受中點側力之曲梁在完整的平衡路徑上之臨界狀態

6.2.1 極限點的摺線及轉折點L ^T

圖6-12為  20的曲梁受中點側力P時，位移-負載曲線上的極限點在 無因次負載

EI PL_T²

-無因次跨度 L_T 平面的摺線圖，在圖中同一個/L_T^對應 的二個負載，為位移-負載曲線上，二個極限點之無因次負載，摺線的尖端

) 20 (

L^T  稱為  20之極限點的轉折點，在轉折點，上下二個極限點退化成 一點，該點對應的跨度 L_T ^為 ^{ 20}時，極限點開始發生的跨度，若跨度 大於該跨度，則位移-負載曲線上沒有極限點。文獻[14]提到當極限點摺線 上的兩點在其轉折點的兩側時，此兩點的切線解r_T K_T^1P中，對應參考負 荷自由度的元素會變號，由本文的數值分析中發現確有此特性，所以本文 中用此特性來決定極限點摺線上的轉折點。在  20之轉折點對應的平衡 位置，稍微改變曲梁端點轉角(例如 19)，可求得 19在

EI PL_T²

- L_T ^平

面之摺線及轉折點，重複上述步驟，即可得到不同的L^T()對應的跨度及負 載。圖6-13為極限點與其轉折點L 在負載^T

EI PL_T²

-跨度 L_T ^{平面的摺線。}

6.2.2 分歧點的摺線、轉折點B 及分歧點在穩定區發生的臨界點^T B^L         圖6-14為  20的曲梁受中點側力P時，位移‐負載曲線上的分歧點在

EI PL_T²

‐ L_T 平面的摺線圖，在圖中同一個/L_T對應的二個負載，為位移-負 載曲線上，二個分歧點之無因次負載，摺線的尖端B^T(20 稱為)   20之分 歧點的轉折點，在轉折點，上下二個分歧點退化成一點，該點對應的跨度

LT

 ^為 ^{ 20} 時，分歧點開始發生的跨度，若跨度大於該跨度，則位移-負載曲線上沒有分歧點。由本文的數值分析中發現，當分歧點摺線上的兩 點在其轉折點的兩側時，此兩點的切線解r_T K_T^1P中，對應參考負荷自由 度的元素不會變號，所以本文中以跨度為負載參數，使用二分法，求得分 歧點在 EI

PL_T²

‐ L_T ^{平面摺線的轉折點B 。在T}  ^{ 20}之轉折點對應的平衡位 置，稍微改變曲梁端點轉角(例如  21)，可求得  21時，分歧點在

EI PL_T²

‐ L_T 平面的摺線及轉折點，重複上述步驟，即可得到B^T()對應的跨

度及負載。圖6-15為分歧點與其轉折點在在負載 EI PL_T²

-跨度 L_T ^平面的摺 線。 

圖6-16為將圖6-12及圖6-13中，  20時，

EI PL_T²

‐ L_T ^{平面的極限點與} 分歧點的摺線畫在同ㄧ圖中，圖中可以發現兩條曲線相切在B 、^L_U B ，相^L_D 切時的物理意義為極限點與分歧點同時發生。令_S、_A分別為結構在平衡

路徑上對稱振態及反對稱振態之最小自然振動頻率，在極限點摺線上，

0

S ，在對稱變形的不穩定區，_S² 0在對稱變形的不穩定區，_S² 0， 在分歧點摺線上_A 0。圖6-17為在分歧點摺線_S²‐ L_T ^與最²A‐ L_T ^曲 線，因為在分歧點摺線上，所以_A 0，當_S也同時為0時，即是切點B 、^L_U

L

B 。由圖6-16可見，當跨度D  L_T ^{介於對應於切點}B 和轉折點^LU B^T對應的跨 度 L_T 間時，分歧點對應的挫屈負載小於極限負載，且由圖6-17可見，在 該跨度間_S² 0，故當  20，在該跨度 L_T 間，平衡路徑上極限點會先 發生，分歧點發生在不穩定區；當跨度 L_T ^{小於轉折點B 對應的T} B 跨度^LU

LT

 時，分歧點對應的挫屈負載小於極限負載，且由圖6-17可見，在該跨 度間_S² 0，故當  20，在跨度 L_T ^小於切點B^LU(B )對應的跨度^L  L_T 時，平衡路徑上分歧點會比極限點先發生，即發生在穩定區。隨著增加，

分歧點的摺線會逐漸變形，出現上下兩個轉折點B 、^T_U B (=^T_D B )，圖6-18^T 為  76時，極限點與分歧點的摺線，由圖6-18可以發現當跨度 L_T ^小於

對應B 與^T_U B 的^T_D /L_T時，有ㄧ小區間的跨度對應兩個極限點、四個分歧點。

由本文的數值分析中發現，若分歧點摺線上的兩點在切點B 兩側時，此兩^L_U 點的切線解r_T K_T^1P中，對應參考負荷自由度的元素會變號，因此本文中 沿用與求極限點的轉折點L 同樣的方法來決定^T B ，^L_U B 即是分歧點在穩定^L_U 區發生的臨界點B 。圖6-19為極限點的轉折點^L L 、分歧點的轉折點^T B^T_U、

T

B (=D B )、及分歧點在穩定區發生臨界點，切點^T B (=^L B )在^L_U - L_T ^平面 的摺線（相圖）。由圖6-19可以發現B 大約開始出現於^T_U   74，B 在^T_D 很 小時即已出現，到 120仍存在，但是在 120附近，當跨度 L_T ^小於 對應B 、^L B^T_U、B^T_D的/L_T時，結構在到達第二分歧點前，通常已經歪斜，

且不會回到對稱的主平衡路徑（詳見6.2.3節），所以在實驗上很難被觀測到。

6.2.3 曲梁由分歧點進入不對稱狀態後，再回到對稱狀態的臨界點A 、^R A^L 曲梁由分歧點進入次要平衡路徑後，會從對稱狀態變成不對稱的歪斜 狀態，若持續施加負荷，曲梁可能由歪斜回到對稱狀態，也可能一直歪斜，

無法再回到對稱狀態。圖6-20為  20、/L_T 0.35^{時，曲梁中點C的負荷} -側向位移曲線圖，圖6-21為對應圖6-20的曲梁的變形圖，圖6-20中，B 為¹ 主平衡路徑上第一個分歧點，L 為次要平衡路徑上第一個極限點，由圖6-21¹ 可以發現曲梁在歪斜後不會回到對稱。圖6-22為  20、 0.44

LT

 _時，曲

梁中點C的負荷-側向位移曲線圖，圖中B¹為主平衡路徑上第一個分歧點，L¹ 為次要平衡路徑上第一個極限點，曲梁的變形在通過極限點後，會由不對 稱變形漸漸的回到對稱的變形。圖6-23為對應圖6-22各點的曲梁的變形圖。

圖6-24為  20時的負荷-側向高度曲線圖，由圖6-24可以發現在 415

. 0 /

35 .

0  L_T  時平衡路徑將不會回到對稱，0.416/L_T 0.45^時平衡 路徑會回到對稱，圖6-25為圖6-24中次要平衡路徑上第一個極限點(平衡路 徑上第二個臨界點)的摺線，圖6-26是次要平衡路徑上第一個臨界點在

EI PL_T²

-跨度 LT

 的摺線，摺線的轉折點A^R為平衡路徑是否回到對稱的臨界點，但

是由圖6-26可以發現0.415/L_T 0.418時會有三個臨界點，例如點B、D、

F為 0.417 LT

 的三個臨界點。圖中虛線部分的臨界點中，下面的部分（曲

線CDE）為分歧點，上面的部分（曲線EFG）為極限點。圖6-27為  20、 417

.

0 LT

 _{時，曲梁中點}

C的負荷-側向位移曲線圖，圖中B 為主平衡路徑¹

上第一個分歧點，L 為次要平衡路徑上第一個極限點，曲梁的變形在通過¹ 極限點後，會由不對稱變形漸漸的回到對稱的變形，L 為次要平衡路徑第² 二個極限點，L 、² B 是經由延伸矩陣針對極限值所求出，其中² B 為次要平² 衡路徑上第二個分歧點，實際計算不同

LT

 之梁的平衡路徑時，結構是否回

到對稱的臨界點發生在A ，圖6-26中，虛線部分為經由延伸矩陣針對極限^L 值所求出，不過這些點上結構繼續施加負載，依然會產生平衡路徑，圖6-28 為對應圖6-26的最小自然振動頻率模態，可以發現在A 時參考負荷自由度^L 剛好會為0，故可以使用振動模態取代切線解當作收斂判別條件，而摺線上 的尖點A^R則使用二分法求出。圖6-29為  20、60 時平衡路徑上第二個 臨界點負載的摺線，與摺線的兩個臨界點A 、^R A 的負載-跨度摺線，圖6-30^L 為A 、^R A 的角度-跨度摺線。 ^L

6.2.4 由分歧點進入次要平衡路徑後結構是否穩定的臨界點S

曲梁在第一個分歧點進入次要平衡路徑後如果是穩定的，則歪斜的現 象在實驗中將被觀測到，圖6-31為曲梁在  20時進入次要平衡路徑的負 荷-側向高度曲線圖，可以發現/L_T 0.55時第二個極限點消失，表示平衡 路徑在分歧點之後斜率是負的，即曲梁的結構為不穩定，圖6-32為曲梁在



  20 時各種臨界點在負載 EI

PL_T² _-跨度 LT

/ 平面上的摺線圖，由圖可以發 現點S是第平衡路徑上二個極限點出現的地方，同時也是由分歧點進入次要 平衡路徑後結構是否穩定的臨界點，這個負載-跨度的相圖中同時也反映出

LT^、B^T、B^L、A^R、A^{L各個轉折點。}

圖6-33為全部臨界值轉折點在角度 -跨度/L_T^{平面上的摺線圖，圖} 6-34為本文結果與文獻[32]、[33]結果比較圖，黑色方塊為文獻[33]的結果，

空心圓形為文獻[32]的結果，黑色實線點為本文的結果，可以發現本文分析 結果與文獻[32]、[33]大部分的情形相當接近，將每一種物理行為的區塊都 區隔出來，但是也與與文獻上結果存在一些差異，本文將會在下面解釋這 些細節。

在文獻中[33]提到的B區，即本文中L 左側、^T B 右側、S右側所包括的^TU

區域，在最小能量法的計算中平衡路徑會有一個有跳躍現象，但是跳躍前 後都保持對稱，在線性穩定分析中B區包含II、III區，II區是對稱的特徵值 先變號，表示結構跳躍行為開始後仍保持對稱，III區則是反對稱的特徵值 先變號，表示結構開始跳躍行為時也同時歪斜，本文的點B^{L為極限點與分} 歧點同時發生的點，區隔II、III區，由圖6-16與圖6-18可以發現在固定角度 時，分歧點的轉折點B 會發生在^T B 與^L L 中間，當^T /L^T介於_{B 與}^T _{B 間時，}^L 表是結構在不穩定的跳躍過程中，先是保持對稱，接著會變成不對稱，這 個現象在實驗中不會被觀測到，故文獻[33]和[32]都沒有B 這條摺線。 ^T_D 當B 出現後，當角度中^T_U B 同時存在時，表示對稱結構的平衡路徑中^T_D 會有二個分歧點，通常第二個分歧點會發生在不穩定區，即平衡路徑會先 歪斜再回到對稱，接著發生跳躍現象，然後在不穩定的跳躍過程中又遇到 分歧點變成歪斜，最後又回到對稱的穩定狀態，但實際分析平衡路徑後，

結構在歪斜後是否回到對稱會先受到轉折點A 影響，若結構在歪斜後不會^L 回到對稱，則第二個分歧點便不會在主要平衡路徑上發生，同時在約



 140 時，A 與^L B 會重合。 ^TU

文獻[32]的IV區在線性穩定分析與最小能量法兩種方法的計算結果是 互相抵觸的，線性穩定分析預估結構會先歪斜，接著回到對稱，接著再發 生跳躍行為，但是最小能量法顯示結構歪斜後便不會再回到對稱，文獻[32]

認為可能是個亞穩態的區域，IV區在本文中分成二個區塊，右下角為B 左^T_U

側、B 右側、^L A 右側圍成的小型狹長區域，因為在^L A 的右邊，所以結構^L 會回到對稱，又因為在B 左側，所以本區域中的結構平衡路徑即同文獻[32]^T_U 以線性穩定分析的結果，在IV區的左上角，以B 右側、^L A 左側、^L L 左側^T 圍成的區塊，則因為在A^L的左邊，則平衡路徑歪斜後便不會回復對稱，與 最小能量法的分析相同，本文的結果解釋了文獻[32]兩種方法互相抵觸的部 分，同時對照文獻[33]的結果，實驗觀測到的行為與B 左側、^T_U B 右側、^L A^L

側、B 右側、^L A 右側圍成的小型狹長區域，因為在^L A 的右邊，所以結構^L 會回到對稱，又因為在B 左側，所以本區域中的結構平衡路徑即同文獻[32]^T_U 以線性穩定分析的結果，在IV區的左上角，以B 右側、^L A 左側、^L L 左側^T 圍成的區塊，則因為在A^L的左邊，則平衡路徑歪斜後便不會回復對稱，與 最小能量法的分析相同，本文的結果解釋了文獻[32]兩種方法互相抵觸的部 分，同時對照文獻[33]的結果，實驗觀測到的行為與B 左側、^T_U B 右側、^L A^L