工作單內容

以下工作單我們將介紹 50 個幾何分類中的勾股定理證明，如本章第一節所 述，每一個證明皆包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本 研究的 50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開 發教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗，其中包含許多經典證 明，我們將介紹下述 50 個勾股定理證明：

G107、G110、G111、G113、G114、G119、G120、G121、G122、G123、G126、

G135、G136、G137、G139、G140、G141、G142、G165、G166、G167、G168、

G169、G170、G171、G172、G173、G174、G175、G177、G178、G180、G186、

G187、G188、G189、G190、G212、G214、G215、G219、G220、G221、G222、

G223、G224、G225、G227、G228、G229。

勾股定理證明-G107

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向外作一正方形 ABDE ，以BC為邊，向外作一正方形 BCFG，以AC為邊，向內作一正方形ACHI。

2. 從E點作一直線與BC平行，從D點作第二條直線與AC平行，且兩直 線交於J點。

3. 延長AC與第一條直線交於 K 點。

4. 分別延長FG, BC, AI與第二條直線分別交於L, M , N 點。

A B

C

E D

F

G

H

I K

J

L

M

N

【求證過程】

證明圖中若干個圖形全等，利用上述作圖結果將圖中外圍最大矩形 面積作兩種不同表現式子，比較兩種面積表現式，即可推出勾股定理關 係式。

1. 首先證明三角形 AEI , 三角形EAK全等於三角形ABC：

因為BAC BAI  90 , 且EAI BAI  90 , 所以EAI  BAC, 因 為AEAB, AIE  90 = ACB, 及前述EAI  BAC, 所以

AEI ABC

   (AAS 全等), 因為由作圖過程可知四邊形 AIEK 為矩形，所以可推得

EAK AEI ABC

     . 2. 藉由三角形全等關係說明四邊形EINJ為正方形：

因為由圖形可推得AEK DEJ  90 , 且由第 1 點結論可推得

FLJK BCFG ACHI AIEK EJMH BGLM BCFG ACHI ABC CFLM A FLJK

因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形BCFG邊長為BC, 正方形ACHI 邊長為AC, 所以由第 5 點結論可推得

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自以下書籍：

Joh. Hoffmann (1821). Der Pythagoräische Lehrsatz. London : Henry Board.

J. Wipper(1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p.19). Leipz. : Friese.

2. 心得：此證明是利用外圍長方形面積的兩種不同分割表現式，說明圖 形中三個正方形的關係，因此這兩種不同面積表現式應分別要 有具有正方形面積，才能夠比較出三個正方形的關係，此種方 式沒有辦法讓學生用拼圖的方式操作。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G110

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以_AC為邊，向外作一正方形 ACFG，以BC為邊，向內作一正方形BCHI，且HI交AB於J 點。

2. 連接DI（於證明過程第 1 點說明H I D三點共線）。 3. 從H點作AB的平行線交AG於K點。

4. 從 E 點作AC的平行線交DI於L。 5. 連接FH 。

F

C

A B

G

H

I J K

L

E D

【求證過程】

上述輔助圖將正方形ABDE分割成四部分，找出這些分割區塊與其他 正方形分割區塊的全等關係，並證明其全等，利用圖形之間的割補，可 推出勾股定理關係式。

1. 首先證明圖中若干個三角形全等於三角形ABC，進一步推得 H I D三點共線：

因為ABC JBI  90 , JBI IBD 90 , 所以IBD ABC, 且因 為 BI BC, BDAB，所以

DBI ABC

   (SAS 全等),

因此可進一步推得BID 90 , 且因為BIJ  90 , 所以H  I D三點 共線;

因為EL//AC, ED//AB, 所以LED CAB；因為

90

ABDE AELJ EDL DBI BJI HFGK ABC FHC BJI

HFGK AJH BCHJ FHC BJI HFGK HKA FHC BCHJ BJI ACFG

即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍：

Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.155). New York : Macmillan and co.

2. 心得：此證明運用圖形之間的全等關係，可運用以斜邊為邊長的正方 形分割，將各分割部分移動到以兩股為邊長的正方形上，因此 可得到三個正方形的面積關係，學生若將圖形割補運用拼圖方 式，以操作取代證明則較能體會畢氏定理的意義。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G111

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以BC為邊，向內作一正方形 BCFG，以AC為邊，向外作一正方形ACHI。

2. 延長 HB ，使BJ AC，延長 HI ，使IK BC。 3. 從K點作KLAC，使四邊形CHKL為一矩形。

4. 延長 KL , JD交於M 點，且E點在 KM 上（於證明第 1 點中說明）。

5. 連接GD。

A B

C

E D F

G H

I

J K

L

M

【求證過程】

如上圖的分割，可將長方形JHKM的面積作兩種不同組合，利用三角 形的全等，及矩形面積為三角形面積兩倍的關係，比較長方形JHKM 面積 的兩種不同組合，可推得作圖步驟一的三個正方形面積關係，即勾股定 理關係式。

1. 首先說明圖中若干個三角形全等：

因為CBA CAB 90 , 且CBA DBJ  90 , 所以CAB DBJ ,

因為ACBJ, CAB DBJ , ABBD, 所以

BDJ DEM EAL DBG ABC

         .

JHKM ABDE CHKL ABC BDJ DE JHK

JHKM BCFG ACHI DMLF AIK J

L BGDJ

BCFG ACHI CHKL ABC HKM

    

    

四邊形 四邊形

由前述兩種長方形JHKM面積表示方法比較可得

4 4

ABDE CHKL ABC BCFG ACHI CHKL ABC, 即

ABDE BCFG ACHI.

5. 整理第 4 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：

因為正方形ABDE邊長為 AB , 正方形BCFG邊長為BC, 正方形ACHI 邊長為AC,所以由第 4 點結論可推得

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍：

Joh. Hoffmann (1821). Der Pythagoräische Lehrsatz. London : Henry Board.

J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 19). Leipz.: Friese.

2. 心得：此證明是利用外圍長方形面積的兩種不同分割表現式，說明圖 形中三個正方形的關係，其分割方式雖與 G107 不同，但分割 出來的部分經過移動改變位置後圖形是相同的，同樣的此圖形 也不能透過割補用拼圖方式讓學生體會勾股定理。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G113

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形ABDE，以 BC 為邊，向內作一正方形 BCFG，且 FG 交 AB 於O點，以 AC 為邊，向外作一正方形ACHI。 2. 連接 GD （由求證過程第 1 點可得F D G三點共線）。

3. 延長 FG 交HI於J點。

4. 從E點作DF的垂線交於K點，並將IA延長與EK交於M 點。

5. 在AM上找一點M 使得MNBC。 6. 從N點作 EM 的平行線交 AE 於P點。

7. 連接HF。

A B

C

D E

F

G H

I J

K M N

O P

【求證過程】

如上述作圖過程，恰好將正方形ABDE分割成六區塊，證明此六區塊 面積恰好可等同另外兩正方形面積和，其中利用了三角形全等性質，及 矩形的全等，即可推得勾股定理關係式。

1. 運用圖中線段平行關係說明數個三角形全等於三角形ABC：

因為DBG GBO   90 ABC GBO, 所以DBG ABC, 且因為 BGBC, BDAB, 所以

DBG ABC

EDK DBG AEM ABC

       .

AI AC, 所以可知矩形AFJI的長邊長度與AFKM的長邊等長，且因

ABDE EDK DBG AMKO APN OBG PEMN

HFC FHJ AMKO AOF OBG OBCF

HFC FHJ AFKM OBG OBCF HFC FHJ AFJI OBG OBCF ACHI BC

勾股定理證明-G114

AOF, 接著將第 3 及第 4 部分平移到u部分。

2. 透過上述第 1 點的移動過程, 我們可將正方形的六個部分，分別移動 至正方形BCFG及正方形ACHI，其中第 1 部分為正方形ABDE及正方 形BCFG的共同部分，綜合以上圖形的移動，可知：

ABDE=①+②+③+④+⑤+⑥ ABDE=(①+x)+(u y z) = BCFG ACHI.

3. 整理第 2 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：

因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形BCFG邊長為BC, 正方形ACHI 邊長為AC,所以由第 2 點結論可推得

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個 1933 年 12 月 19 日想到的。

2. 心得：此證明與 G113 完全相同，差別在於創作者將此證明圖形中各 部分編號，運用各編號圖形的全等關係做拼湊，找出三個正方 形的關係，同樣透過圖形割補讓學生拼圖實作即可體驗勾股定 理的意義。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G119

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向內作一正方形 ABDE ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG，以 BC 為邊，向外作一正方形BCHI ，且 CH 交BD於J點。

2. 延長DB交 FG 於 K 點。

3. 從 E 點作EL平行 BC 。 4. 在EL上作 ML BC 。 5. 從 M 點作 MN 平行 AC 。 6. 連接DH。

A B

C

D E

F

G

H

L I

K M

N J

【求證過程】

作圖過程中將正方形 ABDE 分割為五個區塊，利用圖形間的全等關 係，可比較出正方形 ABDE 面積與另外兩個正方形的關係式，進而推得勾 股定理關係式。

1. 運用作圖結果及圖形間關係證明三角形EAL全等於三角形ABC： 因為 EL //BC, 所以ALE 90 , 即ALE ACB；因為

90 EAL CAB

    , CBA CAB 90 , 所以EAL CBA. 因為 ALE ACB

   , 及前述EAL CBA, 且AEAB, 所以 EAL ABC

   (AAS 全等).

2. 運用第 1 點及圖形間關係證明三角形ENM全等於三角形BKF： 因為EAL ABC, 所以EL AC =CF, 即 ELCF , 因為

EM ELML, 又因為 ELCF , MLBC, 所以EM ELML= CFBCBF, 即EM BF; 因為EN//BK , EM//BF, 所以

MEN FBK

   ; 因為MN//AC//FK , EM //BF, 所以EMN BFK. 因為前述EM BF, MEN FBK, 及EMN  BFK, 所以

ENM BKF

   (ASA 全等).

3. 運用作圖結果及圖形間關係證明三角形BID全等於三角形ALE： 因為DI//EL, DB//EA，所以BDI  AEL；因為 BI //AL, DB//EA， 所以DBI  EAL. 因為BDI  AEL, BD AE, 及DBI  EAL, 所 以

BID ALE

   (ASA 全等).

4. 運用第 3 點結果及圖形之間關係證明三角形DJH 全等於三角形 ENM：

因為BID ALE, 所以DI EL, 又因為 HI BCML, 所以 DH DIHIELMLEM , 即DH EM , 因為JDH  NEM ,

DHJ EMN

   , 及前述DH EM , 所以 DJH ENM

   (ASA 全等).

5. 證明四邊形ALMN全等於四邊形BIHJ： 由圖形及第 3 和第 4 點可推得

ALMN  EAL ENM  DBI DJH  BIHJ

四邊形 四邊形 ,

即

四邊形ALMN 四邊形BIHJ .

6. 運用前述證明結果找出對應邊及角度關係證明四邊形ELJD全等於四邊 形AGKB：

由第 1 點EAL ABC, 可知 EL AC, 推得 ELAG; 由第 2 和第 4 點 可推得DJH  BKF, 進一步得 DJ BK ; 因為ED//AB, EL// AG , 所

以DEL BAG; 因為DE//AB, DJ //BK, 所以EDJ  ABK. 綜合

ABDE ABC BCJ EAL ELJD

ABC BCJ EMN ALMN ELJD

ABC BCJ BKF BIHJ AGKB

ABC BKF AGKB BCJ BIHJ

ACFG BC Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(3), 73-74.

A B C

D E

F

G

H

L I

K M

N J

A B

C

D E

F

G

H

L I

K M

N J

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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4. 補充：華蘅芳簡介：

華蘅芳(1833-1902)清末數學家，在《雙套句股》提供了二十二 種精彩的勾股定理證明，其證明方式皆為圖形的割補；華蘅芳 同時也為機械工程專家，與徐壽製成中國第一台蒸氣機，少年 時酷愛數學，遍覽當時各種數學書籍，與李善蘭相善，在數學 研究、科技著作、書籍翻譯都有出色的表現，使高等數學的基 礎知識及方法得以進一步傳播，中國早期掌握和傳播近代科技 的代表人物之一。

勾股定理證明-G120

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向內作一正方形ABDE，以AC為邊，向內作一正方形 ACFG，以BC為邊，向外作一正方形BCHI 。

2. 連接DH。

3. 從E點作EJ平行AC，且EJ BC。 4. 連接AJ。

5. 連接IJ，分別交BD, AE於K點及L點，且C點在IJ 上（補充：註

①）。

6. 連CG交AB於M 點。

A B

C

D E

F

G

H

I J

L K

M

【求證過程】

如圖，將正方形ABDE分割為兩梯形，證明若干個三角形的全等，利 用全等三角形對應邊相等，進而得到兩梯形全等，其中一個梯形由圖形 分割可視為四個三角形的和，最後運用圖形的拼湊，可推得勾股定理關 係式。

1. 運用正方形對角線與圖形關係說明三角形BCM全等於三角形BIK ：

1. 運用正方形對角線與圖形關係說明三角形BCM全等於三角形BIK ：

在文檔中 勾股定理幾何證明教材初探 (頁 25-164)