挫屈梁的自然振動頻率及振態

由挫屈梁在初始變形位置的切線剛度矩陣及質量矩陣，可得挫屈梁線 性振動的運動方程式(2.7.2)。本節用 3.1.11 節的子空間法求挫屈梁的自然 振動頻率及振態。本節中稱對應於第 i 個振態的自然振動頻率為_i，當 i 是奇數時，挫屈梁振態中的軸向和側向分量分別是反對稱和對稱的，當 i 是偶數時，挫屈梁的振態中的軸向和側向分量分別是反對稱和反對稱的。

本節中探討了挫屈梁之無因次自然振動頻率_i /(EI/mL⁴_T)¹²及振態，其中 A

m  為梁的線密度，與無因次壓縮量 (/_cr)、無因次側向挫屈位移 h

 / 或 /L_T、及細長比的關係。本文的數值分析發現，500， /h24.4 ( /L_T 0.169)，_b^max 0.0120； 1000， /h90.3 ( /L_T 0.313)，

0126 .

max 0

b ； 3000， /h271 ( /L_T 0.313)，_b^max 4.2010^3。 因本文中假設應變為小應變且在彈性限內，所以本節中對不同細長比的挫 屈梁，考慮不同的最大無因次側向挫屈位移 /h或 /L_T。

圖 4-7 – 4-18 為本文的結果，圖 4-7 為梁的無因次自然振動頻率

2 1 4) / /( _T

i EI mL

 -無因次壓縮量(/_cr)曲線，圖 4-8 為挫屈梁的無因次 自然振動頻率_i /(EI/mL⁴_T)¹²-無因次側向位移 /h的曲線( /h 3,i=1, 2)，圖 4-9 為挫屈梁的無因次自然振動頻率_i /(EI/mL⁴_T)¹²-無因次側向位

移 /h的曲線( /h8,i=1-7)，圖 4-10 為挫屈梁的無因次自然振動頻率

2 1 4) / /( _T

i EI mL

 -無因次側向位移 /h的曲線( /h 200,i=1-6)，圖 4-11 為 挫屈梁的無因次自然振動頻率_i /(EI/mL⁴_T)¹²-無因次側向位移 /L_T的曲 線( /L_T 0.3,i=1-6)，圖 4-12 為挫屈梁的前六個振動模態( /h 1)，圖 4-13 為挫屈梁的前六個振動模態( /h 5)，圖 4-14 為不同無因次壓縮量

) / ( _cr

 之挫屈梁的前八個振動模態( 500， 1 15 3

1 2    ，X 分₂

量)，圖 4-15 為不同無因次壓縮量(/_cr)之挫屈梁的前八個振動模態 ( 500， 1 15

3

1 2    ， X 分量)，圖₁ 4-16 為不同無因次壓縮量

) / ( _cr

 之挫屈梁的前八個振動模態( 10000， 1 15 3

1 2    ，X₂

分量)，圖 4.17 為不同無因次壓縮量(/_cr)之挫屈梁的前八個振動模態 ( 10000， 1 300

3

20 2    ，X 分量)，圖₂ 4-18 為不同無因次壓縮量

) / ( _cr

 之挫屈梁的前八個振動模態( 10000， 1 300 3

20 2    ，

X 分量)。 1

由圖 4-8 可以發現固端梁在挫屈前後，對應於第一及第二個振態之自然 振動頻率的變化，在挫屈前(0 1)時，_i( i=1,2)隨著 增加而減少，在 挫屈時( 1)，₁ 0；在挫屈後( 1)，₁隨著 增加而增加，且在

5 .

3

 ( /h 1.8)左右超越₂，₂幾乎沒有改變。由圖 4-9 可以發現，當 5

. 1 /h 

 ，本文的₁與[43]的實驗及分析結果、[11,27,28]的分析結果都很 接近，當 /h 1.5，本文的₁與[11,27,28]的分析結果很接近，但偏離[43]

的實驗及分析結果，[43]提到 /h1.5時，其實驗結果是不可靠的。本文的

2與[11,27,28]的分析結果很接近。由圖 4-9 可以發現，當 /h8，本文的

i (i =1-7)與[14,27,28]的分析結果很接近。在[11,27,28]中，當 i 是偶數時，

不管 /h及細長比的大小，_i /(EI/mL_T⁴)¹²為一個常數，由圖 4-10 可以 發現，當i 2， /h 200時，₂ /(EI/mL⁴_T)¹²幾乎沒有變化，但在i 4,6 時，隨著 /h增加及細長比減少，_i /(EI/mL⁴_T)¹²逐漸變小；當i1，

200 /

20 h  時，_i /(EI/mL⁴_T)¹²幾乎沒有變化，但在i 3,5時，隨著 /h 增加及細長比減少，_i /(EI/mL⁴_T)¹²逐漸變小。由圖 4-10 亦可以發現當

10 /h 

 ， 500的挫屈梁幾乎有相同的_i /(EI/mL⁴_T)¹²；當 /h 50，

3000

 的挫屈梁幾乎有相同的_i /(EI/mL⁴_T)¹²；當 /h 100， 3000的 挫屈梁之_i /(EI/mL⁴_T)¹²有相當的差異。所以當 /h 10時，對 500的 挫屈梁， /h是很好的無因次側向位移，所以當 /h 100時，對 3000的 挫屈梁， /h仍不是一個很好的無因次側向位移。由圖 4-11 可以發現，當

02 . 0 /L_T 

 ， 1000的挫屈梁的_i /(EI /mL⁴_T)¹² 有相當的差異，所以 LT

 / 不是很好的無因次側向位移；當 /L_T 0.05， 3000的挫屈梁幾乎 有 相 同 的_i /(EI/mL_T⁴)¹² ， 所 以 /L_T 是 很 好 的 無 因 次 側 向 位 移 ； 當

1 . 0 /L_T 

 ， 1000的挫屈梁幾乎有相同的_i /(EI/mL⁴_T)¹²，所以 /L_T是 很好的無因次側向位。

由圖 4-12 - 4-18 可以發現，當 1( / ) 15 3

1 2    h  時，細長比

500

 、 5818.96、 10000的挫屈梁，若有相同的 /h，則其振態中 的側向分量都很接近，但 500之振態中的軸向分量遠大於 5818.96、

10000

  之振態的軸向分量，若 /h不同時，振態中對稱的側向分量有很 大的變化，但不對稱的側向分量幾乎沒有變化，本文的結果與[27]的結果一 致。當 1( / ) 20

3

2    h  時，細長比 10000的挫屈梁，其振態的側

向分量幾乎沒有變化，但其振態的軸向分量變化很大，且和 1 3

20

2   、

500

 的挫屈梁振態的軸向分量很接近。