路徑規劃的方法

第七章最短路徑規劃

7.2.1 Bellman-Ford 演算法

說明演算法之前，我們必須假設一個網路圖，然後針對網路圖上的節點，運用此一演算法求出最短路徑，藉以瞭解演算法的實際推演過程。所以我們假設有一網路圖如圖 7.1 所示，其內共有 5 個網路節點，且節點 A 為目的點，並假設每一節點至少存在一條路徑可到達目的點，由圖可知若每個節點最多只能經過一次，則從任一節點 i 到目的節點 A，最多包含有 h 個路段(h≦4；h=4 表經過所有節點後才到達節點 A)，現在我們就來解決從所有節點到節點 A 的最短路徑問題：

7 2

4 3 1 3 3

圖 7.1 五節點網路範例圖 7.2.1.1 參數定義：

1、令d 表節點 i 到節點 j 的路徑長度，若_ij d_ij =∞表節點 i 到節點 j，沒有直接相連的路徑。

2、令D 表節點 i 到節點 A(目的節點)，所經過路段數目少於 h 個路段的最短路徑長_i^h 度。

7.2.1.2 演算法說明：

1、設定初值：

(1) 由網路圖得知所有的節點 i 到節點 j 之路徑長度，以d 表之。 _ij

(2) 令Di⁰ =∞ 對所有的 i≠A。

B D

C E

(3) 令D_A^h =0 對所有的 h。

2、對所有的 h≧0，以下列公式計算D_i^h⁺¹ 之最小值

D_i^h⁺¹ =m in _j[d_ij+D^h，_j D_i^h]對所有的 i≠A。

3、重複步驟 2，直至對所有的 i 均有 = i^h⁺¹ h

i D

D 之結果時則停止。

這個演算法首先找到一條路徑(One-arc)可到達的最短路徑，再找到兩條路徑 (Two-arc)可到達的最短路徑，如此一直找下去直到對所有的 i 均有D_i^h =D_i^h⁺¹之結果，或 h≧N-l(N 表所有節點數 )時停止。

7.2.1.3 範例說明：

我們運用圖 7.1 的網路圖以說明演算法的推演過程： 1、設定初值：

D_A⁰ = D¹_A =D²_A =...=0 D_B⁰ = D_C⁰ = D_D⁰ =...=∞

dBA =2；dCA =3；dBC =4；dDB =7；dEC =3；dDE =1；dED =3 d_BD =d_BE =d_CB =d_CD =d_CE =d_DC =d_EB =∞（由網路圖得知）

2、求一條路徑（One-arc）可到達的最短路徑（h=1）： D¹_A =0 （初值）

D¹B =m in [d_BA +D⁰_A，d_BC+D_C⁰，d_BD +D_D⁰，d_BE +D_E⁰，D_B⁰]

=^{m in}

[

²⁺⁰^，⁴⁺^∞^，^∞⁺^∞^，^∞⁺^∞^，^∞

]

⁼²

D_C¹ =m in [d_CA +D⁰_A，d_CB +D_B⁰，d_CD +D_D⁰，d_CE +D_E⁰，D_C⁰] =^{m in}

[

³⁺⁰^，^∞⁺^∞^，^∞⁺^∞^，^∞⁺^∞^，^∞

]

⁼³

D¹_D =m in [d_DA +D⁰_A，d_DB +D_B⁰，d_DC +D_C⁰，d_DE +D_E⁰，D_D⁰] =^{m in}

[

^∞⁺⁰^，⁷⁺^∞^，^∞⁺^∞^，¹⁺^∞^，^∞

]

⁼^∞

D¹E =m in [d_EA +D⁰_A，d_EB +D_B⁰，d_EC +D_C⁰，d_ED +D_D⁰，D_E⁰]

=^{m in}

[

^∞⁺⁰^，^∞⁺^∞^，³⁺^∞^，³⁺^∞^，^∞

]

⁼^∞

3、求兩條路徑（Two-arc）可到達的最短路徑（h=2）： D_A² =0 （初值）

D_B² =m in [d_BA +D¹_A，d_BC+D¹_C，d_BD +D¹_D，d_BE +D¹_E，D¹_B] =^{m in}

[

²⁺⁰^，⁴⁺³^，^∞⁺^∞^，^∞⁺^∞^，²

]

⁼²

DC² =m in [d_CA +D¹_A，d_CB +D¹_B，d_CD +D¹_D，d_CE +D¹_E，D_C¹]

=^{m in}

[

³⁺⁰^，^∞⁺²^，^∞⁺^∞^，^∞⁺^∞^，³

]

⁼³

D_D² =m in [d_DA +D¹_A，d_DB +D¹_B，d_DC +D_C¹，d_DE +D¹_E，D¹_D] =^{m in}

[

^∞⁺⁰^，⁷⁺²^，^∞⁺³^，¹⁺^∞^，^∞

]

⁼⁹

DE² =m in [d_EA +D¹_A，d_EB +D¹_B，d_EC +D_C¹，d_ED +D¹_D，D¹_E]

=^{m in}

[

^∞⁺⁰^，^∞⁺²^，³⁺³^，³⁺^∞^，^∞

]

⁼⁶

4、求三條路徑（Three-arc）可到達的最短路徑（h=3）： D_A³ =0 （初值）

D_B³ =m in [d_BA +D_A²，d_BC+D_C²，d_BD +D_D²，d_BE +D_E²，D_B²] =^{m in}

[

²⁺⁰^，⁴⁺³^，^∞⁺⁹^，^∞⁺⁶^，²

]

⁼²

DC³ =m in [d_CA +D²_A，d_CB +D_B²，d_CD +D_D²，d_CE +D_E²，D_C²]

=^{m in}

[

³⁺⁰^，^∞⁺²^，^∞⁺⁹^，^∞⁺⁶^，³

]

⁼³

DD³ =m in [d_DA +D²_A，d_DB +D_B²，d_DC +D_C²，d_DE +D_E²，D_D²]

=^{m in}

[

^∞⁺⁰^，⁷⁺²^，^∞⁺³^，¹⁺⁶^，⁹

]

⁼⁷

D_E³ =m in [d_EA +D²_A，d_EB +D_B²，d_EC +D_C²，d_ED +D_D²，D_E²]

=^{m in}

[

^∞⁺⁰^，^∞⁺²^，³⁺³^，³⁺⁹^，⁶

]

⁼⁶

5、下來求四條路徑(Four-arc)可到達的最短路徑(h=4)，我們得到對所有節點都有

4 3

i D

D = 的結果，故演算法結束，各節點到節點 A 的最短路徑值即為D 的值，_i⁴ 演算法示意圖如圖 7.2 所示：

D¹_B =2 D¹_D =∞ D_B² =2 D_D² =9 2 2 7

D¹_A =0 3 D_A² =0 3

D_C¹ =3 D¹_E =∞ D_C² =3 D_E² =6 One-arc Two-arc

D_B³ =2 D_D³ =7 D_B⁴ =2 D_D⁴ =7 2 2

1 1 D_A³ =0 3 3 D_A⁴ =0 3 3

D_C³ =3 D_E³ =6 D_C⁴ =3 D_E⁴ =6

Three-arc Four-arc 圖 7.2 Bellman-Ford 演算法示意圖

B D

C E

B D

C E

A A

B D

C E

7.2.2 Dijkstra's 演算法

Dijkstra's 演算法的概念，是以目前最近的節點向外擴張，即將目前所剩節點中，選出最短距離者加以擴張，每擴張一個節點，就比較「目前所剩節點到達目的節點的距離」與「由此節點經過擴張節點再到達目的節點的距離」，取其最短者。所以此演算法是以一個階段一個階段，漸漸增加路徑長度的方式，來求其最短路徑。現在我們就來探討此一演算法，解決從所有節點到節點 A 的最短路徑的方式。

7.2.2.1 參數定義：

1、所有路徑長度都不為負值，且目的節點為 A。

2、N 表網路上所有節點數。

3、S 為一陣列，用以放置已處理完畢的節點。

4、T 為一陣列，用以放置尚未處理之節點 (與 S 互為補數 ) 5、D 及_i D 表節點 i 或節點 j，到目的節點 A 的最短路徑。 _j

6、d 表節點 i 到節點 j 的路徑長度，若 i=j 則_ij d =0。若節點 i 到節點 j，沒有 _ij

直接相連的路徑，則d_ij =∞。 7.2.2.2 演算法說明：

1、設定初值：

(1) 由網路圖得知所有的節點 i 至節點 j 之路徑長度，以d 表之。 _ij (2) 令 S={A}，T=N-S。

(3) 令D_A =0。

(4) 令D_j =d_jA對所有的 j≠A。

2、在 T 中尋找下一個最近節點，並將此節點移至 S 內 D_i =m in _j_∈_T[D ]對所有的_j i∈T 。

3.、T 不為空集合，則針對 T 內節點進行路徑長度修正，公式如下：

對所有的 j∈T ，D_j =m in _j_∈_T[D，_j d_ji +D_i]。

4、重複步驟 2、3，直至 T 為空集合(或 S=N)為止。

7.2.2.3 範例說明：

我們仍然運用圖 7.1 的網路圖，來說明 Dijkstra's 演算法的推演過程：

1、設定初值：

N={A，B，C，D，E}

S={A} //A 為目的節點

T={B，C，D，E} //此為尚未處理的節點的集合

DA ；D B =dBA =2；DC =dCA =3；DD =dDA =∞；DE =dEA =∞ 2、在 T 中找出距離 A 最近的節點，因D ，_B D ，_C D ，_D D 中_E D 為最小， _B 故選擇 B 節點

D_i =m in _j_∈_T[D ]，_j i∈T

=min{D ，_B D ，_C D ，_D D }=min{2，3，∞，∞}=2 _E 所以 i=B，將 B 節點移至 S 內

⇒S={A，B}；T={C，D，E}

3、T 不為空集合，則針對 T 內節點進行路徑長度修正公式：對所有的 j∈T ，D_j =m in _j_∈_T[D_j，d_ji +D_i] ⇒ DC ⁼^{m in}

[

DC^，dCB ⁺DB

]

⁼^{m in}

[

³^，^∞⁺²

]

⁼³

DD ⁼^{m in}

[

DD^，dDB ⁺DB

]

⁼^{m in}

[

^∞^，⁷⁺²

]

⁼⁹

DE ⁼^{m in}

[

DE^，dEB ⁺DB

]

⁼^{m in}

[

^∞^，^∞⁺²

]

⁼^∞

4、在 T 中找出距離 A 最近的節點，因D ，_C D ，_D D 中_E D 為最小，故 _C 選擇 C 節點

D_i =m in _j_∈_T[D ]，_j i∈T

=min{D ，_C D ，_D D }= min{3，9，∞}=3 _E 所以 i=C，將 C 節點移至 S 內

⇒ S={ A，B，C }；T={ D，E }

5、T 不為空集合，則針對 T 內節點進行路徑長度修正公式：對所有的 j∈T ，D_j =m in _j_∈_T[D，_j d_ji +D_i]

⇒ DD ⁼^{m in}

[

DD^，dDC ⁺DC

]

⁼^{m in}

[

⁹^，^∞⁺³

]

⁼⁹

DE ⁼^{m in}

[

DE^，dEC ⁺DC

]

⁼^{m in}

[

^∞^，³⁺³

]

⁼⁶

6、在 T 中找出距離 A 最近的節點，因D ，_D D 中_E D 為最小，故選擇 E 節點 _E

T j

Di =m in _∈ [D ]，_j i∈T

=min{D ，_D D }= min{9，6}=6 _E 所以 i=E，將 E 節點移至 S 內 ⇒ S={ A，B，C，E }；T={ D }

7、T 仍不為空集合，則針對 T 內節點進行路徑長度修正公式：對所有的 j∈T ，D_j =m in _j_∈_T[D_j，d_ji +D_i]

⇒ DD ⁼^{m in}

[

DD^，dDE ⁺DE

]

⁼^{m in}

[

⁹^，¹⁺⁶

]

⁼⁷

8、因 T 中只剩 D 節點(D 的值最小)，所以只能選擇 D 節點 _D D_i =m in _j_∈_T[D ]，_j i∈T = min{D }= min{7}=7 _D

所以 i=D，將 D 節點移至 S 內 ⇒ S={A，B，C，E，D}；T={}

9、T 為空集合則結束，此時D 內的值即為最短路徑值，其演算法示意圖如圖 _i 7.3 所示。

D_B =2 D_D =∞ D_B =2 D_D =9 2 2 7

D_A =0 D_A =0

3 3

D_C =3 D_E =∞ D_C =3 D_E =∞

i = B i = C D_B =2 D_D =9 D_B =2 D_D =7 2 2

1 D_A =0 3 3 D_A =0 3 3

DC =3 DE =6 DC =3 DE =6

i = E i = D 圖例說明：目前計算路徑最短路徑

圖 7.3 Dijkstra’s 演算法示意圖 7.2.3 Floyd's 演算法

Floyd's 演算法是計算所有點到所有點的最短路徑，其基本想法是認為：「如果 k 點是 i 到 j 上最佳路徑的一點，則 i 到 k 及 k 到 j 之路徑，均為最佳路徑」。所以其路徑的求得係以「前一次 i 點到 j 點間的距離

(

^Dk₋1

[ ]

ⁱ，^j

)

」與「前一次由 i 點經過 k 點到 j 點的距離

(

^Dk₋₁

[ ]

ⁱ，k +^Dk₋₁

[ ]

^k，^j

)

相比較，取其較小者。故有下列 Floyd's 方程式：

B D

C E

B D

C E

A A

B D

C E

D_k

[ ]

i，j =^{m in}

(

D_k₋1

[ ]

i，j，D_k₋1

[ ]

i，k +D_k₋1

[ ]

k，^j

)

演算法步驟：

procedure Floyd((L[1..n，1..n]) array D[l..n，1..n]

D← L //D 儲存各點至其他各點之最短路徑值 for k← l to n do

for i← l to n do for j← l to n do

D[i，j] ← min(D[i，j]，D[i，k] + D[k，j]) return

在文檔中題目：智慧型 e 化車輛導航系統研究 (頁 87-97)

第七章 最短路徑規劃

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第七章最短路徑規劃