第四章 數值案例測試
4.3 含挫屈限制的桁架尺寸最佳化設計
例一：平面 15 根桿件桁架
如圖4.3.1 所示，為一個 15 根桿件 8 個節點的平面桁架，對此結構進行尺寸最佳 化設計但需考量不讓受壓桿件發生挫屈，先前有一些研究已對此案例做過最佳化設 計，如：Wu and Chow [22]，Hwang and He [23]。其材料密度為 0.1lb/in3，彈性係數 E=10000 ksi，桿件容許應力為±25 ksi，各節點容許位移為±3.5 in(水平與垂直方向)，桿 件可選的斷面尺寸為32 種，分別為 0.111，0.141，0.174，0.220，0.270，0.287，0.347，
0.440，0.539，0.954，1.081，1.174，1.333，1.488，1.764，2.142，2.697，2.800，3.131，
3.565，3.813，4.805，5.592，6.572，7.192，8.525，9.300，10.850，13.330，14.290，
17.170，19.180 in2，受力情形為節點8 受一 10 kips 向下垂直力。桿件的挫屈臨界載重 可由(3-7)式計算而得，式中的常數 Ks在此例題中設為12.5。
以啟發式方法對包含挫屈限制的結構最佳化問題進行搜尋，可依照 3.3 節所提的 設計流程。首先以滿載應力設計求出滿足容許應力的設計，滿載應力設計收斂的結果 各桿件的斷面尺寸分別為 0.8000，0.8000，0.0，1.2000，0.4000，0.4000，0.0，0.0，
0.0，0.5657，0.0，0.0，0.5657，0.5657，0.0 in2。接著以滿載應力設計收斂的結果為 啟發式搜尋的初始斷面，按照圖 3.3 的流程，在考量挫屈限制的情形下，啟發式方法 搜尋時結構的斷面尺寸及總重量的變化情形如表4.3.1。在第一個循環(Cycle 1)的搜尋 中，啟發式搜尋的結果各桿件的斷面尺寸分別為 0.9705，0.9705，0.1110，1.4558，
0.4853，0.4853，0.1110，0.1110，0.1110，0.6863，0.1110，0.1110，0.6863，0.6863，
0.1110 in2，而此時所對應的α 值與結構總重分別為 1.2856 和 98.3261 lb。將啟發式方
法搜尋所得的結果進行結構分析後發現，桿件編號4，5，6，11，13，15 會發生挫屈，
因此將這幾根桿件的斷面尺寸放大，讓桿件所受的壓應力恰等於 Euler buckling stress。依照挫屈限制放大斷面尺寸的結果，各桿件的斷面尺寸分別為 0.9705，0.9705，
0.1110，1.8182，1.1513，1.0041，0.1110，0.1110，0.1110，0.6863，0.9676，0.1110，
1.6869，0.6863，0.7672 in2，此時所對應的結構總重為159.5482 lb。接著計算配合挫 屈條件放大桿件斷面尺寸前後的結構總重差值159.5482-98.3261=61.2221 lb，此差值未 小於圖3.3 中所提的收斂門檻值 10-2 lb，所以需以相同的進行下一循環。按照圖 3.3 的 流程，接著調整桿件斷面尺寸作為下一循環搜尋的初始值，調整斷面尺寸的方式可參 照3.4 節與圖 3.3，調整完後各桿件的斷面尺寸分別為 0.8000，0.8000，0.0，1.4142，
0.8955，0.7810，0.0，0.0，0.0，0.5657，0.7526，0.0，1.3122，0.5657，0.5968 in2。 經過三個循環的收尋後，第三次尋環在調整斷面尺寸的程序進行完成後，所得到的結 構經結構分析後各節點的位移情形如表4.3.2，已能滿足位移限制的要求，因此不再進 行下一循環的搜尋，直接以第三次循環在調整斷面尺寸的程序進行前的結果當作窄化 空間技術縮減收尋空間的參考標準，得到各桿件的斷面尺寸分別為 0.7154，0.7154，
0.1110，1.7581，1.1672，0.9458，0.1110，0.1110，0.1110，0.5059，1.0268，0.1110，
1.6348，0.5059，0.8542 in2。
本例題亦將窄化後的搜尋空間分成三種情形討論，由於本案例所給的可選擇的斷 面尺寸不是等間距，因此窄化搜尋空間時直接指定各斷面可選擇的斷面尺寸的數目，
表 4.3.3 為各窄化的搜尋空間下各桿件群組可選擇的斷面尺寸。圖 4.3.2~4.3.4 為基因 演算法在各窄化的搜尋空間下收斂的情形，而圖4.3.5 為基因演算法在未經窄化搜尋空 間的情形下收斂的情形。表4.3.4 為基因演算法在各搜尋空間下的最佳化設計結果和先 前文獻的結果比較，本文以基因演算法搜尋到的結構總重均較兩篇文獻最佳化設計的 結果還輕，其中Case 1~Case 3 的情形下均搜尋到相同的結果，而且由表 4.3.4 可知在 窄化空間的情形下基因演算法可以輕易搜尋到較輕的結構總重。表4.3.5~4.3.6 分別為 Case 1~Case 3 的搜尋空間下最佳化設計的結果經結構分析後桿件應力和節點位移的 情形，顯然都能滿足載重限制、位移限制及挫屈限制的條件。
本例題在窄化空間的情形下基因演算法的族群大小均設為 150，表 4.3.4 中顯示 Case 1、Case 2 和 Case 3 達到收斂結果的世代數分別為 1、40 與 190 代。對於未採用 窄化空間技術的情形下將基因演算法的族群大小設為150，在經歷了 4458 個世代後基 因演算法才搜尋到180.464 lb 的結構總重。顯然採用窄化空間技術後基因演算法達到 收斂結果時的世代數大幅的減少。就結構分析的計算量Case 1、Case 2 和 Case 3 較未 採用窄化空間技術的對照組分別節省了99.98%、99.10%與 95.74%。
例二：空間 25 根桿件桁架
此例題對4.1 節例二的桁架結構進行尺寸最佳化設計，但增加了挫屈限制的考量，
所用的設計條件除了載重條件和桿件可選的斷面尺寸不同之外其餘的條件不變，結構 所受的載重條件如表4.3.7，而桿件可選的斷面尺寸為 30 種，分別為 0.1，0.2，0.3，
0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，
2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.8，3.0，3.2，3.4 in2。以啟發式方法進行包含挫屈限 制的最佳化設計，桿件的挫屈臨界載重可由(3-7)式計算而得，式中的常數 Ks在此例題 中設為12.5。
結構經滿載應力設計收斂的結果A 分別為 0.0，0.0548，0.4634，0.0，0.2597，Fi, 0.1078，0.0112，0.5516 in2。接著以A 為啟發式方法的初始值進行搜尋，搜尋過程Fi, 如表4.3.8～4.3.9，在第一次的循環(Cycle 1)中，啟發式方法搜尋的結果有部分的受壓 桿件不能滿足挫屈限制，此時各桿件群組的斷面尺寸分別為0.1000，0.5598，3.3874，
0.1000，2.8150，1.1632，0.1285，3.3874 in2，所對應的結構總重和 α 值分別為 492.84 lb 與 7.2541。按照圖 3.3 所示的流程，對發生挫屈的桿件放大其斷面尺寸讓結構能滿 足挫屈限制條件，經多次的迭代當結構滿足挫屈限制條件時各桿件群組的斷面尺寸 A 分別為 0.1000，0.6089，3.3874，0.1000，2.8150，1.1632，0.9691，3.3874 inC,i 2，所 對應的結構總重為556.3113 lb，由於此時所對應的結構總重和啟發式方法搜尋所得的 結構總重的差為556.3113-492.84=63.4713 lb，此差值已大於 0.01 lb，需調整斷面尺寸
作為下一個循環的初始值。由圖 3.3 所提的方法調整後各桿件群組的斷面尺寸分別為 0.0，0.0839，0.4634，0.0，0.2597，0.1078，0.1336，0.5516 in2。按照同樣的方式進行 十個循環的搜尋後得到收斂的結果，此時各桿件群組的斷面尺寸分別為 0.1000，
0.6767，2.7944，0.1000，1.5663，1.0537，1.0403，3.3265 in2，所對應的結構總重為 509.7538 lb。
接著以啟發式方法收斂的結果為基準縮減基因演算法的搜尋空間，本例題亦將窄 化後的搜尋空間分成三種情形討論，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距d 及su d 如sl 表4.3.10 所示，，表 4.3.11 為各窄化的搜尋空間下各桿件群組可選擇的斷面尺寸。圖 4.3.6~4.3.8 為基因演算法在各窄化的搜尋空間下收斂的情形，而圖 4.3.9 為基因演算法 在未經窄化搜尋空間的情形下收斂的情形。表4.3.12 為基因演算法在各搜尋空間下的 最佳化設計結果和先前文獻的結果比較，本文以基因演算法搜尋到的結構總重均較兩 篇文獻最佳化設計的結果還輕，其中Case 1 的窄化空間下所搜尋到的結構總重較 Case 2 及 Case 3 稍微重一些，是因為 Case 1 將搜尋空間縮減的過小造成編號 5 的桿件群組 的斷面尺寸無法再往下降。表4.3.13~4.3.16 分別為 Case 1~Case 3 的搜尋空間下最佳化 設計的結果經結構分析後桿件應力和節點位移的情形，顯然都能滿足載重限制、位移 限制及挫屈限制的條件。
本例題在窄化空間的情形下基因演算法的族群大小均設為 150，表 4.3.12 中顯示 Case 1、Case 2 和 Case 3 達到收斂結果的世代數分別為 2、34 與 276 代。對於未採用 窄化空間技術的情形下將基因演算法的族群大小設為150，在經歷了 2247 個世代後基 因演算法才搜尋到517.46 lb 的結構總重。顯然採用窄化空間技術後基因演算法達到收 斂結果時的世代數大幅的減少。就結構分析的計算量Case 1、Case 2 和 Case 3 較未採 用窄化空間技術的對照組分別節省了99.91%、98.49%與 87.72%。