第三章 實際資料分析與模擬
第五節 模擬研究
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直角坐標與原點構成之斜率介於 [ 12 , ] 時，相較於 有較好之效果。因此，
進 行 VAR(2) 因 果 關 係 檢 定 時 ， 若 兩 估 計 係 數 之 值 位 於 第 一 、 三 象 限 且 { 1
2 1 2 1 } ，統計量 似乎較統計量 精確。
圖十 與 之小樣本檢定力差值等高線圖
圖十一 與 之小樣本檢定力差值等高線圖
第五節 模擬研究
在本節中，利用 R 軟體套件 “des1” 與 ”vars” 從 VAR(2) 模型 [𝑋𝑡
𝑌𝑡] = [ 5
10] + [ 0.5 0.
0. 0.5] [𝑋𝑡−1
𝑌𝑡−1] + [ 0.3 0.7 0.1 0.3 ] [𝑋𝑡−2
𝑌𝑡−2] + [𝑎𝑋,𝑡 𝑎𝑌,𝑡]
模擬生成 𝑇 = 50 之兩時間序列資料，根據 ( . 4)， 可得 ( ̂1, ̂2) 之分配近似 以下之多變量常態分配，即當 𝑇 → 時，
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定力差值 (Po er Po er𝑀)，並以等高線圖的方式呈獻兩檢定統計量之檢定 力差值。
(圖十三) 為模擬之 與 之檢定力差值等高線圖，其中 { 0.4
1 , 2 0.4}，Po er 、 Po er𝑀 分為統計量 、 之檢定力。當樣本點 之直角坐標與原點構成之斜率介於 1 , 4 時，Po er𝑀 Po er ，意味著檢 定統計量 M 相較於 有較好之效果，兩係數在此區域進行 VAR(2) 因果關係 檢定時，選擇統計量 較統計量 精確。
圖十二 模擬之檢定統計量 與 之接受域比較 表十 模擬之檢定統計量 與 之檢定力結果
Location : • (0.15,0.32) (-0.15,-0.32)
Wald test 0.443 0.493
Our test
0.534 0.586
Location : × (0.2,-0.19) (-0.2,0.19
Wald test
0.89 0.89
Our test 0.441 0.441
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
-0.4-0.20.00.20.4
1
2
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圖十三 模擬之檢定統計量 與 之檢定力差值等高線圖
(圖十四) 為模擬之檢定統計量 與 之接受域比較，選定位於兩檢定統 計量未重疊部分之 4 個樣本點進行檢定力分析整理如 (表十一)。從 (表十一) 之 數據中可看出位於 "•" 之樣本點在統計量 B 之檢定力較 Wald test 佳；位於 " × "
之樣本點以 Wald test 之檢定力較大。此外，為了更清楚看出檢定力在不同點之 變化情況，取 ( 1, 2 ) 之 121 個格子點，計算同點但不同統計量 ( 與 ) 之 檢定力差值 (Po er Po er𝐵)，並以等高線圖的方式呈獻兩檢定統計量之檢定 力差值。
(圖十五)為模擬之檢定統計量 與 之檢定力差值等高線圖，其中 { 0.45 1 , 2 0.45}，Po er 、 Po er𝐵 分為統計量 、 之檢定力。
當樣本點之直角坐標與原點構成之斜率介於 [ 34 , 4 ] 時，Po er𝐵 Po er ， 意味著檢定統計量 B 相較於 有較好之效果，兩係數在此區域進行 VAR(2) 因 果關係檢定時，選擇統計量 較統計量 精確。
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圖十四 模擬之檢定統計量 與 之接受域比較
表十一 模擬之檢定統計量 與 之檢定力結果 Location : • (0.2,0.3) (-0.2,-0.3)
Wald test 0.485 0.485
Our test
0.601 0.605
Location : × (0.2,-0.19) (-0.2,0.19
Wald test
0.89 0.89
Our test 0.375 0.374
圖十五 模擬之檢定統計量 與 之檢定力差值等高線圖
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
-0.4-0.20.00.20.4
^1
2^
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第四章 總結與展望
由於傳統領先關係檢定之 Wald test，在檢定多變量常態分配之平均像量的 Uniformly most powerful(UMP) test 不存在，因此本研究介紹四種新檢定統計量，
用於檢定以定態 VAR 模型為背景之兩群時間序列之間是否有 領先(Granger causality) 或非領先(Granger non-causality) 關係。這些新的統計量主要是藉由最 小平方估計法(OLS) 來估計 VAR 模型之係數，並利用在大樣本情況下會近似於 多變量常態分配的特性。因此，這些新檢定統計量之接受域(拒絕域) 所對應之 臨界值可經由此多變量常態分配求得。根據以上結果可進而求得每個新檢定統計 量之檢定力，因此更方便將這些新檢定統計量與傳統 Wald test 比較。根據第三 章的實例分析結果，本研究提供以下準則來選擇最佳檢定統計量，而此檢定統計 量在 Granger 檢定下能有較好之檢定力。
首先識別位於 Wald test 接受域內(位於橢圓球內) 之 VAR 估計係數
VAR 模型之係數位於橢圓球體主軸之附近，則使用檢定統計量 或 進行檢定。舉例來說，本研究第三章提及在 VAR(2) 模型下進行領 先關係檢定，若兩 VAR 係數在 { 13 1 2 3 1 } 或 { 13 1 ≥ 2 ≥
3 1 } 之限制下，則建議使用檢定統計量 或 進行 Granger 檢定 有較好之檢定力。
識別橢圓球體(Wald test 之接受域)與適合的超立方體(新檢定統計量之 接受域)未重疊之部分(通常有 2nmp 個未重疊區域，如圖二(左))，若 VAR 係數位於從中心點(即原點) 到已識別之未重疊區域之向量附近，則建 議使用檢定統計量 或 進行 Granger 檢定有較好之檢定力。
若 VAR 係數未在上述提及，則建議使用 Wald test 進行 Granger 檢定有 較好之檢定力。
Granger causality test 廣泛地被應用於經濟的領域上，因此本研究希望以上之新
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檢定方法有助於執行者使用。除此之外，當 VAR 參數(即變數之數量或落後期 𝑝) 越多時，這些新檢定方法的計算將面臨挑戰。因此，本研究未來將致力於發展更 有效之演算法，希望可以快速又正確地找出檢定統計量 與 之接受域臨界 值 與 之最精確估計值。
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參考文獻
Dekimpe, M. G., & Hanssens, D. M. (1995). The persistence of marketing effects on sales, Marketing Science, 14, 1-21.
Dekimpe, M. G., & Hanssens, D. M. (1999). Sustained spending and persistent response : A new look at long-term marketing probability,
Journal of Marketing research, 36, 397-412.
Dufour, J. M., & Renault, E. (1998). Short-run and lonf-run causality in time series theory. Econometrica, 66, 1099-1125
Genz, A., Bretz, F., Miwa, T., Mi, X., Leisch, F., Scheipl, F., & Hothorn, T. (2014).
mvtnorm:Multivariate Normal and t Distributions. R package version 0.9-9997.
Retrieved from http://CRAN.R-project.org/package=mvtnorm
Geweke, J., Meese, R., & Dent, W. (1983). Comparing alternative tests of causality in temporal systems. Journal of Econometrics, 21, 161-194.
Granger, C. W. J. (1969). Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica, 37(3), 424-438.
Haugh, L. D. (1976). Checking the independence of two covariance-stationary time series: A univariate residual cross-correlation approach. Journal of the American Statistical Association, 71, 378-385.
Hung, Y. C., & Tseng, N. F. (2012). Extracting informative variables in the validation of two-group causal relationship. Computational Statistics, 28(3), 1151-1167.
Lütkepohl, H. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis.
Berlin:Springer-Verlag.
Murdoch, D., Chow, E. D.(2013). ellipse: Functions for drawing ellipses and ellipse-like confidence regions. R package version 0.3-8.Retrieved from
http://CRAN.R-project.org/package=ellipse
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l C h engchi U ni ve rs it y
37
Pierce, D. A., & Haugh, L. D. (1977). Causality in temporal systems: Characterization and a survey. Journal of econometrics, 5(3), 265-293.
Ripley, B., Venables, B., Bates, D.M., Hornik, K., Gebhardt A, Firth, D. (2014).
MASS: Support Functions and Datasets for Venables and Ripley's MASS. R package version 7.3-33. Retrieved from http://CRAN.R-project.org/package=MASS
Sims, C. A. (1972). Money, income, and causality. The American Economic Review, 62(4), 540-552.
Sims, C. A. (1980). Macroecomonics and reality. Journal of Econometrica, 48, 1-48.
Srinivasan, S. and Bass, F.M (2001). Diagnosing competitive responsiveness:
Disentangling retailer-induced and manufacturer induced actions. Paper presented at the MSI Conference on competitive responsiveness, Boston.
Takada, H., & Bass, F. M. (1998). Multiple time series analysis of competitive marketing behavior. Journal of Business Research, 43(2), 97-107.
Trapletti, A., Hornik, K., LeBaron, B. (2013). tseries: Time series analysis and computational finance. R package version 0.10-32. Retrieved from