挫屈梁受集中力矩之非線性分析

h

 的挫屈梁上中點上架設一顯微鏡片，接著

在施加一個集中力矩將鏡片旋轉一個角度，文中將挫屈梁視為非線性彈 簧，用實驗測量及內插法求此非線性彈簧之位移負荷曲線，但是並沒有數 值模擬的結果，為了了解非淺挫屈梁集中力矩與旋轉位移之間的關係，本 節在挫屈梁結構中點C上施加一個集中力矩M（如圖5-1（c）），來探討挫屈 梁受到力矩的結構變化， 為挫屈梁在未受負荷情形下中點C的初始側向位 移，本節所分析的為無因次軸向壓縮  _CR 30000（ 5818.96，初 始高度 /h197）的挫屈梁，v_C、u_C、_C分別為為中點C受集中力矩M後

的側向、軸向與旋轉位移，圖5-12為受集中力矩M的挫屈梁中點C之無因次 化集中力矩

EI ML_T

-側向位移 h v_C

 曲線圖，圖5-13為對應圖5-13上各點的結構

變形圖，圖5-14為無因次化集中力矩 EI ML_T

-軸向位移 h u_C

曲線圖，由圖5-12 可以發現當施加集中力矩時，側向位移先增加，通過極限點之後側向位移 增加但力矩減少，在d點時結構的形狀剛好跟初始形狀透過X₁軸上下對稱，

接著平衡路徑上的側向位移又逐漸減少，回到初始位置a，圖5-15為無因次 化集中力矩

EI ML_T

-旋轉位移_C曲線圖，可以發現變形過程中集中力矩與旋 轉位移非常接近線性關係。

  第六章      彈性固端曲梁受中點側力的穩定性分析 

Pippard [33]的實驗中，將如圖 6-1(a)所示長度為L_T之長方形斷面的細 長直梁兩端施加軸向壓縮位移 及轉角，使其形成跨度為  、兩端轉角為

的固端曲梁（如圖 6-1(b)），然後在其中點 C 施加側向力負載 P，在加載 過程中，轉角或/及無因次跨度 L_T 不同的固端曲梁可能有不同的非線性 行為，例如: 結構由穩定變成不穩定，或結構由對稱或變成不對稱，即歪 斜，或結構有不同形式的的挫屈行為，如跳躍式挫屈或分歧式挫屈等。

圖 6-2 為文獻[33]由實驗在- L_T 平面得到的摺線，即不同的穩定或不穩 定行為發生時，轉角及跨度 L_T 的臨界值，文獻[33]中稱其為相圖（phase diagram）。圖 6-2 中，C 區觀測到的變形為穩定的變形，沒有跳躍現象也沒 有歪斜，區域 L 在變形過程中有跳躍現象，不過會保持對稱，區域 B 則存 在分歧點，結構會歪斜，區域 B 又可分為B_u與B_s，其中區域B_u在結構歪 斜後馬上變成不穩定，區域B_s在結構歪斜後仍然會保持穩定，在圖 6-2 左 上角的虛線區域，結構歪斜後會自身互相接觸，無法繼續施加負載，圖 6-2 左上角的虛線為預估的猜測值。因文獻[33]的負載為力負載，故僅能觀察由 對稱的穩定平衡狀態進入對稱的不平衡狀態、或不對稱的平衡狀態或不平 衡 狀 態 。 文 獻 [33] 的 實 驗 採 用 兩 種 尺 寸 的 矩 形 梁 ， 其 彈 性 模 數 都 是

2 11 / 10 1 .

2 N m

E  ，第一種長度L_T 0.64m，斷面寬度b 1.9510^2m，斷 面高度h3.8110^4m，其細長比為 5818.96，第二種長度L_T 0.99m， 斷 面 寬 度 b2.5410^2m ， 斷 面 高 度 h3.8110^4m 其 細 長 比 為

2 .

9001

 ，文獻[33]提到這兩種尺寸的梁在- L_T ^{平面得到的摺線有細微} 的小差異，但主要行為結果與區塊是相同的，這可能是細長比不同造成的，

但因其細長比都相當大，故差異不大。文獻[33]中似乎沒有探討圖 6-2 是否 適用於細長比較小的梁。

文獻[32]使用線性穩定分析來探討文獻[33]的固端曲梁受中點側力時，

其平衡路徑上分歧點與極限點發生的位置，同時在數值計算過程中使用打 靶法（shooting method），尋找這些臨界點發生的臨界值，再搭配最小能量 法分析彈性梁穩定狀態下的最後變形，圖 6-3 為文獻[33]合併這兩個方法，

在- L_T 平面得到的摺線，其中黑色實線為線性穩定分析結果，區域 I 為 平衡路徑上不存在極限點與分歧點，所以變形是連續的，區域 II 為平衡路 徑上極限點先發生，所以有跳躍現象，區域 III 為平衡路徑上分歧點先發生，

所以結構會歪斜，菱形虛線為最小能量法的分析結果，區域 B 為結構在跳 躍前後(II B)或歪斜前後(III B)都是對稱的，區域 III C 為結構會先穩定歪斜 接著發生跳躍行為，最後再回到對稱，區域 III D 為構會先穩定歪斜，接著 發生跳躍行為，但最後不會回到對稱，由圖 6-3 可以知道兩種方法各有限 制，線性穩定分析無法區分歪斜後的區域 III B、III C、III D，最小能量無 法知道跳躍行為過程中的變形，所以無法區分 II B、III B，另外區域 IV、

V 在為文獻[33]的實驗中，結構在歪斜後會發生自身互相接觸，所以文獻[33]

在圖 6-2 中左上角以虛線為估測值。文獻[32]使用數值分析，不考慮結構的 自身互相接觸，可以得到明確的臨界值，但文獻[32]的 IV 區，在線性穩定 分析與最小能量法兩種方法的計算結果是互相抵觸的，線性穩定分析預估 結構會先歪斜，接著回到對稱，接著再發生跳躍行為，但是最小能量法顯 示結構歪斜後便不會再回到對稱，文獻[33]在部分 IV 區中觀察到對稱結 構，文獻[32]認為 IV 區可能是個亞穩態（metastability）的區域。

文獻[33]及[32]主要在探討細長比很大的曲梁，受中點側力時，穩定平 衡路徑上各種的臨界狀態在- L_T 平面的摺線，並未探討不穩定平衡路徑 的臨界狀態在- L_T 平面的摺線，文獻[33]及[32]亦沒有探討細長比對臨界 負載及臨界狀態的影響。

本章中將在 6.1 節探討細長比對曲梁受中點側力 P 之臨界負載及臨界狀

態的影響，試圖找出適用於不同的無因次位移、負載及跨度。在 6.2 節探 討不同及 L_T 之曲梁受中點側力 P 之完整的平衡路徑上各種臨界狀態發 生時對應的、 L_T ^及負載。

本章中使用 3.1.4 節的延伸系統與 3.1.5 節的延伸系統延遲分解法，以 3.1.8 節的臨界值直接計算法當作延伸系統的輔助條件。本章中使用的數值 程序可簡單說明如下（詳見第三章）：

(一)將側向力負載 P 視為變動的力負荷參數，求得在某ㄧ固定及 L_T ^之 平衡路徑上，臨界點的負載P 。在計算臨界值時，使用 3.1.10 節的免特徵_CR 值分析法，並搭配 3.1.11 節的子空間法，以節省計算時間，同時以 3.1.12 節的(3.1.45)式來判別臨界點是極限點或是分歧點。

(二)選一P_CR。

(三)將已得到的P_CR加上P_CR後，將其固定(固定力負荷參數)，視其為對應 某未知跨度 L_T 的臨界點負載，然後將軸向壓縮位移 視為變動的位移負 荷參數，可求得對應新的臨界點負載的跨度 L_T ^。

(四)回步驟(二)，直到求得在某ㄧ固定，臨界點在 P - L_T ^{平面的摺線與} 轉折點。

(五)將原加上某一 後，取 P_CR 0，回步驟(三)。

臨界狀態之摺線的轉折點對應的及 L_T ^，在- L_T ^{平面的連線，即} 為臨界狀態在- L_T ^{平面的摺線。}

本章中計算時除另有說明外，皆採用文獻[33]中的第一種梁，在探討不 同細長比之臨界負載及臨界狀態的分析時，梁的長度固定為L_T 0.64m，僅 改變長方形斷面高度 h，以符合不同的細長比  12L_T h。本章中在分析 時使用 64個元素。