第三章 理論方法與工具
3.1 地質統計理論
3.1.1 半變異元理論
地質統計學以空間隨機變數函數 Z(X)，代表任何與地質特性有 關之參數，稱為區域性變數(Regionalized Variables，以下簡稱 Re.V.)，
其中 X=(x,y,z)代表點所在之空間位置。一般而言，區域性變數(Re.V.) 所呈現的兩大特質可歸納如下：
1. 隨機性(Randomness)
即在所分析區域中任一點值，皆具不確定性。
2. 結構性(Structure)
對任意研究區域而言，區域性變數(Re.V.)除具有上述的隨機性，
同時具有某種統計上的結構性，如區域性變數(Re.V.)於空間上 可能具有某種趨勢(trend)，又稱為空間傾向值(Drift)；或區域 性變數(Re.V.)於不同位置的觀測值之間亦可能具有某種程度 的相關性(correlation)。在區域性變數理論中則以半變異元 (Semi-variogram)做為此相關性之量化表示式。
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半變異元亦稱為半變異數(semi-variance)，其可以區域性變數 (Re.V.)沿特定方向，但不同位置間之隨機函數，或其殘數值(residual) 之差的變異程度來表示，其定義如下：
𝛾𝛾(ℎ) =
1 2
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑍𝑍(𝑥𝑥) − 𝑍𝑍(𝑥𝑥 + ℎ)�� ... (式3.1-1)
其中，h 為相依兩點間之分離向量；應用於二維場域且定義域面 積為 S 之平面 A 上，其半變異元可表示為：𝛾𝛾(ℎ) =
2𝑆𝑆 1
∫ [𝑍𝑍(𝑥𝑥) − 𝑍𝑍(𝑥𝑥 + ℎ)]𝑆𝑆 2 ... (
式3.1-2)
若區域性變數(Re.V.)具等向性(isotropic)，則 h 為任兩點之分離 距離。一般傳統所指的等向性是指空間上任一點的參數於任何方向其 參數皆相同，如透水係數(K)在垂直及水平方向的透水能力相同。而 在區域性變數理論中的等向性是指其半變異元只跟空間上兩點間之 距離有關，與方向無關，即空間上任兩點之相關性僅與兩點距離有關。本研究假設區域性變數(Re.V.)為等向性。
假設區域性變數(Re.V.)符合穩定(stationary)，亦即區域性變數 (Re.V.)之平均值為常數，則半變異元可由下式估算[Journel,1984]。
𝛾𝛾(ℎ) =
2𝑛𝑛 1
∑ [𝑍𝑍(𝑥𝑥) − 𝑍𝑍(𝑥𝑥 + ℎ)]𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 2
... (式3.1-3)
其中，x代表空間上的座標，h代表間距，n 為在特定間距 h 內，任意兩樣本點的組合配對數(Pairs)。半變異元可代表在不同間距下，
區域性變數的變異數之半。
藉由式 3.1-3 搭配觀測資料，可建立研究區域之半變異元，其半 變異元圖往往由少數幾組離散數據組成。一般往往會以迴歸法或人工 觀察的方式，建立半變異元模型，以取代前述離散的數據。圖 3.1-1 中為三種半變異元模型，半變異元模型中由三個參數所組成，說明如 下：
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1. 基值(Sill)：
在 h 對γ(h)關係圖中，當間距(h)越遠，則γ(h)漸增且收斂至一定 值(C)，則此 C 稱之為基值
2. 影響範圍(Range)：
在 h 對γ(h)關係圖中，半變異元γ(h)會隨著間距(h)的增大而變大，
在一定範圍之後將會趨近於基值，該範圍就稱為影響範圍。影響範圍 內的資料具有空間相異性，但在影響範圍外的資料會互相獨立。
3. 金塊效應(Nugget Effect)：
當間距(h)為 0 時，理論上變異數應等於 0，亦即γ(0)為 0，但實 際上常發生γ(0)不等於 0 的狀況發生，即稱為金塊效應。發生原因可 能是參數量測誤差，或在非常小的距離之內即有相當大小之變異，而 觀測點位置較疏，導致彼此間距離較大，無法顯現極小範圍內之變異 狀況。
一般而言，以下列三種模型為最常見之半變異元模型，其分別 為：
指數模型(Exponential Model)：
𝛾𝛾(ℎ) = 𝐶𝐶
0
+ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 �1 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �𝑅𝑅𝑉𝑉𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 −ℎ
�� ... (式 3.1-4) 高斯模型(Gaussian Model)𝛾𝛾(ℎ) = 𝐶𝐶
0
+ 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 �1 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �−3 �𝑅𝑅𝑉𝑉𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 ℎ
�2
�� ... (式3.1-5)
球形模型(Spherical Model)𝛾𝛾(ℎ) = 𝐶𝐶
0
+ 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 �3 2
�𝑅𝑅𝑉𝑉𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 ℎ
� −1 2
�𝑅𝑅𝑉𝑉𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 ℎ
�3
� ... (式3.1-6)
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圖 3.1-1 球形模型、指數模型與高斯模型示意圖