工作單幾何證明題的證明分析

類型A：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透過 拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。若將拼圖的方式加以 細分，可再分為：

類型A1：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透 過拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。位移過程中，僅 透過平移與旋轉的方式，這也是學生操作過程中最容易成功的類型，

圖形的各分割元件均只移動一次即可完成作拼圖。以G022 舉例來說(圖 3.3.1)，透過平移的方式將長方形BKSZ^{內的區塊拼出正方形}CBDE的 區域，同時長方形AHSZ^{內的區塊拼出正方形}CAGF 的區域，最後推 出畢氏定理的關係式。

圖3.3.1 G022 輔助圖

類型A2：運用圖形的輔助線所切割的元件，直接將斜邊上正方形裡的元件，透 過拼圖的方式直接填補在以兩股為邊所作的正方形。位移過程中，某 些元件須透過翻轉的技巧才能完成拼圖，其餘元件仍可透過平移與旋 轉的方式進行一次的移位動作。以G024 舉例來說，斜線區域須先翻轉 再旋轉後才能移到正方形AHKB內，而其餘的區域只要透過平移或旋 轉的方式即可移到正方形AHKB內。

A B

H

E F

G

D

K C

O N

R S

L

M

Q

P

類型B：最初圖形的輔助線所切割的元件，無法直接將斜邊上正方形的元件，透 過拼圖的方式填補在以兩股為邊的正方形上，此技巧為運用元件之間的 全等關係，將元件位移到另一個元件後，再利用所對應的元件其原本的 輔助線，將元件切割為數個較小的新元件，做第二次的填補移位。以 G030 舉例來說，先透過正方形AHKB與正方形AOMB^{的全等，再由正} 方形AOMB所切割的區塊，分別拼合成正方形CBDE^與正方形CAGF 的區域，最後推出畢氏定理的關係式。

類型C：運用兩個圖形之間的全等或面積相等的關係，將兩圖形同時減去全等或

類型D2：透過將矩形、正方形、平行四邊形面積切割成為兩倍三角形面積的方 法，觀察三角形圖形的三個邊，找到另一組適當的底高組合，進而透 過等底同高或等高同底的面積運算，得到另一個相同面積的四邊形。

以G129 舉例來說，

長方形LNBK^{面積＝平行四邊形}CMBK 面積(同底同高)

＝2 BCMΔ 面積

＝ 1

2 ( )

2 BC BD

× × × ＝BC×BD

＝正方形CBDE面積﹒

D

A B

H

C L K F

E

N G

M

D

A B

H

C L K F

E

N G

M

類型E：此技巧為利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再繼續利用類型 D 的底高計算方法。

說明：在證明過程中，類型D 強調的方法是找出圖形的共同邊，再進一步找出 對應底或高的位置進行面積的計算，但有時皆無法找到圖形中的共同邊 時，就必須利用圖形的全等關係進行元件的移位轉換，此類型的證明相 較之下也更多變化。若將此方式加以細分，可再分為：

類型E1：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再利用D1類型的底高計算方 法。

類型E2：利用圖形的全等關係進行元件的移位後，再利用D2類型的底高計算方 法。以G129 舉例來說：

長方形LHKM 面積＝2ΔPHK面積

＝2ΔNBA面積（底為NB=a，高為BC=a）

＝2(1

2BN×BC)=a²

＝正方形CBDE面積

類型F：因斜邊與兩股為邊的三個正方形有重疊區域，以拼圖方式較不易觀察出 面積的組合關係，因此運用適當的代數符號取代元件的面積後，整理出 面積之間的轉換條件與關係式，最後得到三個正方形的面積關係。以 G129 舉例來說，

→找出面積之間的轉換條件 s= + = + n m o p

且

s

→轉換之後得到

m o

r n

n

正方形 AHKB 面積 3o= + + + p r s

AHKB AMNB MHKN

ALDB DHK