第二章 Granger Non-causality 檢定
第一節 向量自我回歸模型
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第二章 Granger Non-causality 檢定
第一節 向量自我回歸模型
研究單變數時間序列模型，除了探討變數對於時間的變化外，最大的目的在 於預測變數在未來的可能變化。例如政府對於過去之經濟成長率來預測未來可能 變化來決策經濟政策；投資者根據歷史的股票變化來決定下一個投資組合等等。
無論經濟、金融或工業領域，時間序列的模型一直被廣泛的應用。
時間序列模型可以從最基本的單變數時間序列開始延伸。例如，落後期為 2 的 Autoregressive 模型記為 AR (2)，可表示為
𝑦𝑡= 𝑎0+ 𝑎1𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑦𝑡−2+ 𝜖𝑡. (2.1) 若更進一步地探討兩個或兩個以上的變數 「當期」間之時間序列，則稱之為靜 態時間序列模型。例如，
𝑦𝑡= 𝑎0 + 𝑎1𝑥1,𝑡+ 𝑎2𝑥2,𝑡+ ⋯ 𝑎𝑝𝑥𝑝,𝑡+ 𝜀𝑡. (2.2) 同樣地，若變數與變數間除了對當期影響外，還會延續到下一期，則稱之為動態 時間序列模型。例如，
𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝑎1𝑦𝑡−1+ 𝑏1𝑥𝑡+ 𝜀𝑡. (2.3) 在當今的經濟現象中，影響經濟變動的因素與日俱增，單變數分析只能從自 身前期資料進行預測，因此難以再用單個變數來探討經濟現象。當欲研究的變數 越多，變數間產生的關係越複雜。在一般計量的方法中常以結構系統方程式來估 計，而在時間序列的分析中，則以向量自我回歸(Vector autoregreesion 簡稱 VAR) 的方法來估計。換句話說，向量自我回歸為結構系統方程式的縮減式，目的在於 描述(或進一步預測) 變數與變數之間的動態關係。
所謂落後期為 p 階的自我回歸模型通常記為 VAR(p)， 並可寫成
𝑊𝑡 = 𝑏 + 𝐴1𝑊𝑡−1+ 𝐴2𝑊𝑡−2+ ⋯ + 𝐴𝑝𝑊𝑡−𝑝+ 𝑎𝑡, (2.4) 其中 b 為 (𝐾 × 1) 常數向量，𝑊𝑡 = (𝑊1,𝑡 , 𝑊2,𝑡 , ⋯ , 𝑊𝐾,𝑡)′ 為 (𝐾 × 1) 隨機向量，
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Akaike’s Imformation Criterion (AIC)
(𝑝) = |∑̂(𝑝)| +2𝑝𝐾2 ; (2.6)
Schwarz-Bayesian Imformation Criterion (BIC)
(𝑝) = |∑̂(𝑝)| + 𝑛 𝑝𝐾2 ; (2.7)
Hannan-Quinn (HQ)
(𝑝) = |∑̂(𝑝)| +2 𝑛 𝑛 𝑝𝐾2 ; (2.8) 其中 ∑̂(𝑝) = 𝑇−1∑𝑡=1𝑎̂𝑡𝑎̂𝑡′ 為誤差項的共變異數矩陣之估計，p 為欲選取的落 後期，T 表示此時間序列的樣本數，K 表示此時間序列的變數個數。使用者可選
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取使模式選取指標最小之 p 值作為模型之落後期數。
時間序列模型主要藉由過去的資料預測未來，但並非每一筆時間序列都可以 進行預測，所有的向量自我回歸模型皆以定態(stationary)的基礎下進行分析與預 測，若時間序列模型為非定態時，容易產生估計上的錯誤。因此在進行預測時，
必須先確定模型為定態。
「單根檢定」 為時間序列分析中常見的定態檢定， Dickey-Fuller (DF test)、
Augmented Dickey-Fuller (ADF test)、Phillips-Perron (PP test)、KPSS test 等都是 常用的單根檢定方法。本研究進行單根檢定時，採取一般常用的 ADF 檢定，ADF 檢定可從一個單一向量的 AR 模型延伸，其做法如下。考慮以下 AR(p) 模型：
𝑦𝑡= 𝑎0 + 𝑎1𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑦𝑡−2+ ⋯ + 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝜀𝑡, (2.9) 同時加減 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝 1可得
𝑦𝑡= 𝑎0 + 𝑎1𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑦𝑡−2+ ⋯ + 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝 1 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝 1+ 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝜀𝑡, (2.10) 同類項合併並以差分(△𝑦𝑡−𝑝 1= 𝑦𝑡−𝑝 1 𝑦𝑡−𝑝 ) 表示為
𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝑎1𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑦𝑡−2+ ⋯ + 𝑎𝑝𝑦𝑡−𝑝 1+ 𝑎𝑝( 𝑦𝑡−𝑝 1) + 𝜀𝑡. (2.11) 以上敘方法依序反覆進行可整理得：
𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝑦𝑡−1+ ∑𝑝 =2 𝑗 𝑦𝑡− 1+ 𝜀𝑡 (2.12) 其中
= (1 ∑𝑝 =1𝑎 )， 𝑗 = ∑𝑝𝑗=1𝑎𝑗. Augmented Dickey-Fuller 檢定模式大致可分成以下三種：
含截距與時間趨勢模型
𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝑦𝑡−1+ 𝑎2𝑡 + ∑𝑝 =2 𝑗 𝑦𝑡− 1+ 𝜀𝑡; (2.13)
含截距不含時間趨勢模型
𝑦𝑡 = 𝑎0+ 𝑦𝑡−1+ ∑𝑝 =2 𝑗 𝑦𝑡− 1+ 𝜀𝑡; (2.14)
不含截距與時間趨勢模型
𝑦𝑡= 𝑦𝑡−1+ ∑𝑝 =2 𝑗 𝑦𝑡− 1+ 𝜀𝑡. (2.15)
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根據定態條件 (i) 若∑𝑝 =1𝑎 1，則此時間序列資料為定態。
(ii) 若∑𝑝 =1𝑎 = 1，則表示至少有一個特性根等於 1。
(iii) 若∑𝑝 =1𝑎 1，此時間序列資料為非定態。
若要使上敘模型為定態，則模型中的 必須小於零，亦即 ∑𝑝 =1𝑎 1。ADF test 在於檢定 = (1 ∑𝑝 =1𝑎) 是否為零，虛無假設與對立假設可表示如下：
0： ＝0 時間序列具有單根
1： 0 時間序列不具有單根
本研究先將資料根據模型選取指標選擇落後期 p，使用 R 軟體中的程式套件
“ tseries ”(http://cran.r-project.org/web/packages/tseries/tseries.pdf)，即可將資料 進行 ADF test。此外，R 軟體的 ADF Test 是以含截距與時間趨勢模型做檢定。
第三節 多變量領先關係檢定
2.3.1 多變量領先關係
VAR(p) 模型(2.5) 可視為一個複回歸模型，通常可以利用最小平方法(OLS)
估計模型之係數矩陣 𝐴1, ⋯ , 𝐴𝑝，並藉此表達變數之間的相關結構。而 Granger Causality 之概念即以向量自我回歸模型為背景，根據預測能力之強弱判別兩群變 數間之領先關係。換句話說，給定兩群時間序列 𝑋𝑡, 𝑌𝑡( .5), Granger Causality test 可用來驗證時間序列 𝑌𝑡 對於預測時間序列 𝑋𝑡 是否有幫助。
由於資訊量之多寡進而影響決策結果之呈現，因此使用不同變數，時間序 列在 h 時間單位後之估計值亦不同。給定特定時間點 t 之兩資訊集合
Ω𝑋𝑌 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1 , 𝑌1,𝑡 , ⋯ , 𝑌𝑚,𝑡 , ⋯ , 𝑌1,1 , ⋯ , 𝑌𝑚,1} (2.16) 與
Ω𝑋 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1} (2.17) 對於未來時間點 𝑡 + ℎ 之觀測值 𝑋𝑡 ℎ ，其最佳線性估計式可寫成
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𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌) = (𝑋̂1,𝑡(ℎ|ΩXY) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡(ℎ|ΩXY)) 與
𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = (𝑋̂1,𝑡(ℎ|ΩX) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡(ℎ|ΩX)), 所謂一般性的 Granger causality 定義如下：
Definition 1 (Granger causality up to horizon c）
給定一正整數 c，若存在一個 ℎ 使得 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示 𝑌𝑡 領先 𝑋𝑡 (𝑌𝑡 Granger case 𝑋𝑡) ，記為 𝑌
( ) → 𝑋；若對於所有的 ℎ ， 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，則 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡，記作 𝑌 𝑋。
備註：若 = ，則 𝑌
( ) → 𝑋 為所謂的 Granger causality。
若加入 𝑌𝑡 後 𝑋𝑡 ℎ 之預測值會改變，即 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示 𝑌𝑡 對於 𝑋𝑡 的預測會有幫助。同理，若 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示𝑌𝑡 對 於 𝑋𝑡 的預測沒有幫助。對於所有的 ℎ ，以下定理說明我們可利用係數 子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 來判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否存在領先關係。
Theorem 1
VAR(p) 之模型在 (2.5) 之形式下，對於任何正整數 c， 𝑌𝑡 𝑋𝑡 若且唯若 𝐴𝑋𝑌,𝑗 = 0𝑛×𝑚, 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝.
證明：此結果從 Dufour and Renault, 1998, Lütkepohl, 2005 即可得知。
若 VAR(p) 模型之係數為已知，則可由式 (2.5) 直接觀察係數矩陣 𝐴𝑗 所有 的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗, 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝，若所有的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 皆為零矩陣，則表 示 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡 的預測。而實際上模型之係數通常為未知而且以估計方式求 得。因此，為了驗證矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 是否為零矩陣，需要對矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 進行假設檢 定，進而判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否有領先關係。此即為所謂的 Granger
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若誤差向量滿足以上條件，則可利用最小平方法(OLS) 建立 VAR(p) 模型估計係 數之一致性與近似常態分配 (Lütkepohl, 2005, p.73).定義大小為 (𝐾(𝑝 + 1) × 1) 之向量 𝑍𝑡 = vec(1𝐾×1 , 𝑊𝑡−1 , … , 𝑊𝑡−𝑝 1) 且 E(𝑍𝑡𝑍𝑡′) = Γ，可得 VAR(p) 模型估 計係數 𝑅𝜃̂ 之近似分配為
√𝑇(𝑅𝜃̂ 𝑅𝜃)→ (0, 𝑅(Γ−1 ∑ )𝑅′), 當 𝑇 → ∞ (2.20) 其中 “ ” 為所謂的 Kronecker product, 𝑇為資料的觀測期數。所謂的 Wald 檢定 統計量為
= 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ̂−1 ∑̂𝑎)𝑅′ −1(𝑅𝜃̂) (2.21) 其中 Γ̂ 與 ∑̂𝑎 分別為 Γ 與 ∑ 之一致估計量。給定一顯著水準0 1，若
21− (𝑛𝑚𝑝), (2.22) 則拒絕 0，表示有顯著的 Granger causality 存在。
2.3.3 Wald 檢定統計量之檢定力
為了驗證 𝑅𝜃 = 𝒄 𝟎 之檢定力，考慮對立假設
1：𝑅𝜃 = 𝐜, (2.23) 此時 𝑅𝜃̂ 之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝐜, 𝑇−1(𝑅(Γ−1 ∑𝑎)𝑅′)). (2.24) 檢定統計量 在 𝑅𝜃 = 𝟎 時其分配為自由度 nmp 之卡方分配。若 𝑅𝜃 = 𝐜 𝟎 時 ， 為 自 由 度 nmp 之 近 似 非 中 心 卡 方 分 配 (noncentral
2 distirbutio )，其非中心參數可寫成
= 𝑇𝐜′ 𝑅(Γ−1 ∑𝑎)𝑅′ −1𝐜.
可以被 ̂ = 𝑇𝐜′ 𝑅(Γ̂−1 ∑̂𝑎)𝑅′ −1𝐜 估計。因此檢定統計量 之檢定力為 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 |𝑅𝜃 = 𝐜)
≈ 𝑃( 2(𝑛𝑚𝑝, ̂ ) 1− 2 (𝑛𝑚𝑝))
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第四節 新檢定統計量
Wald Test 之檢定統計量(2.21) 以數學幾何的角度而言，乃測量 𝑅𝜃̂ 到 0 向 量的“Mahalanobis distance”，亦即建立在最小平方法(OLS) 估計量之近似常態分 配的基礎上。由文獻上可知以此架構之 Granger causality 檢定，所謂的 Uniformly most powerful(UMP) 檢定並不存在(Tsai & Sen, 1993)。所以本研究致力於找出其 他新統計量，觀察如何改進 Wald Test 之統計檢定力。在本節中將介紹四個新 統計量，並在往後之章節實際應用與比較。
2.4.1 檢定統計量 M
考慮統計量
= a {| ̂1|, | ̂2|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| }, (2.25) 其中 | ̂1|, | ̂2|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 為每個估計係數到 0 的距離。若 較大時，意味著 𝑅𝜃̂ 與 0 向量有很大的距離。因此在 的顯著水準下，當 𝑡 時拒絕
0：𝑅𝜃 = 𝟎 ，其中 t 值為一個正數。接下來將介紹如何決定 t 的值。
由於 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2, ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝 )′ 之分配會近似於常態分配，即
𝑅𝜃̂ (𝟎, 𝑇−1𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ), (2.26) 得到係數的近似分配後，所以 t 值必須滿足：
𝑃( 𝑡|𝑅𝜃 = 𝟎 ) = 𝑃(| ̂1| 𝑡 , | ̂2| 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 𝑡|𝑅𝜃 = 𝟎) (2.27) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝 =
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.26) 之機率密度函數。描述根據 (2.27) 找 t 值並不容 易，但是可藉由 R 軟體之套件 “ mvtnorm ”(http://cran.r-project.org/web/packages/
mvtnorm/mvtnorm.pdf) 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 α 百分位 數，則此 1 α 百分位數即為 t 值 。
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因此，在給定 𝑅𝜃 = 𝐜 的條件下，檢定統計量 M 之檢定力 𝑃𝑜 𝑒𝑟𝑀(𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 | 𝑅𝜃 = 𝐜)
= 𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) = 𝑃(| ̂1| 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) (2.28)
= 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝,
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.24) 之機率密度函數。同理，(2.28) 之檢定力也可藉 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量 M 之檢定力。
2.4.2 檢定統計量 𝑴 𝒔
此外，考慮到不同估計系數之標準差會造成不同結果，因此定義新統計量
= a {| ̂1⁄ |, | ̂1 2⁄ |, ⋯ , | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| }, (2.29) 其中 12, ⋯ , 𝑛𝑚𝑝2 分別為 ̂1, ̂2, ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝之變異數，因此在虛無假設於 (2.19) 的條件下，估計係數之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝟎,1 𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ), (2.30)
其中 = dia ( 12, ⋯ , 𝑛𝑚𝑝2 ) 為對角矩陣，在對立假設 (2.22) 的條件下，估計係 數之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝐜 ,1 𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ). (2.31)
仿照上敘方式，求得係數之近似分配後找出 𝑡 (𝑡 0) 滿足：
𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝟎 ) (2.32)
= 𝑃(| ̂1⁄ | 𝑡1 , | ̂2⁄ | 𝑡2 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 0) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝 =
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.30) 之機率密度函數，𝑡 之值可藉由 R 軟體之套件
“mvtnorm” 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 α 百分位數，則此
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1 α 百分位數即為 𝑡 值 。在 = 0.05 的顯著水準下，當 𝑡 時拒絕
0：𝑅𝜃 = 𝟎。此外，檢定統計量 之檢定力為 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 | 𝑅𝜃 = 𝐜)
= 𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 )
= 𝑃(| ̂1⁄ | 𝑡1 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) (2.33) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝,
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.31) 之機率密度函數。同理，(2.33) 之檢定力也可藉 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量 之檢定力。
檢定統計量 𝑩
考慮檢定統計量
= | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝|, (2.34) 如同 2.4.1 與 2.4.2 小節之方法
，
找出滿足𝑃(| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =
之 u 值，當 時拒絕 0：𝑅𝜃 = 0。由於計算複雜，特別是當參數個數越 來越大時，因此可以採用 Monte Carlo 模擬的方式來計算 u 值，其做法如下所述。
從 (2.26) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，並將每一組之 | ̂1|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 相 加得到
= | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝|, 對所有 = 1, … , ,
並找出 1, ⋯ , 之 1 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 M 次得 M 組 1 百分位數 𝑍1,1− , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M 組之平均即為 值。
檢定統計量 之檢定力為
𝑃( |𝑅𝜃 = 𝐜 ). (2.35) 檢定統計量 之檢定力也可以利用模擬的方式來估計。從 (2.24) 中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 各 N 個， 其中
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𝑃(| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| ) = 𝐸[𝐼{| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| }].
根據 (2.35)，檢定力之估計值為
𝑝̂ =#{| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| } .
因此藉由模擬的方式，計算 = | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| 時所占 N 個的比例，即 為檢定統計量 之檢定力估計值。
2.4.4 檢定統計量 𝑩 𝒔
考慮檢定統計量
= | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝|, (2.36) 找出滿足
𝑃(| ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =
之 值，當 時拒絕 0：𝑅𝜃 = 0。如同 2.4.3 之介紹，使用模擬方式 找出 之值，其做法如下所述。從 (2.30) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，
並將每一組之 | ̂1⁄ |, ⋯ , | ̂1 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 相加得到
= | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝|, 對所有 = 1, … , ,
並找出 1, ⋯ , 之 1 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 M 次得 M 組 1 百分位數 𝑍1,1− , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M 組之平均即為 值。
檢定統計量 之檢定力為
𝑃( |𝑅𝜃 = 𝐜 ). (2.37) (2.37) 之計算可以採用模擬之方法來估計。如同 2.4.3 小節之介紹，根據 (2.37) 可 得檢定力之估計值
𝑝̂ =#{| ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| ̂ } .
因此藉由模擬的方式，計算 = | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 時所占 N 個的比例，即為檢定統計量 之檢定力估計值。
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Time
EXPORT
0 20 40 60 80 100 120
-0.10-0.050.000.05
Time
IMPORT
0 20 40 60 80 100 120
-0.15-0.10-0.050.000.05
第三章 實際資料分析與模擬
第一節 實例分析
在此節中，本研究將以美國進口貨物(Export Goods)與出口貨物(Import Goods)之經濟指標為兩時間序列變數，資料來源為 Taiwan Ecomomic Journal (TEJ,
http://www.finasia.biz)。
𝑋𝑡 : Export Goods (EG) 𝑌𝑡 : Import Goods (IG)
收集 2001 三月到 2011 十二月之 130 筆月資料，為了檢測資料是否為定態 (stationary)，進行定態檢定與模型選擇。
3.1.1 定態檢定與模型選擇
選取兩定態的時間序列變數，將整筆資料轉成成長率((後期-前期)/(前期)) 之型式，並製成趨勢圖，觀察資料隨時間變動之情形再進行時間序列分析。
(圖一) 為 EXPORT 成長率之趨勢圖，資料於 100~120 間相對其他值有明顯 之變化，其他時間內上下的幅度稍有變化，整體而言隨著時間的增加有些微上升 的趨勢。 (圖二) 為 IMPORT 成長率之趨勢圖，其資料變化與圖一之變化類似，
資料在 100~120 間相對其他值有明顯的大變化，資料呈現不規則的趨勢。
圖一 EXPORT 與 IMPORT 成長率之趨勢圖
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( ̂1, ̂2) 之分配在五個不同之統計量所形成的接受域形狀重疊比較後，找出有利 使新統計量檢定力較 Wald Test 佳的點，並於本章之第三節介紹檢定統計量在各 點之檢定力。
3.2.1 統計量 𝝀 𝒘 之接受域
根據 (2.21) 與 (2.22)式，當 α = 0.05 時 = 1− 2 (𝑛𝑚𝑝) 可寫成
115.5 ̂12 3 .5 ̂12 ̂22+114.85 ̂22 = 5. . (3.1) (3.1)式代表著以 ̂1, ̂2 為座標的橢圓形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2) 位於此橢圓之外，
則 Wald test 將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2) 位於橢圓之內，
則 Wald test 不拒絕虛無假設。因此在橢圓外之區域我們稱為拒絕域，位於橢圓 內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為
𝐴 = {( ̂1, ̂1)：115.5 ̂12 3 .5 ̂12 ̂22+ 114. ̂22 5. }.
3.2.2 統計量 M 之接受域
根據 (2.25)式，當 = 0.05 時 = 𝑡 可寫成
| ̂1| = 0. 1, | ̂2| = 0. 1, (3.2) (3.2)式代表著以 ̂1, ̂2 為座標的正方形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2) 位於此正方形之外，
則此檢定將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2) 位於正方形之內，
則此檢定不拒絕虛無假設。因此在正方形外之區域我們稱為拒絕域，位於正方形 內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為
𝐴 = {( ̂1, ̂1)： 0. 1 | ̂1| 0. 1, 0. 1 | ̂2| 0. 1}.