兩群時間序列Granger領先關係之新檢定方法 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系士. 學. 位. 論. 兩群時間序列 Granger 領先關係之新檢定方法政治. 大. New Tests立of Granger Causality for. 學. ‧ 國. two Groups of Time Series. ‧. io. sit. y. Nat. al. er. 碩. n. v i n Ch 指導教授：洪英超 e n g c h i U 博士. 研究生：張欣惠. 撰. 中華民國一百零三年六月. 文.

(2) 謝辭首先誠摯的感謝我的指導教授洪英超教授，老師悉心的教導，不時的指點我正確方向。每當我面臨難題時，他總是很有耐心地分析我的問題，建議我如何解決，不僅如此，老師對學問的嚴謹更是我學習的典範，使我在研究所的生涯中獲益匪淺。感謝口委余清祥教授與曾能芳教授給予我許多寶貴意見。兩年的研究所中，最感謝我的朋友怡萱，每當我遇到困難時，她總是很有耐心與細心的陪我一起思考，也感謝我的研究所同學們，在我壓力大時陪我一起抒解壓力。最後，謹以此文獻給我摯愛的家人，在求學過程中默默支持、體諒、包容更是我前進的動力。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 張欣惠. 謹致. 中華民國一百零三年六月. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. I. i n U. v.

(3) 摘要驗證兩群時間序列間之領先關係不但在經濟的領域上為重要的課題之一，在其他領域也被廣泛地應用。由於傳統檢定此多變量常態分配之平均向量的 Uniformly most powerful(UMP) test 通常不存在，因此在本文中介紹一些新檢定統計量，用於檢定多變量 Granger 領先關係檢定，判斷兩群時間序列間是否存在領先關係，並於定態(stationary) vector autoregression (VAR) 模型為背景下進行。這些新檢定統計量之接受域臨界值可以從多變量常態分配中計算或估計出，因此不論在操作或執行上皆相當容易，除此之外，在一些參數限制下，這些新檢定統. 政治大藉由美國兩組經濟指標資料進行實證分析，評估本研究建議之新檢定統計量。立. 計量皆有各自的使用時機，使得與傳統 Wald test 相比有較好之檢定力。最後，. ‧ 國. 學. 關鍵字：向量自我迴歸模型、Granger 領先關係、Wald test、檢定力. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II. i n U. v.

(4) Abstract To identify the causal relationship between two groups of multivariate time series is not only an important topic in economic but also a wide range of applications. In this thesis, some new test statistics are introduced to identify that whether there are Grange causality between two groups of multivariate time sreies or not under stationary vector autoregression (VAR) model. These new statistics are novel from the following perspectives : (i) they are easy to implement since the critical values of the test statistic can be computed or estimated based on the multivariate normal. 政治大 power than the conventional 立Wald test under some paramter restrictions. Finally, we. distribution; and (ii) each test statistic has their using time such that they have more. ‧ 國. 學. use data from the econometric indices in the U.S to illustrate and evaluate the proposed new tests.. ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. Keywords: Vector autoregressive model, Granger causality, Wald test, power. Ch. engchi. III. i n U. v.

(5) 目錄第一章導論.................................................................................................................. 1 第二章 Granger Non-causality 檢定 ........................................................................ 3 第一節. 向量自我回歸模型 ...................................................................... 3. 第二節. 模型選擇與定態檢定 .................................................................. 4. 第三節. 多變量領先關係檢定 .................................................................. 6. 2.3.1. 多變量領先關係 .......................................................................... 6. 2.3.2. Wald 檢定統計量 ........................................................................ 8. 2.3.3. Wald 檢定統計量之檢定力 ......................................................... 9. 第四節. 新檢定統計量............................................................................ 10. 2.4.1. 檢定統計量 M ........................................................................... 10. 2.4.2. 檢定統計量 𝑴𝒔 ......................................................................... 11. . 檢定統計量 𝑩 ........................................................................... 12. 2.4.4. 檢定統計量 𝑩𝒔 ......................................................................... 13. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 第三章實際資料分析與模擬 ................................................................................... 14 第一節. ‧. 3.1.1. 實例分析 ................................................................................... 14 定態檢定與模型選擇 ................................................................ 14. y. 檢定統計量之拒絕域(接受域)與檢定力 .................................. 16. sit. 第二節. Nat. 3.1.2 領先關係檢定 ............................................................................ 15. 3.2.3. 統計量 𝑴𝒔 之接受域 ............................................................... 17. al. v i n Ch 統計量 B 之接受域................................................................... 18 engchi U n. 3.2.4. er. 統計量 M 之接受域 ................................................................... 17. io. 3.2.2. 3.2.5 統計量 𝑩𝒔 之接受域 ................................................................ 18 3.2.6. 檢定統計量之接受域比較 ......................................................... 19. 第三節. 檢定力 ....................................................................................... 20. 第四節. 小樣本之接受域與檢定力 ......................................................... 24. 3.4.1. 領先關係檢定 ............................................................................ 24. 3.4.2. 小樣本接受域與檢定力............................................................. 25. 第五節. 模擬研究 ................................................................................... 29. 參考文獻...................................................................................................................... 36. IV.

(6) 表目錄表一. ADF 檢定結果 .............................................................................................. 15. 表二. 模式選取落後期結果 ................................................................................... 15. 表三. 各檢定統計量於顯著水準 0.05 下之接受域範圍與圖形樣式................. 19. 表四. 檢定統計量. 與. 兩者之檢定力結果 ................................................ 21. 表五. 檢定統計量. 與. 兩者之檢定力結果 ................................................. 22. 表六. 小樣本各統計量之接受域範圍 ................................................................... 26. 表七. 小樣本檢定統計量. 與. 表八. 小樣本檢定統計量. 與. 表九. 各檢定統計量之接受域 ............................................................................... 30. 表十. 模擬之檢定統計量. 與. 之檢定力結果 ............................................ 31. 表十一模擬之檢定統計量. 與. 之檢定力結果 .............................................. 33. 治 ..............................................28 政之檢定力結果大學. ‧. ‧ 國. 立. 之檢定力結果 ............................................ 27. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. V. i n U. v.

(7) 圖目錄圖一. EXPORT 與 IMPORT 成長率之趨勢圖 ..................................................... 14. 圖二. (左). 圖三圖四. 與與. (右). 之接受域比較 ........................................... 20. 之接受域比較 ............................................................................. 22 與. (左). 與. (右). 與. 之接受域格子點 ......................................... 22. 圖五. 與. 之檢定力差值等高線圖 ............................................................ 23. 圖六. 與. 之檢定力差值等高線圖 ............................................................. 24. 圖七. 小樣本(左). 圖八. 小樣本. 圖九. 小樣本(左). 圖十. 與. 之小樣本檢定力差值等高線圖 ................................................ 29. 圖十一. 與. 之小樣本檢定力差值等高線圖 .................................................. 29. 與與. (右). 與. 之接受域比較 ............................... 26. 政治大 (右) 與之接受域格子點 ............................. 28. 之接受域比較 ................................................................. 27. 立. 與. ‧. ‧ 國. 學. 之接受域比較 ........................................... 31. 圖十三模擬之檢定統計量. 與. 之檢定力差值等高線圖 ........................... 32. 圖十四模擬之檢定統計量. 與. 之接受域比較 ............................................ 33. sit. n. er. io. al. y. 與. Nat. 圖十二模擬之檢定統計量. Ch. engchi. VI. i n U. v.

(8) 第一章導論影響經濟的因數與日俱增，單變量之時間序列分析已不再滿足現今經濟之變動，多變量時間序列分析越來越受重視。向量自我迴歸模型 (vector autoregressive model，簡稱 VAR 模型)。自從 Sims (1980) 在經濟研究領域中提出了 VAR 模型，由於 VAR 模型能精確地描述變數間的動態關係，大量使用於經濟相關領域。VAR 模型不論長期或短期，皆能呈現變數之間相互影響效果，可看出所有市場訊息的相關性 (Dekimpe and Hanssens, 1995；Srinivasan et al, 2001；Takada and Bass, 1998)。. 立. 政治大. Clive W. J. Granger 是研究因果關係之先驅，於 1969 年提出變數與變數之. ‧ 國. 學. 間存在領先關係，其概念以時間序列之 VAR 模型為背景，利用模型之係數判斷兩變數間是否有領先關係 (Granger, 1969)。若模型中特定係數為零，則表示兩群. ‧. 變數間沒有領先關係；反之，若特定係數皆不為零，表示兩群變數間有領先關係. y. Nat. sit. (Lütkepohl, 2005；Dufour & Renault, 1988；Hung & Tseng, 2012)。在實務應用上，. n. al. er. io. VAR 模型之係數通常為未知，所以可以利用最小平分估計法(OLS)求得估計係數，. i n U. v. 針對特定係數進行假設檢定。雖然 VAR 模型與簡單回歸模型皆可利用最小平方. Ch. engchi. 法求得係數並建立最佳線性估計式，但以往回歸分析只能藉由係數判斷兩變數間之相關性，而 Granger Causality 卻能以模型之係數判斷兩變數之預測強弱，進而得知兩群變數間之領先(causality) 與非領先(non-causlaity) 關係。 Granger Causality 的檢定建立在 VAR 模型為定態 (stationary) 的假設上，若樣本數大時，由最小平方法得到的估計係數可近似於常態分配，因此可以用所謂的 Wald Test 進行假設檢定(Lütkepohl, 2005)。但由於在檢定此多變量常態分配之平均向量的 Uniformly most powerful(UMP) test 通常不存在(Tsai & Sen, 1993)，因此本研究考慮其他的檢定統計量進行 Granger causality 檢定，目的是希望在不同參數設定下，相較於 Wald test 能增加其檢定力(power)。 1.

(9) 本研究於第二章將更深入介紹 VAR 模型之架構，包含模型之落後期數選擇方法與檢定配適資料是否定態。其中關於 VAR 落後期數之選擇方法主要是利用 Akaike Information Criterion (AIC), Schwarz-Bayesian Information Criterion (BIC) 及 Hannan-Quinn (HQ) 等方法，檢定 VAR 模型是否為定態的方法為 Augmented Dickey-Fuller (ADF) 檢定。此外，本文也將介紹如何定義多變量的領先關係以及如何裡用 Wald test 來檢定兩群變數間的 Granger causality。根據最小平方法得到的 VAR 參數估計式之大樣本理論，我們提出兩種新的檢定量，並描述如何計算對應的拒絕域及檢定力。第三章為實例驗證，我們使用美國經濟指標. 政治大範圍，並比較新檢定統計量與 Wald test 於不同對立假設之檢定力。為了更清楚立. 之 ”EXPORT GOODS” 與 ”IMPORT GOODS” 之資料，求得各統計量之接受域. 呈現檢定力變化，將新檢定統計量之檢定力與 Wald test 之檢定力差值繪成等高. ‧ 國. 學. 線圖，並藉此了解對應 VAR 參數空間之最佳檢定量之選擇方法。第四章彙整本. ‧. 文結果並提出未來研究的可能方向。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(10) 第二章 Granger Non-causality 檢定第一節向量自我回歸模型研究單變數時間序列模型，除了探討變數對於時間的變化外，最大的目的在於預測變數在未來的可能變化。例如政府對於過去之經濟成長率來預測未來可能變化來決策經濟政策；投資者根據歷史的股票變化來決定下一個投資組合等等。無論經濟、金融或工業領域，時間序列的模型一直被廣泛的應用。時間序列模型可以從最基本的單變數時間序列開始延伸。例如，落後期為 2. 政治大. 的 Autoregressive 模型記為 AR (2)，可表示為. 立 𝑦 =𝑎 𝑡. 0. + 𝑎1 𝑦𝑡−1 + 𝑎2 𝑦𝑡−2 + 𝜖𝑡 .. (2.1). ‧ 國. 學. 若更進一步地探討兩個或兩個以上的變數「當期」間之時間序列，則稱之為靜態時間序列模型。例如，. ‧. 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1,𝑡 + 𝑎2 𝑥2,𝑡 + ⋯ 𝑎𝑝 𝑥𝑝,𝑡 + 𝜀𝑡 .. Nat. y. (2.2). sit. 同樣地，若變數與變數間除了對當期影響外，還會延續到下一期，則稱之為動態. n. a𝑦l. 𝑡. er. io. 時間序列模型。例如，. i n U. = 𝑎0 + 𝑎1 𝑦𝑡−1 + 𝑏1 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡 .. Ch. engchi. v. (2.3). 在當今的經濟現象中，影響經濟變動的因素與日俱增，單變數分析只能從自身前期資料進行預測，因此難以再用單個變數來探討經濟現象。當欲研究的變數越多，變數間產生的關係越複雜。在一般計量的方法中常以結構系統方程式來估計，而在時間序列的分析中，則以向量自我回歸(Vector autoregreesion 簡稱 VAR) 的方法來估計。換句話說，向量自我回歸為結構系統方程式的縮減式，目的在於描述(或進一步預測) 變數與變數之間的動態關係。所謂落後期為 p 階的自我回歸模型通常記為 VAR(p)，並可寫成 𝑊𝑡 = 𝑏 + 𝐴1 𝑊𝑡−1 + 𝐴2 𝑊𝑡−2 + ⋯ + 𝐴𝑝 𝑊𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 ,. (2.4). 其中 b 為 (𝐾 × 1) 常數向量，𝑊𝑡 = (𝑊1,𝑡 , 𝑊2,𝑡 , ⋯ , 𝑊𝐾,𝑡 )′ 為 (𝐾 × 1) 隨機向量， 3.

(11) 𝐴𝑗 為 (𝐾 × 𝐾) 係數矩陣，𝑗 = 1, … , 𝑝 且 at 為 (𝐾 × 1) 誤差向量，通常必須滿足： (i) 𝐸(𝑎𝑡 ) = 0; (ii) 𝐸 (𝑎𝑡 𝑎𝑡 ′) 為正定(positive define); (iii) 𝐸 (𝑎𝑡 𝑎𝑡−𝑘 ′ ) = 0 , 𝑘 ≥ 0. 將所有變數拆成兩群 𝑋𝑡 與 𝑌𝑡 ，以矩陣方式表示為 𝐴𝑋𝑋,𝑗 𝑋 𝑏 𝑊𝑡 = [ 𝑡 ] = [ 𝑋 ] + ∑𝑝𝑗=1 [ 𝑌𝑡 𝐴𝑌𝑋,𝑗 𝑏𝑌. 𝐴𝑋𝑌,𝑗 𝑋𝑡−𝑗 𝑎𝑋.𝑡 ][ ] + [𝑎 ] ，𝑡 = 1, … 𝑇 , 𝐴𝑌𝑌,𝑗 𝑌𝑡−𝑗 𝑌,𝑡. (2.5). ′. 其中 𝑋𝑡 = (𝑋1,𝑡 , 𝑋2,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 ) 與 𝑌𝑡 = (𝑌1,𝑡 , 𝑌2,𝑡 , ⋯ , 𝑌𝑚,𝑡 )′ 為 (n×1) 與 (m×1). 政治大. 之隨機向量， 𝑏𝑋 與 𝑏𝑌 分別為 (n×1) 與 (m×1) 常數向量， 𝐴𝑋𝑋,𝑗 , 𝐴𝑋𝑌,𝑗 , 𝐴𝑌𝑋,𝑗 ,. 立. 𝐴𝑌𝑌,𝑗 為 𝐴𝑗 之子矩陣，分別為 (n×n), (n×m), (m× 𝑛) 與 (m×m) 階。 𝑎𝑋,𝑡 與. ‧ 國. 學. 𝑎𝑌,𝑡 為 (n×1) 與 (m×1) 誤差向量。. ‧. 第二節模型選擇與定態檢定. y. Nat. io. sit. VAR(p) 模型中的每一個變數所對應的係數，通常可以最小平方法(Least. n. al. er. Square Method) 估計求得，但是若要選取最適合的落後期數 p，可考慮文獻中常見的三個模式選取指標： . Ch. engchi. . v. Akaike’s Imformation Criterion (AIC). ̂ (𝑝)| + 2 𝑝𝐾 2 ; |∑. (𝑝 ) = . i n U. (2.6). Schwarz-Bayesian Imformation Criterion (BIC) 𝑛. (𝑝 ) =. ̂ (𝑝)| + |∑. (𝑝 ) =. ̂ (𝑝)| + 2 𝑛 𝑛 𝑝𝐾 2 ; |∑. 𝑝𝐾 2 ;. (2.7). Hannan-Quinn (HQ) (2.8). ̂ (𝑝) = 𝑇 −1 ∑𝑡=1 𝑎̂𝑡 𝑎̂𝑡 ′ 為誤差項的共變異數矩陣之估計，p 為欲選取的落其中 ∑ 後期，T 表示此時間序列的樣本數，K 表示此時間序列的變數個數。使用者可選 4.

(12) 取使模式選取指標最小之 p 值作為模型之落後期數。時間序列模型主要藉由過去的資料預測未來，但並非每一筆時間序列都可以進行預測，所有的向量自我回歸模型皆以定態(stationary)的基礎下進行分析與預測，若時間序列模型為非定態時，容易產生估計上的錯誤。因此在進行預測時，必須先確定模型為定態。「單根檢定」為時間序列分析中常見的定態檢定， Dickey-Fuller (DF test)、 Augmented Dickey-Fuller (ADF test)、Phillips-Perron (PP test)、KPSS test 等都是常用的單根檢定方法。本研究進行單根檢定時，採取一般常用的 ADF 檢定，ADF. 政治大 = 𝑎 +𝑎 𝑦 + 𝑎 𝑦 +⋯+𝑎 𝑦 立. 檢定可從一個單一向量的 AR 模型延伸，其做法如下。考慮以下 AR(p) 模型： 𝑦𝑡. 0. 1 𝑡−1. 2 𝑡−2. 𝑝 𝑡−𝑝. + 𝜀𝑡 ,. (2.9). 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑦𝑡−1 + 𝑎2 𝑦𝑡−2 + ⋯ + 𝑎𝑝 𝑦𝑡−𝑝 1. = 𝑦𝑡−𝑝. 1. 𝑎𝑝 𝑦𝑡−𝑝. 1. 𝑦𝑡−𝑝 ) 表示為. 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑦𝑡−1 + 𝑎2 𝑦𝑡−2 + ⋯ + 𝑎𝑝 𝑦𝑡−𝑝. + 𝑎𝑝 𝑦𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 , (2.10). + 𝑎𝑝 ( 𝑦𝑡−𝑝 1 ) + 𝜀𝑡 .. (2.11). y. Nat. 1. n. al. =. Ch (1. er. io. 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑦𝑡−1 + ∑𝑝=2. sit. 以上敘方法依序反覆進行可整理得：. 其中. 1. ‧. 同類項合併並以差分(△𝑦𝑡−𝑝. 學. ‧ 國. 同時加減 𝑎𝑝 𝑦𝑡−𝑝 1 可得. 𝑦𝑡−. 𝑗. n U engchi 𝑝 𝑝. ∑ =1 𝑎 )，. 𝑗. =. iv. 1. + 𝜀𝑡. (2.12). ∑𝑗=1 𝑎𝑗 .. Augmented Dickey-Fuller 檢定模式大致可分成以下三種： . 含截距與時間趨勢模型 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑦𝑡−1 + 𝑎2 𝑡 + ∑𝑝=2. . 𝑦𝑡−. 1. + 𝜀𝑡 ;. (2.13). 含截距不含時間趨勢模型 𝑦𝑡 = 𝑎0 + 𝑦𝑡−1 + ∑𝑝=2. . 𝑗. 𝑗. 𝑦𝑡−. 1. + 𝜀𝑡 ;. (2.14). 不含截距與時間趨勢模型 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + ∑𝑝=2 5. 𝑗. 𝑦𝑡−. 1. + 𝜀𝑡 .. (2.15).

(13) 根據定態條件. (i). 若∑𝑝=1 𝑎. (ii). 若∑𝑝=1 𝑎 = 1，則表示至少有一個特性根等於 1。. (iii) 若∑𝑝=1 𝑎. 1，則此時間序列資料為定態。. 1，此時間序列資料為非定態。 𝑝 必須小於零，亦即 ∑ =1 𝑎. 若要使上敘模型為定態，則模型中的在於檢定 0： 1：. ∑𝑝=1 𝑎 ) 是否為零，虛無假設與對立假設可表示如下：. (1. =. 1。ADF test. ＝0 時間序列具有單根 0. 時間序列不具有單根. 本研究先將資料根據模型選取指標選擇落後期 p，使用 R 軟體中的程式套件. 政治大進行 ADF test。此外，R 軟體的 ADF Test 是以含截距與時間趨勢模型做檢定。立. “ tseries ”(http://cran.r-project.org/web/packages/tseries/tseries.pdf)，即可將資料. ‧ 國. 學. 第三節多變量領先關係檢定. ‧. 2.3.1 多變量領先關係. y. Nat. er. io. sit. VAR(p) 模型(2.5) 可視為一個複回歸模型，通常可以利用最小平方法(OLS) 估計模型之係數矩陣 𝐴1 , ⋯ , 𝐴𝑝 ，並藉此表達變數之間的相關結構。而 Granger. al. n. v i n Causality 之概念即以向量自我回歸模型為背景，根據預測能力之強弱判別兩群變 Ch engchi U. 數間之領先關係。換句話說，給定兩群時間序列 𝑋𝑡 , 𝑌𝑡 ( .5), Granger Causality test 可用來驗證時間序列 𝑌𝑡 對於預測時間序列 𝑋𝑡 是否有幫助。由於資訊量之多寡進而影響決策結果之呈現，因此使用不同變數，時間序列在 h 時間單位後之估計值亦不同。給定特定時間點 t 之兩資訊集合 Ω𝑋𝑌 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1 , 𝑌1,𝑡 , ⋯ , 𝑌𝑚,𝑡 , ⋯ , 𝑌1,1 , ⋯ , 𝑌𝑚,1 } (2.16) 與 Ω𝑋 = {𝑋1,𝑡 , ⋯ , 𝑋𝑛,𝑡 , ⋯ , 𝑋1,1 , ⋯ , 𝑋𝑛,1 } 對於未來時間點 𝑡 + ℎ 之觀測值 𝑋𝑡. ℎ. ，其最佳線性估計式可寫成. 6. (2.17).

(14) 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋𝑌 ) = (𝑋̂1,𝑡 (ℎ|ΩXY) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡 (ℎ|ΩXY)) 與 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋 ) = (𝑋̂1,𝑡 (ℎ|ΩX ) , ⋯ , 𝑋̂𝑛,𝑡 (ℎ|ΩX)), 所謂一般性的 Granger causality 定義如下： Definition 1 (Granger causality up to horizon c）使得 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋 ). 給定一正整數 c，若存在一個 ℎ. 領先 𝑋𝑡 (𝑌𝑡 Granger case 𝑋𝑡 ) ，記為 𝑌 →. ( ). 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋𝑌 )，表示 𝑌𝑡. 𝑋；若對於所有的 ℎ. 政治大. 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋 ) = 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋𝑌 )，則 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡 ，記作 𝑌 =. 𝑋。. 立 𝑋 為所謂的 Granger causality。. ，則 𝑌 →. ( ). 若加入 𝑌𝑡 後 𝑋𝑡. ℎ. 之預測值會改變，即 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋 ). 學. ‧ 國. 備註：若. ，. 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋𝑌 )，表示. ‧. 𝑌𝑡 對於 𝑋𝑡 的預測會有幫助。同理，若 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋 ) = 𝑋̂𝑡 (ℎ|Ω𝑋𝑌 )，表示𝑌𝑡 對於 𝑋𝑡 的預測沒有幫助。對於所有的 ℎ. ，以下定理說明我們可利用係數. y. Nat. n. al. er. io Theorem 1. sit. 子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 來判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否存在領先關係。. Ch. engchi. i n U. v. VAR(p) 之模型在 (2.5) 之形式下，對於任何正整數 c， 𝑌𝑡. 𝑋𝑡 若且唯若. 𝐴𝑋𝑌,𝑗 = 0𝑛×𝑚 , 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝. 證明：此結果從 Dufour and Renault, 1998, Lütkepohl, 2005 即可得知。若 VAR(p) 模型之係數為已知，則可由式 (2.5) 直接觀察係數矩陣 𝐴𝑗 所有的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 , 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝，若所有的子矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 皆為零矩陣，則表示 𝑌𝑡 無法影響 𝑋𝑡 的預測。而實際上模型之係數通常為未知而且以估計方式求得。因此，為了驗證矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 是否為零矩陣，需要對矩陣 𝐴𝑋𝑌,𝑗 進行假設檢定，進而判斷 VAR(p) 模型之兩群變數間是否有領先關係。此即為所謂的 Granger 7.

(15) (non)causality 檢定，而 Wald Test 為執行此檢定之傳統方法。. 2.3.2 Wald 檢定統計量從 Theorem 1 得知，若要了解兩群變數間之領先關係，必須要驗證 𝐴𝑋𝑌,𝑗 = 𝟎𝑛×𝑚 , 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝。將式 (2.5) 展開，合併整理如以下模型：. 𝐴11,1 𝐴12,1 𝑏 𝑊𝑡 = ( 1 ) + ( 𝐴21,1 𝐴21,1 𝑏2. 𝐴11,𝑝 𝐴21,𝑝. ⋯ ⋯. 𝑋𝑡−1 𝑌𝑡−1 𝐴12,𝑝 𝑎𝑋,𝑡 ⋮ ) + (𝑎 ) 𝐴22,𝑝 𝑋 𝑌,𝑡 𝑡−𝑝 ( 𝑌𝑡−𝑝 ). (2.18). 政治大. 定義 𝜃 =vec(𝑏, 𝐴1 , … , 𝐴𝑝 )，其中 vec 表示行堆疊算子(column stacking operator )，. 立. 亦即將所有 VAR(p) 之估計係數以行之方向堆疊成大小為 ((𝐾 2 𝑝 + 𝑘) × 1) 之. ‧ 國. 學. 向量，其中 𝐾 = 𝑚 + 𝑛 。此外， Granger (non)causality 檢定從特定係數. 所有的參數。因此，若要檢定. 0 ：𝐴𝑋𝑌,𝑗. ‧. 𝐴𝑋𝑌,1 、𝐴𝑋𝑌,2 、 ⋯ 、𝐴𝑋𝑌,𝑝 判斷兩群變數是否有領先關係，而 𝜃 包含了 VAR(p) = 𝟎𝑛×𝑚 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝, 可考慮. =𝟎. (2.19). n. er. io. al. 0 ：𝑅𝜃. sit. y. Nat. 虛無假設. i n U. v. 其中 R 為元素 0 與 1 所組成之 (𝑛𝑚𝑝 × (𝐾 2 𝑝 + 𝐾 )) 矩陣，使得 𝑅𝜃 = 𝟎 等同於. Ch. engchi. 𝐴𝑋𝑌,𝑗 = 𝟎𝑛×𝑚 對所有的 𝑗 = 1, … , 𝑝. 所謂的 Wald Test. 通常被用於驗證虛無假. 設 (2.19)，其進行方式如下：定義. 𝑎𝑋,𝑡 𝑎𝑡 = (𝑎 ) 為誤差向量，並滿足以下 white noise 的特性： 𝑌,𝑡. (1) E(𝑎𝑡 ) = 0; (2) 𝐸(𝑎𝑡 𝑎𝑡 ′ ) = Σ𝑎 為非奇異(nonsingular); (3) 𝑎𝑡 與 𝑎 為不相關，其中 𝑡. 。. (4) 存在一常數 B 使得 E|𝑎 ,𝑡 𝑎𝑗,𝑡 𝑎𝑘,𝑡 𝑎 ,𝑡 |. ，對所有的 , 𝑗, 𝑘,. 成立。 8. {1, … , 𝐾 } 與 t 皆.

(16) 若誤差向量滿足以上條件，則可利用最小平方法(OLS) 建立 VAR(p) 模型估計係數之一致性與近似常態分配 (Lütkepohl, 2005, p.73).定義大小為 (𝐾(𝑝 + 1) × 1) 之向量 𝑍𝑡 = vec(1𝐾×1 , 𝑊𝑡−1 , … , 𝑊𝑡−𝑝 1 ) 且 E(𝑍𝑡 𝑍𝑡′ ) = Γ，可得 VAR(p) 模型估計係數 𝑅𝜃̂ 之近似分配為 √𝑇(𝑅𝜃̂. 𝑅𝜃) →. (0, 𝑅(Γ−1 ∑ )𝑅′), 當 𝑇 → ∞. (2.20). 其中 “ ” 為所謂的 Kronecker product, 𝑇為資料的觀測期數。所謂的 Wald 檢定統計量為 ̂ 𝑎 )𝑅′ = 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ̂ −1 ∑. −1. (𝑅𝜃̂). (2.21). 政治大 (𝑛𝑚𝑝),. ̂ 𝑎 分別為 Γ 與 ∑ 之一致估計量。給定一顯著水準0 其中 Γ̂ 與 ∑. 立. ‧ 國. 0 ，表示有顯著的. (2.22). 1−. Granger causality 存在。. 學. 則拒絕. 2. Nat. 𝑅𝜃̂ 檢定統計量 𝑅𝜃 = 𝐜 2. 𝟎 時，. Ch. engchi. er. = 𝐜,. n. al. 1 ：𝑅𝜃. sit. 𝟎 之檢定力，考慮對立假設. io 此時 𝑅𝜃̂ 之近似分配為. y. ‧. 2.3.3 Wald 檢定統計量之檢定力為了驗證 𝑅𝜃 = 𝒄. 1，若. i n U. (2.23). v. (𝐜, 𝑇 −1 (𝑅(Γ −1 ∑𝑎 )𝑅 ′)).. (2.24). 在 𝑅𝜃 = 𝟎 時其分配為自由度 nmp 之卡方分配。若為自由度 nmp 之近似非中心卡方分配 (noncentral. distirbutio )，其非中心參數可寫成 = 𝑇𝐜 ′ 𝑅(Γ −1 ∑𝑎 )𝑅′ ̂ 𝑎 )𝑅′ 可以被 ̂ = 𝑇𝐜 ′ 𝑅(Γ̂ −1 ∑. −1. −1. 𝐜.. 𝐜 估計。因此檢定統計量. 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 ≈ 𝑃(. 2(. 9. 0. |𝑅𝜃 = 𝐜). 𝑛𝑚𝑝, ̂ ). 2 1−. (𝑛𝑚𝑝)). 之檢定力為.

(17) 第四節新檢定統計量 Wald Test 之檢定統計量(2.21) 以數學幾何的角度而言，乃測量 𝑅𝜃̂ 到 0 向量的“Mahalanobis distance”，亦即建立在最小平方法(OLS) 估計量之近似常態分配的基礎上。由文獻上可知以此架構之 Granger causality 檢定，所謂的 Uniformly most powerful(UMP) 檢定並不存在(Tsai & Sen, 1993)。所以本研究致力於找出其他新統計量，觀察如何改進 Wald Test 之統計檢定力。在本節中將介紹四個新統計量，並在往後之章節實際應用與比較。. 政治大. 2.4.1 檢定統計量 M. 立. ‧ 國. 學. 考慮統計量. a {| ̂1 |, | ̂2 |, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 | },. =. 𝑡 時拒絕. sit. y. 的顯著水準下，當. = 𝟎 ，其中 t 值為一個正數。接下來將介紹如何決定 t 的值。. io. er. 0 ：𝑅𝜃. Nat. 𝑅𝜃̂ 與 0 向量有很大的距離。因此在. 較大時，意味著. ‧. 其中 | ̂1 |, | ̂2 |, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 | 為每個估計係數到 0 的距離。若. (2.25). 由於 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 , ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝 )′ 之分配會近似於常態分配，即. n. al. 𝑅𝜃̂. i ′ )n C (𝟎,h𝑇 −1 𝑅( −1 ∑𝑎 )𝑅U engchi ,. v. (2.26). 得到係數的近似分配後，所以 t 值必須滿足： 𝑃(. 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝟎 ) = 𝑃(| ̂1 | =1. −𝑡. 𝑡 , | ̂2 | 𝑡. ⋯. 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 | −𝑡. 𝑡. (. 1. 𝑡|𝑅𝜃 = 𝟎) ,⋯,. 𝑛𝑚𝑝 ). (2.27) 1⋯. 𝑛𝑚𝑝. = 其中. (. 1. ,⋯,. 𝑛𝑚𝑝 ). 為 (2.26) 之機率密度函數。描述根據 (2.27) 找 t 值並不容. 易，但是可藉由 R 軟體之套件 “ mvtnorm ”(http://cran.r-project.org/web/packages/ mvtnorm/mvtnorm.pdf) 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 數，則此 1. α 百分位數即為 t 值。 10. α 百分位.

(18) 因此，在給定 𝑅𝜃 = 𝐜 的條件下，檢定統計量 M 之檢定力 𝑃𝑜 𝑒𝑟𝑀 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡. =1 (. 1. ,⋯,. | 𝑅𝜃 = 𝐜). 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ) = 𝑃(| ̂1 |. = 𝑃(. 其中. 0. −𝑡 𝑛𝑚𝑝 ). 𝑡. ⋯. −𝑡. 𝑡. 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 | (. 1. ,⋯,. 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ). 𝑛𝑚𝑝 ). 1⋯. (2.28). 𝑛𝑚𝑝 ,. 為 (2.24) 之機率密度函數。同理，(2.28) 之檢定力也可藉. 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量 M 之檢定力。. 2.4.2 檢定統計量 𝑴𝒔. 政治大. 此外，考慮到不同估計系數之標準差會造成不同結果，因此定義新統計量 =. ̂. 1 |, | 2 ⁄ 2 |,. 1. ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. ‧ 國. 2 2 1 , ⋯ , 𝑛𝑚𝑝. 𝑛𝑚𝑝 |. },. (2.29). 學. 其中. 立a {| ̂ ⁄. 分別為 ̂1 , ̂2 , ⋯ , ̂𝑛𝑚𝑝 之變異數，因此在虛無假設於 (2.19). 的條件下，估計係數之近似分配為. ‧. 2 𝑛𝑚𝑝 ). 為對角矩陣，在對立假設 (2.22) 的條件下，估計係. ∑𝑎 )𝑅′. 數之近似分配為. 𝑅𝜃̂. Ch (𝐜 ,. 1. i n U. e n𝑅(g c−1h∑i 𝑎 )𝑅′. 仿照上敘方式，求得係數之近似分配後找出 𝑡 (𝑡 𝑃(. −𝑡. ).. (2.31). 0) 滿足： (2.32). 𝑡 , | ̂2 ⁄ 2| 𝑡⋯. (2.30). v. 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝟎 ). = 𝑃(| ̂1 ⁄ 1 | =1. ),. sit. n. al. −1. er. io. = dia ( 12 , ⋯ ,. 𝑅(. y. (𝟎,. Nat. 其中. 1. 𝑅𝜃̂. −𝑡. 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄ 𝑡. (. 1. ,⋯,. 𝑛𝑚𝑝 |. 𝑛𝑚𝑝 ). 1⋯. 𝑡 |𝑅𝜃 = 0) 𝑛𝑚𝑝. = 其中. (. 1. ,⋯,. 𝑛𝑚𝑝 ). 為 (2.30) 之機率密度函數，𝑡 之值可藉由 R 軟體之套件. “mvtnorm” 計算出。此套件可根據 (2.26) 之分配計算 1 11. α 百分位數，則此.

(19) 1. = 0.05 的顯著水準下，當. α 百分位數即為 𝑡 值。在 0 ：𝑅𝜃. = 𝟎。此外，檢定統計量. 𝑃𝑜 𝑒𝑟 (𝐜) = 𝑃(𝑟𝑒𝑗𝑒 𝑡 = 𝑃(. 0. (. 其中. 1. ,⋯,. 之檢定力為. | 𝑅𝜃 = 𝐜). 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ). = 𝑃(| ̂1⁄ 1| =1. 𝑡 , ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄ 𝑡⋯. −𝑡. 𝑛𝑚𝑝 ). −𝑡. 𝑡. 𝑛𝑚𝑝 |. (. 1. 𝑡 |𝑅𝜃 = 𝐜 ). ,⋯,. 𝑛𝑚𝑝 ). 1⋯. (2.33) 𝑛𝑚𝑝 ,. 為 (2.31) 之機率密度函數。同理，(2.33) 之檢定力也可藉. 由 R 軟體套件 “mvtnorm” 計算於 (2.24) 分配下之檢定統計量.  檢定統計量 𝑩. 之檢定力。. 政治大. 立. ‧ 國. 學. 考慮檢定統計量. = | ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |,. (2.34). n. al. 0 ：𝑅𝜃. Ch. = 0。由於計算複雜，特別是當參數個數越. er. io. 時拒絕. |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =. sit. Nat. 𝑃(| ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |. y. ‧. 如同 2.4.1 與 2.4.2 小節之方法，找出滿足. 之 u 值，當. 𝑡 時拒絕. i n U. v. 來越大時，因此可以採用 Monte Carlo 模擬的方式來計算 u 值，其做法如下所述。. engchi. 從 (2.26) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2 , … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，並將每一組之 | ̂1 |, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝 | 相加得到 = | ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |, 對所有並找出. 1, ⋯ ,. 之 1. 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 M 次得 M 組 1. 百分位數 𝑍1,1− , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M 組之平均即為檢定統計量. 值。. 之檢定力為 𝑃(. 檢定統計量. = 1, … , ,. |𝑅𝜃 = 𝐜 ).. (2.35). 之檢定力也可以利用模擬的方式來估計。從 (2.24) 中模擬. ̂1 , ̂2 , … , ̂𝑛𝑚𝑝 各 N 個，其中 12.

(20) 𝑃(| ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |. ) = 𝐸[𝐼{| ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |. }].. 根據 (2.35)，檢定力之估計值為 𝑝̂ =. #{| ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 | = | ̂1 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 |. 因此藉由模擬的方式，計算為檢定統計量. } . 時所占 N 個的比例，即. 之檢定力估計值。. 2.4.4 檢定統計量 𝑩𝒔 考慮檢定統計量. 政治大. = | ̂1 ⁄ 1| + | ̂2 ⁄ 2 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. 立. 找出滿足. 值，當. 時拒絕. 0 ：𝑅𝜃. = 0。如同 2.4.3 之介紹，使用模擬方式. 之值，其做法如下所述。從 (2.30) 之分配中模擬 ̂1 , ̂2 , … , ̂𝑛𝑚𝑝 N 組，. io. = | ̂1 ⁄ 1 | + | ̂2 ⁄ 2 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. 𝑛𝑚𝑝 |,. y. 相加得到. 對所有. 之 1. 百分位數 𝑍1,1−. = 1, … , ,. a l 百分位數 𝑍1− ，重複上述作法 v M 次得 M 組 1 i n Ch e組之平均即為 n g c h i U 值。 , ⋯ , 𝑍𝑀,1− , 則此 M n. 1, ⋯ ,. sit. 𝑛𝑚𝑝 |. er. Nat. 並將每一組之 | ̂1 ⁄ 1 |, ⋯ , | ̂𝑛𝑚𝑝⁄. 並找出. |𝑅𝜃 = 𝟎 ) =. ‧. 找出. ‧ 國. 之. 𝑛𝑚𝑝 |. (2.36). 學. 𝑃(| ̂1 ⁄ 1 | + | ̂2 ⁄ 2 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. 𝑛𝑚𝑝 |,. 檢定統計量. 之檢定力為 𝑃(. |𝑅𝜃 = 𝐜 ).. (2.37). (2.37) 之計算可以採用模擬之方法來估計。如同 2.4.3 小節之介紹，根據 (2.37) 可得檢定力之估計值 𝑝̂ =. #{| ̂1 ⁄ 1| + | ̂2 ⁄ 2 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. 因此藉由模擬的方式，計算. 𝑛𝑚𝑝 |. ̂ }. .. = | ̂1 ⁄ 1| + | ̂2 ⁄ 2 | + ⋯ + | ̂𝑛𝑚𝑝 ⁄. 時所占 N 個的比例，即為檢定統計量. 之檢定力估計值。. 13. 𝑛𝑚𝑝 |.

(21) 第三章實際資料分析與模擬第一節實例分析在此節中，本研究將以美國進口貨物(Export Goods)與出口貨物(Import Goods)之經濟指標為兩時間序列變數，資料來源為 Taiwan Ecomomic Journal (TEJ,. http://www.finasia.biz)。 𝑋𝑡 : Export Goods (EG) 𝑌𝑡 : Import Goods (IG). 政治大 (stationary)，進行定態檢定與模型選擇。立. 收集 2001 三月到 2011 十二月之 130 筆月資料，為了檢測資料是否為定態. ‧ 國. 學. 3.1.1 定態檢定與模型選擇. ‧. 選取兩定態的時間序列變數，將整筆資料轉成成長率((後期-前期)/(前期)) 之型式，並製成趨勢圖，觀察資料隨時間變動之情形再進行時間序列分析。. y. Nat. io. sit. (圖一) 為 EXPORT 成長率之趨勢圖，資料於 100~120 間相對其他值有明顯. n. al. er. 之變化，其他時間內上下的幅度稍有變化，整體而言隨著時間的增加有些微上升. Ch. i n U. v. 的趨勢。 (圖二) 為 IMPORT 成長率之趨勢圖，其資料變化與圖一之變化類似，. engchi. -0.05 -0.15. -0.10. -0.10. -0.05. IMPORT. EXPORT. 0.00. 0.00. 0.05. 0.05. 資料在 100~120 間相對其他值有明顯的大變化，資料呈現不規則的趨勢。. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 0. Time. 圖一. 20. 40. 60 Time. EXPORT 與 IMPORT 成長率之趨勢圖 14. 80. 100. 120.

(22) (表一) 為兩變數 ADF test 結果，兩變數之 𝑝. va ue 皆小於顯著水準. = 0.05，表示兩變數可視為定態(stationary) 的時間序列，因此可以直接進行 VAR 模型估計，並執行領先關係檢定。在進行領先關係檢定前，先根據模式選取指標((2.6),(2.7),(2.8)) 判斷 VAR 模型之落後期 p ，其中 𝑇 = 1. ，𝐾 = ，. 將結果整理於 (表二)。從 (表二) 可看出三種模式選取指標在落後期 𝑝 = 3 時最小，但本研究考慮到 𝑝 = 3 時參數較多，因此選擇與 𝑝 = 3 值較接近之落後期 𝑝=. ，並將兩變數進行領先關係(Granger causality) 檢定。表一 ADF 檢定結果. 政治大. Augmented Dickey-Fuller Test. Dickey-Fuller. p-value. -3.774. 0.022. -4.149. 0.01. io. al. n. 𝑝=1 標. 𝑝=. Ch. 𝑝=3. engchi U. Reject. 0. Reject. 0. y. 表二模式選取落後期結果. 檢定結果. sit. Nat 模式選取指. ‧. IMPORT. ‧ 國. EXPORT. 1 ：定態時間序列(無單根). 學. 變數. v.s. er. 立. 0 ：非定態時間序列(有單根). v𝑝=4 i n. 𝑝=5. AIC. -15.108. -15.272. -15.366. -15.363. -15.364. BIC. -15.051. -15.179. -15.235. -15.198. -15.162. HQ. -14.969. -15.041. -15.043. -14.958. -14.869. 3.1.2 領先關係檢定根據 (表二) 之結果，得到 VAR(2) 之模型為 2. 𝐴𝑋𝑋,𝑗 𝑋𝑡 𝑏𝑋 𝑊𝑡 = [ ] = [ ] + ∑ [ 𝐴𝑌𝑋,𝑗 𝑌𝑡 𝑏𝑌 𝑗=1. 𝐴𝑋𝑌,𝑗 𝑋𝑡−𝑗 𝑎𝑋,𝑡 ][ ]+[ ], 𝐴𝑌𝑌,𝑗 𝑌𝑡−𝑗 𝑎𝑌,𝑡. 本研究以向量 ̂1 , ̂2 分別表示 VAR(2) 中參數的最小平方估計式 𝐴𝑋𝑌,1 , 𝐴𝑋𝑌,2。 15.

(23) 選取係數選取矩陣為 𝑅=(. 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 0. 0 0. 0 0 0 0. 0 1. 0 ), 0. 根據 ( . 4)，可得 ( ̂1 , ̂2 ) 之分配近似以下之多變量常態分配，即當 𝑇 → 時， ̂ ( 1) ̂2. (𝑅(Γ−1 ∑𝑎 )𝑅′) (( ) , ). 𝑇 2 1. 根據數值運算結果求得 Γ̂, ̂ ∑𝑎 , 𝑅𝜃̂ 為 4.70 × 10−3 6.06 × 10−4 4.3 × 10−4 1.0 × 10−4 .00 × 10−4. 1.00 4.70 × 10−3 Γ̂ = 4. 4 × 10−3 4.41 × 10−3 ( 4.31 × 10−3. 4.41 × 10−3 1.0 × 10−4 .04 × 10−4 5. 7 × 10−4 4.3 × 10−4. 政治大. −4 ̂ 𝑎 = (5.01 × 10 ∑ 3.54 × 10−4. 4.31 × 10−3 .00 × 10−4 1.73 × 10−4 , 4.3 × 10−4 7. 6 × 10−4 ). 3.54 × 10−4 ), 6.54 × 10−4. 學. 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) = (0. 16 , 0. 36).. ‧. ‧ 國. 立. 4. 4 × 10−3 4.3 × 10−4 7. 5 × 10−4 .04 × 10−4 1.73 × 10−4. y. sit. io. 𝑋𝑡 ：EXPORT GOODS(EG). er. Nat. 檢定兩筆時間序列資料是否有因果關係. n. a l 𝑌𝑡 ： PORT GOODS(IG) i v n Test C h 0：𝑅𝜃 = 0 之UWald 根據式 (2.21)，計算在虛無假設為 engchi. 檢定統計量，結果. 為 2. = 10.166 > 所以在顯著水準. = 0.05 下我們將拒絕. 在領先關係。換句話說，. 0.95 (. ) = 5.991.. 0 ，表示有足夠證據顯示兩變數間存. PORT GOODS 領先 EXPORT GOODS。. 第二節檢定統計量之拒絕域(接受域)與檢定力在本研究的第二章第四節中，介紹了四個新統計量。本章以 EG 與 IG 之資料，考慮一個 VAR(2) 的模型： 𝑊𝑡 = 𝑏 + 𝐴1 𝑊𝑡−1 + 𝐴2 𝑊𝑡−2 + 𝑎𝑡 ，其估計係數 16.

(24) ( ̂1 , ̂2 ) 之分配在五個不同之統計量所形成的接受域形狀重疊比較後，找出有利使新統計量檢定力較 Wald Test 佳的點，並於本章之第三節介紹檢定統計量在各點之檢定力。. 3.2.1 統計量 𝝀𝒘 之接受域根據 (2.21) 與 (2.22)式，當 α = 0.05 時 115.5 ̂12. =. 2 1−. (𝑛𝑚𝑝) 可寫成. 3 .5 ̂12 ̂22 +114.85 ̂22 = 5.. .. (3.1). (3.1)式代表著以 ̂1 , ̂2 為座標的橢圓形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於此橢圓之外，. 政治大則 Wald test 不拒絕虛無假設。因此在橢圓外之區域我們稱為拒絕域，位於橢圓立. 則 Wald test 將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於橢圓之內，. ‧ 國. 𝐴 = {( ̂1 , ̂1 )：115.5 ̂12. 學. 內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為. 3 .5 ̂12 ̂22 + 114. ̂22. }.. 5.. ‧. 3.2.2 統計量 M 之接受域. n. | ̂1 | = 0. 1, | ̂2 | = 0. 1,. Ch. engchi. er. io. al. = 𝑡 可寫成. sit. y. Nat. = 0.05 時. 根據 (2.25)式，當. i n U. v. (3.2). (3.2)式代表著以 ̂1 , ̂2 為座標的正方形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於此正方形之外，則此檢定將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於正方形之內，則此檢定不拒絕虛無假設。因此在正方形外之區域我們稱為拒絕域，位於正方形內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為 𝐴 = {( ̂1 , ̂1 )：. 0. 1. | ̂1 |. 0. 1, 0. 1. | ̂2 |. 0. 1}.. 3.2.3 統計量 𝑴𝒔 之接受域仿造 3.2.3 小節的作法，根據 (2.29)式，當. = 0.05 時. | ̂1 ⁄ 1 | = . 3, | ̂2 ⁄ 2 | = . 3, 17. = 𝑡 可寫成 (3.3).

(25) 其中 𝑆 ( ̂1 ) = 0.0 3 及 𝑆 ( ̂2 ) = 0.0 4，(3.3)式代表著以 ̂1 , ̂2 為座標的長方形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於此長方形之外，則此檢定將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於長方形之內，則此檢定不拒絕虛無假設。因此在長方形外之區域我們稱為拒絕域，位於長方形內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為 𝐴 = {( ̂1 , ̂1 )：. | ̂1 |. 0. 10. | ̂2 |. 0. 10, 0. 10. 0. 10 }.. 3.2.4 統計量 B 之接受域. 政 = 治可寫成大 | ̂ | + | ̂ | = 0. ,. = 0.05 時. 根據 (2.34)式，當. 立. 1. (3.4). 2. ‧ 國. 學. (3.4)式代表著以 ̂1 , ̂2 為座標的菱形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於此菱形之外，則此檢定將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於菱形之內，則此. ‧. 檢定不拒絕虛無假設。因此在菱形外之區域我們稱為拒絕域，位於菱形內稱為接. n. a. l C 3.2.5 統計量 𝑩𝒔 之接受域. }.. 0.. er. io. 𝐴 = {( ̂1 , ̂1 )：| ̂1 | + | ̂2 |. sit. y. Nat. 受域，此接受域範圍可以表示為. hengchi. 仿造 3.2.4 小節的作法，根據 (2.36)式，當. i n U. v. = 0.05 時. =. | ̂1 ⁄ 1 | + | ̂2 ⁄ 2 | = 3. 1 ,. 可寫成 (3.5). 其中 𝑆 ( ̂1 ) = 0.0 3 及 𝑆 ( ̂2 ) = 0.0 4 ， (3.5)式代表著以 ̂1 , ̂2 為座標的菱形，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於此菱形之外，則此檢定將會拒絕虛無假設(2.19)。反之，若 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) 位於菱形之內，則此檢定不拒絕虛無假設。因此在菱形外之區域我們稱為拒絕域，位於菱形內稱為接受域，此接受域範圍可以表示為 𝐴 = {( ̂1 , ̂1 )：| ̂1 ⁄ 1 | + | ̂2 ⁄ 2 |. 18. = 3. 1 }..

(26) 3.2.6 檢定統計量之接受域比較 = 0.05、. 將五個不同檢定統計量在顯著水準. 0 ：𝑅𝜃. = 0 條件下之接受. 域圖形整理如 (表三)。每一個統計量之接受域呈現圖形形狀皆不同，從 (表三) 之 ( ̂1 , ̂2 ) 範圍沒有很大的差異。根據統計. 與 (圖二) 所示，可得知統計量之接受域 𝐴𝑀 = {( ̂1 , ̂1 )：. 量. 𝑡. | ̂1 |. 1. 𝑡. 1. , 𝑡. 2. | ̂2 |. 2}，. 𝑡. 其造成範圍相近之原因為 𝑆 ( ̂1 ) = 0.0 4, S ( ̂2 ) = 0.0 5 很接近，使得 𝑡 與 𝑡. 2. 之值很接近。因此，本研究在比較接受域的圖形時，有鑑於. 統計量所畫出的圖形沒有明顯的差別。同理，因此只採用統計量. 與. 立. 與. 與. 1. 兩. 沒有造成很大的差別，. 治政之接受域做比較。大. 分別與. 表三各檢定統計量於顯著水準 α = 0.05 下之接受域範圍與圖形樣式. ‧ 國. 學. ( ̂1 , ̂2 ) 接受域. io. =. a {| ̂1 |, | ̂2 |}. 3 .5 ̂12 ̂22 +114.85 ̂22 }. 橢圓. y. 5.. 𝐴𝑀 = { ( ̂1 , ̂2 )：. n. al. 115.4 ̂12. er. (𝑅𝜃̂). = { ( ̂1 , ̂2 )：. ‧. −1. Nat. = 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ −1 ∑𝑎 )𝑅′. 𝐴. 圖形形狀. sit. 檢定統計量. Ch. i 0.v n U. 0. 10. | ̂1 |. 10 ,. 0. 10. | ̂2 |. 0. 10 }. engchi. 正方形. 𝐴𝑀 = { ( ̂1 , ̂2 )： =. a {| ̂1 ⁄ 1|, | ̂2 ⁄ 2 | }. = | ̂1 | + | ̂2 |. 0. 10. | ̂1 |. 0. 10 ,. 0. 10. | ̂2 |. 0. 10 }. 𝐴𝐵 = {( ̂1 , ̂2 )：| ̂1 | + | ̂2 |. 0.. 長方形. }. 菱形. 𝐴𝐵 = { ( ̂1 , ̂2 )： = | ̂1 ⁄ 1 | + | ̂2 ⁄ 2 |. | ̂1 |⁄ | ̂2 |⁄ + 0.0 4 0.0 5. 19. 3. 10 }. 菱形.

(27) 第三節檢定力為了確認新統計量之檢定力較 Wald test 佳，分別將新檢定統計量. 、. 、. 之接受域與. 之接受域重疊，利用圖形重疊找出容易誤判之區域，. 計算並比較該點之檢定力。(圖二) 左之橢圓即為統計量為統計量. 之接受域，正方型. 之接受域。. 就理論而言，重疊之圖形中超出正方形接受域但落在橢圓形接受域 (即標誌. 之區域) 之樣本點，在統計量. 定時卻為拒絕，因此應以統計量. 檢定下為接受，但以統計量. 之檢定力較統計量. 佳；超出橢圓接受域. 政治大. 但落在正方形接受域(即標誌 × 之區域) 之樣本點，應以統計量. 立. 佳。. 之檢定力. 學. ‧ 國. 較統計量. 檢. 為了驗證此假設，選取橢圓型接受域與正方形拒絕域交集之區域，標誌"•". ‧. 於此區域之中間位置；選取橢圓型拒絕域與正方形接受域交集之區域，標誌 "×" 於此區域之最角落位置；選取橢圓型接受域而正方形之臨界邊，標誌 "△" 於此. y. Nat. 0.3 0.2. engchi. v. 2. 0.0 -0.3. -0.2. -0.1. ^. 2. 0.0 -0.1 -0.2 -0.3. ^. i n U. 0.1. Ch. 0.1. 0.2. 0.3. n. al. er. io. sit. 區域中，比較此 12 個樣本點之檢定力大小並整理如 (表四)。. -0.3. -0.2. -0.1. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. -0.3. ^. -0.1. 0.0 ^. 1. 圖二. -0.2. 1. (左). 與. (右). 20. 與. 之接受域比較. 0.1. 0.2. 0.3.

(28) 表四檢定統計量. 與. 兩者之檢定力結果. Location : •. (0.22,0.04). (0.04,0.22). (-0.22,-0.04). (-0.04,-0.22). Wald test. 0.544. 0.541. 0.544. 0.541. Our test. 0.555. 0.555. 0.555. 0.555. Location : ×. (0.19,0.19). (0.19,-0.19). (-0.19,-0.19). (-0.19,0.19). Wald test. 0.665. 0.794. 0.665. 0.794. Our test. 0.636. 0.679. 0.636. 0.679. (0.1,0.19). (0.04,-0.2). (-0.03,0.19). (-0.1,-0.2). Location : Wald test. 0.475. Our test. 0.474. 0.481. 0.436. 從 (表四) 看出位於 "•" 之樣本點新統計量. 0.510. 之檢定力與 Wald test 接近，. 略高一點。此區域樣本點之位置，可看出位置皆為一高一低，若此. ‧. 但統計量. 0.512. 學. ‧ 國. 立. 政 0.507治大 0.455. y. Nat. 區域之面積越大，則兩數字差距越大，相對的新統計量之檢定力亦越大。. io. sit. 位於 " × " 之樣本點以 Wald test 之檢定力較大。此外，(表四) 中可看出在. er. 此區域之四個樣本點中，(0.1 , 0.1 ) 與 ( 0.1 ,0.1 ) 之 Wald test 檢定力明. al. n. v i n 顯較佳，觀察 (圖二) 可發現在此兩樣本點之區域面積較大。 Ch engchi U 位於 "△" 之樣本點，兩檢定統計檢定量之值很接近，但. a d test 略高一. 點。綜合以上，可發現若樣本點位於一個統計量之拒絕域，令一個統計量之接受域，則其所在區域面積越大，檢定效果越明顯。接著將統計量. 與. 之接受域重疊比較如 (圖三) 所示，選定四個位於. " × " 之樣本點比較檢定力強弱。統計量. 與. 之檢定力結果整理如 (表五)，. 位於 (0.1 ,0.1 ) 、 ( 0.1 , 0.1 ) 之位置以統計量. 之檢定力較強，此兩點. 分別位於第一、三象限；位於 ( 0.1 ,0.1 ) 、 (0.1 , 0.1 ) 之位置以 Wald Test 之檢定力較強，此兩點分別為於第二、四象限。. 21.

(29) 0.3 0.2 0.1 0.0. 2. -0.3. -0.2. -0.1. ^. -0.3. -0.2. -0.1. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. ^. 1. 圖三. 與. 之接受域比較. 政與治兩者之檢定力結果 (0.19,0.19) (-0.19,0.19) 大 (-0.19,-0.19) 立. 表五檢定統計量. 0.665. 0.793. 0.665. 0.716. 0.752. 0.710. 與. 兩者之檢定力，本研究於下一節使用. Nat. 與. 之檢定力並計算同點而不同統計量. n. al. 、. ) 之 121 個格子點. er. io. 與. 2. sit. 等高線圖檢查兩統計量於不同位置之檢定力變化。取 ( 1 , 如 (圖四) 在統計量. 0.754. ‧. 為了更深入探討統計量. 0.794. 學. Our test. ‧ 國. Wald test. (0.19,-0.19). y. Location : ×. i n U. v. 之檢定力差值，為了更清楚兩者間之變化而繪製等高線圖。. engchi 0.3. Ch. PowerB. 2. ^. -0.1. 0.0. 0.1. 0.1. -0.2 -0.3. 2. 0.0 -0.1 -0.2 -0.3. ^. PowerW. 0.2. 0.2. 0.3. PowerW PowerM. -0.3. -0.2. -0.1. 0.0. 0.1. 0.2. -0.3. 0.3. -0.1. 0.0. 0.1. 1. 1. 圖四 (左). -0.2. ^. ^. 與. (右) 22. 與. 之接受域格子點. 0.2. 0.3.

(30) 之檢定力差值等高線圖，其中 { 0.3. 與. (圖五) 為. Po er 、 Po er𝑀 分為統計量 Po er. Po er𝑀 。將 Po er. 組表示Po er Po er𝑀. 、. ,. 0.3}，. 2. 之檢定力，兩檢定力之差值定義為. Po er𝑀 以 0.02 做為組距分成七組，其中六. Po er𝑀 ，只有一組(深藍色)表示 Po er Po er. 1. Po er𝑀 。. 發生在兩軸之邊緣，亦即從原點延伸至兩圖形未重疊部. 分之向量附近，兩係數在此區域進行 VAR(2) 因果關係檢定時，選擇統計量或. 較統計量. 精確。. (圖六) 為. 之檢定力差值等高線圖，其中 { 0.3. 與. 1. ,. 2. 0.3} ，. Po er 、 Po er𝐵 分為統計量. 、之檢定力，兩檢定力之差值定義為政治大 er , 差值以 0.025 做為組距分成七組，其中四組(紅色系)表示立. Po er. Po. Po er. Po er𝑀 ，剩下三組(藍色系)表示 Po er. 𝐵. Po er𝑀 。. ‧ 國. 學. 整體而言，Po er. Po er𝐵 占大部分的面積。藍色區塊集中在第一、三 1 3. , 3 ] 時，相較於. ‧. 象限，當樣本點之直角坐標與原點構成之斜率介於 [. 有. 3. 1. y. } ，則選擇統計量. n. al. 較統計量. 圖五. Ch. 與. engchi. sit. 2. io. 1. er. 1. 限且 { 3. Nat. 較好之效果。進行 VAR(2) 因果關係檢定時，若兩估計係數之值位於第一、三象. i n U. v. 之檢定力差值等高線圖. 23. 精確。.

(31) 與. 圖六. 政治大小樣本之接受域與檢定力立、、. 在第三節中，本研究找出統計量. 學. ‧ 國. 第四節. 之檢定力差值等高線圖. 之適當使用時機。除此之外考. ‧. 慮到當樣本數較小時對檢定力是否有影響。本節選擇較小的樣本數 𝑇 = 70，以上節同樣之方法進行。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 3.4.1 領先關係檢定. Ch. engchi. 針對 VAR(2) 模型設計係數選取矩陣 𝑅=(. 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 0. 0 0. i n U 0 0 0 0. v. 0 1. 0 )， 0. ̂ 𝑎 、𝑅𝜃̂ 數值計算後求得 Γ̂、∑ Γ̂ 1 3. × 10−3 = 6. × 10−3 . × 10−3 ( 6.51 × 10−3. 3. × 10−3 4.54 × 10−4 1.70 × 10−4 0.50 × 10−4 0. 0 × 10−5. 6. × 10−3 1.70 × 10−4 5. 8 × 10−4 1.04 × 10−4 1. 0 × 10−5 −3. ̂ 𝑎 = (0.38 × 10 ∑ 0.18 × 10−3 24. . × 10−3 0.50 × 10−4 1.04 × 10−4 4.4 × 10−4 1.74 × 10−4. 0.18 × 10−3 ) 0.45 × 10−3. 6.51 × 10−3 0. 0 × 10−5 1. 0 × 10−5 1.74 × 10−4 5. 6 × 10−4 ).

(32) 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) = (0.070 , 0.457) 檢定兩筆時間序列資料是否有因果關係 𝑋𝑡 ：EXPORT GOODS(EG) 𝑌𝑡 ：考慮在. 0 ：𝑅𝜃. PORT GOODS(IG). = 𝟎 的條件下，得檢定統計量 = 15.65 >. 在顯著水準為 0.05 下拒絕. 0. 2. 0.95. =5.99,. ，表示有足夠證據顯示 IMPORT GOODS 對. EXPORT GOODS 間有 Granger Causality。除此之外，比較大樣本與小樣本之檢. 政治大. 定統計量值，小樣本較易於拒絕虛無假設。. 立. ( ̂1 , ̂2 ) 在顯著水準. = 0.05 且. 學. 0 ：𝑅𝜃. = 𝟎 條件下之檢定統計量之接受. 域算出後整理成如 (表六)。小樣本之檢定統計量. 、、. ‧. ‧ 國. 3.4.2 小樣本接受域與檢定力. 、之 ( ̂1 , ̂2 ) 範. sit. y. Nat. 圍皆較大樣本大。此外，由於 𝑆 ( ̂1 ) = 0.0 3 及 𝑆 ( ̂2 ) = 0.0 4，兩估計係. 分別與. 方形為. al. n. 與. er. io. 數之標準差很接近，致使兩統計量圖形沒有明顯的差別，因此只採用統計量. v. 之接受域繪製圖形做，(圖七) 左之橢圓為. 之接受域。. Ch. engchi. i n U. 之接受域，正. 與 (圖二) 相比，(圖七) 之橢圓面積明顯增加，為了驗證檢定力之差值 (Po er. Po er𝑀 ) 是否因樣本減少而增加，因此仿效大樣本之做法，選定 12. 個樣本點進行檢定力分析整理 (表七)。從 (表七) 可看出位於 "•" 之樣本點在統計量 M 之檢定力較 Wald test 佳；位於 " × " 之樣本點以 Wald test 之檢定力較大，而樣本點位於 (0. 4, 0. 4)、( 0. 4,0. 4) 之檢定力較另兩點高。從 (圖七) 即可明顯看出此兩點所在區域面積較大；位於 "△" 之樣本點在 (0.1 ,0. 4) 、 ( 0.1 , 0. 4) 以統計量 M 之檢定力較好， ( 0.0 ,0. 4)、 (0.01, 0. 4)以統計量. 之檢定力較好，但此區域之樣本點兩檢定力相差不大。 25.

(33) 表六小樣本各統計量之接受域範圍 ( ̂1 , ̂2 )接受域. 檢定統計量. Ａ𝜆 ＝{ ( ̂1 , ̂2 )：75.33 ̂12. 78.51 ̂12 ̂22 +. 𝑊. = 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ −1 ∑𝑎 )𝑅′. =. −1. (𝑅𝜃̂). Ａ𝑀 ＝{ ( ̂1 , ̂2 )：. 立. | ̂1 |. 0. 60 ,. 0. 60. | ̂2 |. 0. 60 }. Ａ𝑀 ＝{ ( ̂1 , ̂2 )：. 0. 63. | ̂1 |. 0. 63 ,. 政治大. 0. 58. | ̂2 |. 0. 58 }. Ａ𝐵 ＝{( ̂1 , ̂2 )：| ̂1 | + | ̂2 |. ‧ 國. |̂ | |̂ | Ａ𝐵 = { ( ̂1 , ̂2 )： 1 ⁄0.0 3 + 2 ⁄0.0 4. ‧. = | ̂1 ⁄ 1| + | ̂2 ⁄ 2 |. sit er. 0.2. Ch. engchi. i n U. v. -0.3. 0.0 -0.3. -0.2. -0.2. -0.1. -0.1. ^. 2. 0.0. 0.1. 0.1. 0.2. n. al. 0.3. 0.3. io. 2. 3.5. y. Nat. ^. 0.374 }. 學. = | ̂1 | + | ̂2 |. 5.99 }. 0. 60. a {| ̂1 |, | ̂2 |}. a {| ̂1 ⁄ 1 |, | ̂2 ⁄ 2 | }. =. 78.51 ̂22. -0.3. -0.2. -0.1. 0.0. 0.1. 0.2. -0.3. 0.3. -0.2. 0.0. 0.1. 1. 1. 圖七小樣本(左). -0.1. ^. ^. 與. (右). 26. 與. 之接受域比較. 0.2. 0.3. }.

(34) 表七小樣本檢定統計量. 與. 之檢定力結果. Location : •. (0.275,0.05). (0.05,0.275). (-0.275,-0.05). (-0.05,-0.275). Wald test. 0.530. 0.558. 0.530. 0.543. Our test. 0.559. 0.562. 0.560. 0.562. Location : ×. (0.24,0.24). (0.24,-0.24). (-0.24,-0.24). (-0.24,0.24). Wald test. 0.651. 0.845. 0.650. 0.845. Our test. 0.640. 0.708. 0.640. 0.708. (0.12,0.24). (-0.02,0.24). (0.01,-0.24). (-0.12,-0.24). Wald test. 0.473. 0.479. 0.470. 0.473. Our test. 0.478. 0.447. 0.445. 0.479. Location :. 將統計量. 與. 之接受域重疊比較如 (圖八) 所示，其左之橢圓為. 之接受域，菱形為. 政治大. 之接受域。當樣本減少時，橢圓之長軸增加，短軸減少，. 立. 區域面積增加，而短軸方向之. 區域面積減. 學. ‧ 國. 意味原 (圖三) 長軸方向之. 少。選定四個位於 " × " 之樣本點檢查其檢定力。 (表八) 為四個位於 " × " 之樣本點於檢定統計量. ‧. 與. 之檢定力結果。. 樣本點於 (0.24,0.24)、(-0.24,-0.24) 為統計量 B 之檢定力較好，(-0.02,0.24)、. y. Nat. 之檢定力較好。觀察此四個樣本點之分佈，可看出若. io. sit. (0.01,-0.24) 以統計量. n. al. er. 樣本點位於第一、三象限時，建議使用統計量 B 檢定，若樣本點位於第二、四. Ch. 檢定。. engchi. i n U. v. 0.0 -0.2 -0.4. 2. 0.2. 0.4. 象限時，建議使用統計量. -0.4. -0.2. 0.0. 0.2. 0.4. 1. 圖八. 小樣本. 與 27. 之接受域比較.

(35) 表八小樣本檢定統計量. 與. 之檢定力結果. Location “X”. (0.24,0.24). (-0.24,0.24). (-0.24,-0.24). (0.24,-0.24). Wald test. 0.651. 0.845. 0.651. 0.845. Our test. 0.724. 0.774. 0.722. 0.774. 取 ( 1, 與. 2. ) 之 121 個格子點(圖九)，計算同點但不同統計量 (. 0.2. 0.2. 2. -0.2. ^. -0.4. -0.4. -0.2. 0.0. 0.2. 0.4. -0.4. -0.2. ‧. -0.4. 0.0. 政治大. 學. ‧ 國. 0.0. 2. PowerB. 0.4. 0.4. PowerW. 立. -0.2. ^. 、. ) 之檢定力差值，為了更清楚兩者間之變化因而繪製等高線圖。 PowerW PowerM. 0.0. ^. y. Nat. (右). 之接受域格子點. io. er. 與. sit. 與. a l之檢定力差值等高線圖，其中i v { 0.4 1 , 2 0.4}， n C U 分為統計量h e 、之檢定力，兩檢定力之差值定義為 ngchi n. 與. Po er 、 Po er𝑀. 0.4. 1. 圖九小樣本(左) (圖十) 為. 0.2. ^. 1. Po er. 與. Po er𝑀。將 Po er. Po er𝑀 以 0.025 做為組距分成七組，圖中顏. 色區塊有明顯地分佈， Po er. Po er𝑀 占較多比例的面積，幾乎集中於第. 二、四象限內。進行 VAR(2) 因果關係檢定時，當兩估計係數之直角坐標與原點構成之斜率為. ,. (圖十一). 為. 1. ) 或 [ 0 , 2 ] 時，建議使用統計量與. 之檢定力差值等高線圖，{ 0.4. Po er 、Po er𝐵 分為統計量 Po er. 較. 、. 精確。 1. ,. 2. 0.4} ，. 之檢定力，兩檢定力之差值定義為. Po er𝐵 ，差值以 0.025 做為組距分成八組。Po er. Po er𝐵 占大. 部分的面積，大部分集中在第二、四象限。於第一、三象限之區塊，當樣本點之 28.

(36) 1. 直角坐標與原點構成之斜率介於 [. 2. ] 時，相較於. ,. 有較好之效果。因此，. 進行 VAR(2) 因果關係檢定時，若兩估計係數之值位於第一、三象限且 {. 1. 2 1. 2. 1. } ，統計量. 似乎較統計量. 政治大. 立圖十. 之小樣本檢定力差值等高線圖. 學. 與. ‧. ‧ 國. 精確。. n. er. io. sit. y. Nat. al. 圖十一. Ch 與. engchi. i n U. v. 之小樣本檢定力差值等高線圖. 第五節模擬研究在本節中，利用 R 軟體套件 “des1” 與 ”vars” 從 VAR(2) 模型 𝑋 5 0.5 [ 𝑡] = [ ] + [ 𝑌𝑡 10 0.. 𝑋 0. 0.3 ] [ 𝑡−1 ] + [ 𝑌 0.1 0.5 𝑡−1. 𝑎𝑋,𝑡 0.7 𝑋𝑡−2 ][ ] + [𝑎 ] 𝑌,𝑡 0.3 𝑌𝑡−2. 模擬生成 𝑇 = 50 之兩時間序列資料，根據 ( . 4)，可得 ( ̂1 , ̂2 ) 之分配近似以下之多變量常態分配，即當 𝑇 →. 時， 29.

(37) ̂ ( 1) ̂2. (( 1 ) , 2. (𝑅(Γ−1 ∑𝑎 )𝑅′) ). 𝑇. 根據數值運算結果求得 Γ̂ , ̂ ∑𝑎 , 𝑅𝜃̂ 為 0. 6 1.155 Γ̂ = 7.701 1. 47 ( 7.705. 7.701 1.154 3.601 7.858 7.858 64.4 7 10.40 1.644 10.668 5 .873 ̂ 𝑎 = (0.65 ∑ 0.01. 1. 47 7.705 1.644 10.668 10.40 5 .873 , 4.04 8.706 8.706 64.501 ). 0.01 ), 1.01. 𝑅𝜃̂ = ( ̂1 , ̂2 ) = (0.365, 0.554),. 治政仿照本章第二小節之做法，針對檢定統計量大、 M 、B 於顯著水準 = 立 0.05、：𝑅𝜃 = 0 條件下之接受域範圍整理如 (表九)，其中 𝑆 ( ̂ ) = 0.110、 1. 0. ‧ 國. 學. 𝑆 ( ̂2 ) = 0.145。. ( ̂1 , ̂2 )接受域. Ａ𝜆 ＝{ ( ̂1 , ̂2 )：127.78 ̂12 𝑊. al. n. (𝑅𝜃̂). Ch. a {| ̂1 |, | ̂2 |}. = | ̂1 | + | ̂2 | (圖十二) 為模擬之檢定統計量. er. io. =. −1. sit. y. Nat. 檢定統計量. = 𝑇(𝑅𝜃̂)′ 𝑅(Γ −1 ∑𝑎 )𝑅′. ‧. 表九各檢定統計量之接受域. i n U. v. 74.51 ̂22. eＡn g＝{c (ĥ1i, ̂2 )： 𝑀. 58.63 ̂12 ̂22 +. 5.99 }. 0.. 1. | ̂1 |. 0.. 1,. 0.. 1. | ̂2 |. 0.. 1}. Ａ𝐵 ＝{( ̂1 , ̂2 )：| ̂1 | + | ̂2 | 與. 0.44}. 之接受域比較，選定位於兩檢定統. 計量未重疊部分之 4 個樣本點進行檢定力分析整理如 (表十)。從 (表十) 之數據中可看出位於 "•" 之樣本點在統計量 M 之檢定力較 Wald test 佳；位於 " × " 之樣本點以 Wald test 之檢定力較大。此外，為了更清楚看出檢定力在不同點之變化情況，取 ( 1 ,. 2. ) 之 121 個格子點，計算同點但不同統計量 ( 30. 與. ) 之檢.

(38) 定力差值 (Po er. Po er𝑀 )，並以等高線圖的方式呈獻兩檢定統計量之檢定. 力差值。 (圖十三) 為模擬之 1. ,. 2. 之檢定力差值等高線圖，其中 { 0.4. 與. 0.4}，Po er 、 Po er𝑀 分為統計量 1 ,4. 之直角坐標與原點構成之斜率介於. 、. 之檢定力。當樣本點. 時，Po er𝑀. Po er ，意味著檢. 有較好之效果，兩係數在此區域進行 VAR(2) 因果關係. 檢定時，選擇統計量. 較統計量. 政治大. 0.0. ‧. -0.2 -0.4. y. Nat. 0.0. 圖十二. 0.2. 1. n. al. -0.2. Ch. 模擬之檢定統計量. 與. engchi. 表十模擬之檢定統計量. 0.4. er. io. -0.4. sit. 2. 立. 精確。. 學. ‧ 國. 0.2. 0.4. 定統計量 M 相較於. 與. iv n 之接受域比較 U 之檢定力結果. Location : •. (0.15,0.32). (-0.15,-0.32). Wald test. 0.443. 0.493. Our test. 0.534. 0.586. Location : ×. (0.2,-0.19). (-0.2,0.19. Wald test. 0.89. 0.89. Our test. 0.441. 0.441. 31.

(39) 圖十三. 模擬之檢定統計量. 與. 之檢定力差值等高線圖. 政治大 (圖十四) 為模擬之檢定統計量與之接受域比較，選定位於兩檢定統立. ‧ 國. 學. 計量未重疊部分之 4 個樣本點進行檢定力分析整理如 (表十一)。從 (表十一) 之數據中可看出位於 "•" 之樣本點在統計量 B 之檢定力較 Wald test 佳；位於 " × ". ‧. 之樣本點以 Wald test 之檢定力較大。此外，為了更清楚看出檢定力在不同點之. sit. al. n. 力差值。. Ch. i n U. 1. ,. 2. v. e n g c與h i 之檢定力差值等高線圖，其中. (圖十五)為模擬之檢定統計量 { 0.45. ) 之. Po er𝐵 )，並以等高線圖的方式呈獻兩檢定統計量之檢定. io. 檢定力差值 (Po er. 與. er. 2. y. ) 之 121 個格子點，計算同點但不同統計量 (. Nat. 變化情況，取 ( 1 ,. 0.45}，Po er 、 Po er𝐵 分為統計量 3. 、. 當樣本點之直角坐標與原點構成之斜率介於 [ 4 , 4 ] 時，Po er𝐵 意味著檢定統計量 B 相較於果關係檢定時，選擇統計量. 之檢定力。 Po er ，. 有較好之效果，兩係數在此區域進行 VAR(2) 因較統計量. 32. 精確。.

(40) 0.4 0.2 -0.4. -0.2. 0.0. 2. ^. -0.4. -0.2. 0.0. 0.2. 0.4. ^. 1. 政治與大之接受域比較. 模擬之檢定統計量. 0.485. Our test. 0.601. Location : ×. (0.2,-0.19). Wald test. 0.89. io. Our test. 0.485. 0.375. n. al. 圖十五. Ch. engchi. 模擬之檢定統計量. 與 33. 0.605. (-0.2,0.19. y. Wald test. (-0.2,-0.3). ‧. (0.2,0.3). Nat. Location : •. 之檢定力結果. 學. ‧ 國. 與. sit. 立. 表十一模擬之檢定統計量. er. 圖十四. i n U. 0.89 0.374. v. 之檢定力差值等高線圖.

(41) 第四章總結與展望由於傳統領先關係檢定之 Wald test，在檢定多變量常態分配之平均像量的 Uniformly most powerful(UMP) test 不存在，因此本研究介紹四種新檢定統計量，用於檢定以定態 VAR 模型為背景之兩群時間序列之間是否有領先(Granger causality) 或非領先(Granger non-causality) 關係。這些新的統計量主要是藉由最小平方估計法(OLS) 來估計 VAR 模型之係數，並利用在大樣本情況下會近似於多變量常態分配的特性。因此，這些新檢定統計量之接受域(拒絕域) 所對應之臨界值可經由此多變量常態分配求得。根據以上結果可進而求得每個新檢定統計. 政治大章的實例分析結果，本研究提供以下準則來選擇最佳檢定統計量，而此檢定統計立. 量之檢定力，因此更方便將這些新檢定統計量與傳統 Wald test 比較。根據第三. ‧ 國. 學. 量在 Granger 檢定下能有較好之檢定力。. 首先識別位於 Wald test 接受域內(位於橢圓球內) 之 VAR 估計係數. ‧. . VAR 模型之係數位於橢圓球體主軸之附近，則使用檢定統計量. 或. io. n. al. 1. 3. 1. Ch. engchi. 3. iv 或 n U. } 之限制下，則建議使用檢定統計量. 有較好之檢定力。 . 2. 1. er. 1. 先關係檢定，若兩 VAR 係數在 { 3. sit. y. Nat. 進行檢定。舉例來說，本研究第三章提及在 VAR(2) 模型下進行領 1. } 或 { 3. 1. ≥. 2. ≥. 進行 Granger 檢定. 識別橢圓球體(Wald test 之接受域)與適合的超立方體(新檢定統計量之接受域)未重疊之部分(通常有 2nmp 個未重疊區域，如圖二(左))，若 VAR 係數位於從中心點(即原點) 到已識別之未重疊區域之向量附近，則建議使用檢定統計量. . 或. 進行 Granger 檢定有較好之檢定力。. 若 VAR 係數未在上述提及，則建議使用 Wald test 進行 Granger 檢定有較好之檢定力。. Granger causality test 廣泛地被應用於經濟的領域上，因此本研究希望以上之新. 34.

(42) 檢定方法有助於執行者使用。除此之外，當 VAR 參數(即變數之數量或落後期 𝑝) 越多時，這些新檢定方法的計算將面臨挑戰。因此，本研究未來將致力於發展更有效之演算法，希望可以快速又正確地找出檢定統計量之最精確估計值。. 立. 政治大. 學 ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. 與. ‧ 國. 值. 與. Ch. engchi. 35. i n U. v. 之接受域臨界.

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