包絡線

標準的 EMD 是利用立方雲線(cubic spline)內插通過訊號極值點形成包 絡線(envelope)，其並非是真實的包絡線。有時候透過雲線內插會引入不想 要的超越量(over- and undershoots)而造成 IMF 變化，如圖 3.4 所示【27】。

圖 3.4 立方雲線超越量之示意圖(箭頭處)

這樣不但使得 IMF 不保證嚴格對稱，並且會有各分量能量不守恆的現 象。經由文獻回顧，包絡線的處理方式大約有表 3.3 所列的幾種方法。

表 3.3 包絡線處理法列表

作者 方法 特性

N.E. Huang et al.

(1998) 立方雲線 標準EMD

Q.H. Chen et al.

(2006) B─雲線 局部控制

L. Y. Lu

(2007) 鋸齒轉換 替代空間與線性包絡線

G.G.S. Pegram

et al. (2008) 有理雲線 張力控制參數

Y. Kopsinis and S.

McLaughlin (2008)

基因演算法 &

雙重迭代搭配高階雲線 最佳內插點選取

S.D. Hawley et al.

(2008) 三角內插法 三角內插公式

Z. Xu et al.

(2008) 極值點精確位置法 重新找尋極值點位置

 立方雲線

利用連接極值點的立方雲線(cubic spline)找到上下包絡線，這也是標準 EMD 所使用找尋包絡線的方式【11】。

 B─雲線

Chen, Huang, Riemenschneider and Xu (2004) 提出利用 B─雲線的數值 方式，來替代立方雲線連接上下包絡線【25】。B─雲線具有局部控制(local control)的特性，這與 EMD 利用局部的特性有著相似之處。文中定義能量守 恆指數(index of energy conservation, IEC)，其公式如下：

  

 鋸齒轉換

Lu (2007) 利用替代空間(alternative spaces)來找尋包絡線【26】。此法 的概念，是先連接各極值點找到原訊號在數據空間上之線性鋸齒函數，再透 過鋸齒轉換(Sawtooth Transform, ST)將其轉換成鋸齒空間上之 ST 函數，如 圖 3.5 (b)所示。在鋸齒空間中，透過分段、線性連接上下包絡線的方式找尋

)

(d)

(e)

圖 3.5 鋸齒轉換之示意圖 (a)原始訊號(數據空間) (b) ST 函數(鋸齒空間) (c) 線性包絡線(紅色)與殘餘量(黑色)(鋸齒空間) (d) IMF(藍色，鋸齒空間) (e) IMF(藍色)、包絡線(紅色)(數據空間)

 有理雲線

Pegram, Peel and McMahon (2008) 提出加入了一個控制雲線張力的極點 參數(pole parameter, p)之有理雲線(rational splines)概念【27】。當 p 值越大，

極值點間的雲線越趨於線性關係。如圖 3.6 所示，紅色線是透過立方雲線 (p0)所構成的包絡線，依序越接近極值點之包絡線，其 p 值越大。經由實 驗數據證明，透過張力參數的選取，能有效改善超越量之問題，IMF 與殘餘 量加總的正交性與完整性也會提升，但每個 IMF 所需之迭代次數也會隨著 增加。一般而言，p 值介於 1 到 5 之間有較好的結果。圖 3.6 中，橘、萊姆 綠、亮綠、青綠、亮藍、藍與黑線的 p 值分別為 0.5、1、2、5、10、20 以 及50【27】。

圖 3.6 具張力控制參數之有理雲線示意圖

Kopsinis and McLaughlin (2008) 提出了多種方式來尋找較佳的插值點以 得到真實的包絡線。主要的方法為【28, 29】：

 基因演算法

運用基因演算法(Genetic Algorithm, GA)最佳化的方式，找尋極值點之外 的最佳插值點。

 雙重迭代搭配高階雲線

考量極值點與轉折點間的最佳插值點，利用雙重迭代的篩選(doubly- iteration sifting)，搭配高階雲線(high order spline)的方式求得 IMF。然而無論 是找尋最佳插值點或是高階雲線的方式，都是運用數值分析的方法找尋連接 幅差值，往往這樣的改變，就是造成IMF 扭曲(distortion)、不對稱的原因。

在不改變極值點位置的前提下，搭配三角內插的方式，改善不對稱的問題。

 極值點精確位置法

Xu, Huang and Xu (2008) 提出一種新演算法重新定義極值點精確位置 (exact location of extrema)解決原極值點可能帶來全域變化不對稱問題【31】

。此法是將在區間0tT 之有限頻寬週期訊號s(t)表達成FS展開式：

