挫屈梁受集中負荷之非線性分析

2 N m

E  ，密度 7.87410³kg/m³，長度L_T 0.64m，斷面寬 度b1.9510^2m，高度h 12L_T ，其中為細長比。在分析時除另有 說明外，都使用斷面高h3.8110^4m，細長比 5818.96的梁，並將其 離散為 64 個元素。

5.1 挫屈梁受集中負荷之非線性分析

本節將探討不同細長比、不同軸向壓縮 (拱起高度 ^{)的挫屈梁，中點} C受到側向集中負荷P時的平衡路徑及臨界負載（如圖5-1（b））。令 為挫 屈梁中點C的初始側向高度，C、v_C、u_C分別為為中點C受負荷P後的側向

 

負荷 EI

PL_T² -側向位移 h

v_C

 曲線，其中  _CR，_CR為第一個側向挫屈模

態發生時的軸向壓縮量，由圖5-2可以發現平衡路徑上的臨界點發生情形隨

 不同而有變化，  1.7、2.2和3都存在兩個極限點L^_j, j u,d，但是分歧 點B^_j , ju,d只發生在  2.2和3，而分歧點發生極限點之前，意即分歧點 發生在穩定區則只有在 _{3時。在研究不同} 的挫屈梁受側向負荷的非線 性行為時，比較有價值的資料通常是隨著 變化的各個臨界點，例如進入 次要平衡路徑的分歧點，或是發生跳躍現象的極限點，但是如果隨著邊界 條件或是結構材料常數的改變，每次都重新計算平衡路徑，將花費龐大的 計算量，因此本章使用第三章3.1.4節的延伸系統與3.1.5節的延伸系統延遲 分解法，延伸系統為將平衡方程式加上輔助條件的廣義增量迭代法，再以 3.1.8節的臨界值直接計算法當作輔助條件，直接由臨界點上取得猜值做增 量迭代，計算下一個邊界條件或結構條件上的臨界點，同時以3.1.12節的 (3.1.44)式來判別臨界點是極限點或是分歧點。圖5-3將不同 的挫屈梁平衡 路徑視為多維度空間中的曲面，空間中臨界點的集合即為摺線（fold lines）， 廣義增量迭代法可以沿著摺線追蹤不同 的臨界點。圖5-4為圖5-3在負載與 側向位移平面上的投影，圖5-5為圖5-3在負載與軸向壓縮平面上的投影，透 過投影我們可以把空間中的摺線對應我們需要的參數上。

圖 5-6 為 10時挫屈梁中點 C 的初始側向高度、分歧點高度_CR^B 與 極限點高度_CR^L 在無因次化高度

h

C

-軸向壓縮位移 平面的摺線圖，圖 5-7 為 10時挫屈梁的分歧點負載P_CR^B 與極限點負載P_CR^L 在無因次化負載

EI  PL_T²

-軸向壓縮位移 平面的摺線圖，圖 5-6,5-7 中 L^T點是極限點摺線的 轉折點（turning point），也就是極限點在軸向壓縮位移逐漸增加時開始發生

的地方，由圖 5-6,5-7 可發現挫屈發生後（ 1）後極限點就出現了， B^T 點是分歧點摺線的轉折點，即是分歧點在軸向壓縮增加時開始出現的地 方，大約出現於 2.045，該點對應的端點軸向壓力為固端受軸向壓力的 第二個挫屈負荷

2

766 . 80

L

EI，該點對應的P_CR^B 0。B^L點則為分歧點和極限點相 交的地方，表示這個點在平衡路徑上既是分歧點也是極限點，由這些臨界 點的轉折點 B^L、L^T、B^T可以發現在2.045 2.55時分歧點高度比極限點 低，所以在結構施加往下的負載時會先碰到極限點，表示平衡路徑上分歧 點會發生在極限點之後，即結構歪斜的現象會發生在平衡路徑的不穩定區 內，在  2.55則是平衡路徑上分歧點會先發生。

圖 5-8 為 80時， 500,10⁴的挫屈梁中點 C 的初始側向高度 、分 歧點高度_CR^B 與極限點高度_CR^L 在無因次化高度

h

C

-軸向壓縮位移 平面 的摺線圖，圖 5-9 為同情形下分歧點負載P_CR^B 與極限點負載P_CR^L 在無因次化

負載 

EI PL_T²

-軸向壓縮位移 平面的摺線圖，在 80（ 10 h

 ）時，500

的挫屈梁最大撓曲應變由（4.12）式可知約為510^3，仍在結構的彈性範 圍內，由圖 5-8,5-9 可以得知在 80時500的臨界點的無因次化結果與

104

  的結果相當吻合，故可以得知在彈性範圍內，不同細長比的挫屈梁 臨界點的負載與高度的無因次化結果很接近。

圖 5-10 為 1000,3000,10⁴ 的 梁 結 構 在 310⁴（ 拱 起 高 度 約

200 h

 ）時中點 C 的分歧點高度_CR^B 與極限點高度_CR^L 在無因次化高度

h

C

-軸向壓縮位移 平面上的摺線圖，圖中也加入中點 C 初始側向高度的

解析解_Analy.供參考比較，圖 5-11 為同情形下分歧點點負載P_CR^B 與極限點負

載 P_CR^L 在無因次化負載  EI PL_T²

-軸向壓縮位移 平面上的摺線圖，由圖 5-10,5-11 可以發現當 210³時，不同細長比的臨界點無因次化高度與負 載幾乎重合，但是當 210³時， 1000的結果與 3000,10⁴的結果逐 漸分歧，而當 110⁴時，3000的結果與 10⁴的結果差異也越來越 大，故可知隨著無因次軸向壓縮距離 的增加，不同細長比的無因次化臨 界點摺線差異也逐漸增加，細長比越小的，差異越大。

由圖 5-10 也可知隨著 的增加，挫屈梁的初始高度 摺線與分歧點高 度_CR^B 摺線始終很接近，但是極限點高度_CR^L 的摺線則與初始高度 摺線差 距越來越大，同時由圖 5-11 可以發現極限點負載P_CR^L 與分歧點負載P_CR^B 差異 越來越大，表示隨著結構拱起高度越來越高，分歧點都還是很快就會發生，

但是極限點發生的高度越來越低，負載越來越大，表示越不容易發生。即 挫屈梁受側向及中負載時，在到達分歧點負載P_CR^B 時，即會由分歧點進入不 對稱的不穩定平衡路徑，再回到對稱的穩定平衡路徑。

5.2 挫屈梁受集中力矩之非線性分析