改良式本質模態分解法在訊號處理之應用
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(2) 誌謝 能完成這篇論文，我要特別感謝我的指導教授吳順德博士。吳教授帶領 我跨入學術研究的大門，使我了解到做學問沒有捷徑，惟有紮實的做好基本 功才能ㄧ步步達成目標，並且培養我面對事情的態度─「遇到問題就要去解 決」的精神。同時感謝口試委員林修國教授以及呂有勝教授於口試時觀念的 指正與意見的提供，使得本論文更臻完善。 謝謝訊號處理實驗室的每一位成員，因為有了你們的陪伴才能順利渡過 研究所的生活。在碩士階段的過程中，最重要的收穫莫過於面對人事物態度 的養成。不同的人生觀，所想的、所追求的也就不盡相同；然而，最公平的 事情，就是每個人的一天皆是 24 小時，堅信自己理念，好好的努力，因為 我們都該相信自己而努力的生活著！ ㄧ直以來最需要感謝的，就是父親陳錦鏘先生以及母親林盈伶女士，還 有可愛的想你妹妹汝汝，因為有你們當我最堅強的靠山，才能讓我在一次次 的挫敗中勇敢的站起來。也要感謝宛茜一路以來的陪伴，我們都要向前看才 能夠一起成長，才能夠一起面對著種種難關，加油！ 最後，由衷感謝在過程中那些照顧我、關心我的人，因為有你們才有了 平息的空間，也才能安然渡過那些令人徬徨與不安的日子。僅將本論文獻給 你們，願你們與我共同分享！. 陳思予 謹識 2009 己丑年 暮夏. -I-.
(3) 摘要 訊號處理在科學以及工程領域上皆是很重要的課題。自然界的訊號，大 多都是非穩態(時變)、非線性過程，故往往得到的訊息包含了雜訊的部分。 傳統的傅立葉轉換，其處理的訊號限制為：線性、穩態過程，所以並不能處 理大部分的訊號特性。 經驗模態分解法(Empirical Mode Decomposition, EMD)對於非線性、非穩 態訊號提供一種多尺度、適應性的解析方式，這個方法大大改善了上述的限 制。本論文針對多位學者提出此演算法三大課題的改進方式：停止準則、包 絡線與邊界效應，作歸納與比較。另外，簡單介紹有關 EMD 基底的正交性 條件、分解上的限制以及基底重建問題。 針對文獻提到片段式線性訊號的研究，啟發了本論文對改良式本質模態 分解法(Reformed Intrinsic Mode Decomposition, RIMD)的靈感，而片段式線 性之概念最大的特點是可以得到較快速的分解法。本研究利用此概念求得之 中值點建立出包絡線均值，並對真實訊號之應用上提出以下的方法： 以立方雲線聯結中值點； 以原始訊號的比例大小聯結中值點，找出包絡線均值。 改良式本質模態分解法不但能大大降低演算法的計算量，並且減少在邊 界效應極值點選取上之考量，這將會使得訊號在篩選程序中之平穩性以及對 稱性大幅的提升。最後，以模擬以及測試訊號透過改良式本質模態分解法拆 解出之結果，進行試驗結果之分析與討論。. 關鍵字：改良式本質模態分解法、經驗模態分解法、片段式線性、非穩態訊 號、雜訊濾除. -II-.
(4) ABSTRACT Signal processing is very important for science and engineering researches. Real world signals are often noisy, non-stationary, and obtained from nonlinear systems. However, the majority of signal processing algorithms proposed in the literature such as Fourier transform are better suited for analyzing the linear stationary signals with weak noise. Empirical Mode Decomposition (EMD) provides a powerful tool for adaptive multi-scale analysis of nonlinear and non-stationary signals. In this thesis, the proposed improvement way of three main topics on the algorithm, stopping criterion, envelope and boundary effect, were summarized and compared. In addition, we make a brief introduction involving orthogonality condition of basis functions, the limitation of decomposition capacity and reconstruction issue of basis functions. It inspired us to propose the Reformed Intrinsic Mode Decomposition (RIMD) by the study of piecewise linear signals in the literature. The best feature of piecewise linear processing is to obtain the faster decomposition efficiency. In this study, we utilize this notion to get middle points and then establish the mean envelope, and propose following methods for the application of real signals: connecting middle points by cubic spline, connecting middle points by the propotion of the original signal, and finding the mean envelope. RIMD is not only reducing the computational cost but also decreasing the selection of extrema for the boundary effect. It will make signals smoother and more symmetric in the sifting process. At last, the results of decomposition using RIMD for the simulated and testing signals were analysized and discussed. Keywords:. reformed. intrinsic. mode. decomposition,. empirical. decomposition, piecewise linear, non-stationary signals, signal de-noising. -III-. mode.
(5) 目錄 誌謝 .........................................................................................................................I 摘要 ....................................................................................................................... II ABSTRACT ......................................................................................................... III 目錄 ......................................................................................................................IV 圖目錄 ..................................................................................................................VI 表目錄 ..................................................................................................................IX 第一章. 序論....................................................................................................... 1. 1.1. 研究背景............................................................................................... 1. 1.2. 研究動機............................................................................................... 3. 1.3. 研究目標............................................................................................... 4. 1.4. 論文架構............................................................................................... 4. 第二章. 經驗模態分解法................................................................................... 6. 2.1. 演算法................................................................................................... 6. 2.2. 2.3. 2.1.1. 本質模態函數.............................................................................. 7. 2.1.2. 篩選程序 ...................................................................................... 9. 間歇性雜訊問題................................................................................. 10 2.2.1. 間歇性準則 ................................................................................ 11. 2.2.2. 整體經驗模態分解法................................................................ 11. 經驗模態分解法之相關問題............................................................. 12 2.3.1. 分解上的限制............................................................................ 12. 2.3.2. 正交條件 .................................................................................... 13. 2.4. 經驗模態分解法之雜訊濾除比較..................................................... 14. 第三章. 評估與規劃經驗模態分解法之演算法............................................. 17. 3.1. 主要議題............................................................................................. 17 3.1.1. 停止準則 .................................................................................... 17 -IV-.
(6) 3.2. 3.1.2. 包絡線 ........................................................................................ 22. 3.1.3. 邊界效應 .................................................................................... 28. 本質模態函數之相關研究................................................................. 33 3.2.1. 最佳訊號重建............................................................................ 33. 3.2.2. 本值模態熵 ................................................................................ 34. 3.3. 改良式本質模態分解法之構想......................................................... 34. 第四章. 改良式本質模態分解法之架構與分析結果 .................................... 38. 4.1. 改良式本質模態分解法..................................................................... 38. 4.2. 4.3. 4.1.1. 演算法 ........................................................................................ 38. 4.1.2. 極值點選取與邊界點處理........................................................ 41. 模擬訊號分析..................................................................................... 43 4.2.1. 平穩訊號 .................................................................................... 43. 4.2.2. 非平穩訊號 ................................................................................ 47. 4.2.3. 小結 ............................................................................................ 57. 測試訊號分析..................................................................................... 58 4.3.1. 大棕蝙蝠音訊檔........................................................................ 58. 4.3.2. 基準線飄移心電訊號................................................................ 61. 4.3.3. MIT-BIH 波形資料庫檔案........................................................ 66. 4.3.4. 小結 ............................................................................................ 70. 第五章. 結論..................................................................................................... 71. 5.1. 本論文之貢獻..................................................................................... 71. 5.2. 未來展望............................................................................................. 71. 參考文獻 .............................................................................................................. 72. -V-.
(7) 圖目錄 圖 1.1. 方波示意圖........................................................................................... 2. 圖 1.2. (a) LOD 訊號 (b) LOD 訊號之 IMF 分量 (c)各分量之標準差 ....... 3. 圖 2.1. 經驗模態分解法之概念示意圖........................................................... 6. 圖 2.2. HHT 演算法之流程圖 ....................................................................... 10. 圖 2.3. 兩頻帶振幅不同之訊號 (a)調和產生之現象 (b)透過 EMD 分解 時，頻帶比與振幅比對數之關係圖................................................. 12. 圖 2.4. 鍾形曲線(bell curve)：常態分布 ...................................................... 14. 圖 2.5. 基準線飄移心電訊號......................................................................... 15. 圖 2.6. 基準線飄移心電訊號 (a)標準 EMD 分解結果 (b)加入間歇性準則 之 EMD 分解結果 (c) EEMD 分解結果 (d)第五個 IMF 之波形特性 比較圖................................................................................................. 15. 圖 2.7. 基準線飄移心電訊號 (a)第五個 IMF 之 FFT 頻譜比較圖 (b)去除殘 餘量之重建訊號比較圖..................................................................... 16. 圖 3.1. OI 與 S 數準則之關係圖 ................................................................... 18. 圖 3.2. 以三參數為停止準則之示意圖......................................................... 19. 圖 3.3. SD (紅色)與 EDT(綠色)為停止準則之比較圖 ................................ 20. 圖 3.4. 立方雲線超越量之示意圖(箭頭處).................................................. 22. 圖 3.5. 鋸齒轉換之示意圖 (a)原始訊號(數據空間) (b) ST 函數(鋸齒空間) (c)線性包絡線(紅色)與殘餘量(黑色)(鋸齒空間) (d) IMF(藍色，鋸 齒空間) (e) IMF(藍色)、包絡線(紅色)(數據空間).......................... 25. 圖 3.6. 具張力控制參數之有理雲線示意圖................................................. 25. 圖 3.7. 邊界效應影響之示意圖..................................................................... 28. 圖 3.8. 鏡像擴充法之示意圖......................................................................... 29. 圖 3.9. 資料擴充法之流程示意圖................................................................. 30. 圖 3.10. 改良窗函數之示意圖......................................................................... 32 -VI-.
(8) 圖 3.11. (a) 原始訊號 (b) 原始訊號與中值點訊號 (c) 原始訊號減去中值 點訊號所得之類 IMF 訊號 ............................................................... 35. 圖 3.12. (a)尋找區域性{τ1,…,τj-2,τj-1,τj}極值點 (b)利用下一極值點(τj+1)計算 出 τj 之 LF 點 (c)連接 τj-1 與 τj 之 LF 點 (d)用原訊號減去 LF 分量便 得到 HF 分量...................................................................................... 37. 圖 4.1. RIMD 演算法之流程圖 ..................................................................... 39. 圖 4.2. RIMD 預設參數對話窗 (a)模擬訊號 (b)測試訊號........................ 40. 圖 4.3. RIMD 極值點選取之流程圖 ............................................................. 42. 圖 4.4. 訊號 S1 (t ) (a)原始波形 (b)參數設定對話窗................................... 43. 圖 4.5. S1 (t ) 經 RIMD 利用立方雲線聯結中值點之分解結果 ................... 44. 圖 4.6. S1 (t ) 經 RIMD 利用原始訊號的比例大小聯結中值點之分解結果44. 圖 4.7. 訊號 S 2 (t ) (a)原始波形 (b)參數設定對話窗 .................................. 45. 圖 4.8. S 2 (t ) 之 IMF1 篩選程序之比較 (a) 0.5 (b) 0.3 (預設值)46. 圖 4.9. S 2 (t ) 經 RIMD 利用立方雲線聯結中值點之分解結果................... 46. 圖 4.10. 訊號 S 3 (t ) 原始波形............................................................................ 47. 圖 4.11. S 3 (t ) 經 RIMD 之分解結果 ............................................................... 48. 圖 4.12. 訊號 S 4 (t ) 原始波形 ........................................................................... 48. 圖 4.13. S 4 (t ) 經 RIMD 之分解結果(斜率比值求邊界極值) ........................ 49. 圖 4.14. S 4 (t ) 經 RIMD 之分解結果(平均值求邊界極值) ............................ 49. 圖 4.15. 訊號 S 5 (t ) 原始波形............................................................................ 50. 圖 4.16. S 5 (t ) 經 RIMD 之分解結果(斜率比值求邊界極值) ........................ 51. 圖 4.17. S 5 (t ) 經 RIMD 之分解結果(平均值求邊界極值) ............................ 51. 圖 4.18. 訊號 S 6 (t ) 原始波形 ........................................................................... 52. 圖 4.19. S 6 (t ) 經 RIMD 之分解結果 ............................................................... 53. 圖 4.20. 訊號 S 7 (t ) 原始波形 ........................................................................... 53. 圖 4.21. S 7 (t ) 經 RIMD 之分解結果(斜率比值求邊界極值) ........................ 54 -VII-.
(9) 圖 4.22. S 7 (t ) 經 RIMD 之分解結果(平均比值求邊界極值) ........................ 54. 圖 4.23. 訊號 S 8 (t ) 原始波形............................................................................ 55. 圖 4.24. S 8 (t ) 經 RIMD 之分解結果(斜率比值求邊界極值) ........................ 56. 圖 4.25. S 8 (t ) 經 RIMD 之分解結果(平均值求邊界極值) ............................ 56. 圖 4.26. 資料讀取之 MATLAB 圖形介面 ...................................................... 58. 圖 4.27. 大棕蝙蝠音訊檔 (a)資料讀取圖形介面 (b)資料長度設定之對話窗 (c) RIMD 參數設定對話窗及原始資料 f s 之訊息 (d)錯誤訊息..... 59. 圖 4.28. 大棕蝙蝠音訊檔之原始波形............................................................. 60. 圖 4.29. 大棕蝙蝠音訊檔之原始波形(放大).................................................. 60. 圖 4.30. 大棕蝙蝠音訊檔經 RIMD 之分解結果 ............................................ 61. 圖 4.31. 基準線飄移心電訊號經 RIMD 之分解結果(預設值) ..................... 62. 圖 4.32. 基準線飄移心電訊號去除殘餘量之重建訊號結果(預設值).......... 63. 圖 4.33. 基準線飄移心電訊號經 RIMD 之分解結果( S 4 )........................ 63. 圖 4.34. 基準線飄移心電訊號去除殘餘量之重建訊號結果( S 4 ) ............ 64. 圖 4.35. 比較基準線飄移心電訊號去除殘餘量之重建訊號波形 ................ 64. 圖 4.36. 比較基準線飄移心電訊號重建訊號之 FFT (a)原始圖 (b)放大圖 65. 圖 4.37. MIT-BIH 檔案 (a)資料讀取圖形介面 (b)註解檔(*.atr)不存在之訊 息 (c)資料檔(*.dat)不存在之訊息 (d)導程設定之對話窗 (e)資料 長度設定之對話窗 (f) RIMD 參數設定對話窗及原始資料 f s 之訊 息......................................................................................................... 66. 圖 4.38. MIT-BIH 檔案編號 118 之原始波形(MLII) ..................................... 67. 圖 4.39. MIT-BIH 檔案編號 118 經 RIMD 之分解結果(MLII)..................... 68. 圖 4.40. MIT-BIH 檔案編號 118 去除殘餘量之重建訊號結果(MLII) ......... 68. 圖 4.41. 比較 MIT-BIH 檔案編號 118 去除殘餘量之重建訊號波形(MLII) 69. 圖 4.42. 比較 MIT-BIH 檔案編號 118 重建訊號之 FFT (MLII) (a)原始圖 (b) 放大圖................................................................................................. 70 -VIII-.
(10) 表目錄 表 2.1. FS, Wavelets 與 EMD 之比較表.......................................................... 7. 表 3.1. 停止準則列表..................................................................................... 17. 表 3.2. 停止準則評估比較表......................................................................... 21. 表 3.3. 包絡線處理法列表............................................................................. 22. 表 3.4. 包絡線處理法評估比較表................................................................. 27. 表 3.5. 邊界效應處理法列表......................................................................... 28. 表 3.6. 邊界效應處理法評估比較表............................................................. 33. 表 3.7. FIMD 與 RIMD 包絡線之比較表 ..................................................... 36. 表 4.1. RIMD 輸入參數列表 ......................................................................... 40. 表 4.2. S1 (t ) 分量 mse 之比較表.................................................................... 45. 表 4.3. S 2 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 47. 表 4.4. S 3 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 48. 表 4.5. S 4 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 50. 表 4.6. S 5 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 51. 表 4.7. S 6 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 52. 表 4.8. S 7 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 55. 表 4.9. S 8 (t ) 分量 mse 之比較表 ................................................................... 56. 表 4.10. 模擬訊號分量 mse 之評估比較表 (a)穩態訊號 (b)非穩態訊號... 57. 表 4.11. 大棕蝙蝠音訊檔分量之 mse ............................................................. 61. -IX-.
(11) 第一章 序論 研究背景. 1.1. 訊號分析在純理論發展或是實際應用上皆是相當重要的課題。在自然現 象中，不論是物理量的量測或是數值模型的建立，大多產生的訊號會有以下 幾種問題： . 總訊號跨度(data length)太短；. . 訊號為非穩態(non-stationary)；. . 訊號為非線性(nonlinear)過程。 一般而言，訊號處理分為兩大類：第一類是將原始訊號轉換到頻譜上做. 特性分析，並找尋其所隱含的物理意義；另一類則是將雜訊濾除。傳統上， 利用數位訊號處理(DSP)濾波器濾除雜訊，在大部份情況下會有訊號相位延 遲之現象；若是運用訊號分解的方式，就不會產生這樣的問題。 傅立葉級數(Fourier Series, FS)為最早的訊號分解方法，其利用內積投影 的概念，將週期訊號表示成正弦波與餘弦波之疊合(線性組合)。儘管事後證 明了並非任何函數皆可用這樣的三角級數來表示，但這樣的想法促使數列在 收斂(convergence)、函數空間(function space)以及諧波分析(harmonic analysis) 的理論發展上有了重大的發現。以方波作為 FS 的一個例子，其方程式表示 如下： , x 0. 1 f ( x) 1 f ( x) . ,0 x . 4 4 1 1 sin nx [sin x sin 3 x sin 5 x ] 3 5 n 1, 3, 5 n . . (1.1) (1.2). 公式(1.1)代表的是原始方波函數；公式(1.2)則表示構成此方波之無窮級數 FS 展開式。 如圖 1.1 所示，左上角表示的是原始的方波訊號，右上角表示的是方波 -1-.
(12) FS 第一項諧波的波形圖( 4 sin x / )，左中表示的是 FS 前兩項諧波加總之波 形圖，右中表示的是 FS 前三項諧波加總之波形圖；最後，最下層則是 FS 前 n 項諧波疊加之波形圖。透過波形可以發現，基底函數(正弦波)的個數越 多，其波形圖會越類似於原始的方波圖形，但是在邊緣會產生吉布斯現象 (Gibbs phenomenon)。對於分段連續可微週期函數之 FS，這是典型的跳躍不 連續性(jump discontinuity)現象，這種超越量(overshoot)的效應並不會隨著頻 率的增加而消失，但波動的變化是有限的。. 圖 1.1 方波示意圖. 近 年 來 ， 許 多 學 者 針 對 一 種 名 為 經 驗 模 態 分 解 法 (Empirical Mode Decomposition, EMD)的 訊 號 處 理 方 式 進 行 研 究 。 此 法 為 一 種 資 料 驅 動 (data-driven)的展開法，因此產生的基底具有原訊號的物理特徵，故命名為 本質模態函數(Intrinsic Mode Function, IMF)作為其適應性(adaptive)之基 底。研究者利用其分解的特性，廣泛運用在生醫訊號處理、全球定位系統 (GPS)、程序控制、語音訊號、海洋量測訊號、影像處理、地震訊號、結構 損傷檢測、軸承故障檢測、電力系統【1-9】等問題上，無論是在雜訊濾除 或是頻譜特性分析，皆有不錯的成效。 -2-.
(13) 研究動機. 1.2. Huang et al. (2003) 利用每日日照長度(Length-of-Day, LOD)資料為例， 證明 EMD 運用在非穩態訊號中有很好的功效【10】。LOD 是由美國國家航 空暨太空總署(National Aeronautics and Space Administration, NASA)實際量 測自 1962 年 1 月 20 日到 2001 年 1 月 6 日，大約四十年的資料，如圖 1.2 (a) 所示。. (a). (b). (c). 圖 1.2 (a) LOD 訊號 (b) LOD 訊號之 IMF 分量 (c)各分量之標準差. LOD 之原始數據是透過地球定向(Earth-orientation)量測，包含了長基線 干涉法(very-long-baseline interferometry, VLBI)、月球與人造衛星激光量測 -3-.
(14) (lunar and satellite laser ranging)以及全球定位系統與光學天文(the GPS and optical astrometric)量測。利用加入間歇性準則之 EMD，LOD 訊號被拆解成 數個 IMF 分量如圖 1.2 (b)所示。其中，c2 代表的是半月週期(semi-monthly) 之潮汐訊號，c3 則是月週期之潮汐訊號，c4 是準雙月週期(quasi-bimonthly) 潮汐訊號；c7 為半年週期(semi-annual)，c8 為一年週期，c9 則是準兩年週期 (quasi-biennial)，等等。再求得每個 IMF 之標準差，如圖 1.2 (c)所示。針對 一年週期之 c8 分量，發生在 1965-1970 與 1990-1995 期間有著大於平均標準 差的特性。這兩個時期恰好與美國國家海洋與大氣管理局(National Oceanic and Atmospheric Administration, NOAA)紀錄到聖嬰現象(El Niño)所造成之現 象吻合：赤道水域表面洋流異常減弱造成海水溫度上升，並造成水位年際間 的波動會增大【10】。EMD 成功找到 LOD 訊號隱含的物理意義，解決過去 方法所不能處理的難題。. 1.3. 研究目標 EMD 發展約莫十餘年，雖然在許多應用上得到不錯之成效，但至今都. 還沒有一套公認的標準化流程來取得最佳的 IMFs。此演算法存在著不少待 解決之問題，主要議題包括：停止準則的選取、包絡線(內插點)的方法與邊 界效應的處理上。 本論文透過大量文獻的回顧，針對上述三大議題之改進方法進行整理與 特性比較，期望實現出一套有效、完整的演算法流程。. 1.4. 論文架構. 第一章：序論，主要簡述研究背景、研究動機與研究目標。 第二章：為經驗模態分解法(EMD)與其本身相關問題的介紹。利用具有基準 線飄移雜訊問題的十二導程心電訊號之第二導程訊號，分別經由標 -4-.
(15) 準 EMD、加入間歇性準則之 EMD 與整體經驗模態分解法(EEMD) 處理，並將拆解出之結果進行比較，觀察 EMD 對實際問題雜訊濾 除的解決能力。 第三章：為文獻回顧與試驗方法介紹。本章針對 EMD 三大議題：停止準則、 包絡線(內插點)與邊界效應的改進方式進行評估比較，並詳述試驗 方法之構想流程。 第四章：為試驗方法架構介紹與試驗分析之結果。首先，針對名為改良式本 質模態分解法(RIMD)之演算法、極值點選取與邊界點處理之流程進 行介紹，以模擬訊號之試驗結果進行分析，並利用誤差平方總合之 平均(mse)探討 RIMD 與 EMD 間分解的優劣性。最後，以大棕蝙蝠 音訊檔(.wav)、基準線飄移心電訊號資料檔(.mat)以及 MIT-BIH 波形 資料庫檔案(.hea)執行 RIMD，驗證其應用在實際問題的解決能力。 第五章：為結論。簡述本論文之貢獻與未來展望。. -5-.
(16) 第二章 經驗模態分解法 Huang et al. (1998) 提出以經驗模態分解法(EMD)為基礎的希爾伯特─ 黃轉換(Hilbert-Huang Transform, HHT)【11】 。此法是將訊號分解成有限個本 質模態函數(IMFs)與一個均值趨勢(mean trend)分量(i.e. 只包含一個極值或 是反折點之分量)的加總，如圖 2.1 所示。然後再透過希爾伯特轉換(Hilbert Transform, HT)求得每個分量之瞬時頻率 (instantaneous frequency, IF)與瞬時 振幅，從而取得訊號在希爾伯特頻譜(Hilbert spectrum)上之時間─頻率─能 量的分布訊息。. 圖 2.1 經驗模態分解法之概念示意圖. 2.1. 演算法 EMD 之分解過程是依據訊號的局部特徵時間尺度(local characteristic. time scale)來執行得到 IMFs，因此能處理不同時間訊號，並適用在處理非線 性與非穩態訊號。然而 EMD 最大的缺點在於缺乏強而有力的理論基礎， 因 此需要透過直覺與實驗模擬來確認其真實性。 -6-.
(17) 事實上，由於小波分解(Wavelet decomposition, Wavelets)與 EMD 均可同 時兼顧時間及頻率的解析度，因此，這兩種方法均被歸類為時間─尺度分解 (time-scale decomposition)法。兩者最大的差異點在於(表 2.1 所示)：Wavelets 採用固定的小波基底(e.g. Haar, Morlet, Daubechies 等)來拆解訊號【12-14】； 而 EMD 則是透過迭代性之篩選程序來取得基底 IMF，由於 IMF 會隨訊號改 變，所以它是ㄧ組適應性的基底，因此，用它來分析非穩態訊號將比 Wavelets 更為合適。 表 2.1 FS, Wavelets 與 EMD 之比較表 FS. Wavelets. EMD. 基底. 預先定義. 預先定義. 適應性. 頻率. 全域性. 區域性. 局部性. 時間尺度. 否. 可調窗口. 兩極值間時間差. 非穩態. 否. 是. 是. 非線性過程. 否. 否. 是. Flandrin, Rilling and Gonçalvés (2004) 利用加入高斯雜訊的數值試驗，最 後證實 EMD 的作用類似二進濾波器(dyadic filter bank)加入 Wavelets【15】。 因此，EMD 被視為類小波分解(Wavelets-like)之展開法【16】。. 2.1.1. 本質模態函數. 根據表示非線性過程與非穩態時間序列基底所需之條件，可以總結出以 下的特性【11】: . 完整性(complete)；. . 正交性(orthogonal)；. . 局部性(local)與適應性(adaptive)。 -7-.
(18) 前兩個條件為所有線性展開法的標準需求。第一個條件(完整性)能保證 得到之展開式的精準程度；後者(正交性)則是保證基底為正能量，並且避免 能量洩漏(energy leakage)所造成能量不守恆的現象。然而對於非穩態訊號來 說，局部性的條件是非常重要的要求。此條件不但能符合具物理意義之瞬時 頻率(IF)，並且能定義出局部特徵時間尺度。而適應性的條件就是為了滿足 非線性過程之訊號的需求。在傅立葉分析中，特別是表現在非線性的情況 時，會產生所謂諧波失真(harmonic distortion)的現象造成能量的發散。這表 示預先定義之基底不能滿足所有這類的情況，並且依據非線性的嚴重性決定 失真的程度。因此，利用適應性基底表示非線性訊號為最佳的方式。. 每個 IMF 皆需滿足下列兩個條件【11】 ： . 整筆資料中，局部極大值與極小值(local maxima & minima)之極值點 數目和與跨零點(zero-crossings)的數目必須要相等或是最多相差一；. . 在任一時間點上，由局部極大值所定義的上包絡線(upper envelope)與 局部極小值所定義的下包絡線(lower envelope)平均值要為零。 第一個條件滿足訊號在穩態高斯程序(stationary Gaussian process)中為窄. 頻寬(narrow band)的特性，而第二個條件是要滿足 IF 不會因為波形不對稱而 產生不必要的振盪。. 然而大部份的訊號無法滿足 IMF 的基本定義，且 IMF 是由原始振盪-歷 時訊號透過 EMD 直接推導而來，因此處理原始非線性與非穩態訊號時，有 下列假設之條件【11】： . 訊號至少要有兩個極值，一個極大值一個極小值；. . 局部特徵時間尺度是定義為訊號兩極值之間的時間差；. . 若訊號全無極值而只包含反折點，則可以將訊號做一次或多次微分將 極值找出；最後的結果可以由分量積分得到。. -8-.
(19) 2.1.2. 篩選程序. 如何得到滿足基本定義之 IMF?有一系統迭代流程稱為篩選程序(sifting process)，此流程如下【11】: 1) 找出原始訊號 xn,k(t)之所有極值點； 2) 利用立方雲線(cubic spline)分別找出局部極大值所定義的上包絡線 uk(t)與局部極小值所定義的下包絡線 lk(t)； 3) 計算包絡線均值 mk(t) = (uk(t) + lk(t))/2； 4) 取出分量 hk(t) = xn,k(t) - mk(t)； 5) 重複步驟 1)- 4)，直到 hk(t)滿足 IMF 之定義，記錄 cn(t) = hk(t)； 6) 計算殘餘量(residue) rn(t) = xn,k(t) - cn(t)； 7) 如果 rn(t)是一個趨勢分量，演算法停止；否則重複步驟 1)- 4)找出其 它 IMF。 圖 2.2 為 HHT 演算法之流程圖，藍色的部份為整個 EMD 演算法之流 程，而黃色的部份則是表示 IMF 之篩選程序；橘色的部份代表的是 HT 時頻 分析的部份。而原始訊號可以表示如下： n. xn ,k (t ) ck (t ) rn (t ). (2.1). k 1. 在 EMD 篩選程序中，低頻載波(包絡線均值)將會被消除，所以拆解出 來的第一個 IMF 將是最劇烈變化之分量，下一個 IMF 相較於前一個 IMF 為 平均較低頻之分量，依此類推。因此，可以將 EMD 視為一個適應性濾波器， 會將訊號依序分解由最高到最低尺度之 IMF。 所以，篩選程序中會出現兩種效應【11】: . 消除低頻載波(riding waves)；. . 訊號波形會漸漸趨於對稱。 如上述之特點，篩選程序能移除非對稱之低頻載波。這表示所得到之. IMF，其振幅在迭代過程中會隨著原始訊號而改變，所以，可以將 IMF 視為 -9-.
(20) 一個調幅(amplitude modulation, AM)訊號。此外 IMF 的 IF 也會一步步改變(由 高至低)，所以，IMF 亦可視為一個調頻(frequency modulation, FM)訊號。因 此，IMF 為一個零均值之調幅/調頻(AM/FM)訊號。. 圖 2.2 HHT 演算法之流程圖. 2.2. 間歇性雜訊問題 EMD 拆解的目標是希望透過局部特徵時間尺度得到近乎單一分量. (mono-component)之 IMF。然而，在實際量測上所得到的訊號，往往在同一 個特徵時間尺度中會混雜許多的非週期性雜訊，也就是屬於不規則的間歇性 雜訊(intermittence noise)，進而產生了模態混合(mode mixing)的現象。這樣 的現象往往會引入虛假、變化的分量到 IMF 中，並影響其 IF，這使得 IMF 並非為一個單一分量。透過下列描述的方法將能改善此類問題。 -10-.
(21) 2.2.1. 間歇性準則. Huang et al. (2003) 提出了間歇性準則(intermittency criterion)的概念，並 以 LOD 訊號案例詳細闡述間歇性準則之具體功效【10】 。首先，間歇性準則 需要選擇一個數 n1，此數表示選定資料範圍限制的點數：只有在比限制點數 少的波形包含著 IMF。也就是在兩連續極值間(其資料範圍)點數小於 n1 的訊 號波形被包含於分解的 IMF 內，點數大於 n1 者則以零均值取代。此法的優 點是可以依據使用者訊號的特性作不同的考量，而將不需要的間歇性雜訊去 除。但其困難點在於要先行假設一個數 n1(尺度長度)，除非擁有一套有力的 理論基礎建立所要的尺度大小，否則會因選擇不當的 n1，反而一併消除資料 中所想要的物理變量，使得到的 IMF 失去物理意義。. 2.2.2. 整體經驗模態分解法. Wu and Huang (2005) 提出了整體經驗模態分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)【17】，此法是一種雜訊協助數據分析(Noise Assisted Data Analysis, NADA)的方式，用來解決間歇性模態混合之現象。其 主要構想是在原始訊號內加入有限振幅大小的白雜訊，使其成為時頻空間中 一個均勻分布的參考架構，並以加入的雜訊對照不同的尺度訊號，進而分解 出適當的 IMF。白雜訊會平均出足夠的判斷，只有真實且具有足夠物理意義 的訊號會在平均的過程中保持不變。EEMD 的優點，是不需要在原始 EMD 的演算法中，先提出一個事先主觀選擇的準則來做為間歇性訊號的判斷；其 充分利用了白雜訊整體的統計特性，將真實訊號附近的擾亂訊號吸收，不但 消除間歇性訊號的干擾、保留住具完整物理意義的訊號，也大幅改善 EMD 在實際應用上的不足。. -11-.
(22) 經驗模態分解法之相關問題. 2.3. 雖然 EMD 應用在許多領域上有不錯的結果，但此演算法依然存在著其 它相關問題。大致上，可以將它分為下列兩種。. 2.3.1. 分解上的限制. Rilling and Flandrin (2008) 對於 EMD 演算法之訊號頻帶分解能力給出 了初步的解答【18】。當兩個不同訊號，若頻帶、振幅差值夠大時，其訊號 特性的呈現如圖 2.2 (a)左半邊所示；然而，若是頻帶、振幅差值很接近的情 況時，就會呈現如圖 2.2 (a)右半邊的現象，此現象稱之為拍效應(beat effect)， 而 EMD 會將這樣的訊號視為單一波形之調幅訊號。. (a). (b). 圖 2.3 兩頻帶振幅不同之訊號 (a)調和產生之現象 (b)透過 EMD 分解時， 頻帶比與振幅比對數之關係圖. 假設兩頻帶振幅不同之訊號之離散時間表示式如下： x[n] a1 cos(2f1 n 1 ) a 2 cos(2f 2 n 2 ), n Z . . (2.2) . 定義振幅比、頻率比與相位比分別為 a a 2 / a1， f f 2 / f1 與 2 1 。 然後導出一個簡單的連續時間表示式如下： -12-.
(23) x(t ; a, f ) cos 2t a cos(2ft ), t R. (2.3). 當兩訊號正弦曲線之頻帶越接近奈奎斯特(Nyquist)頻率： f1 , f 2 0.25 f s 時，在數值分析上也會更加複雜，這也是為什麼頻率 f1 與 f 2 必須遠小於取樣 頻率 f s ；並且將頻率比 f 控制在 f [0, 1] 的範圍內。所以，公式(2.3)前半部 之 cos 2t 視為是高頻(HF)的分量，而後半部之 a cos(2ft ) 則當作低頻(LF) 的成份。 如圖 2.3 (b)所示，透過數值分析得到頻帶比率 f 與振幅比率對數 log10 a 之關係圖【18】。區(黑色)表示可以將兩訊號完全分離；區(白色)表示兩 訊號被視為單一波形，區(灰色)的拆解能力則是介於區與區之間，可 能可以分離，也可能視作單一分量；甚至會拆解出帶有虛假振盪的分量。. 2.3.2. 正交條件. 前述 EMD 拆解的目標是希望得到具單一分量特性之 IMF。這表示 IMF 之間必須是正交的。然而在實際拆解的過程中，並不能保證每個 IMF 皆是 完全正交，為了確保得到較佳的 IMF，定義出正交指數(Orthogonal Index, OI) 如公式(2.4)所示，並假設 OI 值大小範圍必須要在 0.1 之內(條件一)【10, 11】 ： OI fg t. c f cg 2. c f cg. 2. (2.4). 其中 c f 與 cg 表示不同的 IMFs，且公式(2.4)為局部性的 OI 值。將原始序列表 示為下列的形式： n 1. n 1 n 1. X 2 (t ) c j (t ) 2 c j (t )ck (t ) 2. j 1. (2.5). j 1 k 1. 則全域性的 OI 值可以表示為： T. n 1 n 1. t 0. j 1 k 1. OI ( c j (t )ck (t ) / X 2 (t )). (2.6). 在統計學上考慮一組數據具有近似常態分布的機率分布時，約有 95%數 值分布在距離平均值兩倍標準差之內的範圍(條件二，如圖 2.4 深藍色與藍 -13-.
(24) 色範圍所示【19】)。這樣的特性稱之為信賴限制(confidence limit)或是信賴 區間(confidence interval)，其定義了由平均值到標準差之間的範圍分布；在 任何的統計分析上，皆可將此特性當成標準量測結果的精準度依據。. 圖 2.4 鍾形曲線(bell curve)：常態分布. 然而，實際上只有少部分的統計分析能符合這樣的特性。若將每個 IMF 視為單一統計分布，在滿足條件一以及條件二的前提之下，可以得知 OI 值 不能超越 0.05。. 2.4. 經驗模態分解法之雜訊濾除比較 為了研究 EMD 對實際問題的解決能力，利用具有基準線飄移(baseline. wander)雜訊問題的十二導程心電訊號之第二導程訊號(如圖 2.5 所示)，透過 Visual Signal 套裝模擬軟體分別執行由標準 EMD、加入間歇性準則之 EMD 與 EEMD 之訊號拆解，結果如圖 2.6 (a)~(c)所示。 觀察分解後之波形，發現這三種方式前四個分量都具有明顯混波的現 象，也就是具多尺度分量的特性；而後三個分量，波形較為平滑，可視為趨 於單一頻帶之 IMF。將第五個 IMF 作波形特性比較(如圖 2.6 (d)所示)，依序 排列為標準 EMD(上)、加入間歇性準則之 EMD(中)與 EEMD(下)，可以明顯 的看出加入間歇性準則之 EMD 其波形較為平穩，且更趨於對稱，故混波的 現象較少。 -14-.
(25) 圖 2.5 基準線飄移心電訊號. (a). (b). (c). (d). 圖 2.6 基準線飄移心電訊號 (a)標準 EMD 分解結果 (b)加入間歇性準則之 EMD 分解結果 (c) EEMD 分解結果 (d)第五個 IMF 之波形特性比較圖. -15-.
(26) 將這三個分量經由快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform, FFT)轉至頻 譜觀察頻率─能量之特性(如圖 2.7 (a)所示)，並依照此順序排列：標準 EMD(上)在頻帶 2~3Hz 之間與 4~5Hz 之間有較強的能量分佈；EEMD(中)最 強的能量聚集在 4~5Hz 之間，但在 2Hz、3Hz、6Hz 附近也都有明顯的成份 存在；加入間歇性準則之 EMD(下)能量則是聚集在 4~5Hz 之間。. (a). (b). 圖 2.7 基準線飄移心電訊號 (a)第五個 IMF 之 FFT 頻譜比較圖 (b)去除殘 餘量之重建訊號比較圖. 最後，進行分量加總與訊號重建；依據 EMD 是將原始訊號拆解成有限 個 IMF 與殘餘量的特性，視殘餘量為基準線飄移的分量，去除此分量，並 將其餘 IMF 分量加總成為重建後之訊號。 將濾除後之結果，由效果最差(上)排列至效果最佳(下)，依序為：標準 EMD、 EEMD 與加入間歇性準則之 EMD(如圖 2.7 (b)所示)。這樣的結果與 前述之特性比較吻合，可以歸納出以下幾個特點： . 分量波形越平穩、對稱，其混波的現象越少。. . 能量越集中，訊號正交性越好，越能得到單一分量之IMF。. . 在本例子中，加入間歇性準則之EMD，對於實際訊號去除雜訊之應用 上，有較佳的結果。. -16-.
(27) 第三章 評估與規劃經驗模態分解法之演算法 主要議題. 3.1. 由於 EMD 拆解所得為適應性之 IMF，因此不同的演算法所得到的 IMF 也就不一樣，不論是波形、基底個數等等【20, 21】。近年來，許多學者提 出此演算法三大議題的改進方式：包括停止準則、包絡線(內插點)與邊界效 應；本節便是將這些方法做簡短地敘述、歸納與比較。. 3.1.1. 停止準則. 為了確保得到的 IMF 能保留瞬時頻率與瞬時振幅的物理意義，必須設定 停止準則(stopping criterion)避免因篩選次數過多而破壞其物理特性。一般來 說，停止準則的建立大多是聚焦在：振幅、頻率的不相關性以及相位上。根 據搜尋到的文獻，停止條件有下列幾種方法(如表 3.1 所示)：. 表 3.1 停止準則列表 作者 N.E. Huang et al. (1998) N.E. Huang et al. (2003) G. Rilling et al. (2003) J.S. Cheng et al. (2006) B. Xuan et al. (2007). 方法. 特性. 標準差. 標準 EMD. S 數準則. 自訂篩選次數. 三參數法則. 滿足瞬時特性. 能量差異追蹤法. IMF 正交性. 頻寬準則. 單一分量 IMF. 標準差 利用連續兩次篩選結果的分量標準差(standard deviation, SD)作為停止準 -17-.
(28) 則，表示式如下： T. SD [ t 0. (h( k 1) (t ) hk (t )). 2. h 2 ( k 1) (t ). ]. (3.1). 此法亦稱為柯西式收斂準則(Cauchy-type convergence criterion)，透過點對點 的計算求得 SD 值，而典型的 SD 值大小在 0.2 至 0.3 之間【11】. S數準則 Huang et al. (2003) 提出另一種停止準則稱之為 S 數(S number) 準則 【10】。此準則是自訂連續 S 次的篩選，當極值數目與跨零點數目相同時， 停止篩選動作。. 圖 3.1 OI 與 S 數準則之關係圖. 若 S 值夠小，迭代的速度較快，但不能確保 IMF 為嚴格對稱；當 S 值 越大時，所需的迭代過程不但越費時，且可能破壞瞬時頻率和瞬時振幅所代 表的物理意義。前述得知要取得較佳的 IMF，OI 值不能超越 0.05，故 S 值 介於 3 到 5 之間被證實為最佳的停止準則，如圖 3.1 所示【10】。 三參數法則 Rilling, Flandrin and Gonçalvés (2003) 提出引入兩個閥值 1、 2 作為停止 準則【22】 。首先，定義模態振幅(mode amplitude, a (t ) )如下所示： a (t ) (emax (t ) emin (t )) / 2 -18-. (3.2).
(29) 其中 emax (t ) 與 emin (t ) 分別表示上包絡線與下包絡線的值。再來求出包絡線均 值(m(t))與模態振幅的絕對比值，稱之為估計函數(evaluation function, (t ) )：. (t ) m (t ) / a (t ). (3.3). 當整體資料中規定的部分 (1 ) 達到 (t ) 1 ，並且在剩餘部分達到. (t ) 2 ，迭代停止。訂定 1 的目的是確保全域小波動為均值使得 IMF 不會 產生不必要的振盪； 2 是考量到局部可能發生的間歇性大偏離情況；而 為 局部震盪占整個訊號的比例大小，如圖 3.2 所示。. 圖 3.2 以三參數為停止準則之示意圖 典型參數設定為 0.05 ， 1 0.05 ， 2 101 。 能量差異追蹤 Cheng, Yu and Yang (2006) 提 出 以 能 量 差 異 追 蹤 (energy different tracking, EDT)作為停止準則【23】。假設原始訊號 x(t ) 包含著有限個彼此不 相關的正交分量 xi (t ) n. x(t ) x1 (t ) x 2 (t ) x n (t ) xi (t ). (3.4). i 1. 原始訊號 x(t ) 的總能量可以表示為 . . 2. . . n E x x (t )dt xi (t ) dt x12 (t )dt x n2 (t ) dt E1 E n i 1 2. (3.5). 如果從 EMD 分解出的訊號 c1 (t ) 正好就是正交分量 x1 (t ) ，能量守恆，公 式(3.5)成立；但如果 c1 (t ) 並非與原始訊號 x(t ) 正交，總能量表示為 -19-.
(30) . . . Etot c1 (t ) dt [ x(t ) c1 (t )]2 dt 2 Ec E x 2 x(t )c1 (t )dt . 2. 1. . (3.6). . 此時 Etot E x ，而會產生一個能量差 Eerr 。若分量彼此間為正交的特性， 表示所得到的 IMF 不會有尺度混合的問題。實際上能量洩漏的現象是必然 存在的，故分量間並非完全正交，所以只要假設一個夠小的 | Eerr | 當作停止 準則，所分解出來的 IMF 正交性會越高，其訊號的完整性、瞬時振幅與瞬 時頻率特性也會比以 SD 為停止準則來的好，可以降低不必要的振盪，尤其 在初始邊界的部分，如圖 3.3 所示【23】。. 圖 3.3 SD (紅色)與 EDT(綠色)為停止準則之比較圖. 頻寬準則. Xuan, Xie and Peng (2007) 提出以頻寬的概念作為停止準則，用來解決 模態混合的問題【24】。文中提到局部窄頻訊號會分解出較好的單一分量訊 號，並定義歸一化(能量為 1)之窄頻訊號 z (t ) z (t ) a (t )e j ( t ). (3.7). 其中 a (t ) 是有限頻寬訊號(bandlimited signal)，且 a (t ) 最高的頻率會遠小於瞬 時頻率 (t ) 。另外，定義 z (t ) 的瞬時頻帶 Bt Bt . a (t ) a (t ). (3.8). 如果 B、 與 S ( ) 分別表示表示為 z (t ) 的頻寬、平均角頻率以及傅 立葉轉換(Fourier Transform, FT)，則可表示如下： -20-.
(31) 2. 2. B 2 ( ) S ( ) d z (t )(. 1 d ) 2 z (t ) dt j dt. ( t )a 2 (t )dt (t )a 2 (t )dt. (3.9) (3.10). 將公式(3.7)代入公式(3.9)得 2. B 2 Ba B f. 2. (3.11). 得之頻寬由兩個成分組成；其中 Ba 代表的是振幅頻寬(amplitude bandwidth)而 B f 代表的是頻率頻寬(frequency bandwidth)，分別表示如下： Ba ( 2. a (t ) 2 2 ) a (t )dt ( Bt ) 2 a 2 (t )dt a (t ). (3.12). B f ( (t ) ) 2 a 2 (t )dt 2. (3.13). 而當 B f 越小時，不同的特徵時間尺度分量會越靠近，所得到的 IMF 也會越 近似於單一分量，這樣便能改善尺度混合的問題。 根據上述的五種停止準則，針對演算法計算的效率性 ( 速度 ) 及分解出. IMF 的正交性進行比較，評估結果如表 3.2 所示。. 表 3.2 停止準則評估比較表 方法. 效率性. 正交性. 標準差. √. √. S 數準則. . ∆. 三參數法則. √. ∆. 能量差異追蹤法. ∆. . 頻寬準則. ∆. . ：優. √：良 ∆：尚可. -21-.
(32) 3.1.2. 包絡線. 標準的 EMD 是利用立方雲線(cubic spline)內插通過訊號極值點形成包 絡線(envelope)，其並非是真實的包絡線。有時候透過雲線內插會引入不想 要的超越量(over- and undershoots)而造成 IMF 變化，如圖 3.4 所示【27】。. 圖 3.4 立方雲線超越量之示意圖(箭頭處). 這樣不但使得 IMF 不保證嚴格對稱，並且會有各分量能量不守恆的現 象。經由文獻回顧，包絡線的處理方式大約有表 3.3 所列的幾種方法。 表 3.3 包絡線處理法列表 作者. N.E. Huang et al. (1998) Q.H. Chen et al. (2006) L. Y. Lu (2007) G.G.S. Pegram et al. (2008) Y. Kopsinis and S. McLaughlin (2008) S.D. Hawley et al. (2008) Z. Xu et al. (2008). 方法. 特性. 立方雲線. 標準 EMD. B─雲線. 局部控制. 鋸齒轉換. 替代空間與線性包絡線. 有理雲線. 張力控制參數. 基因演算法 & 雙重迭代搭配高階雲線. 最佳內插點選取. 三角內插法. 三角內插公式. 極值點精確位置法. 重新找尋極值點位置. -22-.
(33) 立方雲線 利用連接極值點的立方雲線(cubic spline)找到上下包絡線，這也是標準. EMD 所使用找尋包絡線的方式【11】。 B─雲線. Chen, Huang, Riemenschneider and Xu (2004) 提出利用 B─雲線的數值 方式，來替代立方雲線連接上下包絡線【25】。B─雲線具有局部控制(local. control)的特性，這與 EMD 利用局部的特性有著相似之處。文中定義能量守 恆指數(index of energy conservation, IEC)，其公式如下：. | c (t ) | IEC | s(t ) r (t ) | 2. t. j. j. 2. (3.14). N. t. 其中 c j (t ) 表示 IMF， s (t ) 為原始訊號，而 rN (t ) 為殘餘量。透過實驗比較，可 以發現立方 B─雲線(cubic B-spline)能得到較佳的 IEC，降低超越量的問題。 鋸齒轉換. Lu (2007) 利用替代空間(alternative spaces)來找尋包絡線【26】。此法 的概念，是先連接各極值點找到原訊號在數據空間上之線性鋸齒函數，再透 過鋸齒轉換(Sawtooth Transform, ST)將其轉換成鋸齒空間上之 ST 函數，如 圖 3.5 (b)所示。在鋸齒空間中，透過分段、線性連接上下包絡線的方式找尋. IMF，如圖 3.5 (c)所示；而在鋸齒空間中進行的包絡線以及得到的 IMF，透 過反鋸齒轉換，便能得到時域上 (數據空間 )的包絡線以及 IMF，如圖 3.5. (d)&(e)所示【26】。如果原始訊號 f (t ) 包含了 m 個極值點，可以得到鋸齒函 數擁有 m-1 個線段，定義如下：. s (t ) E (t i ) ( E (t i 1 ) E (t i )). t ti 0 i m 1 t i 1 t i. (3.15). 透過 ST 將數據空間中每一個點座標 (t , f ) 轉換成鋸齒空間上之座標 (u, s )，定 義如下：. u (t ) t i . f (t ) E (t i ) (t t i ) t i t t i 1 0 i m 1 E (t i 1 ) E (t i ) -23-. (3.16).
(34) s (u ) f (t ). (3.17). 上包絡線(k 表極大值點數)與下包絡線(l 表極小值點數) U (u ) U (u i ) . U (u i 1 ) U (u i ) (u u i ) 0 i k 1 u i 1 u i. (3.18). L(u ) L(u i ) . L(u i 1 ) L(u i ) (u u i ) 0 i l 1 u i 1 u i. (3.19). 找出包絡線均值，其代表的是殘餘量，表示如下： r (u ) . U (u ) L(u ) 2. (3.20). 鋸齒空間之 IMF 為 ST 函數與包絡線均值的差 c(u ) s (u ) r (u ). (3.21). 根據上述文獻中的公式，可以推導出反鋸齒轉換之時間反轉函數與數據空間 之 IMF，表示如下：. t (u ) t i . E (t i 1 ) E (t i ) (u t i ) u i u u i 1 0 i m 1 f (t ) E (t i ). c(t ) c(u i ) (c(u ) c(u i )). t i 1 t i t ti. 0 i m 1. 其中 c(t ) 已經對稱上下包絡線，且滿足 IMF 定義的兩個條件。. (a). (b). (c). -24-. (3.22) (3.23).
(35) (d). (e). 圖 3.5 鋸齒轉換之示意圖 (a)原始訊號(數據空間) (b) ST 函數(鋸齒空間) (c) 線性包絡線(紅色)與殘餘量(黑色)(鋸齒空間) (d) IMF(藍色，鋸齒空間). (e) IMF(藍色)、包絡線(紅色)(數據空間). 有理雲線. Pegram, Peel and McMahon (2008) 提出加入了一個控制雲線張力的極點 參數(pole parameter, p)之有理雲線(rational splines)概念【27】。當 p 值越大， 極值點間的雲線越趨於線性關係。如圖 3.6 所示，紅色線是透過立方雲線. ( p 0 )所構成的包絡線，依序越接近極值點之包絡線，其 p 值越大。經由實 驗數據證明，透過張力參數的選取，能有效改善超越量之問題，IMF 與殘餘 量加總的正交性與完整性也會提升，但每個 IMF 所需之迭代次數也會隨著 增加。一般而言，p 值介於 1 到 5 之間有較好的結果。圖 3.6 中，橘、萊姆 綠、亮綠、青綠、亮藍、藍與黑線的 p 值分別為 0.5、1、2、5、10、20 以 及 50【27】。. 圖 3.6 具張力控制參數之有理雲線示意圖 -25-.
(36) Kopsinis and McLaughlin (2008) 提出了多種方式來尋找較佳的插值點以 得到真實的包絡線。主要的方法為【28, 29】： 基因演算法 運用基因演算法(Genetic Algorithm, GA)最佳化的方式，找尋極值點之外 的最佳插值點。 雙重迭代搭配高階雲線 考量極值點與轉折點間的最佳插值點，利用雙重迭代的篩選 (doubly-. iteration sifting)，搭配高階雲線(high order spline)的方式求得 IMF。然而無論 是找尋最佳插值點或是高階雲線的方式，都是運用數值分析的方法找尋連接 極值點間的包絡線，在理論上並不能有效的解決對稱問題。 三角內插法. Hawley, Atlas and Chizeck (2008) 建 議 利 用 三 角 內 插 (trigonometric interpolation)法替代原來的方式【30】。其利用了每週期奇數個內插點與唯 一解的方式，定義三角內插公式如下： 2n. 2n. sin 12 (t t j ). k 0. j 0, j k. sin 12 (t k t j ). f (t ) x k . (3.24). 內插點 xk 決定於原始訊號 x 之極值點間： x k x(t k ) , k 0, 1, , 2n 。滿足奇 數個(N)內插點所構成的包絡線，擁有包含了 0 到(N-1)/2 正弦波與餘弦波整 數頻率總和的特性。若是處理偶數個內插點問題時，在實際點中加入一個平 均點，使得 ti (ti 1 ti1 ) / 2 ， xi ( xi 1 xi 1 ) / 2 。前述，在找尋 IMF 的篩選程 序中，波形會漸漸趨於對稱，並改變極值點的位置以及相鄰兩極值點間的振 幅差值，往往這樣的改變，就是造成 IMF 扭曲(distortion)、不對稱的原因。 在不改變極值點位置的前提下，搭配三角內插的方式，改善不對稱的問題。 極值點精確位置法. Xu, Huang and Xu (2008) 提出一種新演算法重新定義極值點精確位置 (exact location of extrema)解決原極值點可能帶來全域變化不對稱問題【31】 。此法是將在區間 0 t T 之有限頻寬週期訊號s(t)表達成FS展開式： -26-.
(37) M. c. s (t ) . mM. 其中 . 2 1 ， cm T T. . T. 0. m. e jmt. (3.25). e jmt 0. (3.26). s (t )e jmt dt 。. 透過公式(3.25)一次微分為零得到 s (t ) . M. jmc. mM. m. 計算出極點精確位置發生的時間為 ti . 1 ln Z i j. (3.27). 而極值點的振幅大小為 s (ti ) . M. c. m M. m. (3.28). Zi. 其中 Z i e jt 。 i. 根據上述幾種方法，針對演算法運算的速度及包絡線對稱性進行比較， 評估結果如表 3.4 所示。. 表 3.4 包絡線處理法評估比較表 方法. 效率性. 對稱性. 立方雲線. √. ∆. B─雲線. √. √. 鋸齒轉換. . √. 有理雲線. ∆. . 基因演算法 & 雙重迭代與高階雲線. ∆. ∆. 三角內插法. √. . 極值點精確位置法. √. √. ：優. √：良 ∆：尚可 -27-.
(38) 3.1.3. 邊界效應. 此外訊號透過 EMD 在處理上會有邊界效應(boundary effect)的現象，這 樣的情況主要是包絡線在訊號邊界部分很難定義造成訊號振盪、扭曲的現 象，如圖 3.7 所示【41】。幾種邊界效應的處理法列於表 3.5 中。. 圖 3.7 邊界效應影響之示意圖. 表 3.5 邊界效應處理法列表 作者. N.E. Huang et al. (1998) Y.J. Deng et al. (2001) J.P. Zhao and D.J. Huang (2001) K. Zeng and M.X. He (2004) Z.D. Zhao and Y. Wang (2007) J. Wang et al. (2007) 任達千等 (民 96). 方法. 特性. 特徵波形擴充法. 標準 EMD. 類神經網絡擴充法. 兩端點向外逐點預測. 鏡像擴充法. 對稱原訊號. 資料擴充法. 極值點數目不限. 資料重建法. 簡單、快速. 相似搜尋法. 相似原始序列. 窗函數法. 加入特殊窗函數. -28-.
(39) 特徵波形擴充法 標準 EMD 的處理方式，在不改變邊界值的前提下，利用特徵波形擴充. (characteristic wave extending)法，找到邊界極大值與極小值【11】。 類神經網絡擴充法. Deng, Wang, Qian, Wang and Dai (2001) 建議利用類神經網絡擴充 (neural network extending)法，找尋邊界之極值點【32】。此法是利用單層、 單神經元的線性神經網絡，利用監督式學習(supervised learning)之最小均方 法(Least Mean Square, LMS)訓練，先給定網路輸入值與相對應目標輸出值， 透過相對應目標輸出值 tt 與網路輸出值 at 求得誤差平方總合之平均(mean. square error, mse)的極小化，如公式(3.29)所示。確定網路模型的權重向量 wi 與偏移量 bi ，再對原訊號進行左右極值點擴充。 mse . 1 k 2 1 k et (t t at ) 2 k t 1 k t 1. (3.29). 鏡像擴充法. Zhao and Huang (2001) 提出鏡像擴充(mirror extending)法【33】。此法 是利用鏡像對稱映照的特性，先將鏡面放置在具有對稱性的極值所在位置， 使得原始序列對稱地擴充成一個週期環狀序列(閉迴路)，再對此環狀序列進 行平穩化的動作，圖 3.8 為此法之示意圖【33】 。. 圖 3.8 鏡像擴充法之示意圖 -29-.
(40) 資料擴充法. Zeng and He (2004) 提出資料擴充(data extending)【34】。此法是先取出 原始資料的離散時間序列 X (i ), i 1, 2, , N ，再來進行下列流程：. 1) 建立一個偶(函數)擴充(even extension)序列 X e (i ) ，形成一週期為 2N 的序列，其表示式如下： 1 i N X (i ) X e (i ) X ( 2 N i 1) N 1 i 2 N X (1) i 2N 1 . (3.30). 2) 建立 X e (i ) 極大點序列，如果最右邊界點不是局部極大值，則加入週 期序列 X e (i ) 最左極大值。. 3) 利用立方雲線連接此週期性邊界條件所有極大點，建立上包絡線。 4) 重複步驟 2)- 3)，建立 X e (i ) 序列極小點的下包絡線。 5) 建立一個奇(函數)擴充(odd extension)序列 X o (i )，同樣形成週期為 2N 的序列，其表示式如下： 1 i N X (i ) X o (i ) X (2 N i 1) N 1 i 2 N X (1) i 2N 1 . (3.31). 6) 重複步驟 2)- 4)建立 X o (i ) 序列之上、下包絡線。 7) 利用原始訊號減去 X e (i ) 、 X o (i ) 四條包絡線均值，便是 IMF 分量。. 圖 3.9 資料擴充法之流程示意圖 -30-.
(41) 透過原始資料先找到偶(函數)擴充與奇(函數)擴充，再由擴充的資料求 得 IMF 分量以及趨勢線，如圖 3.9 所示【34】 。此法最大的優點在於，即使 篩選程序中極值點數目不足也能執行擴充。 資料重建法. Zhao and Wang (2007) 提出考量靠近邊界點的極值點與位置進行資料重 建(data reconstructing)動作【35】。假設原始資料長度為 N，進行下列流程：. 1) 找出訊號中所有的極大值點與極小值點，並將邊界點分別考慮成極 大值點與極小值點，此時，極大值點與極小值點分別表示成矩陣型 式：max = [x(1) max x(N)]與 min = [x(1) min x(N)]。. 2) 分別計算出 1 , N , 1 以及 N 的值。其中 1 表示除了第一個極大值 點( x(1) )外所有極大值點的平均， N 表示除了最末極大值點( x(N ) ) 外所有極大值點的平均；同樣地， 1 表示除了第一個極小值點( x(1) ) 外所有極小值點的平均， N 表示除了最末極小值點( x(N ) )外所有極 小值點的平均。. 3) 比較 1 與 x(1) ， N 與 x(N ) ， 1 與 x(1) ， N 與 x(N ) ：如果 1 < x(1)， 則 1 = x(1)；如果 N x(N )，則 N x(N )；如果 1 > x(1)，則 1 x(1)； 如果 N x(N ) ，則 N x(N ) 。. 4) 利用立方雲線求得上、下包絡線，並重複上述篩選程序之步驟 2) -3) 以求得 IMF 分量。 此法在處理邊界效應上，擁有簡單、快速的特點。 相似搜尋法. Wang, Peng and Peng (2007) 提出相似搜尋(similarity searching)法的概念 找到與原始序列相似的擴充序列【36】。此法利用了移動時間窗(moving time. window)先將原始訊號 x(t)分割成向量形式之 Xi，表示如下： X i [ x(i ), x(i 1),..., x(i w 1)]T. (3.32). 其中 w 為移動時間窗之長度。再來透過鄰近搜尋演算法找到包含前端邊界點 -31-.
(42) 或後端邊界點之最相似向量，定義如下： X nearest arg min i X i X endpo int. (3.33). 對於前端邊界點，被分割的子序列(sub-series)訊號擁有兩個極值點，一 個極大點一個極小點，其位置會在 X nearest 的前方，將其附在原始序列的前 頭；同樣地，對於後端邊界點，將位於 X nearest 後方這兩個極值點附在原始序 列的尾端，完成擴充。 窗函數法 任達千、吳昭同與嚴拱標(民 96)提出利用對稱窗函數解決邊界效應的問 題【37】。將原訊號加入邊界點為零值的窗函數，並要求原訊號是零均值。 為了減少窗函數帶來之誤差，選用效果較佳之漢寧 (Hanning) 窗或海 明. (Hamming)窗，如公式(3.34)、公式(3.35)所示： w(n) 0.5 0.5 cos(. 2n ), n 0,1, ..., N 1 N 1. w( n) 0.54 0.46 cos(. 2n ), n 0,1,.., N 1 N 1. (3.34) (3.35). 如果原訊號不適合直接加入窗函數，有以下兩種考慮方式：. 1) 在訊號中間加入矩形窗，邊界附近加入漢寧窗或海明窗，如圖 3.10 所示【37】，當 EMD 分解完後，捨棄兩端保留中間部分。. 2) 若兩端不能捨去，先將原訊號擴充，再利用上述方法，當 EMD 分解 完後，捨棄擴充部分。. 圖 3.10 改良窗函數之示意圖. 根據上述幾種的方法，針對演算法計算的速度及邊界點擴充彈性進行比 較，評估結果如表 3.6 所示。 -32-.
(43) 表 3.6 邊界效應處理法評估比較表 方法. 效率性. 彈性. 特徵波形擴充法. ∆. √. 類神經網絡擴充法. ∆. √. 鏡像擴充法. √. √. 資料擴充法. ∆. . 資料重建法. . √. 相似搜尋法. √. √. 窗函數法. √. ∆. ：優. √：良 ∆：尚可. 本質模態函數之相關研究. 3.2. 由於 EMD 拆解所得為適應性之 IMF，因此不同的停止準則、包絡線與 邊界處理方法所得到的 IMF 也就不一樣，並且可能在拆解過程中得到虛假 的 IMF。本節針對文獻中提出 IMF 相關之研究作簡單之介紹。. 3.2.1. 最佳訊號重建. Weng and Barner (2008) 提 出 了 最 佳 訊 號 重 建 (Optimal Signal Reconstruction, OSR)的概念【38】。此法類似維納濾波(Wiener filtering)，都 是透過最小均方差(minimum mean square error)的特性進行最佳評估，以線性 加權的方式完成 IMF 重建；或是利用雙向加權(bidirectional weighting)方式， 除了 IMF 加權外，並找尋特殊窗口取樣和濾波後取樣之相關性(correlation) 來完成重建動作。. -33-.
(44) 3.2.2. 本值模態熵. 近年來，有多種量測熵的方法被發展出來，其主要目的是為了能分辨出 物理訊號在非線性動力 (nonlinear dynamics) 中的資料序列。 Amoud et al.. (2005) 提出名為本質模態熵(Intrinsic Mode Entropy, IMEn)的時間序列量測 熵方法【39】 。此法，是利用累加計算 IMFs 之樣品熵(Sample Entropy, SampEn) 成功的區分出年老組( 80.5 4.7 歲)與控制組( 33.3 7.4 歲)在測力板壓力重心 位移之訊號的姿勢穩定性(postural stability)。IMEn 也可歸類為一種多尺度熵. (Multi-scale Entropy, MSE)量測法，但最大的不同在於 MSE 不能表現出顯著 的局部趨勢或是低頻成份的特性。利用 EMD 拆解特性之 IMEn 恰能解決. MSE 量測上的缺陷。. 3.3. 改良式本質模態分解法之構想 根 據 Lu (2007) 所 提 出 之 快 速 本 質 模 態 分 解 法 (Fast Intrinsic Mode. Decomposition, FIMD)，其利用片段式線性 (piecewise linear)訊號的處理方 式，透過 ST 找到替代空間並利用線性包絡線，可以得到較快速的分解法。 而片段式線性之概念啟發了本論文對改良式本質模態分解法 (Reformed. Intrinsic Mode Decomposition, RIMD)的構想：要如何從片段式線性訊號直接 求得實際訊號的包絡線均值呢? 若公式(3.18)片段式線性訊號之上包絡線改寫為： U (t ) E (t j 2 ) . E (t j ) E (t j 2 ) t j t j 2. (t t j 2 ). (3.36). 而公式(3.19)片段式線性訊號之下包絡線改寫成： L(t ) E (t j 1 ) . E (t j 1 ) E (t j 1 ) t j 1 t j 1. (t t j 1 ). 並依公式(3.20)將包絡線均值表示成殘餘量，當 t t j 1 ： -34-. (3.37).
(45) r (t j 1 ) . E (t j ) E (t j 2 ) 1 1 E (t j 1 ) E (t j 2 ) (t j 1 t j 2 ) 2 2 t j t j 2 . (3.38). 1 E (t j 1 ) E (t j 1 ) 1 (t j t j 1 ) E (t j ) E (t j 1 ) 2 t j 1 t j 1 2. (3.39). 當t t j ： r (t j ) . 上述表示當 t j1 t t j 時， r (t ) 為以 r (t j 1 ) 及 r (t j ) 為兩端點的直線方程 式。因此這個演算法的關鍵點不在 r (t ) ，而是 r (t j 1 ) 及 r (t j ) ，根據公式(3.38) 與(3.39)得知 r (t j 1 ) 、 r (t j ) 為極值點與包絡線之均值，因此將這些點稱之為 中值點(middle points)。 利用這些中值點即可重建包絡線均值，而這個包絡線均值即代表低頻訊 號，若原始訊號減去此包絡線均值，將可得到一個類似 IMF 的訊號。圖 3.11 是一個簡單的例子：. (a). (b). (c). 圖 3.11 (a) 原始訊號 (b) 原始訊號與中值點訊號 (c) 原始訊號減去中值點 訊號所得之類 IMF 訊號 -35-.
(46) 所以這個方法可以適用於片段式線性訊號的分解。但對於真實訊號，這 個演算法應該如何改進呢？以下提出幾個可行的方式： 以立方雲線(cubic spline)來聯結中值點，當作包絡線均值。 以原始訊號的比例大小找出包絡線均值： r (t ) r (t j 1 ) . r (t j 1 ) r (t j 1 ) E (t j 1 ) E (t j 1 ). ( f (t ) E (t j 1 )). (3.40). 其中 f (t ) 為原始訊號。 增加一個新的控制參數 ，使得中值點的選取更具彈性： E (t j ) E (t j 2 ) r (t j 1 ) E (t j 1 ) (1 ) E (t j 2 ) (t j 1 t j 2 ) t j t j 2 . (3.41). E (t j 1 ) E (t j 1 ) r (t j ) (1 ) E (t j 1 ) (t j t j 1 ) E (t j ) t j 1 t j 1 . (3.42). 當 1 / 2 時，即為公式(3.38)與公式(3.39)。 然而，EMD 在迭代的篩選程序是費時的，最主要的原因與立方雲線需 求解多次線性方程式有關。上述第一點利用中值點求得包絡線均值之構想， 只需要進行一次立方雲線插值點的計算；這與標準 EMD 透過上下包絡線(兩 次立方雲線)求得包絡線均值相比，將大大降低演算法的計算量。並且在邊 界效應極值點的選取上，也只需要考量一次，這將使得訊號在篩選程序中之 平穩性以及對稱性大幅的提升。表 3.7 為 FIMD 與 RIMD 包絡線之比較表。. 表 3.7 FIMD 與 RIMD 包絡線之比較表 快速本質模態分解法 (FIMD). 改良式本質模態分解法 (RIMD). 作者. L.Y. Lu (2007). 本論文(2009). 包絡線. 替代空間與線性包絡線. 中值點與立方雲線. 包絡線之計算次數 (求包絡線均值). 2次. 1次. -36-.
(47) 而後兩點找出包絡線均值之構想與 Frei and Osorio (2007)提出的本質時 間尺度分解法 (Intrinsic Time-Scale Decomposition, ITD) 之概念非常相似 【40】。此法是先找到區域性時間{τ1,…,τj-2,τj-1,τj}的極值點與 LF 點(圖 3.12. (a))，透過片段式線性的方式，還有控制點 找尋到下一個 LF 點(圖 3.12 (b))，連接 LF 點(圖 3.12 (c))，並依此方法找到之後的 LF 點，連接所有的 LF 點形成適當輪轉(proper rotation)低頻分量，再用原始訊號減去此分量便得 到適當輪轉高頻分量(圖 3.12 (d))。其中 LF 表示為低頻，控制點 則是找尋 適當輪轉分量之參數【40】。. (a). (b). (c). (d). 圖 3.12 (a) 尋找區域性 {τ1,…,τj-2,τj-1,τj} 極值點 (b) 利用下一極值點 (τj+1) 計算 出 τj 之 LF 點 (c)連接 τj-1 與 τj 之 LF 點 (d)用原訊號減去 LF 分量便 得到 HF 分量. -37-.
(48) 第四章 改良式本質模態分解法之架構與分析結果 4.1. 改良式本質模態分解法. 4.1.1. 演算法. 在 3.3 節介紹了改良式本質模態分解法(RIMD)的靈感是由片段式線性訊 號的研究啟發而來的。本研究希望 RIMD 能夠具有片段式線性處理之快速特 性，在大量文獻回顧並參考 Kizhner et al. (2006)提出有關 EMD 演算法之架 構後【41】 ，RIMD 演算法如圖 4.1 所示(藍色的部份為整個 RIMD 演算法之 流程，而黃色的部份則是表示 IMF 之篩選程序)；其流程如下：. 1) 找出原始訊號 xn,k(t)之極值點序列 extre(K)，其中 K 表示的為極值點 序列的個數；. 2) 透過 extre(t-1)與 extre(t+1)找到與 extre(t)時間點上相對應之點，並求 出此點與 extre(t)之均值得到中值點 Mpointk(t)；. 3) 利用立方雲線(或原始訊號比例)找出中值點分量 MpointCompk(t)； 4) 取出分量 hk(t) = xn,k(t) - MpointCompk(t)； 5) 若分量平均小於 0.01(i.e. Avg(hk(t)) < 0.01)並且第一個極大值週期(不 包含邊界極大值之第一與第二個出現之極大值間之週期 )Tmax(1)與 第一個極小值週期(不包含邊界極小值之第一與第二個出現之極小值 間之週期)Tmin(1)相同時，記錄 cn(t) = hk(t)；若不滿足上述條件，重 複步驟 1)- 4)，直到 hk(t)滿足 IMF 之定義，記錄 cn(t) = hk(t)；. 6) 若 IMF 個數(n)達到選定之 IMF 個數(m_num)，演算法終止；否則執 行步驟 7)；. 7) 計算殘餘量 rn(t) = xn,k(t) - cn(t)，如果 rn(t)是一個趨勢分量，演算法終 止；否則重複步驟 1)- 4)找出其它 IMF。. -38-.
(49) 圖 4.1 RIMD 演算法之流程圖. 而演算法執行時，需自行設定下列參數(預設值如圖 4.2 所示)： 邊界中值點之設定是以最接近邊界點(非邊界點極值)之極大值與極 小值之總和，乘上邊界中值點係數 α 而成，其值大小介於 0~1 之間。 停止準則的設定以標準 EMD 之 SD 值(sd)以及自訂篩選次數 S 數(S) 兩者滿足其中一個即停止篩選程序。 最後，選定 IMF 之個數(m_num)。當訊號跨度越長時，要滿足終止 趨勢分量的條件就越困難(極大值個數或極小值個數<=3)，並且越後 -39-.
(50) 者之 IMF 其能量大小可能是非常的小，因此給定 IMF 個數的上限， 也可以降低過多的迭代次數。 且數位訊號是透過取樣(離散化)以及量化(數值化)類比(連續)訊號而得 到的，其取樣的處理上需滿足奈奎斯特─香農取樣定理 (Nyquist- Shannon. sampling theorem)，也就是取樣的頻率最少要是奈奎斯特頻率的兩倍大，因 此設定參數 sample。並在模擬訊號的產生時，給定時間長度，設定參數 te。. 表 4.1 RIMD 輸入參數列表 輸入參數. 代表特性. sample. 取樣率(單位：點/秒). te. 時間長度(單位：秒). α. 邊界中值點係數(0~1 之間). sd. 停止準則 SD 值(0.2~0.3 之間). S. 停止準則 S 數(3~5 之間). m_num. 選定之 IMF 個數(<= 10). (a). (b). 圖 4.2 RIMD 預設參數對話窗 (a)模擬訊號 (b)測試訊號 -40-.
(51) 4.1.2. 極值點選取與邊界點處理. RIMD 尋找中值點的方法是透過連續三個極值點，利用前後兩個極值點 為直線兩端點，找出與中間極值點時間對應之點的平均值求得中值點，如圖. 3.12 (b)所示。然而，極值點選取最大的問題，還是在邊界極值的選定上。配 合 RIMD 需符合快速之特性，可以選用以下兩種方式： 斜率比值求邊界極值 利用最靠近邊界點之連續兩極大值與邊界點到最靠近邊界點之極大值 的比值判定，若求出之值比原訊號邊界點x(1)、x(lx)大者則替代；反之邊界 極小值之判定，以求出之值比原訊號邊界點x(1)、x(lx)小者則替代。其中lx 為原訊號點的個數。 平均值求邊界極值 初始邊界極大值以之後所有極大值之平均值(最末邊界極大值為原訊號 邊界點x(lx))判定，最末邊界極大值以之前所有極大值之平均值(初始邊界極 大值為原訊號邊界點x(1))判定，若求出之值比原訊號邊界點x(1)、x(lx)大者 則替代；反之邊界極小值之判定，以求出之值比原訊號邊界點x(1)、x(lx)小 者則替代。. RIMD極值點之選取流程如下： 1) 當訊號輸入時將邊界點分別考慮成極大值點與極小值點，則極大值 與極小值序列分別表示成：spmax(N) = [x(1) max x(lx)]與 spmin(n)=. [x(1) min x(lx)]，其中 N 為極大值序列的個數，則 n 為極小值序列的 個數；. 2) 利用斜率比值(或平均值)判定求得邊界之極值； 3) 重新排列極值點序列 extre(K)； 4) 若不包含初始邊界極值而極大值點先出現(i.e. spmax(2) < spmin(2))， 則初始邊界極值則由初始邊界極小值替代(i.e. extre(1) = spmin(1))，反 之初始邊界極值則由初始邊界極大值替代(i.e. extre(1) = spmax(1))； -41-.
(52) 5) 若 不 包 含 最 末 邊 界 極 值 而 極 大 值 點 最 後 出 現 (i.e. spmax(N-1) > spmin(n-1))，則最末邊界極值則由最末邊界極小值替代(i.e. extre(K) = spmin(n))，反之最末邊界極值則由最末邊界極大值替代(i.e. extre(K) = spmax(N))。. 圖 4.3 RIMD 極值點選取之流程圖. -42-.
(53) 4.2. 模擬訊號分析. 4.2.1. 平穩訊號. (1) 三個不同振幅頻率之正弦波的疊加 利用三個不同振幅、頻率之正弦波所疊加而成的訊號 S1 (t ) 為例，頻率分 別為 1Hz、10Hz 與 30Hz，表示式如下： S1 (t ) 3 sin( 2t ) 5 sin( 20t ) sin(60t ). (a). (4.1). (b). 圖 4.4 訊號 S1 (t ) (a)原始波形 (b)參數設定對話窗 參 數 設 定 為 ： sample 200 ， te 5 ， 0 ， sd 0.2 ， S 3 以 及. m _ num 3 。此模擬訊號由 sin 波組成，且又是平穩訊號，因此 值的選取 上捨棄預設值 0.3 而選擇 0；這表示邊界中值點之值為 0。分別比較 RIMD 利用立方雲線以及原始訊號的比例大小聯結中值點之波形，並分析拆解後之 結果。圖 4.5 與圖 4.6 分別為利用立方雲線與原始訊號的比例大小聯結中值 點之分解結果，可以明顯的看出 S1 (t ) 訊號皆由高頻成分拆解成至低頻成分， 且前三個 IMFs 皆可視為近似 30Hz、10Hz 與 1Hz 的分量。 -43-.
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