第二章 Granger Non-causality 檢定
第三節 多變量領先關係檢定
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根據定態條件 (i) 若∑𝑝 =1𝑎 1，則此時間序列資料為定態。
(ii) 若∑𝑝 =1𝑎 = 1，則表示至少有一個特性根等於 1。
(iii) 若∑𝑝 =1𝑎 1，此時間序列資料為非定態。
若要使上敘模型為定態，則模型中的 必須小於零，亦即 ∑𝑝 =1𝑎 1。ADF test 在於檢定 = (1 ∑𝑝 =1𝑎) 是否為零，虛無假設與對立假設可表示如下：
0： ＝0 時間序列具有單根
1： 0 時間序列不具有單根
本研究先將資料根據模型選取指標選擇落後期 p，使用 R 軟體中的程式套件
“ tseries ”(http://cran.r-project.org/web/packages/tseries/tseries.pdf)，即可將資料 進行 ADF test。此外，R 軟體的 ADF Test 是以含截距與時間趨勢模型做檢定。
第三節 多變量領先關係檢定
2.3.1 多變量領先關係
VAR(p) 模型(2.5) 可視為一個複回歸模型，通常可以利用最小平方法(OLS)
估計模型之係數矩陣 𝐴1, ⋯ , 𝐴𝑝，並藉此表達變數之間的相關結構。而 Granger Causality 之概念即以向量自我回歸模型為背景，根據預測能力之強弱判別兩群變 數間之領先關係。換句話說，給定兩群時間序列 𝑋𝑡, 𝑌𝑡( .5), Granger Causality test 可用來驗證時間序列 𝑌𝑡 對於預測時間序列 𝑋𝑡 是否有幫助。
由於資訊量之多寡進而影響決策結果之呈現，因此使用不同變數，時間序 列在 h 時間單位後之估計值亦不同。給定特定時間點 t 之兩資訊集合
Ω𝑋𝑌 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1 , 𝑌1,𝑡 , ⋯ , 𝑌𝑚,𝑡 , ⋯ , 𝑌1,1 , ⋯ , 𝑌𝑚,1} (2.16) 與
Ω𝑋 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1} (2.17) 對於未來時間點 𝑡 + ℎ 之觀測值 𝑋𝑡 ℎ ，其最佳線性估計式可寫成
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𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌) = (𝑋̂1,𝑡(ℎ|ΩXY) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡(ℎ|ΩXY)) 與
𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = (𝑋̂1,𝑡(ℎ|ΩX) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡(ℎ|ΩX)), 所謂一般性的 Granger causality 定義如下：
Definition 1 (Granger causality up to horizon c）
給定一正整數 c，若存在一個 ℎ 使得 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示 𝑌𝑡 領先 𝑋𝑡 (𝑌𝑡 Granger case 𝑋𝑡) ，記為 𝑌
( ) → 𝑋；若對於所有的 ℎ ， 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，則 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡，記作 𝑌 𝑋。
備註：若 = ，則 𝑌
( ) → 𝑋 為所謂的 Granger causality。
若加入 𝑌𝑡 後 𝑋𝑡 ℎ 之預測值會改變，即 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示 𝑌𝑡 對於 𝑋𝑡 的預測會有幫助。同理，若 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋) = 𝑋̂𝑡(ℎ|Ω𝑋𝑌)，表示𝑌𝑡 對 於 𝑋𝑡 的預測沒有幫助。對於所有的 ℎ ，以下定理說明我們可利用係數 子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 來判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否存在領先關係。
Theorem 1
VAR(p) 之模型在 (2.5) 之形式下，對於任何正整數 c， 𝑌𝑡 𝑋𝑡 若且唯若 𝐴𝑋𝑌,𝑗 = 0𝑛×𝑚, 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝.
證明：此結果從 Dufour and Renault, 1998, Lütkepohl, 2005 即可得知。
若 VAR(p) 模型之係數為已知，則可由式 (2.5) 直接觀察係數矩陣 𝐴𝑗 所有 的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗, 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝，若所有的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 皆為零矩陣，則表 示 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡 的預測。而實際上模型之係數通常為未知而且以估計方式求 得。因此，為了驗證矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 是否為零矩陣，需要對矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 進行假設檢 定，進而判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否有領先關係。此即為所謂的 Granger
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若誤差向量滿足以上條件，則可利用最小平方法(OLS) 建立 VAR(p) 模型估計係 數之一致性與近似常態分配 (Lütkepohl, 2005, p.73).定義大小為 (𝐾(𝑝 + 1) × 1) 之向量 𝑍𝑡 = vec(1𝐾×1 , 𝑊𝑡−1 , … , 𝑊𝑡−𝑝 1) 且 E(𝑍𝑡𝑍𝑡′) = Γ，可得 VAR(p) 模型估 計係數 𝑅𝜃̂ 之近似分配為
√𝑇(𝑅𝜃̂ 𝑅𝜃)→ (0, 𝑅(Γ−1 ∑ )𝑅′), 當 𝑇 → ∞ (2.20) 其中 “ ” 為所謂的 Kronecker product, 𝑇為資料的觀測期數。所謂的 Wald 檢定 統計量為
= 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ̂−1 ∑̂𝑎)𝑅′ −1(𝑅𝜃̂) (2.21) 其中 Γ̂ 與 ∑̂𝑎 分別為 Γ 與 ∑ 之一致估計量。給定一顯著水準0 1，若
21− (𝑛𝑚𝑝), (2.22) 則拒絕 0，表示有顯著的 Granger causality 存在。
2.3.3 Wald 檢定統計量之檢定力
為了驗證 𝑅𝜃 = 𝒄 𝟎 之檢定力，考慮對立假設
1：𝑅𝜃 = 𝐜, (2.23) 此時 𝑅𝜃̂ 之近似分配為
𝑅𝜃̂ (𝐜, 𝑇−1(𝑅(Γ−1 ∑𝑎)𝑅′)). (2.24) 檢定統計量 在 𝑅𝜃 = 𝟎 時其分配為自由度 nmp 之卡方分配。若 𝑅𝜃 = 𝐜 𝟎 時 ， 為 自 由 度 nmp 之 近 似 非 中 心 卡 方 分 配 (noncentral
2 distirbutio )，其非中心參數可寫成
= 𝑇𝐜′ 𝑅(Γ−1 ∑𝑎)𝑅′ −1𝐜.
可以被 ̂ = 𝑇𝐜′ 𝑅(Γ̂−1 ∑̂𝑎)𝑅′ −1𝐜 估計。因此檢定統計量 之檢定力為 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 0 |𝑅𝜃 = 𝐜)
≈ 𝑃( 2(𝑛𝑚𝑝, ̂ ) 1− 2 (𝑛𝑚𝑝))