第四章 勾股定理證明工作單
第二節 工作單內容
以下工作單我們將介紹 50 個「幾何」分類中的勾股定理證明，如第一節所 述，每一個證明皆包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本研 究的50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發 教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗。
我們將介紹下述 50 個勾股定理證明：
G021、G022、G023、G024、G025、G026、G027、G028、G029、G030、
G031、G032、G033、G034、G035、G036、G037、G038、G039、G040、
G041、G042、G044、G045、G046、G047、G048、G049、G050、G066、
G067、G072、G073、G074、G075、G076、G108、G109、G112、G116、
G117、G118、G127、G128、G129、G130、G131、G132、G133、G134，其中 包含許多經典證明，及教科書使用的證明方法。
勾股定理證明-G021
【求證過程】
KMQ DEU MKQ EDU
∠ = ∠ 且∠ = ∠ ，所以
HQM ARC AXG
Δ ≅ Δ ≅ Δ (AAS 全等).
得到∠ANH =90° = ∠ACB，又 AH = AB，得到
8. 證明五邊形 LMOPB 與五邊形TSBVE 全等： LMOPB≅ TSBVE
五邊形 五邊形
9. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKQR 面積等於正方形CBDE 面積，且長方形 AHQR 面積等於正方形 CAGF 面積：
BKQR
MQK POK LMOPB RLB
EUD TCS TSBVE UVD
CBDE
NAH HQM ANMR
FGW AXG ACWX
CAGF
10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
AHKB BKQR AHQR
CBDE CAGF
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 42). Amsterdam: A.
Versluys.J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 28). Leipz.: Friese.
2. 心得：此證明輔助線雖多，但繪圖過程皆與平行有關，使學生較容易看出對應角的
勾股定理證明-G022
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形CAGF 。
2. 從C 點作 HK 的垂線交於 S 點，且交 AB 於 Z 點。
3. 延長 HA 交GF 於Q 點，延長 KB 交CE 於 P 點。
4. 從 Z 點作CA 的平行線交 AH 於T 點，作CB 的平行線交 BK 於 M 點。
5. 從 S 點作 BC 的平行線交 ZT 於U 點，作 AC 的平行線交 BK 於 L 點。
6. 在 ZS 上取一點V ，使得 SV =BP，並從V 點作 AC 的平行線交 ZM 於W 點。
7. 在 ED 上取一點O ，使得 EO WM= ，並從 O 點作 BP 的平行線交 BD 於 N 點。
8. 從C 點作 AB 的平行線交 AQ 於 R 點，且交 BP 於 J 點。
【求證過程】
進一步得到 AB= AQ=SZ，在三角形USZ 與三角形GAQ 中，因為
90
ABC XBD ZSY Δ ≅ Δ ≅ Δ .
ZVW XPE OND MLY Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ ﹐ 進而得到
SLMWV ≅ BNOEP
五邊形 五邊形 .
9. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKSZ 面積等於正方形CBDE 面積，且長方形 AHSZ 面積等於正方形 CAGF 面積：
BKSZ SKL MBZ ZVW SLMWV
CJP BJC OND BNOEP
CBDE
AHSZ ATZ USZ THSU
RAC GAQ QRCF
CAGF
AHKB BKSZ AHSZ
CBDE CAGF
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 43). Amsterdam: A.
Versluys.
勾股定理證明-G023
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE，以 AC 為 邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 連接 AF 與 BE 。
3. 分別從G 作 AB 的平行線交 AF 於 R 點；從C 點作 AB 的平行線交 AF 於 S 點，且交 BE
於 O 點；從 D 點作 AB 的平行線交 BE 於 N 點。
4. 從C 點作 FA 的平行線(即 ACB∠ 的角平分線)交 HK 於T 點，且交 AB 於U 點。
5. 從 A點作CB 的平行線交UT 於Q 點，並連接 HQ 。 6. 從 B 點作CA 的平行線交UT 於 P 點，並連接 KP 。 7. 在 AH 上取一點 L ，使得 AL SC= ，並連接 LQ 。 8. 在 BK 上取一點 M ，使得 BM =CO，並連接 PM 。
【求證過程】 GAR CFS AAS
Δ ≅ Δ 全等
同理可證得正方形 CBDE 中
, .
DNE COB DNB COE Δ ≅ Δ Δ ≅ Δ
GAR AQU
Δ ≅ Δ (ASA 全等).
同理可證得
DNB BUP
Δ ≅ Δ (ASA 全等).
5. 證明三角形 ALQ 與三角形CSA 全等且三角形 BPM 與三角形CBO 全等：
因為∠LAQ=90°− ∠UAQ= ∠UAC = ∠SCA，且 AQ=CA，再由條件 AL=SC 得到
ALQ CSA
Δ ≅ Δ (SAS 全等), 同理可證得
BPM CBO
Δ ≅ Δ (SAS 全等)﹒
6. 證明三角形QLH 與三角形CUB 全等且三角形 PMK 與三角形CAU 全等：
已得證 AQ= AC，又 AH = AB與 QAH∠ = ∠CAB，得到 ΔQAH ≅ CABΔ （SAS 全等）﹐
所以 HQ =BC﹐ AHQ∠ = ∠ABC，又因 LH = AH −AL= AB−CS = AB−AU =BU ， 所以
QLH CUB
Δ ≅ Δ (SAS 全等)﹒
同理可證得
PMK CUA
Δ ≅ Δ (SAS 全等)﹒
7. 證明三角形QHT 與三角形 ECO 全等，且三角形 PKT 與三角形 FCS 全等：
因為 QH 平行且等長於 EC ，仿前面的概念由平行關係得到對應角相等，所以 ΔQHT ≅ ECOΔ (ASA 全等)，同理可證得， PKTΔ ≅ FCSΔ (ASA 全等)﹒
8. 如下圖，將區塊 1,3,5,7,平移到正方形 AHKB 內，區塊 2,4,6,8 順時針轉90°後平移到 正方形 AHKB 內。
A B
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 45). Amsterdam: A.
Versluys.
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner.Leitzmann, 13.
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 說明：此題作圖方法很特別的使用對角線與角平分線，與大部份利用延長線與平行 線的畫法不同。此題圖形的作圖畫法雖與G024 不同，但分割的元件數量與 G024 是相同且全等的，學生只要利用平移與旋轉的拼圖技巧，即可將兩個股 所作的正方形拼入斜邊所作的正方形，但此題因為元件有八個之多，需要認 真觀察。
勾股定理證明-G024
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形CAGF 。
2. 連接GC 與CD 。
3. 延長 HA ，交GC 於 L 點，並連接 LF 。 4. 延長 KB ，交CD 於 M 點，並連接 ME 。 5. 作 ACB∠ 的角平分線CP ，且交 AB 於 S 點。
6. 延長GA，交 SP 於O 點，並連接 HO 。 7. 延長 DB ，交 SP 於 N 點，並連接 KN 。
8. 在 AH 上取一點Q ，使得 AQ= AL，並連接 QO 。 9. 在 BK 上取一點 R ，使得 BR BM= ，並連接 RN 。
A B
H
E F
G
D
K C
O N
R S
L
M
Q
P
【求證過程】
180 45 CLF CLA OSA NPK CME CMB NSB OPH GLF GLA OQA NRK MBD MED QHO RBN Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ
10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
ACKB CBDE CAGF
正方形 面積＝正方形 面積＋正方形 面積 得到
即
2 2 2.
c =a +b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p.44). Amsterdam: A. Versluys.
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner.Dr. Leitzmann, 13.
2. 心得：此證明如同 G023 題，別出心裁先繪出了正方形對角線作為輔助線，再增加 其它平行線段，學生只要細心的觀察，就能從眾多的三角形中，先看出滿足 對邊平行的四邊形其對角線切割的三角形全等，再利用平行關係得到相等的 角度，找出更多全等的圖形，共得到四組各四個三角形的全等結構，此題證 明的過程稍微繁複。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
2 2 2
, AB =CB +CA
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 說明：此題作圖方法很特別的利用對角線與角平分線，與大部份利用延長線與平行 線的畫法不同。此題圖形的作圖畫法雖與G023 不同，但分割的元件數量與 G023 是相同且全等的，學生除了要利用平移與旋轉的拼圖技巧，還需要利 用翻轉才能將兩個股所作的正方形內的元件，拼入斜邊所作的正方形，此題 因為元件有八個之多，需要認真觀察圖形之間的角度關係。
勾股定理證明-G025
1. 先證明三角形 RHK 與三角形 FGL 全等：
FGL CAB RHK Δ ≅ Δ ≅ Δ
KRS HOPQ RHK AOP AQSB
BCN BNED FGL LMC
CBDE C
得到
2 2 2
, AB =CB +CA 即
2 2 2.
c =a +b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 38). Amsterdam: A.
Versluys.
2. 心得：此證明圖形分割的元件與G127 相同，利用了正方形直角的特性，找出互餘 關係得到全等圖形的對應角相等，再搭配對應邊等長的關係得到全等圖形。
最後只利用了平移的拼圖方法，得到了三個正方形面積之間的畢氏定理關 係。此題證明圖形可以讓學生體驗了拼圖操作的證明樂趣。(此圖形分割的元 件與G026 有四塊相同)。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
勾股定理證明-G026
1. 透過與三角形 ABC 全等的關係，證明三角形 AHM 與三角形 ATG 全等：
AHM ABC ATG Δ ≅ Δ ≅ Δ .
6. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( ) (
)
( ) (
)
AHKB HMO ALPQ AHM
BLN LNKO QPB
CES CBDS ATG
ACU UCRT RFT
CBDE CAGF
勾股定理證明-G027
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形CAGF 。
2. 從C 點作 ACB∠ 之角平分線，交 AB 於T 點。
3. 從T 點作 AH 的平行線交 HK 於V 點，再從T 點作CB 的平行線交 AC 於 S 點，從T 點
作 CA 的平行線交CB 於 L 點。
4. 分別在 AG ,GF , FC 邊上取 R ,Q , P 三點，使得 AR GQ FP CS= = = ，並連接 SR ，
RQ,QP , PS 。(在證明中說明四邊形 PQRS 為正方形)
5. 分別在 BD , DE , EC 邊上取 M , N , O 三點，使得 BM =DN =EO=CL，並連接
LM , MN , NO ,OL 。(在證明中說明四邊形 LMNO 為正方形)
6. 在 AH 邊上取一點U ，使得 AT = AU ，再從U 點作 AB 的平行線交 BK 於W 點，並
交TV 於 Z 點。
7. 連接TW , HZ 。
8. 分別從U ,V 作CB 平行線交 HZ 於 X ,Y 兩點；再分別過 B , Z 作CA 平行線交TW 於 I, J 兩點。
A B
RAS QGR PFQ SCP
Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ (SAS 全等).
得到四邊形 PQRS 四邊長皆相等，又 180 180
180 90 90 ,
PSR ASR CSP
ASR ARS
得到四邊形 PQRS 四角皆為直角，因此四邊形 PQRS 為正方形。
RAS UXZ VYH ZJT BIW Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ 同理可證
. LBM TIB WJZ HXU ZYV Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ
VKWZ TIB TAUZ UXZ
LMNO LBM PQRS RAS
CBDE CAGF
【註與心得】
1. 來源：這證明是由 J. Adams, Chassestreet 31, The Hague, Holland, 在 1933 年春天寄 給 Loomis。
2. 心得：此證明的圖形分割很有創意，在正方形 AHKB 內所切割的區塊共有十個，屬 於較多切割數的，雖然拼圖過程中只要利用平移的拼圖技巧，就能得到正方 形面積之間的畢氏定理關係，但對學生操作時的感受，是很有挑戰性的。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ● ●
4. 說明：此題在魯米斯的書中所提的作圖方式其實是錯誤的，書中一開始作圖時提到
“在 AB 邊上取T 點，使得線段 AT 與 BC 等長”，其實真正的作圖方式是從C 作 ACB∠ 的角平分線，交於 AB 得到T 點的位置才是。
勾股定理證明-G028
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形CAGF 。
2. 在正方形 AHKB 的內部，從兩個頂點 ,A K 作平行線平行 CB ，從兩個頂點H B 作平,
行線平行 CA ，交於 , , ,O P Q R 四交點，
3. 在 BR 上取一點T ，使得 BT =OR，連接 AT 。 4. 在 HP 上取一點 S ，使得 HS QP= ，連接 KS 。
5. 在AC AG 上分別取二點, N L ，使得 AN, = AL=OR，作正方形 ANML 。 6. 連接 FN , FM , FL 與 EB 。
【求證過程】 CAB PAH QHK RKB OBA Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ
DEB CBE QSK OTA
Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ (SAS 全等).
CFN CAB
Δ ≅ Δ (SAS 全等).
同理可證
CAB CFN GFL
Δ ≅ Δ ≅ Δ (SAS 全等).
TBA SHK MNF MLF
Δ ≅ Δ ≅ Δ ≅ Δ (SAS 全等).
QSK OTA APH
RKB TBA SHK
DEB CBE FCN GFL
MNF M
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner,15.
勾股定理證明-G029
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形CAGF 。
2. 延長 HA ，交GF 於O 點。
3. 從 K 點作 BC 的平行線，交 AB 於 P 點。
4. 從O 點作 AB 的平行線，交CF 於 N 點。從 B 點作CA 的平行線交 PK 於 R 點。
5. 在 BF 上取一點 M ，使得 BM =CA，連結 MD 交 CE 於 L 點。
A B
H
E F
G
D C
K M L
N O
P
R
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先證明輔助線所切割的區塊，
能間接將正方形 AHKB 面積轉換成正方形 CBDE 與正方形CAGF 的面積，再由面積相等 的關係，最後推出畢氏定理的關係式。
1. 證明三角形 RKB 與三角形GAO 皆與三角形CAB 全等：
因為 CA GA= ,∠ACB= ∠AGO=90°,∠CAB=90°− ∠CAB= ∠GAO，所以
CABΔ ≅ ΔGAO(ASA 全等). CAB RKB GAO Δ ≅ Δ ≅ Δ FON CAB CML
∠ = ∠ = ∠ ，所以
PRB BRK AHKP
LED DBM OABN
LED MCL
OACN CAB
LED BDLC OFN
OACN GAO
得到
2 2 2
, AB =CB +CA 即
2 2 2.
c =a +b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of thePythagorean.
The American Mathematical Monthly, 4(6/7), 168-170.
The American Mathematical Monthly, 4(6/7), 168-170.