第四章 結果與討論
第三節 受試者之知識結構分析
本節主要針對受試者的知識結構之階層次序圖加以分析，在能力值分組的方法 上，欲比較能力值高中低及同組之間是否有差異，故將受試總人數依能力值排 序均分成三組，分別代表高能力組、中能力組及低能力組，共三組受試者。在 比較方面，採用二個方面討論。（一）探討傳統中答題總分相同的受試者是否概 念的結構性相同，故針對在答對總題數相同但反應組型不同的受試者，分析其 知識結構之階層次序是否相同。（二）針對各能力分組中，知識結構之階層次序 是否有相似性，故分析各能力分組在答對總題數不同的受試者，其知識結構之 階層次序是否有相似性。因篇幅有限無法列出所有受試者的知識結構之階層次 序，因此每項討論中，皆隨機列出各能力分組二位受試者加以分析與比較。
本節分為四部份，分別為系統產生受試者的知識結構分析圖之說明、針對
「幾何」主題的知識結構分析、針對「數與量」的知識結構分析與分析結論。
(一) 系統產生受試者的知識結構分析圖之說明
當學生接受施測後，由系統針對其作答反應組型分析，繪製出學生數學學 習領域分年細目之階層結構圖，現在舉一個範例加以說明，如圖 4-3-1 所示，
含有使用者代號、使用者姓名、概念代號、分年細目、精熟度、每個概念指向 之概念代號以及知識結構之階層次序圖。
以此例而言，知識結構圖為三層，最下層為概念代號6 (分年細目 2-s-05)，
精熟度為 0.95796，此概念指向概念代號 4 (分年細目 2-s-03) 和 5 (分年細目 2-s-04)。而在知識結構圖的右邊是該階層的精熟度。此外，概念代號的順序即 是 每 道 試 題 所 句 含 分 年 細 目 的 順 序 ， 故 本 例 的 試 題 所 考 到 的 概 念 順 序 為 2-s-01、2-s-06、2-s-02、2-s-03、2-s-04、2-s-05。
圖4-3-1 知識結構之階層次序圖(說明範例)
(二)在「幾何」主題的知識結構分析
將受試總人數依能力值排序均分成三組，每組為97 人，分別代表高、中、
低能力組，如表4-3-1。
表 4-3-1 在「幾何」主題之能力值分組 組別 能力值(θ)範圍 人數
高能力組 θ ≥-0.66041 97
中能力組 -0.66041>θ >-1.12001 97 低能力組 θ <-1.12001 97
1.在答對總題數相同但反應組型不同之比較
在每一個分組中，以隨機方式由高、中、低能力組各抽出二位答對總題數 相同的受試者進行知識結構分析，並閥值 (ε ) 設定為 0.1，共計六位受試者。
以本研究抽出六位受試者為例，整理其在系統估計下之能力值及作答反應組型 (二元資料，答對則給 1，答錯則給 0)，如表 4-3-2 所示。
表4-3-2 在「幾何」主題上答對總題數相同卻反應組型不同的受試者 受試者 組別 反應組型 答對總題數 能力值
A 高能力組 111001111011 9 0.05880 B 高能力組 111100011111 9 -0.27357 C 中能力組 111000011011 7 -0.82650 D 中能力組 111010011010 7 -0.76687 E 低能力組 001000000010 2 -2.51334 F 低能力組 000100000001 2 -2.75768
(1)高能力組
受試者A 及 B 由系統繪製知識結構之階層次序圖，分別如圖 4-3-2 及圖 4-3-3 所示。
圖4-3-2 知識結構之階層次序圖(受試者 A)
圖 4-3-3 知識結構之階層次序圖(受試者 B)
由表4-3-2、圖 4-3-2 及圖 4-3-3，分析並歸納如下：
a. 受試者 A 及 B 皆為高能力組，並且答對總題數相同，但因反應組型不相 同，以致於能力值不相同。
b. 兩位受試者在所測驗的分年細目之精熟度有明顯不同外，每個分年細目 上受試者A 之精熟度皆高於受試者 B。
c. 受試者 A 的知識結構有兩階層(由下位階層到上位階層的概念代號分別為 {4、5、6}、{1、2、3}，分年細目分別為{2-s-03、2-s-04、2-s-05}、{2-s-01、
2-s-06、2-s-02})，然受試者 B 的知識結構有三階層(由下位階層到上位階 層的概念代號分別為{6}、{4、5}、{1、2、3}，即分年細目分別為{2-s-05}、
{2-s-03、2-s-04}、{2-s-01、2-s-06、2-s-02})。
d. 就受試者 A 在知識結構中，分年細目 2-s-03、2-s-04、2-s-05 為同一階層 的概念，但在受試者 B 的知識結構中卻分為二個階層的概念，分年細目 2-s-03 及 2-s-04 為分年細目 2-s-05 的上位概念。
e. 兩位受試者在最上面的階層皆是分年細目 2-s-01、2-s-06、2-s-02。
f. 由第 c、d、e 點之分析中，建議教師可分別針對兩位受試者由下位階層逐 步向上強化學生的知識結構，即受試者 A 的順序為分年細目 2-s-03、
2-s-04、2-s-05、2-s-01、2-s-06、2-s-02；受試者 B 的順序為分年細目 2-s-05、
2-s-03、2-s-04、2-s-01、2-s-06、2-s-02。
(2)中能力組
受試者C 及 D 由系統繪製知識結構之階層次序圖，分別如圖 4-3-4 及圖 4-3-5 所示。
圖 4-3-4 知識結構之階層次序圖(受試者 C)
圖4-3-5 知識結構之階層次序圖(受試者 D)
由表4-3-2、圖 4-3-4 及圖 4-3-5，分析如下：
a. 受試者 C 及 D 皆為中能力組，並且答對總題數相同，但因反應組型不相 同，以致於能力值不相同。
b. 兩位受試者在所測驗的分年細目之精熟度有明顯不同外，每個分年細目 上受試者D 之精熟度皆高於受試者 C。
c. 受試者 C 的知識結構有兩階層(由下位階層到上位階層的概念代號分別為 {6}、{1、2、3、4、5}，即分年細目分別為{2-s-05}、{2-s-01、2-s-06、
2-s-02、2-s-03、2-s-04})，然受試者 D 的知識結構有三階層(由下位階層 到上位階層的概念代號分別為{6}、{4、5}、{1、2、3}，即分年細目分別 為{2-s-05}、{2-s-03、2-s-04}、{2-s-01、2-s-06、2-s-02})。
d. 兩位受試者在最下面的階層皆是分年細目 2-s-05。
e. 受試者 D 的知識結構上，分年細目 2-s-03 及 2-s-04 為分年細目 2-s-06 的 下位概念，但受試者C 的知識結構無此關係。
f. 由第 c、d 及 e 點，建議教師可針對兩位受試者由下位階層逐步向上強化 學生的知識結構，先對兩位受試者先建立分年細目 2-s-05 之概念後，再 分別就二位受試者進行補救教學，即受試者C 的順序為分年細目 2-s-01、
2-s-06、2-s-02、2-s-03、2-s-04；受試者 D 的順序為分年細目 2-s-03、2-s-04、
2-s-01、2-s-06、2-s-02。
(3)低能力組
受試者E 及 F 由系統繪製知識結構之階層次序圖，分別如圖 4-3-6 及圖 4-3-7 所示。
圖 4-3-6 知識結構之階層次序圖(受試者 E)
圖4-3-7 知識結構之階層次序圖(受試者 F)
由表4-3-2、圖 4-3-6 及圖 4-3-7，分析如下：
a. 受試者 E 及 F 皆為低能力組，並且答對總題數相同，但因反應組型不相 同，以致於能力值不相同。
b. 兩位受試者在所測驗的分年細目之精熟度有明顯不同外，每個分年細目 上受試者E 之精熟度皆高於受試者 F。
c. 受試者 E 的知識結構有兩階層(由下位階層到上位階層的概念代號分別為 {1、3、4、5、6}、{2}，即分年細目分別為{2-s-01、2-s-02、2-s-03、2-s-04、
2-s-05}、{2-s-06}，然受試者 F 的知識結構有三階層(由下位階層到上位 階層的概念代號分別為{4、5}、{1、3}、{2、6}，即分年細目分別為{2-s-03、
2-s-04}、{2-s-01、2-s-02}、{2-s-06、2-s-05})。
d. 兩位受試者在知識結構之階層次序圖無任何階層相同或相似。
e. 由第 c 及 d 點，建議教師可分別針對兩位受試者由下位階層逐步向上強 化學生的知識結構，即受試者E 的順序為分年細目 2-s-01、2-s-02、2-s-03、
2-s-04、2-s-05、2-s-06；受試者 F 的順序為分年細目 2-s-03、2-s-04、2-s-01、
2-s-02、2-s-06、2-s-05。
(4)高、中、低能力組
以本研究中選取的三組為例，比較如下。
a.受試者 B 及 D 的知識結構上，每階層包含的分年細目概念雖相同，但精熟 度卻有明顯不同，每個分年細目上受試者B 之精熟度皆高於受試者 D，並且 受試者 B 的知識結構上，分年細目 2-s-04 之概念有線段指向上位階層在分 年細目2-s-01 之概念，及分年細目 2-s-03 之概念有線段指向上位階層在分年 細目2-s-02 之概念，但受試者 D 的知識結構上無此兩線段。
b.其餘受試者，在每階層包含的分年細目概念皆不相同，次序性亦有所差異，
故知識結構之階層次序圖差異極大，教師針對受試者的補救教學強化的知識 結構順序也有所差異。
2.在答對總題數不同的受試者之分析
在每一個分組中，以隨機方式由高、中、低能力組各抽出二位答對總題數 不相同的受試者進行知識結構分析，並閥值 (ε ) 設定為 0.1，共計六位受試者。
以本研究抽出六位受試者為例，整理其在系統估計下之能力值及作答反應組型 (二元資料，答對則給 1，答錯則給 0)如表 4-3-3 所示。
表4-3-3 在「幾何」主題上答對總題數不相同
受試者 組別 反應組型 答對總題數 能力值
G 高能力組 111110011010 8 -0.52144 H 高能力組 111110011011 9 -0.35998 I 中能力組 111010011010 7 -0.76687 J 中能力組 110010011010 6 -0.88376 K 低能力組 101100011001 6 -1.24711 L 低能力組 001000010000 2 -2.24102
(1)高能力組
受試者G 及受試者 H 由系統繪製知識結構之階層次序圖，分別如圖 4-3-8 及圖4-3-9 所示。
圖 4-3-8 知識結構之階層次序圖(受試者 G)
圖4-3-9 知識結構之階層次序圖(受試者 H)
由表4-3-3、圖 4-3-8 及圖 4-3-9，分析並歸納如下。
a. 受試者 G 及 H 皆為高能力組，但答對總題數不相同，相差一題，在答題 的反應組型中只相差第十二題，其二者能力值不相同。
b. 雖答對總題數只相差一題，兩位受試者在所測驗的分年細目之精熟度有 明顯不同外，每個分年細目上受試者H 之精熟度皆高於受試者 G。
c. 兩位受試者的知識結構有三階層，且每一階層的概念皆相同(由下位階層 到上位階層的概念代號分別為{6}、{4、5}、{1、2、3}，即分年細目分別 為{2-s-05}、{2-s-03、2-s-04}、{2-s-01、2-s-06、2-s-02})。
d. 受試者 G 的知識結構之下位階層的概念，分年細目 2-s-05 直接有線段指 向分年細目 2-s-01；但在受試者 H 的知識結構之下位階層的概念，分年 細目2-s-05 需經由分年細目 2-s-03 再指向分年細目 2-s-01。
e. 受試者 H 的知識結構在分年細目 2-s-04 之概念有線段指向上位階層在分 年細目2-s-01 之概念，但受試者 G 的知識結構上無此線段。
f. 由第 c、d 及 e 點，建議教師可針對兩位受試者由下位階層逐步向上強化 學生的知識結構，順序為分年細目2-s-05、2-s-03、2-s-04、2-s-01、2-s-06、
2-s-02。
(2)中能力組
受試者 I 及 J 由系統繪製知識結構之階層次序圖，分別如圖 4-3-10 及圖 4-3-11 所示。
圖4-3-10 知識結構之階層次序圖(受試者 I)
圖4-3-11 知識結構之階層次序圖(受試者 J) 由表4-3-3、圖 4-3-10 及圖 4-3-11，分析並歸納如下。
a. 受試者 I 及 J 皆為中能力組，但答對總題數不相同，相差一題，在答題的 反應組型中相差第三題，其二者能力值不相同。
b. 兩位受試者在所測驗的分年細目之精熟度有明顯不同外，每個分年細目 上受試者I 之精熟度皆高於受試者 J。
c. 受試者 I 的知識結構有三階層(由下位階層到上位階層的概念代號分別為 {6}、{4、5}、{1、2、3}，即分年細目分別為{2-s-05}、{2-s-03、2-s-04}、
{2-s-01、2-s-06、2-s-02})，受試者 J 的知識結構有兩階層(由下位階層到
上位階層的概念代號分別為{6}、{1、2、3、4、5}，即分年細目分別為 {2-s-05}、{2-s-01、2-s-06、2-s-02、2-s-03、2-s-04})。
d. 兩位受試者在最下階層的概念是相同的。
e. 在知識結構上，受試者 I 的最上位階層分年細目為 2-s-01、2-s-06、2-s-02，
中階層分年細目為2-s-03、2-s-04；但就受試者 J 的知識結構而言，都為 同一階層。
f. 受試者 I 在分年細目 2-s-05 之概念有線段指向上位階層在分年細目 2-s-03、2-s-04 之概念，但受試者 J 的知識結構上無此線段。
g. 由第 c、d 及 e 點，建議教師可針對兩位受試者由下位階層逐步向上強化 學生的知識結構，對兩位受試者先建立分年細目 2-s-05 之概念後，再分 別就二位受試者進行補救教學，即受試者 I 的順序為分年細目 2-s-03、
2-s-04、2-s-01、2-s-06、2-s-02；受試者 J 的順序為分年細目 2-s-01、2-s-06、
2-s-02、2-s-03、2-s-04。
h. 雖答對總題數只相差一題，在答題的反應組型也只相差一題，但兩者在
h. 雖答對總題數只相差一題，在答題的反應組型也只相差一題，但兩者在