Dk
[ ]
i，j =m in(
Dk−1[ ]
i，j，Dk−1[ ]
i，k +Dk−1[ ]
k，j)
演算法步驟：
procedure Floyd((L[1..n，1..n]) array D[l..n，1..n]
D← L //D 儲存各點至其他各點之最短路徑值 for k← l to n do
for i← l to n do for j← l to n do
D[i，j] ← min(D[i，j]，D[i，k] + D[k，j]) return
A ● ● C 1 2
3
● B
圖 7.4 最佳化原理
其證明可用反證法：假設軌跡 3 為軌跡 B 到 C 的最佳軌跡，則 3 < 2，那麼 1+3 < 1+2，
結果 A 到 C 的最佳軌跡不是最小，此與事實不合，所以假設不成立。
利用最佳化原理，很容易可導出動態規劃法的遞迴公式，其作法如下所述：
假設現有一道路網，如圖 7.5 所示，
2 1 9 3 7
4 5 8 6
圖 7.5 道路網簡圖
start end
每一道路之加權值，如表 7-1 所示：
表 7-1 動態規劃的資料表 Id weight
1 30
2 40
3 15
4 10
5 5
6 15
7 15
8 20
9 20
此時從起始點出發，會看到編號 1、2、3 之道路，將其放入比較表內，
如表 7-2：
表 7-2 動態規劃法的比較表 Id from weight
1 0 （1）=30 3 0 （3）=15 2 0 （2）=40 4 3 （3）+（4）=25 5 3 （3）+（5）=20 6 5 （5）+（6）=35
7 4 （4）+（7）=40 8 4 （4）+（8）=45
7 1 ×
9 1 end
此時比較表內只有三條路，取其中最小加權值之路三，放入路徑表內（路徑表代表觀 測點之集合），如表 7-3：
表 7-3 動態規劃法的路徑表 Id Heading from
3 1 0
5 -1 3
4 1 3
1 1 0
9 1 1
因此由此觀測點看出，又多出編號 4、5 之道路，將其放入比較表內，此時比較表內 變成四條路（已放入路徑表之道路三，需從比較表內刪去，以避免重複搜尋）。重複 上面動作，直到觀測到終點為止（當比較表內出現兩個相同編號之道路時，需將此兩 筆計錄由比較表內刪去），此時會有比較表、路徑表之結果，此時由路徑表可看出最 佳路徑之走法。方法如下：由接觸到終點之道路 9 開始，找 from 那一欄可發現道路 9 是由道路 1 而來，因此再找路徑表內編號為 1 之記錄，再看 from 那一欄可發現道路 1 是由道路 0 而來，因道路 0 即表起點之開始，因此最佳路徑為由起點開始，經道路 1、
9 到終點。其搜尋過程中，只利用到加法與比對之數學運算，因此計算上非常快，比 起直接搜尋法又減少了許多不必要之搜尋。至於其中如何加快比對之技巧，與減少比 對之次數呢？我們從上述的步驟中可觀察出，每增加一個觀測點後，就必需將更新後 的比較表內所有點做一比較，找出有最小加權值的點，作為下一個觀測點。而我們以
一個理想化的道路網為例，如圖 7.6 所示：
a b c
圖 7.6 理想化的道路網
當我們由觀測點 a 出發，會看到三個點，將其置入比較表內，然後比較此三點，
選出 b 為下一觀測點，於是將 b 由比較表內刪去，再由 b 看到其他二點，再置入比較 表內，於是我們可得知，比較表內是以等差級數(2n+l)的方式增加，因此假設起點到 終點間經過了一百個觀測點，那麼我們比較之次數為[3+(2*100+1)]*100/2=10200 次，但如果我們將每一新觀測點所觀察到之所有的點，視為一個群組，並將此群組依 大小順序排好，然後往後之比較不再對整個比較表，而僅比較每一群組的最小成員，
即可得到下一個觀測點，而因為每一群組僅需做一次排序的動作，而群組的增加是以 等差級數（n)的方式增加，因此比較之次數為 3*100+(1+100)*100/2=5350 次，故其 效率約可提升一倍左右。