勾股定理幾何證明探究
204
0
0
全文
(2) . 致 謝 感謝我的妻子淑敏，在我進行研究的期間能夠一直陪伴與鼓勵，並悉心照顧 小孩，打理家務事，讓我無後顧之憂，在我遇問題時，也能抽出空檔和我一起討 論魯米斯勾股定理的證明內容，不斷給我意見與修辭的技巧，在此由衷感謝。 感謝我的指導教授許志農老師，在研究期間對於論文內容一直耐心的指導與 不斷給我建議，讓我獲益良多，也提供我在中學教育上更多的輔助教材與靈感， 在此亦深深感謝老師的辛勞與用心。 感謝口試委員李華介教授與黃森山教授辛勞的審視我的論文，並在口試時適 時的提供給我寶貴的意見，讓我的論文可以更完善，在此致上誠摯的謝意。 感謝許志農老師所指導的勾股藝術殿堂團隊同學們，香鈞、藝芳、良聿有你 們這些學弟妹在一旁不斷的互相砥礪交流，讓我銘感於心，也謝謝章瑋所製作的 勾股拼圖教具與 flash 動畫，感激不盡，謝謝大家的辛苦付出，一同完成任務。 還要感謝我的大學導師鄭芳枝老師，從一開始就很關心我的進度，不斷給我 鼓勵與提醒，是驅策我向前進的動力，老師年紀已大，還要讓老師操煩，真是有 點過意不去，在此致上十二萬分的感恩；另外也要感謝學校同事翠玲學姊，辛苦 的幫我校稿，提供意見，在此也致上感恩之意。 現在我終於完成了此碩士論文，心中充滿了無限的感恩，也謝謝魯米斯讓我 了解了勾股定理的博大精深與美麗，僅以此論文獻給我的家人，以及所有關心我 的好朋友。. Ⅲ.
(3) . 摘 要 本研究旨在探討勾股定理的幾何多樣證明。以學生的角度看勾股定理有兩種不同 的表達方式： 1.. 直角三角形直角邊上的兩個正方形面積之和等於斜邊上正方形的面積(面積 概念的勾股定理). 2.. 直角三角形斜邊長度的平方等於兩個直角邊長度的平方和(數的勾股定理)。. 在數學教學上採用具體操作較能讓學生了解概念，也是學生接受度較高的教 學方式，經由本研究分析了魯米斯勾股定理一書中的 50 個幾何證明，發現其中 有些是可以透過拼圖概念，再搭配與團隊開發使用電腦 Flash 軟體的操作，以加 強學生對勾股定理的認識。 國中學生在勾股幾何圖形的拼圖能力表現上，透過平移、旋轉重組圖形的表 現明顯優於翻轉組合圖形的能力，而利用圖形之間底與高的長度計算，將長方形 面積轉換成平行四邊形面積或兩倍三角形面積，再進一步得到最終的正方形面 積，對國中學生來說是可接受的勾股定理幾何證明方法。 本研究所探究的勾股定理幾何證明中，常利用延長線與平行線的輔助切割技 巧，也利用全等圖形間轉換元件的拼圖概念，與四邊形推移後可計算出等面積的 概念，最終的目標皆是證明斜邊上的正方形面積等於兩股構成的兩個正方形面積 之和。 國中學生在勾股定理的幾何證明中，常遇到的挫折有：(一)無法清楚判斷全 等關係，(二)難以很快的透過旋轉的動作，判斷出兩圖形的全等，(三)很難明顯 判斷出兩圖形面積轉換時的底高相對位置。希望透過本研究，能擴充在職教師對 勾股定理的幾何證明類型，也讓中學生體驗到幾何證明的趣味，將來有助於在數 學教學與選修課程中作為延伸的輔助教材。. 關鍵詞：勾股定理、畢氏定理、商高定理、魯米斯(Loomis)、幾何證明 Ⅳ.
(4) . 目. 錄. 論文通過簽名單……………………………………………………………………Ⅰ 電子授權書…………………………………………………………………………Ⅱ 致謝…………………………………………………………………………………Ⅲ 摘要…………………………………………………………………………………Ⅳ 目錄…………………………………………………………………………………Ⅴ 第一章 緒論 ……………………………………………………………………… 1 第一節 研究背景與動機 …………………………………………………… 1 第二節 研究目的 …………………………………………………………… 2 第三節 研究範圍與後續 …………………………………………………… 3 第二章 文獻探討 ………………………………………………………………… 4 第一節 勾股定理 …………………………………………………………… 4 第二節 魯米斯與其著作－《勾股定理》 ………………………………… 7 第三節 教科書的現況 ……………………………………………………… 9 第三章 勾股定理的證明探討. ...…………………………………………………15. 第一節《勾股定理》的證明概述 ………………………………………….. 15 第二節 魯米斯《勾股定理》的幾何證明 ………………………………… 18 第三節 工作單幾何證明題的證明分析 …………………………………… 23 第四章 勾股定理證明工作單 ...…………………………………………………..30 第一節 勾股定理證明工作單內容說明 …………………………………… 30 第二節 工作單內容 ………………………………………………………… 32 G021…………………………………………………………………………. 33 G022…………………………………………………………………………. 38 G023…………………………………………………………………………. 43 G024…………………………………………………………………………. 48 G025…………………………………………………………………………. 53 G026…………………………………………………………………………. 56 Ⅴ.
(5) . G027………………………………………………………………………… 59 G028………………………………………………………………………… 63 G029………………………………………………………………………… 66 G030………………………………………………………………………… 69 G031………………………………………………………………………… 72 G032………………………………………………………………………… 75 G033………………………………………………………………………… 78 G034………………………………………………………………………… 81 G035………………………………………………………………………… 84 G036………………………………………………………………………… 87 G037………………………………………………………………………… 90 G038………………………………………………………………………… 93 G039………………………………………………………………………… 96 G040…………………………………………………………………………100 G041 ……………………………………………………………………… ..103 G042 ……………………………………………………………………….. 107 G044 ……………………………………………………………………….. 110 G045 ……………………………………………………………………….. 113 G046 ……………………………………………………………………….. 116 G047 ……………………………………………………………………….. 119 G048 ……………………………………………………………………….. 122 G049 ……………………………………………………………………….. 125 G050 ……………………………………………………………………….. 129 G066 ……………………………………………………………………… ..132 G067 ……………………………………………………………………….. 135 G072 ……………………………………………………………………….. 138 G073 ……………………………………………………………………….. 141 G074 ……………………………………………………………………….. 144 Ⅵ.
(6) . G075 ……………………………………………………………………… 147 G076 ……………………………………………………………………… 150 G108 ……………………………………………………………………… 154 G109 ……………………………………………………………………… 157 G112 ……………………………………………………………………… 160 G116 ……………………………………………………………………… 163 G117 ……………………………………………………………………… 166 G118 ……………………………………………………………………… 169 G127 ……………………………………………………………………… 172 G128 ……………………………………………………………………… 175 G129 ……………………………………………………………………… 178 G130 ……………………………………………………………………… 181 G131 ……………………………………………………………………… 184 G132 ……………………………………………………………………… 187 G133 ……………………………………………………………………… 190 G134 ……………………………………………………………………… 194 第五章 參考文獻 ……………………………………………………………….197. Ⅶ.
(7) . 第一章 第一節. 緒論. 研究背景與動機. 大多數學生是在中學時期才第一次接觸到畢氏定理，也就是勾股定理，而之 後的數學學習過程中，畢氏定理更有著舉足輕重的地位。九年一貫課程強調能力 的開拓，希望培養學生了解「如何學、樂於學」的理念（教育部，2003）。在國 中關於勾股定理的數學教學，僅需介紹勾股定理概念及一些生活上的應用。事實 上，勾股定理在往後的數學學習中，佔有相當重要的地位，不管從「數學史」的 觀點談其精彩絕倫，趣味橫生的演進歷程，或是從知識結構了解其涵蓋「代數」 與「幾何」的學習層面，在數學知識的重要性上更是不可言喻。 尤其高中二年級所學的三角函數也是以此定理為基礎所建立的，進而由平面 上兩點間的距離，擴展到空間上兩點間的距離，再進一步求得圓與球方程式、拋 物線方程式、橢圓方程式、雙曲線方程式等二次曲線，因此勾股定理是中學數學 最有用的定理之一。 本研究整理出勾股定理的許多證明方法，讓學生能選擇可深可淺的證明，培 養學習數學的細心與嚴謹，並以多方面的角度認識勾股定理(畢氏定理)，體驗到 數學證明之美，期望這些豐富的勾股定理證明，能提供給數學愛好者閱讀，並分 享讓更多的教師及學子享受思考的樂趣。. 1.
(8) . 第二節. 研究目的. 數 學 家 kepler 曾 經 說 過 ：「 幾 何 有 2 個 寶 藏 即 畢 氏 定 理 與 黃 金 分 割」 ，在 國 中 階 段 學 生 學 習 勾 股 定 理 (畢 氏 定 理 )以 透 過 紙 板 的 拼 圖、面 積 的計算及影片的觀賞來「認識」及「驗證」勾股定理。 至 目 前 為 止，畢 氏 定 理 是 數 學 定 理 中 證 明 方 法 最 多 的 定 理 之 一，所 有 這 些 證 明 引 發 我 們 的 深 思，為 什 麼 一 種 證 明 還 不 夠 呢 ？ 會 有 這 麼 多 的 證 明 可 能 的 原 因 在 於 畢 氏 定 理 的 廣 泛 應 用、以 及 成 功 證 明 這 項 定 理 似 乎 使 我 們 提 升 到 更 高 深 的 真 理，讓 人 們 得 以 沉 浸 在 發 現 知 識 的 喜 悅。因 此 吸 引 有 興 趣 的 學 習 者 盡 可 能 從 多 種 角 度 去 檢 視 這 項 發 現，將 隱 含 的 可 能 性或假設，轉化為事實，這同時也為畢氏定理增添了不同的風貌。 目 前 教 科 書 所 提 供 的 勾 股 定 理 證 明 方 法 並 不 多，為 了 提 升 邏 輯 推 理 的 能 力 ， 本 研 究 以 魯 米 斯 (Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所 著 作 的 《 勾 股 定 理 (The Pythagorean Proposition)》 為 重 心 ， 修 補 其 中 所 蒐 集 的 371 種 證 明 的 五 十 題 幾 何 證 明，再 由 數 位 教 材 團 隊 完 成 教 材 開 發，透 過 網 路 分 享 讓 更 多 人 都 能 夠 透 過 教 材 欣 賞 數 學，提 升 國 人 數 學 證 明 及 邏 輯 推 理 的 能 力，也 可 提 供 教 學 者 作 為 課 堂 教 材 或 是 延 伸 教 材 及 特 色 課 程 的 教 學 參考。. 2.
(9) . 第三節. 研究範圍與後續. 本 研 究 主 要 以 魯 米 斯 (Elisha Scott Loomis)所 著 作 的《 勾 股 定 理 》(The Pythagorean Proposition) 這 本 書 中 所 分 類 之 代 數、幾 何、向 量、動 態 的 四 種 分 類 中，有 關「 幾 何 」的 50 個 勾 股 定 理 證 明 去 深 究，著 重 增 補《 勾 股 定 理 》書 上 證 明 簡 略 的 部 份，並 除 了 證 明 外 再 提 供 一 些 研 究 者 對 於 應 用 於 教 學 上 的 想 法 與 建 議，再 將 勾 股 定 理 的 證 明 內 容 做 分 析 及 介 紹，最 後 與 製 作 團 隊 合 作 開 發 數 位 教 材，並 將 其 放 置 於 專 屬 網 站《 非 想 非 非 想 數 學 網 》， 提 供 學 子 及 社 會 大 眾 進 行 數 位 學 習 之 用 。. 因 勾 股 定 理 證 明 繁 多，本 研 究 未 完 成 之 其 餘 證 明 或 數 位 教 材 的 開 發，將 由 勾 股 定 理 之 製 作 團 隊 持 續 完 成，並 上 傳 至 專 屬 網 站《 非 想 非 非 想 數 學 網 》http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/的 平 台 上，提 供 給 有 興 趣 的 學 子及教師做為學習的參考資料，期盼能為數學教育的推廣盡一份心力。. 3.
(10) . 第二章 文獻探討 第一節. 勾股定理. 勾股定理又稱商高定理、畢達哥拉斯定理(簡稱「畢氏定理」)，是平面幾何 中一個基本而重要的定理。勾股定理是指平面上直角三角形兩條直角邊的長度 （古稱勾長、股長）平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三 角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方時，則它是直角三角形。 勾股定理有許多證明的方法，其證明方法可能是數學眾多定理中最多的。幾 乎所有文明古國，如希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等，對此定理都有所研究。 在耶魯大學巴比倫收藏品中，編號 7289 的泥版(圖 2.1.1)，與哥倫比亞大學普林 頓收藏品編號 322 的泥版(圖 2.1.2)，這兩塊泥版所發現的數值表，證明巴比倫人 早在約西元前 1900-1600 年時，就已經知道至少 15 組勾股數，其中給出了一組 勾股數是(4601，4800，6649)。. 圖 2.1.1 YBC 7289. 圖 2.1.2 公元前 18 世紀記錄各種勾股數組 的巴比倫石板 4.
(11) . 這顯示了巴比倫人不僅熟悉畢氏定理，而且也知道數論的一些初階知識，並 擁有將理論付諸實踐的計算技能，而偉大的數學家畢達個哥拉斯是在此成就的一 千年後才誕生的。 西方國家之所以將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean theorem)，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 560B.C.- 480B.C.) 觀察地面 上磁磚的鋪設時而發現此定理的。早在公元前五、六世紀，在克羅托那有一個秘 密組織「畢達哥拉斯學派」 ，這個組織相信「萬物皆源於數」 ，而且它無論在數論、 幾何、天文、音樂等都有很高的造詣。相傳這個學派發現這條定理後，宰了 100 頭牛來慶祝，所以「畢氏定理」又稱為「百牛定理」。但這個說法顯然是以訛傳 訛，眾所周知畢達哥拉斯主義者在古代是以素食聞名，且這個教派有個很嚴格的 規條，就是內部的發明及創作是不可以對外宣揚，所以對於畢氏定理的發現及證 明在歷史上並無確實的記載。 追溯西方國家的歷史，歐幾里得是最早對畢氏定理作嚴格的證明，約在西元 前 300 年，他完成《幾何原本》，統整了當時他已知的數學知識，這本書也是歷 史上最具影響力的數學文本之一。在《幾何原本》命題 I.47 記載畢氏定理的證明， 並且在命題 VI.31 再給了另一個不同的證明，逆定理則出現在命題 I.48。約西元 前 250 年，阿基米德利用畢氏定理，並透過一系列圓內接正多邊形與圓外切正多 邊形的計算，求得圓周率的近似值。 在《九章算術》之前，有一部以數學方法闡述蓋天說的天文著作，名為《周 髀算經》的著作，卷上記載了商高答周公問「折矩，以為勾廣三、股脩四、徑偶 五」這段話，清楚的指明邊長為 3-4-5 的直角三角形，有勾股定理的特例 32 + 42 = 52 ，而有關勾股定理的敘述：「勾股各自乘，併之，為弦實。開方除之，. 即弦。」亦即 c = a 2 + b 2 。對於勾股定理的證明，中國自《九章算術》之後， 歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿)的 「弦圖」(圖 2.1.3)出現才成為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。. 5.
(12) . 圖 2.1.3 趙爽(趙君卿)的「弦圖」 之後中國有許多數學家也在勾股定理這領域中貢獻所學，如：魏景元四年(公 元 263 年)，劉徽作《九章算術注》 ，發展了出入相補的勾股原理證明概念；十六 世紀末，清朝梅文鼎(公元 1633-1721 年)，潛心於中西數學研究，留下《梅氏叢 書輯要》 ；李善蘭(公元 1811-1882 年)與英國傳教士合譯《幾何原本》後九卷；還 有清末數學家華蘅芳（公元 1833－1902 年）也留下許多關於勾股定理的證明。 這些證明過程給了我們重新認識和發現勾股定理的故事和啟示，至今關於勾股定 理的證明已有 400 多個，而且還在持續增加當中。. 6.
(13) . 第二節. 魯米斯與其著作－《勾股定理》 (The Pythagorean Proposition). 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940) (圖 2.2.1)，任教於美 國 俄 亥 俄 州 ， 他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師，除此之外最值得讚譽 的頭銜是「教師」，這也是他最喜歡的工作。. 圖 2.2.1 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940) 魯米斯撰寫了許多文章及出版許多叢書，範圍從幾何教學到倫理學、哲學及 宗教等主題，其中他所撰寫的數學著作中，認為 1907 年動筆，直到 1927 年才完 成出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年， 他還做了修改，同時，他也在這一年去世。魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的 原因，可能是來自中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一 個原創的新穎證明。 在《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)書中搜集且分類了勾股定理的 371 種證明，此書目前已有電子檔可供下載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版 於西元 1940 年做了修改後出版，並在第二版書的第 257 頁將「來自各方」的一 些值得注意的證明當成附錄。 《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，其中「幾何」證 明 31 是 荷. 7.
(14) . 蘭 科 學 家 惠 更 斯 (Christiaan Huygens1629~1695)的 證 明 、 證 明 33 是 古 希 臘 數 學 家 歐 幾 里 得 (Euclid， 約 330~260 BC)的 證 明 、 證 明 46 是 文 藝 復 興 時 期 義 大 利 藝 術 家 達 文 西 (Leonardo da Vinci， 1452~1519)的 證 明 、 證 明 51 是 德 國 哲 學 家 萊 布 尼 茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646~1716)的 證 明 …等。還有托勒密(Claudius Ptolemaeus)、盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)，及 16 歲的高中女生安‧康地(Ann Condit)提出的，甚至是美國總統所提供的……等 經典證明，也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能已 無法考據了。 雖然魯米斯在數學圈中並不是家喻戶曉的名字，除了《勾股定理》這本書之 外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學的教育 而言是相當重要的一本叢書，在 1968 年，美國數學教師協會(NCTM)重印這本著 作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。 這本書除了忠實的呈現畢氏定理的證明，也反映出作者的獨特性格，全書穿 插了 12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當然 也包括了畢德哥拉斯，特別的是卷首的肖像則是魯米斯本人(圖 2.2.1)，正文的首 頁展示了一個神祕的三角形，三個頂點標記著字母 E. S. L.，顯然是作者名字的 開頭字母，以及費人疑猜的數字 4，及題字「 32° 」(圖 2.2.2)，簡言之，這是數 學史上名聲顯赫之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。. 圖 2.2.2 《勾股定理》首頁. 8.
(15) . 第三節. 教科書的現況. 在目前的課綱中，勾股定理編排在國中數學第三冊，在此分析三個不同的數 學教科書版本內容，作為勾股定理證明的研究，所參考之教科書版本均為教育部 審核通過之樣書，三個版本對於勾股定理的證明有以下不同的呈現方式：. 版本 A 內容： 先讓學生觀察熟悉的直角三角板來引起學習動機，再由股長為 3 與 4 的直角三角 形在方格紙上拼圖，引導學生在探索活動中分步驟去發現：. 1.將四個全等的直角三角形在方格紙上圍成一個中間邊長為 1(即為兩股差)的小 正方形，接著觀察出四邊形 ABCD 為正方形。 2.利用四個全等的直角三角形及中間邊長為 1 的小正方形來計算大正方形的面 積。 3.測量直角三角形斜邊的長度。 4.請學生觀察直角三角形兩股長平方和與斜邊長平方的大小關係。. 9.
(16) . 接下來將斜邊長為 c，兩股長為 a 與 b 的直角三角形同上述的概念拼圖，. 得到四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊長 c 的大正方形，中間會形成一個 邊長為兩股差 ( a − b) 的小正方形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用 代數運算式子比較兩種面積表現式，整理得 c 2 = a 2 + b 2 。. 評析：在證明過程中，只看到以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積，看不見另 外以兩股為邊的正方形，又最後是以代數式子整理出定理結果，因此學生 可能無法從此證明中感受到勾股定理 c 2 = a 2 + b 2 在幾何上的面積意義。. 10.
(17) . 版本 B 的內容： 先讓學生觀察熟悉的直角三角板來引起學習動機，再分別由股長為 3 與 4 的直角 三角形、兩股長皆為 2 的等腰直角三角形與股長為 2 與 3 的直角三角形在方格紙 上拼圖，引導學生在探索活動中分步驟去發現：. 1.觀察方格紙上直角三角形與其三邊向外所圍成的三個正方形，並留意虛線所切 割的結構。 2.完成表格。 3.請學生找出三個正方形面積的關係。. 接下來將斜邊長為 c，兩股長為 a 與 b 的四個直角三角形拼入邊長為(a+b)的正方 形內，. 11.
(18) . 接著引導學生發現圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用正方形 ABCD 面積減去四個直角三角形後可得到內部正方形 EFGH 的概念，讓學生自行 計算是否能整理得到 c 2 = a 2 + b 2 的結果。 評析：此版本證明方式與版本 A 皆是由四個直角三角形去排列出面積之間的關 連，但兩版本之間是有所差異的，版本 A 近似於《周髀算經》的弦圖證 法，以斜邊長向內拼入四個直角三角形，得到邊長為( a − b )的小正方形， 而版本 B 則是由直角三角形的斜邊向外拼出四個直角三角形，得到邊長 為( a + b )的大正方形。雖然證明手法不同，但仍需由代數運算後才得到勾 股定理的規則，但有了幾何圖形為輔助後，這種用視覺的方式去呈現一個 定理，讓學生更易於去感受勾股定理的意義。. 12.
(19) . 版本 C 內容： 除了讓學生觀察熟悉的直角三角板之外，先以傳說中畢達哥拉斯的故事來引起學 習興趣。相傳畢達哥拉斯就是注視著等腰三角形的瓷磚中，發現勾股定理的規則。. 再由股長為 2 與 3 的直角三角形在方格紙上所延伸的正方形，透過切割拼圖的概 念，引導學生在探索活動中分步驟去發現： 1.計算方格紙上直角三角形其兩股所圍成的正方形甲與正方形乙的面積。 2.再求正方形丙的面積。 3.請學生找出三個正方形面積的關係。. 由探索活動中得到「以兩股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面 積」這概念之後，接下來再利用畢達哥拉斯的發現，讓學生可以用直觀的方式， 得到甲、乙、丙三個正方形的面積關係，進一步得勾股定理。. 13.
(20) . 證明評析：此圖形配置方式學生較能感受其幾何意義，且在證明過程中，並沒有 用到代數運算，純粹用直觀的方式得到面積相等的結論，學生可以由圖形去感受 到勾股定理的意義。 結語：綜合以上我們發現三個版本雖然皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，但 其中版本 A、B 需用到代數運算來證明，且從圖形較難直觀的想出拼湊方 法，而版本 C 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步做圖形 輔助可直接發現三個正方形面積關係，相較之下則較直觀，不過三者皆 缺少拼圖活動讓學生直接從直角三角形三邊所延伸的正方形去感受面積 關係，因此若在教學中能夠額外提供教材讓學生透過實際動手操作，去 體會兩股上的正方形面積和會等於斜邊上的大正形面積，如此一來不僅 能加深學生印象，也能讓學生感受到數學的樂趣。. 14.
(21) . 第三章 勾股定理的證明探討 第一節. 勾股定理的證明概述. 至目前為止，勾股定理是數學定理中證明方法最多的定理之一，所有這些證 明引發我們的深思，關於勾股定理的證明已相當完整且豐富，因此勾股定理的分 類一般而言可以分為三種： 1.. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47，收錄在魯米斯《勾股定理》 的幾何證明第 33 題(第四章工作單的勾股定理證明 G033 將詳細證明其過 程)，主要由面積相等的概念來證明(圖 3.1.1)。 F E G. C D. A. B. M. H. K. L. F E G. C D. A. H. M. L. B. K. 圖 3.1.1 歐幾里得在《幾何原本》的證明 2.. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之 為「出入相補」(圖 3.1.2 及圖 3.1.3)，也號稱「青朱出入圖」 ，與劉徽相似的 證明也收錄在魯米斯《勾股定理》的幾何證明第 127 題(第四章工作單的勾 股定理證明 G127 將詳細證明其過程) (圖 3.1.4)。 15.
(22) . 圖 3.1.2 劉徽畫像. 圖 3.1.3 劉徽的證明. F L. H. K. G M. C. E A. B. N D. 圖 3.1.4 劉徽證明的分析 3.. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31，亦收錄在《勾股定 理》的代數證明編號 001，運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代 數操作。. C. A. D. 16. B.
(23) . 因為 ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD. ，所以 2. 2. BC = AB × BD. ， AC = AB × AD. ，則 2. 2. BC + AC = AB × BD + AB × AD. (. = AB × BD + AD. ). = AB × AB 2. = AB ,. 即可得證. 關於勾股定理的證明，直到此刻仍不斷地發現中，勾股定理的證明方法也隨 之不斷演進。在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發 展，關於算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的 產生，及在研究力學的過程中微積分的發展等，這些都使得勾股定理的證明不再 受侷限，也不是簡單的幾種分類可以解釋，在魯米斯《勾股定理》這本書中，他 蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，並粗略的將勾股定理分成四個種類的證 明，如下： 1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。 2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。 3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。 4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。 從歷史的脈絡中我們可知，數學會一直不斷地延展下去，勾股定理的證明也 會一直不斷的被討論下去，它的蓬勃發展，也印證了勾股定理是幾何學的兩大寶 藏之一，在現今更可利用多媒體等科技工具，將之應用於教材教學上，對學生的 學習是一大助益，也讓勾股定理的博大內涵得以普及和延續。. 17.
(24) . 第二節. 魯米斯《勾股定理》的幾何證明. 幾何證明的分類(依圖形劃分)，有以下十種類型： 在魯米斯《勾股定理》這本書中，「幾何證明」的基本架構依據圖形的繪製 方法不同，可將分為以下十種類型： 類型. 圖形說明. 類型 1. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，且正方 形的位置皆以直角三角形為中心向外側延伸。. 類型 2. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上 的正方形位置朝向直角三角形的中心外側，斜邊上 的正方形則是朝向內側。. 類型 3. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上 的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內 側，斜邊上的正方形則是朝向外側。. 類型 4. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上 的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內 側，斜邊上的正方形則是朝向外側。與類型 3 的差 異在於兩股上的正方形朝向位置相反。. 類型 5. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上 的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內 側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 18. 示意圖形.
(25) . 類型. 類型 6. 圖形說明 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形 形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中 心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 類型 7. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，兩股上 的正方形位置朝向直角三角形的中心內側，斜邊上 的正方形朝向外側。. 類型 8. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方形，三個正方 形位置皆朝向直角三角形的中心內側。. 以直角三角形的三邊為邊長作正方形，其中正方形的 位置並非全部都與直角三角形的邊作齊，右圖形僅為 類型 9 示意，證明的圖形中只要正方形的位置為前 8 類作轉 移，皆蒐集在此分類。. 證明的圖形並沒有作出三個以直角三角形的三邊為 邊長的正方形，在此分類下又可細分兩類： 類型 10 1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明. 19. 示意圖形.
(26) . 幾何證明的分類(依證明手法劃分) 在魯米斯勾股定理幾何證明 10 種分類的前八類中，主要是以直角三角形的 斜邊及兩股為邊共作三個正方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心向外側 或向內側延伸。證明的基本圖形雖有所差異，但證明方向都是去說明以兩股為邊 長的兩個正方形面積和，相當於以斜邊為邊長的正方形面積。以下分類是將工作 單的 50 個魯米斯幾何證明題，依證明的手法去分類並檢視證明的差異，大致可 歸納出以下幾種： 類型. 類型 A. 證明手法說明 運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方 形裡的元件，透過拼圖的方式直接填補在以兩股為邊 所作的正方形。 若將拼圖的方式加以細分，可再細分為 類型 A1：位移過程中，僅透過平移與旋轉的方式，這 也是學生操作過程中最容易成功的類型，圖 形的各分割元件均只移動一次即可完成作拼 圖。. 工作單編號. G021，G022， G023，G025， G026，G027， G049，G072， G074，G108， G127. 類型 A2：位移過程中，某些元件須透過翻轉的技巧才 G024，G028 能完成拼圖，其餘元件仍可透過平移與旋轉 的方式進行一次的移位動作。. 類型 B. 類型 C. 最初圖形的輔助線所切割的元件，無法直接將斜邊上 正方形的元件，透過拼圖的方式填補在以兩股為邊的 正方形上，此技巧為運用元件之間的全等關係，將元 件位移到另一個元件後，再利用所對應的元件其原本 的輔助線，將元件切割為數個較小的新元件，做第二 次的填補移位。. G029，G030，. 運用兩個圖形之間的全等或面積相等的關係，將兩圖 形同時減去全等或相同面積的小元件後，最後所得到 剩餘的部份，其圖形區域雖不同，圖形間卻有著相同 面積的關係。. G045，G046，. 20. G032，G038， G040，G041， G045，G073， G076，G118， G131，G132. G050，G066， G130.
(27) . 類型 D. 圖形之間運用底高的面積計算概念，先觀察出不同形 狀的元件間有著共同或等長的底高關係，透過計算之 後得到相同面積的關係，將原來的元件轉換成另一個 不同的元件，此方法可以克服找不到全等圖形而無法 拼圖的困境。 若將此方式加以細分，可再細分為 類型 D1：運用矩形、正方形、平行四邊形等四邊形之 間的等底同高或等高同底的關係，找到相同 面積的圖形轉換，此類型四邊形之間皆可觀 察出有共同的邊。 類型 D2：透過將矩形、正方形、平行四邊形等四邊形 切割成為兩倍三角形的方法，利用三角形圖 形的三個邊找到更多的底高組合，進而透過 等底同高或等高同底的面積運算關係，得到 另一個相同面積的四邊形。. 類型 E. G035，G036， G039，G040， G042，G044， G048，G050， G066，G067， G075，G076， G109，G112， G116，G118， G129. G031，G034， G039，G109， G116，G117， G128，G129. 此技巧為利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再 利用到類型 D 的底高計算方法。 說明：在證明過程中，類型 D 強調的方法是找出圖形 的共同邊，再進一步找出對應底或高的位置進 行面積的計算，但有時皆無法找到圖形中的共 同邊時，就必須利用圖形的全等關係進行元件 的移位轉換，此類型的證明相較之下也更多變 化。 G037，G047， 若將此方式加以細分，可再細分為 類型 E1：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再 G048，G075， 利用 D1 類型的底高計算方法。 類型 E2：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再 G031，G033， G117， 利用 D2 類型的底高計算方法。. 類型 F. 因斜邊與兩股為邊的三個正方形有重疊區域，以拼圖 方式較不易觀察出面積的組合關係，因此運用適當的 代數符號取代元件的面積後，整理出面積之間的轉換 條件與關係式，最後得到三個正方形的面積關係。. 21. G035，G133， G134.
(28) . 說明： 1. 類型 A 為最基本的元件拼圖方法，其位移過程僅透過平移、旋轉或翻轉的方 式進行拼圖證明，因此類型 A 所整理的題號，代表著僅使用拼圖的方式來完 成，並不包含其它類型的手法，但類型 A 之外的題目因為難度會越來越高， 手法越來越廣，因此不特別說明其包含類型 A 的手法了，以免過於複雜。 2. 某些勾股證明題因為技巧或概念較廣，所以重覆出現在兩種類型以上，例如： G031，G035，G039，G040，G045，G048，G050，G066，G075，G076，G109， G116，G117，G118，G129。. 22.
(29) . 第三節. 工作單幾何證明題的證明分析. 類型 A：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透過 拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。若將拼圖的方式加以 細分，可再分為： 類型 A1：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透 過拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。位移過程中，僅 透過平移與旋轉的方式，這也是學生操作過程中最容易成功的類型， 圖形的各分割元件均只移動一次即可完成作拼圖。以 G022 舉例來說(圖 3.3.1)，透過平移的方式將長方形 BKSZ 內的區塊拼出正方形 CBDE 的 區域，同時長方形 AHSZ 內的區塊拼出正方形 CAGF 的區域，最後推 出畢氏定理的關係式。. 圖 3.3.1 G022 輔助圖 類型 A2：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透 過拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。位移過程中，某 些元件須透過翻轉的技巧才能完成拼圖，其餘元件仍可透過平移與旋 轉的方式進行一次的移位動作。以 G024 舉例來說，斜線區域須先翻轉 再旋轉後才能移到正方形 AHKB 內，而其餘的區域只要透過平移或旋 轉的方式即可移到正方形 AHKB 內。. 23.
(30) . F E G. L. C M D S. A. B N R. Q O. H. P. K. 類型 B：最初圖形的輔助線所切割的元件，無法直接將斜邊上正方形的元件，透 過拼圖的方式填補在以兩股為邊的正方形上，此技巧為運用元件之間的 全等關係，將元件位移到另一個元件後，再利用所對應的元件其原本的 輔助線，將元件切割為數個較小的新元件，做第二次的填補移位。以 G030 舉例來說，先透過正方形 AHKB 與正方形 AOMB 的全等，再由正 方形 AOMB 所切割的區塊，分別拼合成正方形 CBDE 與正方形 CAGF 的區域，最後推出畢氏定理的關係式。. 24.
(31) . 類型 C：運用兩個圖形之間的全等或面積相等的關係，將兩圖形同時減去全等或 相同面積的小元件後，最後所得到剩餘的部份，其圖形區域雖不同，圖 形間卻有著相同面積的關係。以 G046 舉例來說，先證明六邊形 CAHLKB 與六邊形 GABDEF 等面積，再分別減去兩個全等的三角形(斜線區域)， 最後得到正方形 CBDE 與正方形 CAGF 的面積和相等於正方形 AHKB 的面積，推出畢氏定理的關係式。. 類型 D1：運用矩形、正方形、平行四邊形等四邊形之間的等底同高或等高同底 的關係，找到相同面積的圖形轉換，此類型可從四邊形之間共同的邊 開始觀察。以下為 G067 的圖示：. F. T. S E. G. C. L. E R. M. U. H N. V. X. C. L. R. D. D. Q A. B. Y. S. G. Q A. F. T. P. M. K. U. H O. N. 25. B. Y V. X. P. K O.
(32) . 類型 D2：透過將矩形、正方形、平行四邊形面積切割成為兩倍三角形面積的方 法，觀察三角形圖形的三個邊，找到另一組適當的底高組合，進而透 過等底同高或等高同底的面積運算，得到另一個相同面積的四邊形。 以 G129 舉例來說， 長方形 LNBK 面積＝平行四邊形 CMBK 面積(同底同高) ＝ 2ΔBCM 面積. 1 2. ＝ 2 × ( × BC × BD ) ＝ BC × BD ＝正方形 CBDE 面積﹒. H. F. L. K. G C E A. B. N D M. 26.
(33) . H. F. L. K. G C E N. A. B. D M 類型 E：此技巧為利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再繼續利用類型 D 的底高計算方法。 說明：在證明過程中，類型 D 強調的方法是找出圖形的共同邊，再進一步找出 對應底或高的位置進行面積的計算，但有時皆無法找到圖形中的共同邊 時，就必須利用圖形的全等關係進行元件的移位轉換，此類型的證明相 較之下也更多變化。若將此方式加以細分，可再分為： 類型 E1：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再利用 D1 類型的底高計算方 法。 類型 E2：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再利用 D2 類型的底高計算方 法。以 G129 舉例來說： 長方形 LHKM 面積＝2 ΔPHK 面積 ＝2 ΔNBA 面積（底為 NB = a ，高為 BC = a ）. 1 BN × BC ) = a 2 2 ＝正方形 CBDE 面積. ＝2(. 27.
(34) . 類型 F：因斜邊與兩股為邊的三個正方形有重疊區域，以拼圖方式較不易觀察出 面積的組合關係，因此運用適當的代數符號取代元件的面積後，整理出 面積之間的轉換條件與關係式，最後得到三個正方形的面積關係。以 G129 舉例來說，. →找出面積之間的轉換條件 s = n + m = o + p. 且. s. →轉換之後得到. n. m o. n. r. 28.
(35) . 正方形 AHKB 面積 = 3o + p + r + s = 2o + (o + p ) + r + s = 2o + (m + n) + r + (m + n) = ( m + o) + ( m + o + 2n + r ) = 正方形 CBDE 面積＋正方形 CAGF 面積﹒. 說明：因為幾何圖形的證明過程中所運用的技巧或概念會涉及越來越多樣，所 以某些勾股證明題會重覆出現在兩種類型以上，以 G116 為例:運用的方 法類型有 D1、D2。 F. G C. G116. E A. B D. L. M. N O. F F. H. K. G G. C C. E E. A. A. B. B D D. L. M. H. L N. M. N O. O. H. K. K. 正方形AHKB 面積＝長方形AMNB 面積＋長方形MHKN 面積 ＝平行四邊形ALDB 面積＋2ΔDHK 面積 ＝正方形CBDE 面積＋正方形CAGF 面積.. 29.
(36) . 第四章 勾股定理證明工作單 第一節. 勾股定理證明工作單內容說明. 在本章的第二節所介紹幾個勾股定理的證明中，每個證明皆以角 C 為直角， 並假設 BC = a , AC = b , AB = c (如圖 4.1.1)，最終目標皆是欲證明出 a 2 + b 2 = c 2 這個等式。. C a. b. A. c 圖 4.1.1. B. 直角三角形 ABC. 每個證明都會包含以下三個部分： 【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，以下分別就本研究的內容作說明： 第一部分【作輔助圖】： 輔助圖皆是以直角三角形 ABC 開始，以 AB 為邊，向外或向內作一正方形. AHKB ，以 BC 為邊，向外或向內作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外或向內 作一正方形 CAGF 。由於許多證明並非由圖形即可直接證明，需輔以額外的輔助 線，因此在此部分將會作列出完整的輔助圖步驟，而所有的步驟使用尺規即可完 成作圖，並在步驟下方呈現完成的輔助圖圖形，讓學生可理解作圖程序並作檢驗。 第二部分【求證過程】： 此部分是整個證明的重點，包含從已經完成的輔助圖，到證明出勾股定理關 係式，由於有些證明的步驟繁瑣，所以會在開頭簡單介紹此證明的脈絡，除了可 以讓學生在進行證明前先瞭解整個證明的想法，程度較好的學生甚至可以閱讀完 脈絡即可開始嘗試證明，而其他學生則可以跟著步驟分段來完成證明。在每個證 明步驟中，也都會作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟要推論的內容。. 30.
(37) . 第三部分【註與心得】： 此部分又分成四項：來源、心得、評量、補充。 在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名的數學家所證明， 或是出自某本書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去收集資 料來閱讀；「心得」為研究者本人整理完此證明，或者是研究者先行讓學生閱讀 後的心得，作個簡單的比較或評論，供給讀者參考；「評量」則是評論此證明適 合哪個教學階段所能理解的，或是是否適合教學，以及是否具有欣賞及美學，這 些評分皆是研究者整理完此證明，主觀的評價證明內容，雖然如此在這個部分的 用意是希望閱讀者可以利用這部分的評價，來快速判斷此證明是否符合他所需要 的；「補充」裡會針對該證明簡單介紹作者生平故事，或是在證明中有利用到學 生較不熟悉或未學過的定理，皆會放在補充裡，協助學生對此證明的理解，藉由 一些小故事也希望引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。 有鑑於數位化教材能讓教學內容更加生動，也從研究範圍中的勾股定理證明 挑選適合的證明製作成 Flash 遊戲，像是 J. Versluys 的拼圖：G022，G023，G024， 還有村瀨義益的 G025，魯米斯的 G026，J.Adams 的 G027，劉徽的 G028 及 Yanney and Calderhead 的 G049 等有名的證明，讓使用者用出入相補的「弦圖證法」 ，來 了解勾股定理，也增加了趣味性，目的是讓使用者帶著愉悅的心情欣賞或體驗勾 股定理證明的美學。. 31.
(38) . 第二節. 工作單內容. 以下工作單我們將介紹 50 個「幾何」分類中的勾股定理證明，如第一節所 述，每一個證明皆包含三個部分： 【作輔助圖】 、 【求證過程】 、 【註與心得】 ，本研 究的 50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發 教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗。 我們將介紹下述 50 個勾股定理證明： G021、G022、G023、G024、G025、G026、G027、G028、G029、G030、 G031、G032、G033、G034、G035、G036、G037、G038、G039、G040、 G041、G042、G044、G045、G046、G047、G048、G049、G050、G066、 G067、G072、G073、G074、G075、G076、G108、G109、G112、G116、 G117、G118、G127、G128、G129、G130、G131、G132、G133、G134，其中 包含許多經典證明，及教科書使用的證明方法。. 32.
(39) . 勾股定理證明-G021 【作輔助圖】. 1.. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。. 2.. 從 C 點作 HK 的垂線交 HK 於 Q 點，並交 AB 於 R 點。. 3.. 從 H 點作 AC 的平行線交 CQ 於 M 點，連接 KM 。. 4.. 從 G 點作 AB 的平行線交 CF 於 W 點，延長 HA 與 GW 交於 X 點。. 5.. 從 E 點作 CQ 的平行線交 BD 於 V 點，從 D 點作 AB 的平行線交 EV 於 U 點。. 6.. 延長 DB 與 CQ 交於 L 點；延長 GA 與 HM 交於 N 點。. 7.. 在 BK 上取 P 點，使得 PK = LM ，並且從 P 點作 AC 的平行線交 MK 於 O 點。. 8.. 在 CE 上取T 點，使得 TE = BL ，從T 點作 CR 的平行線交 CB 於 S 點。 F E X. G. W C T S. A. U. B V. R L M N. P O H. Q. 33. K. D.
(40) . 【求證過程】 以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 所切割出的 區塊中，長方形 BKQR 內的區塊可以拼出正方形 CBDE 的區域，同時長方形 AHQR 內的 區塊可以拼出正方形 CAGF 的區域，證明了長方形 BKQR 的面積等於正方形 CBDE 的面 積，同時長方形 AHQR 的面積也與正方形 CAGF 的面積相等，最後推出畢氏定理的關 係式。 1. 首先證明四邊形 BKMC 為平行四邊形： 由作圖 2.3.知四邊形 AHMC 為平行四邊形，所以 CM = AH ，又 AH = BK ，得到 CM = BK 且 CM // BK ,. 2.. 因此四邊形 BKMC 為平行四邊形。 由平行四邊形 BKMC 所得到的長度關係，證明三角形 MQK 與三角形 EUD 全等： 因為四邊形 BKMC 為平行四邊形，得到對邊 MK 與 CB 平行且等長，可得知 MK = CB = ED 且 MK / / CB / / ED ，由平行的關係(作圖 3.5.)得到對應角. 3.. ∠KMQ = ∠DEU 且∠MKQ = ∠EDU ，所以 ΔMQK ≅ ΔEUD (ASA 全等). 利用與三角形 ARC 的全等關係，證明三角形 HQM 與三角形 AXG 全等：. 因為 HM = AC = AG ，且 AC / / HM , AB / / HK 可得到 ∠MHQ = ∠CAR ，又 ∠GAX = 90° − ∠XAC = ∠CAR ，所以 ∠MHQ = ∠CAR = ∠GAX ，又. ∠MQH = ∠CRA = ∠GXA = 90° ，所以 4.. ΔHQM ≅ ΔARC ≅ ΔAXG (AAS 全等). 利用與三角形 CAB 的全等關係，證明三角形 NAH 與三角形 FGW 全等： 先證明三角形 FGW 與三角形 CAB 全等：. 由作圖 4.知 GW // AB ，又 GA // WB ，得到四邊形 GABW 為平行四邊形，所以 GW = AB，又因平行關係(同第 3 點證明)，所以 ∠FGW = ∠CAB 且 ∠FWG = ∠CBA，. 得到 ΔFGW ≅ ΔCAB (ASA 全等). 再證明三角形 CAB 與三角形 NAH 全等：. 由垂直的互餘關係得到 ∠NAH = 90° − ∠BAN = ∠CAB ，且由 AC / / HM 的平行關係. 34.
(41) . 得到 ∠ANH = 90° = ∠ACB ，又 AH = AB ，得到 ΔCAB ≅ NAH (AAS 全等),. 所以. 5.. ΔNAH ≅ ΔFGW . 證明四邊形 ANMR 與四邊形 ACWX 全等：. 由上述全等證明得到 AR = AX (因為 ΔARC ≅ ΔAXG )， AN = AC (因為 ΔCAB ≅ ΔNAH )，又 HM = AC = CF ﹐且 HN = WF (因為 ΔNAH ≅ ΔFGW )，所以. NM = HM − HN = CF − WF = CW ，再由垂直的互餘關係得到 ∠XAC = ∠RAN ，且 ∠ANM = ∠ACW = 90° ，所以. 6.. 四邊形ANMR ≅ 四邊形ACWX . 證明三角形 RLB 與三角形 UVD 全等：. 因為 LV = CE = BD ，得到 LB = LV − BV = CE − BV = BD − BV = VD. 7.. 且由平行關係得到對應角相等，所以 ΔRLB ≅ ΔUVD (ASA 全等). 證明三角形 POK 與三角形 TCS 全等： 如下圖所示，延長 DB 與 KM 交於 Y 點，因為 LM = PK ，由平行關係得到對應角相 等，所以 ΔPOK ≅ ΔLYM (ASA 全等)，又 BK = AB ，且由平行關係與垂直的互餘關 係可得到 ∠BYK = ∠BCA = 90° ﹐ ∠CBA = ∠YBK ，所以 ΔBYK ≅ ΔBCA (AAS 全等)， 由等長關係 TE = BL , YL = OP 與 CE = BC = BY ，進一步得到 CT = CE − TE = BY − BL = YL = OP,. 再由平行關係得到對應角相等可知 ΔTCS ≅ ΔPOK (ASA 全等). 35.
(42) . 8.. 證明五邊形 LMOPB 與五邊形 TSBVE 全等： 因為 TE = BL , TS = LM , SB = CB − CS = MK − OK = MO , BV = LV − LB = CE − TE = CT = OP ﹐ EV = EU + UV = MQ + RL = RQ − LM = BK − PK = BP ﹐再由平行關係得到對應角. 相等，進一步證出. 9.. 五邊形LMOPB ≅ 五邊形TSBVE. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKQR 面積等於正方形 CBDE 面積，且長方形 AHQR 面積等於正方形 CAGF 面積：. 長方形BKQR面積 ＝ΔMQK 面積＋ΔPOK 面積＋五邊形LMOPB 面積＋ΔRLB 面積 ＝ΔEUD 面積＋ΔTCS 面積＋五邊形TSBVE 面積＋ΔUVD 面積 ＝正方形CBDE 面積.. 且 長方形AHQR面積 ＝ΔNAH 面積＋ΔHQM 面積＋四邊形ANMR 面積 ＝ΔFGW 面積＋ΔAXG 面積＋四邊形ACWX 面積 ＝正方形CAGF 面積.. 36.
(43) . 10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式： 正方形AHKB 面積＝長方形BKQR 面積＋長方形AHQR 面積 ＝正方形CBDE 面積＋正方形CAGF 面積. 得到 2. 2. 2. AB = CB + CA , 即 c2 = a 2 + b2 .. 【註與心得】 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1900 年 8 月 9 日想到的。之後在以下的書籍中也找到證明： Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 42). Amsterdam: A. Versluys.J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 28). Leipz.: Friese. 2. 心得：此證明輔助線雖多，但繪圖過程皆與平行有關，使學生較容易看出對應角的 相等關係，再加上平行四邊形的對邊長相等關係，更能順利判斷三角形之間 的全等性質。學生需要利用平移與旋轉的拼圖方法，來得到了三個正方形面 積之間的畢氏定理關係，比 G022 的平移拼法更有挑戰性。此證明圖形可以 讓學生體驗了拼圖操作的證明樂趣。 ＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞ 3. 評量： 國中. 高中. 教學. 欣賞. 美學. ● 4.. 說明：(1).證明過程第 3 點的證明概念為：由平行得到同位角相等與利用垂直的互 餘關係得到角度相等。由於此證明方法常出現，因此之後出現類似概念， 證明將不再詳述。 (2).證明過程第 5 點證明四邊形全等的概念為：利用所知條件，連接對角線 並透過兩組三角形的全等證明，得到所有的對應邊及對應角均相等，進 而證出兩四邊形全等，由於此證明方法亦常出現，因此之後出現類似概 念，證明將不再詳述。 (3).此題圖形的作圖畫法雖與 G022 不同，但分割的元件數量與 G022 是相同 且全等的，此題需要利用平移與旋轉的拼圖方法，來得到了三個正方形 面積之間的畢氏定理關係，比 G022 的平移拼法更有挑戰性。 37.
(44) . 勾股定理證明-G022 【作輔助圖】. 1.. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。. 2.. 從 C 點作 HK 的垂線交於 S 點，且交 AB 於 Z 點。. 3.. 延長 HA 交 GF 於 Q 點，延長 KB 交 CE 於 P 點。. 4.. 從 Z 點作 CA 的平行線交 AH 於 T 點，作 CB 的平行線交 BK 於 M 點。. 5.. 從 S 點作 BC 的平行線交 ZT 於 U 點，作 AC 的平行線交 BK 於 L 點。. 6.. 在 ZS 上取一點 V ，使得 SV = BP ，並從 V 點作 AC 的平行線交 ZM 於 W 點。. 7.. 在 ED 上取一點 O ，使得 EO = WM ，並從 O 點作 BP 的平行線交 BD 於 N 點。. 8.. 從 C 點作 AB 的平行線交 AQ 於 R 點，且交 BP 於 J 點。. 38.
(45) . 【求證過程】 以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 所切割出的 區塊中，長方形 BKSZ 內的區塊可以拼出正方形 CBDE 的區域，同時長方形 AHSZ 內的 區塊可以拼出正方形 CAGF 的區域，證明了長方形 BKSZ 的面積等於正方形 CBDE 的面 積，同時長方形 AHSZ 的面積也與正方形 CAGF 的面積相等，最後推出畢氏定理的關係 式。 1. 首先觀察出四邊形 ATZC 與四邊形 BMZC 皆為平行四邊形： 由作圖得到 CS // AH // BK ， ZT // CA 且 ZM // CB ，所以四邊形 ATZC 與四邊形. 2.. BMZC 皆為平行四邊形。 由平行四邊形 BMZC 所得到的長度與平行關係，證明三角形 ZMB 與三角形 CBJ 全 等： (由於求證過程 3.之後的三角形全等證明過程，其判斷全等的概念與求證過程 2.相 同，故有關一對平行且等長的線段，若其另兩邊亦成平行關係，就省略說明對應角 的內容). 因為四邊形 BMZC 為平行四邊形，可得到 ZM // CB 且 ZM = CB ，由平行關係可得 同位角相等. ∠ZMB = ∠CBJ , 又由平行關係 ZB // CJ 可得到. ∠BZM = ∠JCB, 所以. 3.. ΔZMB ≅ ΔCBJ (ASA 全等). 由平行四邊形 ATZC 所得到的長度與平行關係，證明三角形 ATZ 與三角形 RAC 全 等：. 因為四邊形 ATZC 為平行四邊形，可得到 ZT // CA 且 ZT = CA ，由平行關係 ZA // CR 可得到對應角相等，所以 ΔATZ ≅ ΔRAC (ASA 全等).. 4.. 先證明 AQ = SZ ，再證明三角形 USZ 與三角形 GAQ 全等： 因為 AG = AC , ∠QGA = ∠BCA = 90° 且由垂直的互餘關係得到. ∠GAQ = 90° − ∠QAC = ∠CAB, 所以 ΔGAQ ≅ ΔCAB (ASA 全等). 39.
(46) . 進一步得到 AB = AQ = SZ ，在三角形 USZ 與三角形 GAQ 中，因為 AQ = SZ 且 AQ // SZ ,. 5.. 由平行關係得到對應角相等(同證明過程 2.)，所以 ΔUSZ ≅ ΔGAQ (ASA 全等). 證明四邊形 THSU 與四邊形 QRCF 全等： 由上述 ΔUSZ 與 ΔGAQ 全等的證明結果，可得到 US = GA ，又 GA = FC ，所以 US = FC. 且由 GF = AC = TZ 與 GQ = UZ 的條件，可得到 GF − GQ = TZ − UZ ,. 整理得 QF = TU ，. 又因為四邊形 HSCR 為長方形，得到 HS = RC ，再由平行關係得到對應角相等， 所以. 6.. 四邊形THSU ≅ 四邊形QRCF . 證明三角形 SKL 與三角形 CJP 全等：. 因為四邊形 SKJC 為長方形，得到 SK = CJ ，且由平行關係得到對應角相等，所以. 7.. ΔSKL ≅ ΔCJP (ASA 全等). 證明三角形 ZVW 與三角形 OND 全等：. 由作圖 7.知 EO = WM 且 ED = CB = ZM ，所以 ZM − WM = ED − EO,. 得到 ZW = OD.. 8.. 由平行關係得到對應角相等，所以 ΔZVW ≅ ΔOND (ASA 全等). 由以下附圖先證明三角形 ZSY 與三角形 XBD 全等，再證明五邊形 SLMWV 與五邊 形 BNOEP 全等：. (1) 延長 DE 與 BP 交於 X 點，延長 ZM 與 SL 於 Y 點，已知 BC = BD ,. 40.
(47) . ∠CBA = 90° − ∠CBX = ∠DBX 且 ∠BCA = ∠BDX = 90° ，所以 ΔABC ≅ ΔXBD (ASA 全等)﹐. 進而得到 AB = BX .. 又由 AB = ZS = BX ，且由平行關係得到對應角相等(同證明過程 2.)，所以 ΔZSY ≅ ΔXBD (ASA 全等)﹐. 進而得到 ΔABC ≅ ΔXBD ≅ ΔZSY .. (2) 已知 EO = WM ，又 XD = AC = ZY 且 ED = CB = ZM ，得到 XD − ED = ZY − ZM ,. XE = MY ﹐. 再由平行關係得到. ΔXPE ≅ ΔMLY ﹐ 又 ZV = ZS − SV = BX − BP = XP ，由平行關係得到 ΔZVW ≅ ΔXPE ﹐ 且 ΔZVW ≅ ΔOND ，所以可得 ΔZVW ≅ ΔXPE ≅ ΔOND ≅ ΔMLY ﹐ 進而得到 五邊形SLMWV ≅ 五邊形BNOEP.. X E. P C. O. J. D N. Z. A. W. B. V M L S. H 41. K. Y.
(48) . 9.. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKSZ 面積等於正方形 CBDE 面積，且長方形 AHSZ 面積等於正方形 CAGF 面積： 長方形BKSZ 面積＝ΔSKL 面積＋ΔMBZ 面積＋ΔZVW 面積＋五邊形SLMWV 面積 ＝ΔCJP 面積＋ΔBJC 面積＋ΔOND 面積＋五邊形BNOEP 面積 ＝正方形CBDE 面積.. 且 長方形AHSZ 面積＝ΔATZ 面積＋ΔUSZ 面積＋四邊形THSU 面積 ＝ΔRAC 面積＋ΔGAQ 面積＋四邊形QRCF 面積 ＝正方形CAGF 面積.. 10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式： 正方形AHKB面積＝長方形BKSZ 面積＋長方形AHSZ 面積 ＝正方形CBDE 面積＋正方形CAGF 面積. 得到 2. 2. 2. AB = CB + CA ,. 即 c2 = a 2 + b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 43). Amsterdam: A. Versluys. 2. 心得：此題圖形繪製的輔助線稍多，都是繪製平行的輔助線，能使學生較容易看出 對應角的相等關係，再利用平行四邊形的對邊等長的關係，判斷出三角形之 間的全等性質。 ＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞ 3. 評量： 國中. 高中. 教學. 欣賞. 美學. ● 4. 說明：此題圖形的作圖畫法雖與 G021 不同，但分割的元件數量與 G021 是相同且. 全等的，學生只要利用平移的拼圖方法，即可得到了三個正方形面積之間的 畢氏定理關係，拼圖方式比 G021 利用平移與旋轉的拼圖方法來得輕鬆。 42.
(49) . 勾股定理證明-G023 【作輔助圖】. 1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為 邊，向外作一正方形 CAGF 。. 2. 連接 AF 與 BE 。 3. 分別從 G 作 AB 的平行線交 AF 於 R 點；從 C 點作 AB 的平行線交 AF 於 S 點，且交 BE 於 O 點；從 D 點作 AB 的平行線交 BE 於 N 點。. 4. 從 C 點作 FA 的平行線(即 ∠ACB 的角平分線)交 HK 於 T 點，且交 AB 於 U 點。 5. 從 A 點作 CB 的平行線交 UT 於 Q 點，並連接 HQ 。 6. 從 B 點作 CA 的平行線交 UT 於 P 點，並連接 KP 。 7. 在 AH 上取一點 L ，使得 AL = SC ，並連接 LQ 。 8. 在 BK 上取一點 M ，使得 BM = CO ，並連接 PM 。. 43.
(50) . 【求證過程】 以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先證明正方形 CBDE 與正方形 CAGF 所切割出的區塊，能拼合成正方形 AHKB 的區域，再由面積相等的關係，最後 推出畢氏定理的關係式。. 1.. 首先證明 AF 與 BE 平行： 由作圖 2.知 AF 與 BE 皆為正方形的對角線，所以 ∠FAC = ∠CEB = 45° ，得到. 2.. AF // BE. 證明直角三角形 ABC 內的三角形 ACU 與三角形 CAS 全等，且三角形 CBU 與三角 形 BCO 全等：. 由作圖 3. 4. 知 AF // CT // BE ，且 SO // AB ，得到四邊形 AUCS 與四邊形 CUBO 皆 為平行四邊形，因此. ΔACU ≅ ΔCAS , 且. 3.. ΔCBU ≅ ΔBCO. 證明三角形 GFR 與三角形 CAS 全等，且三角形 GAR 與三角形 CFS 全等，同理可推 得三角形 DNE 與三角形 COB 全等，三角形 DNB 與三角形 COE 全等：. 因為 GF = CA 且 GF // CA ，再加上平行關係 GR // CS ，得到 ∠FGR = ∠ACS ，又 ∠GFR = ∠CAS = 45° ，所以 ΔGFR ≅ ΔCAS (ASA 全等).. 因為 GA = CF ﹐∠GAR = ∠CFS = 45° 且由平行關係 GR // CS ，得到 ∠GRA = ∠CSR ， 可證得. 4.. ΔGAR ≅ ΔCFS ( AAS 全等), 同理可證得正方形 CBDE 中 ΔDNE ≅ ΔCOB, ΔDNB ≅ ΔCOE. 證明三角形 GAR 與三角形 AQU 全等且三角形 DNB 與三角形 BUP 全等：(平移之後 全等). 因為 CT // FA ，得到 ∠ACQ = ∠FAC = 45°，又 AQ // CB ，得到 ∠CAQ = ∠ACB = 90° ， 所以可知 ΔAQC 為等腰直角三角形，進一步得到 AQ = AC = AG , ∠AQU = 45° = ∠GAR ，再由 GR // AB 得到 ∠UAQ = ∠RGA ，. 因此 44.
(51) . ΔGAR ≅ ΔAQU (ASA 全等).. 同理可證得. 5.. ΔDNB ≅ ΔBUP (ASA 全等). 證明三角形 ALQ 與三角形 CSA 全等且三角形 BPM 與三角形 CBO 全等：. 因為 ∠LAQ = 90° − ∠UAQ = ∠UAC = ∠SCA ，且 AQ = CA ，再由條件 AL = SC 得到 ΔALQ ≅ ΔCSA (SAS 全等),. 同理可證得. 6.. ΔBPM ≅ ΔCBO (SAS 全等)﹒ 證明三角形 QLH 與三角形 CUB 全等且三角形 PMK 與三角形 CAU 全等：. 已得證 AQ = AC ，又 AH = AB 與 ∠QAH = ∠CAB ，得到 ΔQAH ≅ ΔCAB （SAS 全等）﹐. 所以 HQ = BC ﹐∠AHQ = ∠ABC ，又因 LH = AH − AL = AB − CS = AB − AU = BU ， 所以 ΔQLH ≅ ΔCUB (SAS 全等)﹒. 同理可證得. 7.. ΔPMK ≅ ΔCUA (SAS 全等)﹒ 證明三角形 QHT 與三角形 ECO 全等，且三角形 PKT 與三角形 FCS 全等：. 因為 QH 平行且等長於 EC ，仿前面的概念由平行關係得到對應角相等，所以 ΔQHT ≅ ΔECO (ASA 全等)，同理可證得， ΔPKT ≅ ΔFCS (ASA 全等)﹒. 8.. 如下圖，將區塊 1,3,5,7,平移到正方形 AHKB 內，區塊 2,4,6,8 順時針轉 90° 後平移到 正方形 AHKB 內。. 45.
(52) . F. E. 2 1. G. 5. C. 3. 8. 4. D. 6 7. A. B. 7 3. 6. 2 4 8. 1 5 K. H. 9.. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式： 正方形 AHKB 面積＝正方形 CBDE 面積＋正方形 CAGF 面積 得到 2. 2. 2. AB = CB + CA , 即 c2 = a 2 + b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 45). Amsterdam: A. Versluys. Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz. Leipzig & Berlin : Teubner.Leitzmann, 13. 2. 心得：此證明別出心裁先繪出了正方形的對角線作為輔助線，再增加其它平行線段， 有別於其它證明皆使用平行線。學生只要細心的觀察，就能從眾多的三角形 中，利用平行關係得到相等的對應角，看出滿足全等關係的三角形，共得到 四組各四個三角形的全等結構。但此題的證明過程因元件太多，故稍嫌繁複， 只適合以拼圖方式來體驗，不適合作為證明的教材。 ＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞ 46.
(53) . 3. 評量： 國中. 高中. 教學. 欣賞. 美學. ●. ●. 4. 說明：此題作圖方法很特別的使用對角線與角平分線，與大部份利用延長線與平行. 線的畫法不同。此題圖形的作圖畫法雖與 G024 不同，但分割的元件數量與 G024 是相同且全等的，學生只要利用平移與旋轉的拼圖技巧，即可將兩個股 所作的正方形拼入斜邊所作的正方形，但此題因為元件有八個之多，需要認 真觀察。. 47.
(54) . 勾股定理證明-G024 【作輔助圖】. 1.. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。. 2.. 連接 GC 與 CD 。. 3.. 延長 HA ，交 GC 於 L 點，並連接 LF 。. 4.. 延長 KB ，交 CD 於 M 點，並連接 ME 。. 5.. 作 ∠ACB 的角平分線 CP ，且交 AB 於 S 點。. 6.. 延長 GA ，交 SP 於 O 點，並連接 HO 。. 7.. 延長 DB ，交 SP 於 N 點，並連接 KN 。. 8.. 在 AH 上取一點 Q ，使得 AQ = AL ，並連接 QO 。. 9.. 在 BK 上取一點 R ，使得 BR = BM ，並連接 RN 。 F E G. L. C M D S. A. B N R. Q O. H. P 48. K.
Outline
相關文件
對正多面體的較系統的研究始於古希臘的數學家畢達哥拉斯。 他發現除了埃及人知道的三 種正多面體外, 還有正十二面體及正二十面體。
[r]
在一張長50公分，寬30公分的長方形畫 紙上，畫上一個最大的正方形，其餘的 就剪掉。請問最大正方形面積為多少?剪
滿足 deflation rule ，在原來的兩種 tiles 上刻出分割線及記號，注意灰 色面積與原來的瓦片面積一樣。. 第 25 頁，共 27 頁
「光滑的」邊界 C。現考慮相鄰的 兩個多邊形的線積分，由於共用邊 的方向是相反的，所以相鄰兩個多
MSS6.4.2 基於判定條件運用演繹法證明全等和相似三角形 MSS6.4.3 驗證三角形四心如內心、外心、垂心和形心的作圖法 MSS6.5 認識四邊形的性質
古代希臘人對幾何學的貢獻，眾所周知。有位數學家把它
We hope to engage and collaborate with stakeholders in the community to explore the many possibilities of aging through creative workshops and community engagement3. We hope
