本文採用一致性共旋轉有限元素法，探討不同細長比、不同壓縮位移 的非淺挫屈梁之初始變形及自然振動頻率及振態、挫屈梁受中點側力的非 線性反應及平衡路徑上的各種臨界點在負荷－跨度(壓縮位移)平面的褶 線，還有探討不同跨度及固端轉角的曲梁受中點側力的非線性反應及平衡 路徑上的各種臨界點在固端轉角－跨度平面的褶線。
本文在當前的元素座標上，以尤拉梁正確的變形機制、非線性梁理論 的一致線性化及虛功原理推導梁元素節點慣性力和節點變形力。本文用牛 頓—拉福森法配合弧長控制法的增量迭代法解非線性平衡方程式，求得完 整的平衡路徑，並用延伸系統法，求得平衡路徑上臨界點的摺線與摺線的 轉折點，探討不同跨度的挫屈梁與不同跨度及固端轉角的曲梁之各種臨界 狀態及負載。
由本研究可以得到以下結論：
1. 本文非淺挫屈梁之初始變形的結果與文獻上假設梁無伸長變形之結 果非常接近，所以非淺挫屈梁的變形主要應是撓曲變形。
2. 非淺挫屈梁之軸向正向力的分佈有相當的變化，所以非淺挫屈梁之 振動分析，不應假設其分佈是均勻的。
3. 淺挫屈梁之無因次化自然振動頻率，僅與挫屈梁的拱起高度和梁斷 面厚度的比值( /h)有關，與梁的細長比()無關，這與文獻上的結 論相同。但非淺挫屈梁，即 /h較大的挫屈梁， /h相同但不同 時，其無因次化自然振動頻率不同；當挫屈梁的拱起高度和梁長度 的比值( /LT)較大時，非淺挫屈梁之無因次化自然振動頻率，僅與 挫屈梁之 /LT的比值有關，與梁的細長比()無關。所以淺挫屈梁 與非淺挫屈梁應採用不同的無因次化側向變形，不同細長比的挫屈
梁才有相同的無因次化自然振動。
4. 不同細長比的挫屈梁受側力時，其平衡路徑上之臨界點對應的無因 次化負載與無因次化高度很接近。臨界點摺線的轉折點對應的壓縮 位移，為挫屈梁之平衡路徑上出現臨界點的門檻。
5. 本文分析不同跨度及固端轉角的曲梁受中點側力的非線性反應，及 平衡路徑上的各種臨界點在固端轉角－跨度平面的褶線，由本文的 結果可以解釋文獻上實驗的各種結果，及檢驗文獻上不同分析方法 得到的結果之正確性。同時本文非線性分析的結果亦提供了文獻上 實驗沒有或很難觀測到的現象，及線性穩定分析或最小能量法無法 得到的結果，如在不穩定區及不對稱區的行為。
本文只有由挫屈梁之初始變形與自然振動分析，去檢驗文獻上用假設
模態法探討挫屈梁之非線性振動行為時，挫屈梁的初形、假設模態、軸力 變化與自然振動頻率等基本假設是否恰當，若要檢驗動態分析的結果，則 需進行挫屈梁的動態歷時分析及穩態分析。
參 考 文 獻
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圖 1-1 直梁一端受軸向壓縮及側向挫屈示意圖
) (a
) (b
C X
2X
2X
1X
1L
TA C B
A B
M
BM
AP
b
h
0.00 0.0
b
ah v
C P
b
a
L
b1B
2bB
1bS
2aS
1L
a1L
a2S
2bL
b2
圖 1-2 挫屈梁受側向集中力 P 的位移-負荷曲線圖
圖 2-1 元素座標系統及總體座標系統關係圖
圖 2-2 梁的變形圖 2
O
x1
X1
Xo
Yo
X2
1 2
e
1 x2
1
P
Q y
x1
x2
s
) (x v )
(x xp
1 x2
x1
y x
Q
0.0 0.5 1.0
Modal deflection V(x)
x / L
Mode 2
Modal deflection V(x)
x / L
Mode 3
Modal deflection V(x)
x / L
Mode 4
Modal deflection V(x)
x / L
Mode 5
Model deflection V(x)
x / L
Mode 6
x / L
Modal deflection V(x)
圖 4-1 固端梁的挫屈模態
0 5 10 15 20 25 30
0 50 100 150 200
h
Analy.
0.0 0.5 1.0
0 20 40
圖 4-2 挫屈梁的
h 曲線
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
4 1 ( 10
2)
0.5 0.5 1 3 6
Analy.
12 3 12 3 8 3 8 3 4 3
v (x /
x L T
圖 4-3 挫屈梁的無因次側向位移
) (x
v 分佈圖
12 3 8 3 4 3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
4 1 ( 10
2)
- u (x ) /
0.5 0.5 1 3 6
12 312 3 8 3 8 3 4 3
x / L T
Analy.
4 1 ( 10
2)
圖 4-4 挫屈梁的無因次軸向位移
u(x)
分佈圖
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
0.5 10 ( 10
3)
L T P P CR
圖 4-5 挫屈梁的無因次端點軸向反力P /PCR-中點側向位移 /LT曲線
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.8
0.9 1.0 1.1
4 1 ( 10
2)
F (x ) P CR
x / L T
4 3 8 3 8 3 12 3 12 3
圖 4-6 挫屈梁的無因次端點軸向正向力F(x)/PCR-x /LT的分佈曲線
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 10 20 30 40 50 60 70
i/ ( EI / mL
T4)
1/2
圖 4-7 固端梁的無因次自然振動頻率i /(EI/mLT4)12-無因次壓縮量 )
/ ( cr
曲線
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
i/ ( EI / mL
T4)
1/2 h
Present
Present [43] Exp
[43][43]
[11]
[11]
圖 4-8 挫屈梁的無因次自然振動頻率i /(EI/mL4T)12-無因次側向位移 /h 的曲線( /h 3,i =1,2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 100 200 300 400 500 600
[11]
Present
i/ ( EI / mL
T4)
1/2 h
i = 1 i = 2 i = 3
i = 4 i = 5 i = 6 i = 7
圖 4-9 挫屈梁的無因次自然振動頻率i /(EI/mL4T)12-無因次側向位移 /h 的曲線( /h 8,i =1,7)
0 50 100 150 200
0 100 200 300 400 500
i = 6 i = 5
i = 4 i = 3
i = 2 i = 1
h
i/ ( EI / mL
T4)
1/2
圖 4-10 挫屈梁的無因次自然振動頻率i /(EI/mL4T)12-無因次側向位移 h
/ 的曲線( /h200,i =1,6)
0.0 0.1 0.2 0.3
0 100 200 300 400 500
i/ ( EI / mL
T4)
1/2 L T
i = 6 i = 5
i = 3
i = 4
i = 2 i = 1
圖 4-11 挫屈梁的無因次自然振動頻率i /(EI/mL4T)12-無因次側向位移 LT
/ 的曲線( /LT 0.3,i =1,6)
0.0 0.5 1.0
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
Mode 2 103U
V
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
0.0 0.5 1.0
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
Mode 1
102U V
Modal deflection U(x), V(x)
x / L
Mode 2
Modal deflection U(x), V(x)
102U
Modal deflection U(x), V(x)
102U
1 2 5 10 15 3 1
2
500
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
Mode 5
Mode 6
Mode 7
Mode 8
圖 4-14 挫屈梁的前八個振動模態( 500， 1 15 3
1 2 ，X2分量)
500
1 2 5 10 15
3 1
2
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
Mode 5
Mode 6
Mode 7
Mode 8
圖 4-15 挫屈梁的前八個振動模態( 500， 1 15 3
1 2 ，X1分量)
1 2 5 10 15 3 1
2
10
4
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
Mode 5
Mode 6
Mode 7
Mode 8
圖 4-16 挫屈梁的前八個振動模態( 10000， 1 15 3
1 2 ，X2分量)
20 40 100 200 300 3 1
2
10
4
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
Mode 5
Mode 6
Mode 7
Mode 8
圖 4-17 挫屈梁的前八個振動模態( 10000， 1 300 3
20 2 ，X2分
量)
20 40 100 200 300 3 1
2 4
10
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
Mode 5
Mode 6
Mode 7
Mode 8
圖 4-18 挫屈梁的前八個振動模態( 10000， 1 300 3
20 2 ，X1分
量)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0
1
2
3
4 -0.3
-0.2 -0.1
0.0 0.1 0.2 0.3
1
2
3 4
L P T
2 / E I
v C
h
圖 5-3 挫屈梁受側向負荷在多維度空間中平衡路徑與摺線關係圖
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 -0.3
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
P L CR
PL T 2 / EI
圖 5-5 挫屈梁的 EI PLT2
曲線及其極限點
0 2 4 6 8 10 -4
-2 0 2 4
CR L
C / h
L (2.55, 0.815)
L T (1, 0)
(2.045, 0)
CR
圖 5-6 挫屈梁臨界點在 h
C 平面的摺線圖( 10)
0 2 4 6 8 10 -8
-4 0 4 8
B
L(2.55, 0.575)
B
T(2.045, 0)
P B CR P L CR
PL T 2 / E I (1 0 3 )
L
T(1, 0)
圖 5-7 挫屈梁臨界點在 EI
PLT2
平面的摺線圖( 10)
0 20 40 60 80 0
2 4 6 8 10
0.5 10
C / h
CR
CR L
圖 5-8 不同細長比挫屈梁臨界點在 h
C 平面的摺線圖( 80)
0 20 40 60 80 0
1 2 3
P B CR P L CR
0.5 10
PL 2 / E I (1 0 4 )
圖 5-9 不同細長比挫屈梁臨界點在 EI
PLT2
平面的摺線圖( 80)
0 1 2 3 0
50 100 150 200
Analy.
CR L
CR
1 3 10
C / h
圖 5-10 不同細長比挫屈梁臨界點在 h
C 平面的摺線圖( 3104)
0 1 2 3 0
1 2 3 4 5 6
1 3 10
PL T 2 / E I (1 0 5 )
P L CR
P B CR
圖5-11 不同細長比挫屈梁臨界點在
EI PLT2
平面的摺線圖( 3104)
0 100 200 300 400
0.00 0.16 0.32 0.48 0.64 -0.08
-0.04 0.00 0.04 0.08
a b
c
d e
X
1X
2
圖5-13 挫屈梁受集中力矩 M 的結構變形圖
-8 -4 0 4 8
-0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 -8
-4 0 4 8
ML T / E I
C (rad)
a b
c
e
d
圖5-15 挫屈梁受集中力矩 M 的 T C
EI
ML 曲線圖
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0
40 80 120 160 200
l / L T
C
L
B
sB
u
圖 6-2 臨界點在- LT 平面的摺線([33]的實驗結果)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0
40 80 120 160 200
III D
I A
II B
III B III C
V IV
l / L T
圖 6-3 臨界點在- LT 平面的摺線(文獻[32]的分析結果)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
= 0
= 500
= 5818.96
/ h = 3
x / L T
v x / h
圖 6-4 挫屈梁之無因次側向位移 h
x v )(
分佈圖( h3、 0)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00
0.05 0.10 0.15
v( x ) / L T
l / L
T= 0.95 = 500
= 5818.96
= 20
ox / L T
圖 6-7 曲梁的無因次側向位移 LT
x v )(
分佈圖( LT 0.95， 20)
0.99990 0.99995 1.00000 0
1 2 3
l / (L T CR )
l / (L
T
CR) = 0.9999997 L
TPL T 2 / EI
= 0.1
10 6 3 1
圖6-8 極限點在 EI PLT2
-
CR
LT 平面的摺線圖( 0.1)
0.9990 0.9991 0.9992 0.9993 0.9994
0.984 0.986 0.988 0.990 14
15 16 17
PL T 2 / EI
l / (L T CR )
l / (L
T
CR) = 0.98952
= 20
10 6 3 1
L
T
圖6-10 極限點在 EI PLT2
-
CR
LT 平面的摺線圖( 20)
0.990 0.992 0.994 0.996 0.998 1.000 0
5 10 15 20
l / (L T CR )
1 6 10
L
T
圖6-11 極限點摺線的轉折點LT在
-CR
LT 平面上的摺線圖
0.965 0.970 0.975 0.980 0.985 0.990 0.995 0
10 20 30
PL T 2 / EI
L
T(20 )
l / L T
圖6-12 極限點在 EI PLT2
- LT 平面上的摺線圖( 20)
0.987 0.989 0.991 0.993 0.995 11
12 13 14
PL T 2 / EI
l / L T
L
T(18
L
T(20
L
T(19
L
T(17
L
T( )
圖 6-13 極限點與其轉折點在 EI PLT2
- LT 平面的摺線圖
0.965 0.970 0.975 0.980 0.985 0
10 20 30
PL T 2 / EI
l / L T
B
T(20 )
圖6-14 分歧點在 EI PLT2
- LT 平面上的摺線圖( 20)
0.96 0.97 0.98 10
15 20 25
PL T 2 / EI
l / L T
B
T(22 )
B
T(21 )
B
T(20
P
BCR(20 )
圖 6-15 分歧點與其轉折點在 EI PLT2
- LT 平面的摺線圖
0.97 0.98 0.99 0
10 20 30
PL T 2 / EI
l / L T
L
T(20 ) P
LCRB
LU(20 )
P
BCRB
T(20 )
B
LD(20 )
圖6-16 分歧點、極限點在 EI PLT2
- LT 平面上的摺線與其切點、轉折點
( 20)
0.97 0.98 0.99 -0.02
-0.01 0.00 0.01
l / L T
A
B
T(20 ) B
LD(20 )
B
LU(20 )
S
圖6-17 分歧點摺線上對稱及反對稱振態之自然振動頻率的平方S2與A2 -跨度 LT 的變化圖( 20)
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0
40 80 120 160
PL T 2 / EI L
T(76 )
B
LD(76 ) B
LU(76 )
B
TU(76 )
l / L T
P
BCRP
LCRB
TD(76 )
圖6-18 分歧點、極限點在
EI PLT2
- LT 平面上的摺線與其切點、轉折點
( 76)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0
50 100 150 200 250
-v C / L T
PL
2 T / EI
A
B(B
1) C
D
E F(L
1)
G
H
圖6-20 曲梁中點 C 的負荷-側向位移曲線圖（ 20， 0.35
LT
）
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0
0.1 0.2 0.3
X
2A
B C
D
E
F G
X
1H
圖6-21 曲梁的變形圖( 20， 0.35 LT
)
0.0 0.2 0.4 0.6 -200
-100 0 100 200
G(B
2)
-v C / L T
A
B(B
1)
C D(L
1)
E
F
PL
2 T / EI
圖 6-22 曲梁中點 C 的負荷-側向位移曲線圖( 20， 0.44
LT
)
-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2
-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
A
B C
D E
F
G
X
2X
1
圖6-23 曲梁的變形圖( 20， 0.44 LT
)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 100
150 200 250
C L T PL T 2 / EI
P CR l / L
T0.35 0.39 0.415 0.416 0.43 0.45
圖6-24 曲梁中點 C 的負荷-側向高度曲線（ 20， 0.35~ 0.45 LT
）
0.05 0.10 0.15 0.20
0.410 0.415 0.420
0.0 0.1 0.2 0.3 50
100 150 200 250 300
-v C / L T
B
1PL T 2 / EI
L
2B
2L
1
圖6-27 曲梁中點 C 的負荷-側向位移曲線( 20， 0.417
LT
)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 -0.02
-0.01 0.00 0.01 0.02
x / L T
A B
C F
E D
v ( x )
圖6-28 對應圖 6-26中 A~F各點的最小自然振動頻率之振態
0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 175
200 225 250 275
PL T 2 / EI
A
R(20 )
A
L(20 ) P
CR(60 )
P
CR(20 )
l / L T
A
R( )
A
L( )
圖6-29 次要平衡路徑上第一個臨界點在
EI PLT2
- LT 平面上的摺線
（ 20、 60）
0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
l / L T
A
RA
L
圖6-30 轉折點 AL、AR在 LT
平面上的摺線