第二章 Granger Non-causality 檢定
第四節 新檢定統計量
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第四節 新檢定統計量
Wald Test 之檢定統計量(2.21) 以數學幾何的角度而言，乃測量 𝑅𝜃̂ 到 0 向 量的“Mahalanobis distance”，亦即建立在最小平方法(OLS) 估計量之近似常態分 配的基礎上。由文獻上可知以此架構之 Granger causality 檢定，所謂的 Uniformly most powerful(UMP) 檢定並不存在(Tsai & Sen, 1993)。所以本研究致力於找出其 他新統計量，觀察如何改進 Wald Test 之統計檢定力。在本節中將介紹四個新 統計量，並在往後之章節實際應用與比較。
2.4.1 檢定統計量 M
考慮統計量
= a {| ̂1|, | ̂2|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| }, (2.25) 其中 | ̂1|, | ̂2|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 為每個估計係數到 0 的距離。若 較大時，意味著 𝑅𝜃̂ 與 0 向量有很大的距離。因此在 的顯著水準下，當 𝑡 時拒絕
0：𝑅𝜃 = 𝟎 ，其中 t 值為一個正數。接下來將介紹如何決定 t 的值。
由於 𝑅𝜃̂ = ( ̂1, ̂2, ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝 )′ 之分配會近似於常態分配，即
𝑅𝜃̂ (𝟎, 𝑇−1𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ), (2.26) 得到係數的近似分配後，所以 t 值必須滿足：
𝑃( 𝑡|𝑅𝜃 = 𝟎 ) = 𝑃(| ̂1| 𝑡 , | ̂2| 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 𝑡|𝑅𝜃 = 𝟎) (2.27) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝 =
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.26) 之機率密度函數。描述根據 (2.27) 找 t 值並不容 易，但是可藉由 R 軟體之套件 “ mvtnorm ”(http://cran.r-project.org/web/packages/
mvtnorm/mvtnorm.pdf) 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 α 百分位 數，則此 1 α 百分位數即為 t 值 。
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因此，在給定 𝑅𝜃 = 𝐜 的條件下，檢定統計量 M 之檢定力 𝑃𝑜 𝑒𝑟𝑀(𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 | 𝑅𝜃 = 𝐜)
= 𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) = 𝑃(| ̂1| 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) (2.28)
= 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝,
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.24) 之機率密度函數。同理，(2.28) 之檢定力也可藉 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量 M 之檢定力。
2.4.2 檢定統計量 𝑴 𝒔
此外，考慮到不同估計系數之標準差會造成不同結果，因此定義新統計量
= a {| ̂1⁄ |, | ̂1 2⁄ |, ⋯ , | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| }, (2.29) 其中 12, ⋯ , 𝑛𝑚𝑝2 分別為 ̂1, ̂2, ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝之變異數，因此在虛無假設於 (2.19) 的條件下，估計係數之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝟎,1 𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ), (2.30)
其中 = dia ( 12, ⋯ , 𝑛𝑚𝑝2 ) 為對角矩陣，在對立假設 (2.22) 的條件下，估計係 數之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝐜 ,1 𝑅( −1 ∑𝑎)𝑅′ ). (2.31)
仿照上敘方式，求得係數之近似分配後找出 𝑡 (𝑡 0) 滿足：
𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝟎 ) (2.32)
= 𝑃(| ̂1⁄ | 𝑡1 , | ̂2⁄ | 𝑡2 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 0) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝 =
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.30) 之機率密度函數，𝑡 之值可藉由 R 軟體之套件
“mvtnorm” 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 α 百分位數，則此
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1 α 百分位數即為 𝑡 值 。在 = 0.05 的顯著水準下，當 𝑡 時拒絕
0：𝑅𝜃 = 𝟎。此外，檢定統計量 之檢定力為 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 | 𝑅𝜃 = 𝐜)
= 𝑃( 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 )
= 𝑃(| ̂1⁄ | 𝑡1 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) (2.33) = 1 −𝑡 𝑡⋯ −𝑡
𝑡 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 1⋯ 𝑛𝑚𝑝,
其中 ( 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝) 為 (2.31) 之機率密度函數。同理，(2.33) 之檢定力也可藉 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量 之檢定力。
檢定統計量 𝑩
考慮檢定統計量
= | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝|, (2.34) 如同 2.4.1 與 2.4.2 小節之方法
，
找出滿足𝑃(| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =
之 u 值，當 時拒絕 0：𝑅𝜃 = 0。由於計算複雜，特別是當參數個數越 來越大時，因此可以採用 Monte Carlo 模擬的方式來計算 u 值，其做法如下所述。
從 (2.26) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，並將每一組之 | ̂1|, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝| 相 加得到
= | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝|, 對所有 = 1, … , ,
並找出 1, ⋯ , 之 1 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 M 次得 M 組 1 百分位數 𝑍1,1− , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M 組之平均即為 值。
檢定統計量 之檢定力為
𝑃( |𝑅𝜃 = 𝐜 ). (2.35) 檢定統計量 之檢定力也可以利用模擬的方式來估計。從 (2.24) 中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 各 N 個， 其中
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𝑃(| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| ) = 𝐸[𝐼{| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| }].
根據 (2.35)，檢定力之估計值為
𝑝̂ =#{| ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| } .
因此藉由模擬的方式，計算 = | ̂1| + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝| 時所占 N 個的比例，即 為檢定統計量 之檢定力估計值。
2.4.4 檢定統計量 𝑩 𝒔
考慮檢定統計量
= | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝|, (2.36) 找出滿足
𝑃(| ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =
之 值，當 時拒絕 0：𝑅𝜃 = 0。如同 2.4.3 之介紹，使用模擬方式 找出 之值，其做法如下所述。從 (2.30) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2, … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，
並將每一組之 | ̂1⁄ |, ⋯ , | ̂1 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 相加得到
= | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝|, 對所有 = 1, … , ,
並找出 1, ⋯ , 之 1 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 M 次得 M 組 1 百分位數 𝑍1,1− , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M 組之平均即為 值。
檢定統計量 之檢定力為
𝑃( |𝑅𝜃 = 𝐜 ). (2.37) (2.37) 之計算可以採用模擬之方法來估計。如同 2.4.3 小節之介紹，根據 (2.37) 可 得檢定力之估計值
𝑝̂ =#{| ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| ̂ } .
因此藉由模擬的方式，計算 = | ̂1⁄ | + | ̂1 2⁄ | + ⋯ + | ̂2 𝑛𝑚𝑝⁄ 𝑛𝑚𝑝| 時所占 N 個的比例，即為檢定統計量 之檢定力估計值。
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Time
EXPORT
0 20 40 60 80 100 120
-0.10-0.050.000.05
Time
IMPORT
0 20 40 60 80 100 120
-0.15-0.10-0.050.000.05