勾股定理

勾股定理又稱商高定理、畢達哥拉斯定理(簡稱「畢氏定理」)，是平面幾何 中一個基本而重要的定理。勾股定理是指平面上直角三角形兩條直角邊的長度

（古稱勾長、股長）平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三 角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方時，則它是直角三角形。

勾股定理有許多證明的方法，其證明方法可能是數學眾多定理中最多的。幾 乎所有文明古國，如希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等，對此定理都有所研究。

在耶魯大學巴比倫收藏品中，編號7289 的泥版(圖 2.1.1)，與哥倫比亞大學普林 頓收藏品編號322 的泥版(圖 2.1.2)，這兩塊泥版所發現的數值表，證明巴比倫人 早在約西元前1900-1600 年時，就已經知道至少 15 組勾股數，其中給出了一組 勾股數是(4601，4800，6649)。

圖2.1.1 YBC 7289

圖2.1.2 公元前 18 世紀記錄各種勾股數組 的巴比倫石板

這顯示了巴比倫人不僅熟悉畢氏定理，而且也知道數論的一些初階知識，並 擁有將理論付諸實踐的計算技能，而偉大的數學家畢達個哥拉斯是在此成就的一 千年後才誕生的。

西方國家之所以將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean

theorem)，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 560B.C.- 480B.C.) 觀察地面 上磁磚的鋪設時而發現此定理的。早在公元前五、六世紀，在克羅托那有一個秘 密組織「畢達哥拉斯學派」，這個組織相信「萬物皆源於數」，而且它無論在數論、

幾何、天文、音樂等都有很高的造詣。相傳這個學派發現這條定理後，宰了100 頭牛來慶祝，所以「畢氏定理」又稱為「百牛定理」。但這個說法顯然是以訛傳 訛，眾所周知畢達哥拉斯主義者在古代是以素食聞名，且這個教派有個很嚴格的 規條，就是內部的發明及創作是不可以對外宣揚，所以對於畢氏定理的發現及證 明在歷史上並無確實的記載。

追溯西方國家的歷史，歐幾里得是最早對畢氏定理作嚴格的證明，約在西元 前300 年，他完成《幾何原本》，統整了當時他已知的數學知識，這本書也是歷 史上最具影響力的數學文本之一。在《幾何原本》命題I.47 記載畢氏定理的證明，

並且在命題VI.31 再給了另一個不同的證明，逆定理則出現在命題 I.48。約西元 前250 年，阿基米德利用畢氏定理，並透過一系列圓內接正多邊形與圓外切正多 邊形的計算，求得圓周率的近似值。

在《九章算術》之前，有一部以數學方法闡述蓋天說的天文著作，名為《周 髀算經》的著作，卷上記載了商高答周公問「折矩，以為勾廣三、股脩四、徑偶 五」這段話，清楚的指明邊長為3-4-5 的直角三角形，有勾股定理的特例

2 2 2

3 +4 =5 ，而有關勾股定理的敘述：「勾股各自乘，併之，為弦實。開方除之，

即弦。」亦即c= a²+b² 。對於勾股定理的證明，中國自《九章算術》之後，

歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿)的

「弦圖」(圖 2.1.3)出現才成為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。

圖2.1.3 趙爽(趙君卿)的「弦圖」

之後中國有許多數學家也在勾股定理這領域中貢獻所學，如：魏景元四年(公 元263 年)，劉徽作《九章算術注》，發展了出入相補的勾股原理證明概念；十六 世紀末，清朝梅文鼎(公元 1633-1721 年)，潛心於中西數學研究，留下《梅氏叢 書輯要》；李善蘭(公元 1811-1882 年)與英國傳教士合譯《幾何原本》後九卷；還 有清末數學家華蘅芳（公元1833－1902 年）也留下許多關於勾股定理的證明。

這些證明過程給了我們重新認識和發現勾股定理的故事和啟示，至今關於勾股定 理的證明已有400 多個，而且還在持續增加當中。