM  ABDE  CHKL  4ABC. 另外由圖形及上述第 2, 3 點可知 JHKM  BCFG  ACHI . DMLF  四邊形AIKL  四邊形BGDJ. JHKM  BCFG  ACHI  CHKL  4ABC ,. 28.

(34) 由前述兩種長方形 JHKM 面積表示方法比較可得 ABDE  CHKL  4ABC  BCFG  ACHI . CHKL  4ABC ,. 即 ABDE  BCFG  ACHI . 5. 整理第 4 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：. 因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 BCFG 邊長為 BC , 正方形 ACHI 邊長為 AC ,所以由第 4 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Joh. Hoffmann (1821). Der Pythagoräische Lehrsatz. London : Henry Board. J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 19). Leipz.: Friese. 2. 心得：此證明是利用外圍長方形面積的兩種不同分割表現式，說明圖形中三個正方形的關係，其分割方式雖與 G107 不同，但分割出來的部分經過移動改變位置後圖形是相同的，同樣的此圖形也不能透過割補用拼圖方式讓學生體會勾股定理。 3. 評量：國中. 高中. ●. 29. 教學. 欣賞. ●. ●. 美學.

(35) 勾股定理證明-G113 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABDE ，以 BC 為邊，向內作一正方形 BCFG ，且 FG 交 AB 於 O 點，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACHI 。. 2. 連接 GD （由求證過程第 1 點可得 F  D  G 三點共線）。 3. 延長 FG 交 HI 於 J 點。 4. 從 E 點作 DF 的垂線交於 K 點，並將 IA 延長與 EK 交於 M 點。 5. 在 AM 上找一點 M 使得 MN  BC 。 6. 從 N 點作 EM 的平行線交 AE 於 P 點。 7. 連接 HF 。. H. J I C. F A. O. B. N P G K M E. D. 【求證過程】如上述作圖過程，恰好將正方形 ABDE 分割成六區塊，證明此六區塊面積恰好可等同另外兩正方形面積和，其中利用了三角形全等性質，及矩形的全等，即可推得勾股定理關係式。 1. 運用圖中線段平行關係說明數個三角形全等於三角形 ABC ：因為 DBG  GBO  90  ABC  GBO , 所以 DBG  ABC , 且因為 BG  BC , BD  AB , 所以 30.

(36) DBG  ABC (SAS 全等); 由上述可推得 BGD  BGF  90  90  180 , 即 F  D  G 三點共線；因為 EAM  BAM  90  BAC  BAM , 所以 EAM  BAC , 且因. 為 EMA  90  ACB , AE  AB , 所以 AEM  ABC (AAS 全等);. 因為 EK // AC , KD // BC , AB // DE ，由平行線性質得 KED  CAB , KDE  CBA ，且 AB  DE , 所以. EDK  ABC (ASA 全等);. 綜合上述可得 EDK  DBG  AEM  ABC . 2. 說明三角形 HCF 與三角形 FHJ 全等於三角形 ABC ：. 因為 CH  AC , CF  BC , HCF  ACB , 所以 HCF  ABC (SAS 全等);. 同理， FHJ  ABC (SAS 全等). 3. 先說明三角形 APN 全等於三角形 AOF ，再利用此結果說明四邊形 PEMN 全等於四邊形 OBCF ：. 由第 1 點可知 AEM  ABC , 可推得 AM  AC ; 因為 MN  BC , 所以 MN  CF , 由圖形及前述 AM  AC 及 MN  CF 可得 AN  AM  MN  AC  CF  AF , 即 AN  AF ,. 因為 NAP  FAO , ANP  AME  90  AFO , 及前述 AN  AF , 所以 APN  AOF (ASA 全等); 由第 1 點結論中 AEM  ABC 及前述 APN  AOF ，結合圖形可得四邊形PEMN  AEM  APN  ABC  AOF  四邊形OBCF 即四邊形 PEMN  四邊形 OBCF . 4. 說明矩形 AFKM 全等於矩形 AFJI ：. 因為矩形 AFKM 的長邊長度為 AM , 由第 1 點可知 AM  AC , 且. 31.

(37) AI  AC , 所以可知矩形 AFJI 的長邊長度與 AFKM 的長邊等長，且因. 為 AF 為兩矩形的公共邊，所以由兩矩形的長邊及短邊等長可推得矩形 AFKM  矩形 AFJI 5. 由圖形及綜合前述 1, 2, 3, 4 點將正方形 ABDE 重新拼湊組合可得： ABDE  EDK  DBG  四邊形AMKO  APN  OBG  四邊形PEMN ABDE  HFC  FHJ  (四邊形AMKO  AOF )  OBG  四邊形OBCF ABDE  HFC  FHJ  AFKM  OBG  四邊形OBCF ABDE  (HFC  FHJ . AFJI )  (OBG  四邊形OBCF ). ABDE  ACHI  BCFG .. 6. 整理第 5 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 ACHI 邊長為 AC , 正方形 BCFG 邊長為 BC , 所以由第 5 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c 2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1900 年 8 月 1 日想到的。 2. 心得：此證明以斜邊為邊長的正方形分割，運用圖形之間的全等關係，將圖形的各個分割部分移動到以兩股為邊的正方形上，因此可得到三個三角形的面積關係，學生若將圖形割補運用拼圖方式以操作取代證明，則較能體會勾股定理幾何意義，可參考 G114。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 32. 欣賞. 美學. ●. ●.

(38) 勾股定理證明-G114 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABDE ，以 BC 為邊，向內作一正方形 BCFG ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACHI 。. 2.. 同前項 G113 附圖中的輔助線，進一步將正方形 ABDE 各切割部分加以編號。. 3.. 將四邊形 BCFO 編號為 x , 三角形 CHF 編號為 y , 三角形 FHJ 編號為 z , 矩形 AFJI 編號為 u 。 H. J I. z y. C. u F A. x O. B 1. 4 N P. 3. G K. 2. 6. M 5 E. D. 【求證過程】上述作圖過程中，將正方形 ABDE 分割成六區塊，透過圖形的平移及旋轉或翻轉，將此六區塊移動至另外兩個正方形，從三個正方形之間的面積關係，可推得勾股定理關係式。 1. 移動正方形 ABDE 的分割部分至另外兩個正方形：由圖形可知正方形 ABDE 可分成六個部分，即 ABDE =①+②+③+④+⑤+⑥.. 透過圖形的平移旋轉，將圖中的第 2 部分以 A 點為中心旋轉 90 後移動到 x 部分，將第 5 部分以 D 點為中心旋轉 90 後移動到 y 部分，第 6 部分平移到 z 部分，將第 4 部分以 A 點為中心旋轉 90 移動到三角形 33.

(39) AOF , 接著將第 3 及第 4 部分平移到 u 部分。. 2. 透過上述第 1 點的移動過程, 我們可將正方形的六個部分，分別移動至正方形 BCFG 及正方形 ACHI ，其中第 1 部分為正方形 ABDE 及正方形 BCFG 的共同部分，綜合以上圖形的移動，可知： ABDE =①+②+③+④+⑤+⑥ ABDE =(①+ x )+( u  y  z ). = BCFG  ACHI . 3. 整理第 2 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 BCFG 邊長為 BC , 正方形 ACHI 邊長為 AC ,所以由第 2 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個 1933 年 12 月 19 日想到的。 2. 心得：此證明與 G113 完全相同，差別在於創作者將此證明圖形中各部分編號，運用各編號圖形的全等關係做拼湊，找出三個正方形的關係，同樣透過圖形割補讓學生拼圖實作即可體驗勾股定理的意義。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. ●. 34. 欣賞. 美學.

(40) 勾股定理證明-G119 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABDE ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG ，以 BC 為邊，向外作一正方形 BCHI ，且 CH 交 BD 於 J 點。. 2. 延長 DB 交 FG 於 K 點。 3. 從 E 點作 EL 平行 BC 。 4. 在 EL 上作 ML  BC 。 5. 從 M 點作 MN 平行 AC 。 6. 連接 DH 。. E. D M. H J. N C. I. L. B. A. F K. G 【求證過程】作圖過程中將正方形 ABDE 分割為五個區塊，利用圖形間的全等關係，可比較出正方形 ABDE 面積與另外兩個正方形的關係式，進而推得勾股定理關係式。 1. 運用作圖結果及圖形間關係證明三角形 EAL 全等於三角形 ABC ：因為 EL // BC , 所以 ALE  90 , 即 ALE  ACB ；因為 EAL  CAB  90 , CBA  CAB  90 , 所以 EAL  CBA . 因為 ALE  ACB , 及前述 EAL  CBA , 且 AE  AB , 所以. EAL  ABC (AAS 全等). 35.

(41) 2. 運用第 1 點及圖形間關係證明三角形 ENM 全等於三角形 BKF ：因為 EAL  ABC , 所以 EL  AC = CF , 即 EL  CF , 因為 EM  EL  ML , 又因為 EL  CF , ML  BC , 所以 EM  EL  ML =. CF  BC  BF , 即 EM  BF ; 因為 EN // BK , EM // BF , 所以 MEN  FBK ; 因為 MN // AC // FK , EM // BF , 所以 EMN  BFK .. 因為前述 EM  BF , MEN  FBK , 及 EMN  BFK , 所以 ENM  BKF (ASA 全等). 3. 運用作圖結果及圖形間關係證明三角形 BID 全等於三角形 ALE ：. 因為 DI // EL , DB // EA ，所以 BDI  AEL ；因為 BI // AL , DB // EA ，所以 DBI  EAL . 因為 BDI  AEL , BD  AE , 及 DBI  EAL , 所以 BID  ALE (ASA 全等).. 4. 運用第 3 點結果及圖形之間關係證明三角形 DJH 全等於三角形 ENM ：因為 BID  ALE , 所以 DI  EL , 又因為 HI  BC  ML , 所以 DH  DI  HI  EL  ML  EM , 即 DH  EM , 因為 JDH  NEM ,. DHJ  EMN , 及前述 DH  EM , 所以. DJH  ENM (ASA 全等). 5. 證明四邊形 ALMN 全等於四邊形 BIHJ ：由圖形及第 3 和第 4 點可推得四邊形ALMN  EAL  ENM  DBI  DJH  四邊形BIHJ , 即四邊形 ALMN  四邊形 BIHJ . 6. 運用前述證明結果找出對應邊及角度關係證明四邊形 ELJD 全等於四邊形 AGKB ：. 由第 1 點 EAL  ABC , 可知 EL  AC , 推得 EL  AG ; 由第 2 和第 4 點可推得 DJH  BKF , 進一步得 DJ  BK ; 因為 ED // AB , EL // AG , 所 36.

(42) 以 DEL  BAG ; 因為 DE // AB , DJ // BK , 所以 EDJ  ABK . 綜合上述 EL  AG , DJ  BK , DEL  BAG , EDJ  ABK , 且 DE  AB , 可得四邊形 ELJD  四邊形 AGKB . 7. 運用上述結果及圖形找出正方形 ABDE 與正方形 ACFG , 正方形 BCHI 的關係式：由圖形及第 2, 5, 6 點結論可知 ABDE  ABC  BCJ  EAL  四邊形ELJD ABDE  ABC  BCJ  EMN  四邊形ALMN  四邊形ELJD ABDE  ABC  BCJ  BKF  四邊形BIHJ  四邊形AGKB ABDE  (ABC  BKF  四邊形AGKB )  (BCJ  四邊形BIHJ ) ABDE  ACFG  BCHI .. 8. 整理第 7 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 ACFG 邊長為 AC , 正方形 BCHI 邊長為 BC , 所以由第 7 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：此證明來自於清末數學家華蘅芳(1833-1902)二十二個勾股證明之一，除此之外還收錄於以下期刊： Benj. F. Yanney and James. A.(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 73-74. 2. 心得：此證明主要運用圖形分割後的全等關係，將圖形拼湊找到三個正方形關係，因此此圖形可讓學生用拼圖操作方式體會三個正方形的面積關係，且若是要做拼圖操作則作圖過程中的 DH 可省略，因為此一作圖步驟僅是為了要完成圖形全等的證明，並不影響到圖形的拼湊操作。拼圖方式如下：. 37.

(43) E. D M. E. H. M. J. N. D H J. N. C. C. I. L. A. I. L. B. A. B. F. F. K. K. G. G. 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. ●. 欣賞. 美學 ●. 4. 補充：華蘅芳簡介：華蘅芳(1833-1902)清末數學家，在《雙套句股》提供了二十二種精彩的勾股定理證明，其證明方式皆為圖形的割補；華蘅芳同時也為機械工程專家，與徐壽製成中國第一台蒸氣機，少年時酷愛數學，遍覽當時各種數學書籍，與李善蘭相善，在數學研究、科技著作、書籍翻譯都有出色的表現，使高等數學的基礎知識及方法得以進一步傳播，中國早期掌握和傳播近代科技的代表人物之一。. 38.

(44) 勾股定理證明-G120 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABDE ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG ，以 BC 為邊，向外作一正方形 BCHI 。. 2. 連接 DH 。 3. 從 E 點作 EJ 平行 AC ，且 EJ  BC 。 4. 連接 AJ 。 5. 連接 IJ ，分別交 BD , AE 於 K 點及 L 點，且 C 點在 IJ 上（補充：註 ①）。 6. 連 CG 交 AB 於 M 點。 E. D H. J. C. L. A. M. K. I. B F. G. 【求證過程】如圖，將正方形 ABDE 分割為兩梯形，證明若干個三角形的全等，利用全等三角形對應邊相等，進而得到兩梯形全等，其中一個梯形由圖形分割可視為四個三角形的和，最後運用圖形的拼湊，可推得勾股定理關係式。 1. 運用正方形對角線與圖形關係說明三角形 BCM 全等於三角形 BIK ：因為 CI 為正方形 BCHI 的對角線所以 BIK  45 , 因為 CG 為正方形 ACFG 的對角線所以 BCM  45 , 由前述 BIK  45 及 BCM  45 可得 BIK  BCM ；因為 KBI  KBC  90 , MBC  KBC  90 , 所以 KBI =CBM .. 因為根據前述 BIK  BCM , KBI =CBM , 及 BI  BC , 所以 39.

(45) BCM  BIK (ASA 全等). 2. 運用作圖過程說明三角形 AEJ 全等於三角形 DBI ：. 因為 EJ // BI , AE // BD , 所以 AEJ  DBI , 因為 AE  BD , EJ  BC  BI 及前述 AEJ  DBI , 所以可得 AEJ  DBI (ASA 全等). 3. 運用圖形間關係及第 2 點結論說明三角形 EJL 全等於三角形 BIK ：. 因為 JL // KI , AE // BD , 所以 BKI  ELJ ；因為 AEJ  DBI , 所以 DBI  AEJ , BI  EJ , 因為前述 BKI  ENJ , DBI  AEJ ,. BI  EJ , 所以 EJL  BIK (AAS 全等),. 再由第 1 點及前述結論可推得： BIK  BCM  EJL . 4. 由圖形間關係及第 3 點結論說明三角形 ACL 全等於三角形 AGM ：. 因為 LAC  CAM  90 , CAM  MAG  90 , 所以 LAC  MAG ；因為第 3 點中 BCM  EJL , 得 BM  EL , 又因為 AE  AB , 所以 AL  AE  EL  AB  BM  AM .. 因為前述 LAC  MAG , AL  AM ,. 且 AC  AG , 所以 ACL  AGM (SAS 全等). 5. 說明梯形 ABKL 全等於梯形 DELK ：. 因為梯形 ABKL , DELK 中, BK  EL , DK  AL , 且 AB  DE , KL  KL 及兩梯型角度對應相等所以梯形 ABKL  梯形 DELK . 6. 由圖形結合第 3, 4, 5 點可得： ABDE  梯形ABKL  梯形DELK ABDE  2梯形ABKL ABDE  2( ACL   ACM   BCM   CBK) ABDE  2( AGM   ACM   BIK   CBK) ABDE  2(AGM  ACM )  2( BIK   CBK) ABDE  ACFG  BCHI .. 40.

(46) 7. 整理第 6 點的結果，找出直角三角形 ABC 三邊長關係：因為正方形 ABDE 邊長為 AB , 正方形 ACFG 邊長為 AC , 正方形 BCHI 邊長為 BC ,所以由第 6 點結論可推得 2. 2. 2. AB  BC  AC ,. 即 c2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A (1898). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 74. 2. 心得：作圖過程中連接 DH 可省略；此證明的圖形分割，無法完全運用拼圖方式直接將以斜邊為邊長的正方形分割部分，移動到以兩股為邊長的正方形圖形裡，必須另外搭配代數式子，得到勾股定理關係式，雖然如此，仍可透過拼圖方式讓學生直觀的去感受圖形關係。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 欣賞. 美學. ●. ●. 4. 補充（補證性質）：註①：因為由求證過程 4 點結論 ACL  AGM , 可推得 ACL  AGM  45 , 且 ICB  45 , ACB  90 , 所以 ACL +ACB  ICB  180 , 即 C 在 IJ 上。. 41.

(47) 勾股定理證明-G121 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABDE ，以 BC 為邊，向外作一正方形 BCFG ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACHI 。. 2. 延長 HI 及 FG 交於 J 點。 3. 過 E 點作一直線平行於 AC , 並延長 AI 及 FG 與該直線分別交於 L 及 K 兩點。 4. 延長 GB 交 AI 於 M 點。. K D. E. F L. C. G J B. A. H M I 【求證過程】證明圖中若干個三角形全等，運用圖形之間的關係，找出正方形 ABDE 與圖中外圍最大矩形面積與的關係式，可推得勾股定理關係式。 1. 證明上圖中若干個三角形與三角形 ABC 全等：由作圖過程可知 BM 為 GB 的延長, 因此 BM // AC , 可再推得 ABM  CAB ；因為 AM // BC , 所以 BAM  ABC . 綜合前述因為 ABM  CAB , BAM  ABC , 及 AB 為 BAM 及 ABC 的公共邊，所. 以可推得 BAM  ABC (ASA 全等);. 因為 AL 為 AI 延長，所以 CAL  90 , 因為 EAL  EAC  90 ,. 42.