演算法

EMD 之分解過程是依據訊號的局部特徵時間尺度(local characteristic time scale)來執行得到 IMFs，因此能處理不同時間訊號，並適用在處理非線 性與非穩態訊號。然而EMD 最大的缺點在於缺乏強而有力的理論基礎， 因 此需要透過直覺與實驗模擬來確認其真實性。

事實上，由於小波分解(Wavelet decomposition, Wavelets)與 EMD 均可同 時兼顧時間及頻率的解析度，因此，這兩種方法均被歸類為時間─尺度分解 (time-scale decomposition)法。兩者最大的差異點在於(表 2.1 所示)：Wavelets 採用固定的小波基底(e.g. Haar, Morlet, Daubechies 等)來拆解訊號【12-14】；

而EMD 則是透過迭代性之篩選程序來取得基底 IMF，由於 IMF 會隨訊號改 變，所以它是ㄧ組適應性的基底，因此，用它來分析非穩態訊號將比Wavelets 更為合適。

表 2.1 FS, Wavelets 與 EMD 之比較表

FS Wavelets EMD

基底 預先定義 預先定義 適應性

頻率 全域性 區域性 局部性

時間尺度 否 可調窗口 兩極值間時間差

非穩態 否 是 是

非線性過程 否 否 是

Flandrin, Rilling and Gonçalvés (2004) 利用加入高斯雜訊的數值試驗，最 後證實EMD 的作用類似二進濾波器(dyadic filter bank)加入 Wavelets【15】。

因此，EMD 被視為類小波分解(Wavelets-like)之展開法【16】。

2.1.1 本質模態函數

根據表示非線性過程與非穩態時間序列基底所需之條件，可以總結出以 下的特性【11】:

 完整性(complete)；

 正交性(orthogonal)；

 局部性(local)與適應性(adaptive)。

前兩個條件為所有線性展開法的標準需求。第一個條件(完整性)能保證 得到之展開式的精準程度；後者(正交性)則是保證基底為正能量，並且避免 能量洩漏(energy leakage)所造成能量不守恆的現象。然而對於非穩態訊號來 說，局部性的條件是非常重要的要求。此條件不但能符合具物理意義之瞬時 頻率(IF)，並且能定義出局部特徵時間尺度。而適應性的條件就是為了滿足 非線性過程之訊號的需求。在傅立葉分析中，特別是表現在非線性的情況 時，會產生所謂諧波失真(harmonic distortion)的現象造成能量的發散。這表 示預先定義之基底不能滿足所有這類的情況，並且依據非線性的嚴重性決定 失真的程度。因此，利用適應性基底表示非線性訊號為最佳的方式。

每個IMF 皆需滿足下列兩個條件【11】：

 整筆資料中，局部極大值與極小值(local maxima & minima)之極值點 數目和與跨零點(zero-crossings)的數目必須要相等或是最多相差一；

 在任一時間點上，由局部極大值所定義的上包絡線(upper envelope)與 局部極小值所定義的下包絡線(lower envelope)平均值要為零。

第一個條件滿足訊號在穩態高斯程序(stationary Gaussian process)中為窄 頻寬(narrow band)的特性，而第二個條件是要滿足 IF 不會因為波形不對稱而 產生不必要的振盪。

然而大部份的訊號無法滿足IMF 的基本定義，且 IMF 是由原始振盪-歷 時訊號透過EMD 直接推導而來，因此處理原始非線性與非穩態訊號時，有 下列假設之條件【11】：

 訊號至少要有兩個極值，一個極大值一個極小值；

 局部特徵時間尺度是定義為訊號兩極值之間的時間差；

 若訊號全無極值而只包含反折點，則可以將訊號做一次或多次微分將 極值找出；最後的結果可以由分量積分得到。

2.1.2 篩選程序

如何得到滿足基本定義之 IMF?有一系統迭代流程稱為篩選程序(sifting process)，此流程如下【11】:

1) 找出原始訊號 xn,k(t)之所有極值點；

2) 利用立方雲線(cubic spline)分別找出局部極大值所定義的上包絡線 uk(t)與局部極小值所定義的下包絡線 lk(t)；

一個調幅(amplitude modulation, AM)訊號。此外 IMF 的 IF 也會一步步改變(由 高至低)，所以，IMF 亦可視為一個調頻(frequency modulation, FM)訊號。因 此，IMF 為一個零均值之調幅/調頻(AM/FM)訊號。

圖 2.2 HHT 演算法之流程圖