數值方法

本研究考慮的負荷有力負荷及位移負荷兩種，在每一增量平衡迭代的 過程中，將(2.7.1)式之平衡方程式中之_d或是_f 的值固定。

3.1.2 增量迭代法

增量迭代法通常用來分析結構的幾何非線性分析，若第I 個增量的平衡 位置為已知，其位移向量為Q_I，負荷參數為_I，則可以求得這個平衡位置 的系統切線剛度K_T ，且第 I+1 個增量的初始增量位移可以用尤拉預測值

（Euler predictor）求得 rT

Q

 (3.1.2) 其中r_T是第I 次增量的切線解，在力負荷時，

P r

K_{T T}  (3.1.3) 在位移負荷時，

P T

Tr F

K  (3.1.3) 其中 

F

F_P ，是第 I+1 增量初始增量負荷參數，本文配合弧長控制法

[9]，選用

t T Tr r







 (3.1.5)

其中 Q 是初始增量位移的弧長， 之正負號則與 r_T^tQ_I的正負號一 致，Q_I^為上一增量中收斂的增量位移。

迭代過程中對增量的修正，即位移改正量和負荷改正量，詳見 3.1.6 節 之弧長控制法。

3.1.3 收斂準則 

本文以系統的不平衡力的 weighted Euclidean norm 作為迭代時的誤差 度量，當負荷為力負荷時，收斂準則表示為

e_tol e N 

P Ψ

 (3.1.6) 當負荷為位移負荷時，收斂準則表示為

_tol

R

e e 

F

Ψ (3.1.7)

其中N表離散系統的自由度數，F_R為系統節點反力向量，e_tol為一給定之容 許誤差值。

3.1.4 延伸系統（Extended system）

考慮一個靜態力學平衡的離散化模型，可定義一個延伸系統的控制方 程式[12-14]

















0 0 Z

G Z Ψ

) (

)

( (3.1.8)

其中Ψ是N個平衡方程式的集合，G 是M個輔助條件的集合，這些條件在

3.1.5 延伸系統延遲分解法（Postponed factorization of an extended system） 如果一個矩陣可以表示成延伸系統的模式：

3.1.6 弧長控制法（Arc-length method） (3.1.18)式中，L 通常可以忽略不計，所以(3.1.18)式之負荷參數改正量可以 近似成

3.1.7 特徵值直接計算法（Direct computation of eigenvalues）

標準特徵值問題可以表示成

到g  g^(i1)、ΦΦ^(i1)。

3.1.8 臨界值直接計算法（Direct computation of critical points）

平衡路徑的臨界點通常指極限點或分歧點，在臨界點系統切線剛度矩

Qr₀ r_T (3.1.34)

r0是(3.1.19)式中標準牛頓法中，不平衡力的位移改正量。

3.1.9 正交軌線法（Orthogonal trajectory accession）

增量迭代過程中的負荷參數修正量，也可以使用文獻[16]所提的正 交軌線法得到，其方法是在由N 維的位移向量與負荷參數所組成的N 1維 空間中，令

t

 

r_T,1^t (3.1.35) n^t 



Q,



(3.1.36) n^tt0 (3.1.37) 其中n 為包含負荷參數改正量 Q^t  與增量位移改正量的N 1維修正量，

t 是將參考負荷 P 或F 的切線解向量_P r 放大一維，將_T (3.1.34)式帶入(3.1.37) 式整理，可以得到負荷參數改正量

t T T t T

r r

r r

 

 1

 0 (3.1.38)

將再帶回(3.1.34)式則可以得到增量位移改正量Qr₀ r_T。

3.1.10 免特徵值分析法（Eigenanalys-free method）

文獻[17,29]中提出一個的方法，可以不需要進行特徵值的計算，直接 在剛度矩陣的LDL^t分解（LDL^t-decomposed stiffness matrix）運算中得到 一個最接近 0 的近似特徵值，當特徵值靠近 0



g 0.0,g 0.0



時，它對應 的近似特徵向量

 

t j

j L e

S  ^1 (3.1.39) 其中 j 是對角矩陣D中絕對值最小的位置，e 是第_j j 維純量等於1，其他部

分為 0的N 維單位向量。

這個方法同時可以得到近似特徵值

2 j

Dj

g S

 (3.1.40)

其中D_j是對角矩陣D 中第 j 個分量，當我們的平衡位置越靠近臨界負荷，

即特徵值越靠近 0，所求得的近似特徵值與特徵向量也越靠近真正的值。

這個方法所花費的計算時間非常少，因為剛度矩陣的分解K LDL^t在 進行平衡路徑的迭代的過程中會一直被重複計算，L^t矩陣有上三角結構特 性，所以解L^tS_j  得到e_j S 。 _j

3.1.11 子空間法（Subspace method）

分析結構振動的自然振動頻率，要求解方程組KΦ²MΦ，其中K 是系統剛度矩陣，M 是系統質量矩陣，可以把他當作廣義特徵值問題

BΦ

AΦ g (3.1.41) 來求解，本文採用子空間法 [2]，求出特徵值g及對應的特徵向量Φ ，而在 程式中當我們需要計算標準特徵值（standard eigenvalue problem）問題

Φ

AΦ g 時，令B 單位矩陣（II dentity matrix）。

子空間法以將N維的大型特徵值問題近似的轉化為一個P維向量空間 的小型特徵值問題，從而使求解的問題縮小，節省計算時間，但是當遇到 特徵值為負的，無法求出答案，所以本文在計算之前首先利用 3.1.10 的免 特徵值分析法[17,29]，這個方法會提供一個切線剛度的近似特徵值(3.1.40) 式，雖然這個近似值在它距離 0 越遠時越不準確，但是它的正負號與真正 的特徵值解是相同的，所以一旦發現它是負號時，在運算中給一常數c，讓 方程組(3.1.41)成為

其中g' gc0，如此可以順利迭代求出特徵值 g。

在文檔中 挫屈梁在側向負荷下的幾何非線性分析 (頁 38-46)