教科書的現況

勾股定理在目前的課綱中編排至國民中學第三冊，在此我們挑選 A、B、C 三個教育部審核通過之教科書版本，針對課本證明內容來探究其證明方式，三 個版本對於勾股定理的證明有不同的呈現方式：

版本 A (圖 2.4.1)

證明方式：利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動(圖 2.4.1)進一步說明「以兩 股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，相同的 圖形提供兩種不同面向的證明方式，第一種透過圖形拼湊比較可直 觀的得到勾股定理的結果，不需輔以代數運算(圖 2.4.2)，屬於幾 何證明。第二種方式則需由圖形輔佐，再透過代數運算，進一步得 勾股定理(圖 2.4.3)，較傾向代數證明，幾何圖形為輔。

證明評析：以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正 方形為主軸去說明三個正方形面積關係，學生較能感受其幾何意 義，此外也可幫助記憶定理，提供兩種觀點也讓不同思考模式的學 生找到適合的解釋方法，對於代數運算較差的學生提供了直觀的證 明方式也避免學生有過度負荷的現象，而對於代數思考模式的學生 則提供了代數嚴謹的證明方式。

圖 2.4.1 版本 A 探索活動

圖 2.4.2 版本 A 的幾何證明 圖 2.4.3 版本 A 的代數證明

版本 B (圖 2.4.4)

證明方式：利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊 長c²的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差(a b )的小正方 形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比 較兩種面積表現式，整理得c² a²b²，傾向代數證明。

證明評析：在證明過程中，因為圖形中只看出以直角三角形斜邊為邊長的正方 形面積，看不見另外以兩股為邊的正方形甚至是與前者正方形的關 係，又最後是以代數式子整理出定理結果，證明雖較嚴謹但學生也 許會因此對一開始的圖形較沒有感覺，所以學生可能無法從此證明 中感受到勾股定理c² a²b²在幾何上的意義。

圖 2.4.4 版本 B 的證明 版本 C (圖 2.4.5)

證明方式：將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和(a b) 為邊長的正方形，

其圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩種方式去表 示以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現 式，整理得c² a²b²，此傾向代數證明。

證明評析：此版本證明方式與版本 B 雷同，差異是四個直角三角形的排列方法 不同，雖然證明手法同樣看起來較嚴謹，但著重在代數運算而圖形 淪為輔助，因此由於學生從圖形中較難對勾股定理的幾何意義有所 感受，因此缺少了較直觀的看法。

圖 2.4.3 版本 C 的證明

結語：綜合以上我們發現三個版本雖然皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，其 中版本 B、C 主要以代數運算來證明，雖有圖形輔佐但較難直觀的想出拼 湊方法，而版本 A 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作 圖形輔助可直接發現三個正方形面積關係，相較之下則較直觀，不過三 者皆缺少拼圖活動讓學生直接從直角三角形三邊所延伸的正方形去感受 面積關係，因此若在教學中能夠額外提供教材讓學生透過實際動手操 作，去體會兩股上的正方形面積和會等於斜邊上的大正形面積，如此一 來不僅能加深學生印象，也能讓學生感受到數學的樂趣。