第五章 結論與建議
5.2 未來展望
1.
本研究的整個設計流程以Java 撰寫，程式執行前須將設計條件以純文字檔的格式 儲存，程式執行完成後須手動開啟另一個純文字檔讀取執行結果。未來希望可以 開發圖形使用者介面，讓程式更具親和力，並可直接將執行結果以圖形直接呈現。2.
本文以啟發式方法搜尋的結果作為縮減搜尋空間的參考中心，並成功的與基因演 算法結合，未來希望可以更進一步探討，將窄化空間技術與其他的最佳化方法結 合。參考文獻
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附表
表4.1.1 例一，滿載應力設計收斂過程
No. A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) A7 (in2) A8 (in2) A9 (in2) A10 (in2) 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 7.4443 1.2141 8.5557 2.7859 0.6584 1.2141 6.4428 4.8709 3.9399 1.7170 2 7.2423 0.9266 8.7577 3.0734 0.1690 0.9266 6.7284 4.5853 4.3464 1.3105 3 7.2560 0.7410 8.7440 3.2590 0.0030 0.7410 6.7091 4.6047 4.6089 1.0480 4 7.3895 0.6100 8.6105 3.3900 0.0005 0.6100 6.5202 4.7935 4.7942 0.8627 5 7.5046 0.4953 8.4954 3.5047 0.0001 0.4953 6.3575 4.9562 4.9563 0.7005 6 7.6027 0.3973 8.3973 3.6027 0.0000 0.3973 6.2187 5.0950 5.0950 0.5619 7 7.6849 0.3151 8.3151 3.6849 0.0000 0.3151 6.1024 5.2113 5.2113 0.4456 8 7.7527 0.2473 8.2473 3.7527 0.0000 0.2473 6.0067 5.3071 5.3071 0.3498 9 7.8075 0.1925 8.1925 3.8075 0.0000 0.1925 5.9291 5.3847 5.3847 0.2722 10 7.8513 0.1487 8.1487 3.8513 0.0000 0.1487 5.8671 5.4466 5.4466 0.2102 11 7.8859 0.1141 8.1141 3.8859 0.0000 0.1141 5.8182 5.4955 5.4955 0.1614 12 7.9129 0.0871 8.0871 3.9129 0.0000 0.0871 5.7801 5.5336 5.5336 0.1232 13 7.9337 0.0663 8.0663 3.9337 0.0000 0.0663 5.7506 5.5631 5.5631 0.0937 14 7.9498 0.0502 8.0502 3.9498 0.0000 0.0502 5.7279 5.5858 5.5858 0.0710 15 7.9620 0.0380 8.0380 3.9620 0.0000 0.0380 5.7106 5.6031 5.6031 0.0537 16 7.9713 0.0287 8.0287 3.9713 0.0000 0.0287 5.6974 5.6163 5.6163 0.0405 17 7.9784 0.0216 8.0216 3.9784 0.0000 0.0216 5.6874 5.6263 5.6263 0.0306 18 7.9837 0.0163 8.0163 3.9837 0.0000 0.0163 5.6799 5.6339 5.6339 0.0230 19 7.9878 0.0122 8.0122 3.9878 0.0000 0.0122 5.6742 5.6396 5.6396 0.0173 20 7.9908 0.0092 8.0092 3.9908 0.0000 0.0092 5.6699 5.6439 5.6439 0.0130 21 7.9931 0.0069 8.0069 3.9931 0.0000 0.0069 5.6666 5.6471 5.6471 0.0098 22 7.9948 0.0052 8.0052 3.9948 0.0000 0.0052 5.6642 5.6495 5.6495 0.0073 23 7.9961 0.0039 8.0039 3.9961 0.0000 0.0039 5.6624 5.6514 5.6514 0.0055 24 7.9971 0.0029 8.0029 3.9971 0.0000 0.0029 5.6610 5.6527 5.6527 0.0041 25 7.9978 0.0022 8.0022 3.9978 0.0000 0.0022 5.6600 5.6538 5.6538 0.0031 26 7.9984 0.0016 8.0016 3.9984 0.0000 0.0016 5.6592 5.6545 5.6545 0.0023 27 7.9988 0.0012 8.0012 3.9988 0.0000 0.0012 5.6586 5.6551 5.6551 0.0017 28 7.9991 0.0009 8.0009 3.9991 0.0000 0.0009 5.6582 5.6556 5.6556 0.0013 29 7.9993 0.0007 8.0007 3.9993 0.0000 0.0007 5.6578 5.6559 5.6559 0.0010 30 7.9995 0.0005 8.0005 3.9995 0.0000 0.0005 5.6576 5.6561 5.6561 0.0007 31 7.9996 0.0004 8.0004 3.9996 0.0000 0.0004 5.6574 5.6563 5.6563 0.0006 32 7.9997 0.0003 8.0003 3.9997 0.0000 0.0003 5.6573 5.6564 5.6564 0.0004 33 7.9998 0.0002 8.0002 3.9998 0.0000 0.0002 5.6572 5.6565 5.6565 0.0003 34 7.9998 0.0002 8.0002 3.9998 0.0000 0.0002 5.6571 5.6566 5.6566 0.0002 35 7.9999 0.0001 8.0001 3.9999 0.0000 0.0001 5.6570 5.6567 5.6567 0.0002 36 7.9999 0.0001 8.0001 3.9999 0.0000 0.0001 5.6570 5.6567 5.6567 0.0001 37 7.9999 0.0001 8.0001 3.9999 0.0000 0.0001 5.6570 5.6568 5.6568 0.0001 38 8.0000 0.0001 8.0001 4.0000 0.0000 0.0001 5.6569 5.6568 5.6568 0.0001 39 8.0000 0.0000 8.0000 4.0000 0.0000 0.0000 5.6569 5.6568 5.6568 0.0001 40 8.0000 0.0000 8.0000 4.0000 0.0000 0.0000 5.6569 5.6568 5.6568 0.0000
表4.1.2 例一，AF經結構分析後節點位移 Joint displacement(in)
Joint No. X Translation Y Translation
1 1.45917E+0 -6.64078E+00 2 -1.79999E+0 -7.19996E+00
3 8.99993E-01 -2.69998E+00 4 -9.00007E-01 -2.70002E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.3 例一，啟發式最佳化設計搜尋的過程
No. α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) A7 (in2) A8 (in2) A9 (in2) A10(in2) Weight (lb) 1 2.225 29.607 0.100 24.438 14.804 0.100 0.100 12.606 20.935 20.935 0.100 5267.928 2 2.225 29.607 0.100 24.438 14.804 0.100 0.100 12.606 20.935 20.935 0.100 5267.928 3 1.900 29.828 0.100 23.689 14.914 0.100 0.100 10.785 21.091 21.091 0.100 5176.126 4 1.700 29.966 0.100 23.287 14.983 0.100 0.100 9.659 21.188 21.189 0.100 5121.709 5 1.576 30.052 0.101 23.063 15.026 0.101 0.101 8.963 21.249 21.250 0.101 5089.084 6 1.576 30.052 0.101 23.063 15.026 0.101 0.101 8.963 21.249 21.250 0.101 5089.084 7 1.576 30.052 0.101 23.063 15.026 0.101 0.101 8.963 21.249 21.250 0.101 5089.084 8 1.546 30.072 0.101 23.013 15.036 0.101 0.101 8.799 21.264 21.264 0.101 5081.507 9 1.546 30.072 0.101 23.013 15.036 0.101 0.101 8.799 21.264 21.264 0.101 5081.507 10 1.546 30.072 0.101 23.013 15.036 0.101 0.101 8.799 21.264 21.264 0.101 5081.507 11 1.546 30.072 0.101 23.013 15.036 0.101 0.101 8.799 21.264 21.264 0.101 5081.507 12 1.546 30.072 0.101 23.013 15.036 0.101 0.101 8.799 21.264 21.264 0.101 5081.507 13 1.544 30.074 0.101 23.009 15.037 0.101 0.101 8.784 21.265 21.266 0.101 5080.826 14 1.542 30.075 0.101 23.006 15.037 0.101 0.101 8.775 21.266 21.267 0.101 5080.405
表4.1.4 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 1.0 1.8 3.0
l
d (ins 2) 1.0 1.8 3.0
表4.1.5 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸
1 7 28.5，29.0，29.5，30.0，30.5，31.0，31.5
2 4 0.1，0.5，1.0，1.5
3 7 21.5，22.0，22.5，23.0，23.5，24.0，24.5
4 7 13.5，14.0，14.5，15.0，15.5，16.0，16.5
5 4 0.1，0.5，1.0，1.5
6 4 0.1，0.5，1.0，1.5
7 7 7.0，7.5，8.0，8.5，9.0，9.5，10.0
8 7 19.5，20.0，20.5，21.0，21.5，22.0，22.5
9 7 19.5，20.0，20.5，21.0，21.5，22.0，22.5
2
10 4 0.1，0.5，1.0，1.5
1 9 27.5，28.0，28.5，29.0，29.5，30.0，30.5，31.0，31.5
2 7 0.1，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0
3 12 20.5，21.0，21.5，22.0，22.5，23.0，23.5，24.0，24.5，25.0，25.5，
26.0
4 12 12.5，13.0，13.5，14.0，14.5，15.0，15.5，16.0，16.5，17.0，17.5，
18.0
5 7 0.1，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0
6 7 0.1，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0
7 12 6.0，6.5，7.0，7.5，8.0，8.5，9.0，9.5，10.0，10.5，11.0， 11.5 8 12 18.5，19.0，19.5，20.0，20.5，21.0，21.5，22.0，22.5，23.0，23.5，
24.0
9 12 18.5，19.0，19.5，20.0，20.5，21.0，21.5，22.0，22.5，23.0，23.5，
24.0 3
10 7 0.1，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0
表4.1.6 例一，最佳化結果比較表
This work Area (in2) Elperin[14] Rajeev and
Krishnamoorthy[10] GA Case 1 Case 2 Case 3 A1 31.0 32.0 27.0 30.5 30.0 31.0
A2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
A3 20.0 23.5 23.5 24.0 23.5 23.0 A4 14.0 16.0 16.0 15.0 16.5 15.5
A5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
A6 0.1 0.1 0.5 0.5 0.5 1.0
A7 8.0 8.5 7.5 8.0 7.5 7.5
A8 22.5 20.0 21.0 20.5 21.0 21.0 A9 15.0 20.5 24.0 21.5 21.0 21.0
A10 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
Weight (lb) 5792.4 5080.20 5097.15 5077.88 5070.42 5070.42 Population － － 150 150 150 150 Generation － － 1631 63 61 177 Computational
cost Saving － － － 96.14% 96.26% 89.15%
表4.1.7 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 Allowable Stress= ±25 ksi
Member Axial Stress(ksi) Member No. Axial Stress
1 6.63 2 -0.55 3 -8.24 4 -6.67 5 22.05 6 -0.11 7 17.28 8 -7.05 9 6.58 10 0.78
表4.1.8 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint displacement(in)
Joint No. X Translation Y Translation
1 2.18881E-01 -1.99997E+00 2 -5.36741E-01 -1.99600E+00 3 2.38734E-01 -7.46662E-01 4 -2.96609E-01 -1.54063E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.9 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 Allowable Stress= ±25 ksi
Member Axial Stress (ksi) Member No. Axial Stress
1 6.75 2 -1.25 3 -8.40 4 -6.07 5 24.57 6 -0.25 7 18.37 8 -6.91 9 6.74 10 1.76
表4.1.10 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint displacement(in)
Joint No. X Translation Y Translation
1 1.98265E-01 -1.99891E+00 2 -5.20882E-01 -1.98995E+00 3 2.43098E-01 -7.40489E-01 4 -3.02428E-01 -1.62502E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.11 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 Allowable Stress= ±25 ksi
Member Axial Stress(ksi) Member No. Axial Stress
1 6.54 2 -1.27 3 -8.58 4 -6.46 5 24.95 6 -0.13 7 18.36 8 -6.91 9 6.74 10 1.80
表4.1.12 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint displacement(in)
Joint No. X Translation Y Translation
1 1.89470E-01 -1.99976E+00 2 -5.41493E-01 -1.99518E+00 3 2.35303E-01 -7.32890E-01 4 -3.08939E-01 -1.63099E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.13 例二，空間 25 根桿件桁架，桿件編號與節點編號之關係表
Group number Members
1 A1
表4.1.15 例二，空間 25 根桿件桁架，設計條件 限制條件
位移限制：△j，x 與 y 方向，j=1,2
應力限制：-40 ksi≦σallow,i≦40 ksi，i=1…25 受力情形
No. Joint x (kips) y (kips) z (kips)
1 1 0 20 -5
2 0 -20 -5
2 1 1 10 -5
2 0 10 -5
3 0.5 0 0
6 0.5 0 0
材料性質
彈性係數：104 ksi 材料密度：0.1 lb/in3
表4.1.16 例二，載重條件排序的情形 Max Displacement
Load case
Locate Direction Value δallow Sorting 1 Joint 1 +y 2.046 in 0.35 in 2
2 Joint 1 +y 2.333 in 0.35 in 1
表4.1.17 例二，第一次搜尋結果在第一組載重條件下各節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint displacement
Joint No. X Translation Y Translation Z Translation 1 -2.41655E-02 4.41716E-01 -2.95537E-02 2 2.41655E-02 -4.41716E-01 -2.95537E-02 3 1.37047E-01 -3.73237E-02 -1.24327E-01 4 1.15214E-01 2.59192E-02 8.22756E-02 5 -1.37047E-01 3.73237E-02 -1.24327E-01 6 -1.15214E-01 -2.59192E-02 8.22756E-02 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.18 例二，兩次啟發式方法搜尋的初始情形與結果
1 2
Search
Initial Result Initial Result
α ─ 0.0877 ─ 0.8084
A1 (in2) 0.0001 0.0100 0.0100 0.0100 A2 (in2) 0.3497 1.3096 1.3096 1.8542 A3 (in2) 0.4926 2.8062 2.8062 3.1714 A4 (in2) 0.0001 0.0100 0.0100 0.0100 A5 (in2) 0.0001 0.0100 0.0100 0.0100 A6 (in2) 0.0934 0.8221 0.8221 0.6923 A7 (in2) 0.2914 1.3739 1.3739 1.7166 A8 (in2) 0.3641 3.2277 3.2277 2.5948 Weight (lb) 86.6184 520.0382 520.0382 545.7115
表4.1.19 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 0.38 0.7 1.1
l
d (ins 2) 0.38 0.5 0.8
表4.1.20 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 Case Group number Number of Size Cross-section area (in2)
1 1 0.01
2 2 1.60，2.00
3 2 2.80，3.20
4 1 0.01
5 1 0.01
6 2 0.40，0.80
7 2 1.60，2.00
1
8 2 2.40，2.80
1 2 0.01，0.40
2 3 1.60，2.00，2.40 3 3 2.80，3.20，3.60
4 2 0.01，0.40
5 2 0.01，0.40
6 3 0.40，0.80，1.20 7 3 1.60，2.00，2.40 2
8 3 2.40，2.80，3.20 1 3 0.01，0.40，0.80 2 5 1.20，1.60，2.00，2.40，2.80 3 5 2.40，2.80，3.20，3.60，4.00 4 3 0.01，0.40，0.80 5 3 0.01，0.40，0.80 6 5 0.01，0.40，0.80，1.20，1.60 7 5 1.20，1.60，2.00，2.40，2.80 3
8 5 2.00，2.40，2.80，3.20，3.60
表4.1.21 例二，最佳化結果比較表
This work Area (in2) Ringertz
[15] Wu and Chow [16]
GA Case 1 Case 2 Case 3 A1 0.01 0.4 0.01 0.01 0.01 0.01
A2 1.6 2.0 2.8 1.6 1.6 1.6
A3 3.6 3.6 2.4 3.2 3.2 3.2
A4 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 A5 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01
A6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
A7 2.0 1.6 1.6 2.0 2.0 2.0
A8 2.4 2.4 2.8 2.4 2.4 2.4
Weight (lb) 568.69 563.52 572.44 551.61 551.61 551.61
Population － － 100 50 50 100
Generation － － 1630 12 39 25 Computational
cost Saving － － － 99.63% 98.80% 98.47%
表4.1.22 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 -1.49706E-02 3.37977E-01 -2.62829E-02 2 1.49706E-02 -3.37977E-01 -2.62829E-02 3 8.90725E-02 -3.62363E-02 -1.00105E-01 4 8.04643E-02 2.75893E-02 6.10356E-02 5 -8.90725E-02 3.62363E-02 -1.00105E-01 6 -8.04643E-02 -2.75893E-02 6.10356E-02 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.23 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的桿件應力 Allowable Stress= ±40 ksi
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 3.992 10 -1.153 19 4.706 2 -7.759 11 -1.153 20 4.706 3 7.715 12 -1.148 21 -6.093 4 7.715 13 -1.148 22 -1.223 5 -7.759 14 -2.873 23 -0.365 6 -5.831 15 1.484 24 -1.223 7 4.363 16 1.484 25 -0.365
8 -5.831 17 -2.873 9 4.363 18 -6.093
表4.1.24 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 1.40263E-02 3.40695E-01 -2.02189E-02 2 2.93954E-02 3.40695E-01 -3.02136E-02 3 1.20891E-02 -2.39161E-02 -1.15095E-01 4 -4.65988E-03 -2.39166E-02 -1.22833E-01 5 3.29373E-03 -1.52248E-02 7.59736E-02 6 4.13549E-03 -1.52252E-02 8.37125E-02 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.1.25 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的桿件應力 Allowable Stress= ±40 ksi
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 2.049 10 -1.159 19 -3.483 2 -2.826 11 -1.159 20 2.088 3 -2.826 12 -2.233 21 2.163 4 1.716 13 -0.112 22 -5.198 5 2.260 14 -4.280 23 -5.893 6 2.392 15 3.267 24 3.615 7 -3.867 16 -4.657 25 4.311
8 -3.667 17 -2.891 9 2.590 18 -3.559
表4.2.1 例一，啟發式最佳化設計搜尋的過程
No. α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) Weight (lb) 1 1.3751 29.9796 22.5808 14.9898 7.7786 21.1987 21.1987 4986.3570 2 1.3751 29.9796 22.5808 14.9898 7.7786 21.1987 21.1987 4986.3570 3 1.3751 29.9796 22.5808 14.9898 7.7786 21.1987 21.1987 4986.3570 4 1.1745 30.0593 22.2693 15.0297 6.6437 21.2551 21.2551 4927.4121 5 1.1745 30.0593 22.2693 15.0297 6.6437 21.2551 21.2551 4927.4121 6 1.1745 30.0593 22.2693 15.0297 6.6437 21.2551 21.2551 4927.4121 7 1.1271 30.0767 22.2026 15.0384 6.3758 21.2675 21.2675 4913.5666 8 1.0978 30.0872 22.1627 15.0436 6.2102 21.2749 21.2749 4905.0212 9 1.0797 30.0936 22.1386 15.0468 6.1079 21.2794 21.2794 4899.7441 10 1.0797 30.0936 22.1386 15.0468 6.1079 21.2794 21.2794 4899.7441 11 1.0797 30.0936 22.1386 15.0468 6.1079 21.2794 21.2794 4899.7441 12 1.0755 30.0951 22.1330 15.0475 6.0838 21.2804 21.2804 4898.4988 13 1.0755 30.0951 22.1330 15.0475 6.0838 21.2804 21.2804 4898.4988 14 1.0755 30.0951 22.1330 15.0475 6.0838 21.2804 21.2804 4898.4988
15 1.0755 30.0951 22.1330 15.0475 6.0838 21.2804 21.2804 4898.4988
表4.2.2 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 2.0 3.0 3.0
l
d (ins 2) 2.0 3.0 4.0
表4.2.3 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 Case Member set No. Number of Size Cross-section area (in2)
1 3 29.0，30.0，31.0
2 4 21.0，22.0，23.0，24.0 3 4 14.0，15.0，16.0，17.0
4 4 5.0，6.0，7.0，8.0
5 4 20.0，21.0，22.0，23.0 1
6 4 20.0，21.0，22.0，23.0 1 4 28.0，29.0，30.0，31.0 2 6 20.0，21.0，22.0，23.0，24.0，25.0 3 6 13.0，14.0，15.0，16.0，17.0，18.0 4 6 4.0，5.0，6.0，7.0，8.0，9.0 5 6 19.0，20.0，21.0，22.0，23.0，24.0 2
6 6 19.0，20.0，21.0，22.0，23.0，24.0 1 5 27.0，28.0，29.0，30.0，31.0 2 7 19.0，20.0，21.0，22.0，23.0，24.0，25.0 3 7 12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，17.0，18.0 4 7 3.0，4.0，5.0，6.0，7.0，8.0，9.0 5 7 18.0，19.0，20.0，21.0，22.0，23.0，24.0 3
6 7 18.0，19.0，20.0，21.0，22.0，23.0，24.0
表4.2.4 例一，最佳化結果比較表 Weight (lb) 4942.7 4912.85 4957.58 4912.85 4912.85 4912.85
Population － － 150 150 150 150 Generation － － 1365 9 18 25 Computational
cost Saving － － － 99.34% 98.68% 98.17%
表4.2.5 例一，Case 1 及 Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 -5.25000E-01 -1.99899E+00 2 2.40000E-01 -7.24873E-01 3 -3.00000E-01 -1.99706E+00 4 0.00000E+00 0.00000E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.2.6 例一，Case 1 及 Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 Allowable Stress= ±25 ksi
Member Axial Stress(ksi) Member No. Axial Stress
1 6.67 2 -8.33 3 -6.25 4 23.57 5 -6.73 6 7.07
表4.2.7 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 -5.40000E-01 -1.99851E+00 2 2.32258E-01 -7.41375E-01 3 -3.00000E-01 -1.99706E+00 4 0.00000E+00 0.00000E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.2.8 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 Allowable Stress= ±25 ksi
Member Axial Stress(ksi) Member No. Axial Stress
1 6.45 2 -8.33 3 -6.67 4 23.57 5 -7.07 6 6.73
表4.2.9 例二，各桿件群組的容許應力
Group number Allowable compression stress (ksi) Allowable tension stress (ksi)
1 35.092 40.0
2 11.590 40.0
3 17.305 40.0
4 35.092 40.0
5 35.092 40.0
6 6.759 40.0
7 6.759 40.0
8 11.082 40.0
表4.2.10 例二，桁架最佳拓樸的桿件群組及編號
FSD Optimal topology Group number Members
Area (in2) Group number Members
1 1 0.0 ─ ─
2 2~5 1.2317 1 1~4
3 6~9 1.1250 2 5~8
4 10~11 0.0 ─ ─
5 12~13 0.0 ─ ─
6 14~17 0.5528 3 9~12
7 18~21 1.7098 4 13~16
8 22~25 1.3328 5 17~20
表4.2.11 例二，載重條件排序的情形 Max Displacement
Load case
Locate Direction Value δallow Sorting 1 Joint 1 +y 0.600 in 0.35 in 2
2 Joint 1 +y 0.644 in 0.35 in 1
表4.2.12 例二，兩次啟發式方法搜尋的初始情形與結果
1 2
Search
Initial Result Initial Result
α ─ 0.8108 ─ 0.8877
A1 (in2) 1.2317 1.5791 1.5791 1.9189 A2 (in2) 1.1250 2.4361 2.4361 2.7775 A3 (in2) 0.5528 0.8237 0.8237 0.7441 A4 (in2) 1.7098 1.7636 1.7636 1.8776 A5 (in2) 1.3328 2.9650 2.9650 2.6290 Weight (lb) 347.4476 532.2600 532.2600 549.1283
表4.2.13 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 0.72 1.50 2.80
l
d (ins 2) 0.52 0.52 0.52
表4.2.14 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 Case Group number Number of Size Cross-section area (in2)
1 3 1.400，1.680，1.964，2.260
2 2 2.260，3.330
3 7 0.332，0.519，0.630，0.718，1.014，
1.200，1.400
4 3 1.400，1.680，1.964，2.260 1
5 2 2.260，3.330
1 5 1.400，1.680，1.964，2.260，3.330
2 2 2.260，3.330
3 9 0.332，0.519，0.630，0.718，1.014，
1.200，1.400，1.680，1.964 4 5 1.400，1.680，1.964，2.260，3.330 2
5 2 2.260，3.330
1 5 1.400，1.680，1.964，2.260，3.330 2 3 2.260，3.330，5.400
3 11 0.332，0.519，0.630，0.718，1.014，
1.200，1.400，1.680，1.964，2.260，3.330 4 5 1.400，1.680，1.964，2.260，3.330 3
5 3 2.260，3.330，5.400
表4.2.15 例二，最佳化結果比較表
表4.2.16 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 -1.66195E-02 3.40481E-01 -2.71446E-02 2 1.66195E-02 -3.40481E-01 -2.71446E-02 3 9.13592E-02 -2.60035E-02 -9.32715E-02 4 8.25084E-02 2.24783E-02 5.59515E-02 5 -9.13592E-02 2.60035E-02 -9.32715E-02 6 -8.25084E-02 -2.24783E-02 5.59515E-02 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.2.17 例二，化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的桿件應力 Allowable Stress
Members Tension Stress Compression Stress
1~4 40.0 11.590
5~8 40.0 17.305
9~12 40.0 6.759 13~16 40.0 6.759 17~20 40.0 11.082
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 -7.516 8 4.648 15 4.735 2 7.516 9 -2.192 16 -6.176 3 7.516 10 1.076 17 -1.118 4 -7.516 11 1.076 18 -0.543 5 -6.251 12 -2.192 19 -1.118 6 4.648 13 -6.176 20 -0.543 7 -6.251 14 4.735
表4.2.18 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 1.27491E-02 3.46987E-01 -2.07911E-02 2 3.09763E-02 3.46987E-01 -3.10592E-02 3 9.47551E-03 -6.21238E-03 -1.08508E-01 4 -1.64009E-03 -4.52266E-03 -1.15703E-01 5 6.24732E-04 -2.68717E-03 7.11876E-02 6 7.21068E-03 -9.97453E-04 7.83833E-02 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.2.19 例二，化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的桿件應力 Allowable Stress
Members Tension Stress Compression Stress
1~4 40.0 11.590
5~8 40.0 17.305
9~12 40.0 6.759 13~16 40.0 6.759 17~20 40.0 11.082
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 -2.801 8 2.746 15 2.068 2 -2.283 9 -3.387 16 2.145 3 1.765 10 2.568 17 -5.541 4 2.283 11 -3.684 18 -6.279 5 2.532 12 2.270 19 3.880 6 -4.136 13 -3.586 20 4.618 7 -3.922 14 -3.509
表4.3.1 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程
Initial － 0.8000 0.8000 0.0001 1.2000 0.4000 0.4000 0.0001 0.0001 0.0001 0.5657 0.0001 0.0001 0.5657 0.5657 0.0001 72.0001 Heuristic
Result 1.2856 0.9705 0.9705 0.1110 1.4558 0.4853 0.4853 0.1110 0.1110 0.1110 0.6863 0.1110 0.1110 0.6863 0.6863 0.1110 98.3261 Satisfy buckling
constraints － 0.9705 0.9705 0.1110 1.8182 1.1513 1.0041 0.1110 0.1110 0.1110 0.6863 0.9676 0.1110 1.6869 0.6863 0.7672 159.5482 1
Modify areas － 0.8000 0.8000 0.0 1.4142 0.8955 0.7810 0.0 0.0 0.0 0.5657 0.7526 0.0 1.3122 0.5657 0.5968 120.6571 Initial － 0.8000 0.8000 0.0001 1.4142 0.8955 0.7810 0.0001 0.0001 0.0001 0.5657 0.7526 0.0001 1.3122 0.5657 0.5968 120.6571 Heuristic
Result 1.0598 0.7591 0.7591 0.1110 1.3419 0.8497 0.7411 0.1110 0.1110 0.1110 0.5368 0.7141 0.1110 1.2451 0.5368 0.5663 121.7020 Satisfy buckling
constraints － 0.7591 0.7591 0.1110 1.7598 1.1641 0.9525 0.1110 0.1110 0.1110 0.5368 1.0181 0.1110 1.6406 0.5368 0.8364 149.4811 2
Modify areas － 0.8000 0.8000 0.0 1.6605 1.0984 0.8988 0.0 0.0 0.0 0.5657 0.9607 0.0 1.5481 0.5657 0.7892 138.2625 Initial － 0.8000 0.8000 0.0001 1.6605 1.0984 0.8988 0.0001 0.0001 0.0001 0.5657 0.9607 0.0001 1.5481 0.5657 0.7892 138.2625 Heuristic
Result 1.0033 0.7154 0.7154 0.1110 1.4849 0.9823 0.8038 0.1110 0.1110 0.1110 0.5059 0.8591 0.1110 1.3844 0.5059 0.7058 130.8555 Satisfy buckling
constraints － 0.7154 0.7154 0.1110 1.7581 1.1672 0.9458 0.1110 0.1110 0.1110 0.5059 1.0268 0.1110 1.6348 0.5059 0.8542 147.6690 3
Modify areas － 0.8000 0.8000 0.0 1.7523 1.1633 0.9426 0.0 0.0 0.0 0.5657 1.0234 0.0 1.6293 0.5657 0.8513 144.1633
表4.3.2 例一，啟發式方法搜尋 Cycle 3 的結果經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±3.5 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 0.00000E+00 0.00000E+00 2 3.00104E-01 -3.00335E-01 3 6.00063E-01 -1.81868E+00 4 9.52250E-01 -3.10222E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 -2.05397E-01 -8.04964E-01 7 -3.08580E-01 -1.84127E+00 8 -4.35850E-01 -3.45441E+00
表4.3.3 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸
Case Member Number of Size Cross-section area (in2)
1 2 0.539，0.954
2 2 0.539，0.954
3 1 0.111
4 2 1.488，1.764
5 2 1.081，1.174
6 2 0.539，0.954
7 1 0.111
8 1 0.111
9 1 0.111
10 2 0.440，0.539
11 2 0.954，1.081
12 1 0.111
13 2 1.488，1.764
14 2 0.440，0.539
1
15 2 0.539，0.954
1 3 0.539，0.954，1.081
2 3 0.539，0.954，1.081
3 2 0.111，0.141
4 3 1.488，1.764，2.142
5 3 1.081，1.174，1.333
6 3 0.539，0.954，1.081
7 2 0.111，0.141
8 2 0.111，0.141
9 2 0.111，0.141
10 3 0.440，0.539，0.954
11 3 0.954，1.081，1.174
12 2 0.111 0.141
13 3 1.488，1.764，2.142
14 3 0.440，0.539，0.954
2
15 3 0.539，0.954，1.081
1 4 0.539，0.954，1.081，1.174 2 4 0.539，0.954，1.081，1.174
3 3 0.111，0.141，0.174
4 4 1.488，1.764，2.142，2.697 5 4 1.081，1.174，1.333，1.488 6 4 0.539，0.954，1.081，1.174
7 3 0.111，0.141，0.174
8 3 0.111，0.141，0.174
9 3 0.111，0.141，0.174
10 4 0.440，0.539，0.954，1.081 11 4 0.954，1.081，1.174，1.333
12 3 0.111，0.141，0.174
13 4 1.488，1.764，2.142，2.697 14 4 0.440，0.539，0.954，1.081 3
15 4 0.539，0.954，1.081，1.174
表4.3.4 例一，最佳化結果比較表 Weight (lb) 483.279 182.472 180.464 157.897 157.897 157.897
Population － － 150 150 150 150 Generation － － 4458 1 40 190 Computational
cost Saving － － － 99.98% 99.10% 95.74%
表4.3.5 窄化搜尋空間下最佳化的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±3.5 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 0.00000E+00 0.00000E+00 2 2.95205E-01 -4.04118E-01 3 5.24977E-01 -1.45628E+00 4 7.85748E-01 -2.70167E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00 6 -1.80484E-01 -5.91758E-01 7 -3.00414E-01 -1.52969E+00 8 -3.95859E-01 -2.96244E+00
表4.3.6 窄化搜尋空間下最佳化的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±25 ksi
Member Euler buckling stress (ksi) Axial strss (ksi)
1 -8.281 24.600 2 -8.281 19.148 3 -0.964 21.731 4 -15.313 -15.040 5 -10.191 -9.994 6 -8.281 -7.954 7 -0.964 15.637 8 -0.964 6.117 9 -0.964 21.731 10 -2.339 17.136 11 -4.692 -4.538 12 -0.482 22.081 13 -7.656 -6.628 14 -1.910 24.388 15 -4.141 -3.576
表4.3.7 例二，空間 25 桿的桁架結構所受的載重條件 Joint x (Kips) y (Kips) z (Kips)
1 1.0 -10.0 -10.0
2 0.0 -10.0 -10.0
3 0.5 0.0 0.0
6 0.6 0.0 0.0
表4.3.8 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 0~Cycle 5)
Cycle Step α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) A7 (in2) A8 (in2) Weight (lb) 0 FSD — 0.0 0.0548 0.4634 0.0 0.2597 0.1078 0.0112 0.5516 64.6230
Initial — 0.0001 0.0548 0.4634 0.0001 0.2597 0.1078 0.0112 0.5516 64.6230 Heuristic
Result 7.2541 0.1000 0.5598 3.3874 0.1000 2.8150 1.1632 0.1285 3.3874 492.8400 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6089 3.3874 0.1000 2.8150 1.1632 0.9691 3.3874 556.3113 1
Modify areas — 0.0 0.0839 0.4634 0.0 0.2597 0.1078 0.1336 0.5516 75.0075 Initial — 0.0001 0.0839 0.4634 0.0001 0.2597 0.1078 0.1336 0.5516 75.0075 Heuristic
Result 6.5794 0.1000 0.5702 3.2108 0.1000 1.7483 0.7479 0.8990 3.3991 496.1928 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6328 3.2108 0.1000 1.7483 1.0532 1.0205 3.3991 530.3856 2
Modify areas — 0.0 0.0962 0.4634 0.0 0.2597 0.1601 0.1551 0.5516 80.9960 Initial — 0.0001 0.0962 0.4634 0.0001 0.2597 0.1601 0.1551 0.5516 80.9960 Heuristic
Result 6.1831 0.1000 0.5957 2.8733 0.1000 1.6076 0.9911 0.9601 3.4000 503.0983 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6681 2.8733 0.1000 1.6076 1.0531 1.0273 3.4000 516.2318 3
Modify areas — 0.0 0.1080 0.4634 0.0 0.2597 0.1703 0.1661 0.5516 83.1575 Initial — 0.0001 0.1080 0.4634 0.0001 0.2597 0.1703 0.1661 0.5516 83.1575 Heuristic
Result 6.0762 0.1000 0.6565 2.8155 0.1000 1.5781 1.0349 1.0095 3.3516 507.5325 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6744 2.8155 0.1000 1.5781 1.0535 1.0359 3.3516 511.7257 4
Modify areas — 0.0 0.1110 0.4634 0.0 0.2597 0.1734 0.1705 0.5516 83.8477 Initial — 0.0001 0.1110 0.4634 0.0001 0.2597 0.1734 0.1705 0.5516 83.8477 Heuristic
Result 6.0444 0.1000 0.6709 2.8008 0.1000 1.5699 1.0480 1.0305 3.3341 509.0607 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6760 2.8008 0.1000 1.5699 1.0536 1.0389 3.3341 510.3515 5
Modify areas — 0.0 0.1118 0.4634 0.0 0.2597 0.1743 0.1719 0.5516 84.0612
表4.3.9 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 6~Cycle 10)
Cycle Step α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) A7 (in2) A8 (in2) Weight (lb) Initial — 0.0001 0.1118 0.4634 0.0001 0.2597 0.1743 0.1719 0.5516 84.0612 Heuristic
Result 6.0348 0.1000 0.6749 2.7963 0.1000 1.5674 1.0519 1.0373 3.3288 509.5407 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6765 2.7963 0.1000 1.5674 1.0537 1.0399 3.3288 509.9348 6
Modify areas — 0.0 0.1121 0.4634 0.0 0.2597 0.1746 0.1723 0.5516 84.1265 Initial — 0.0001 0.1121 0.4634 0.0001 0.2597 0.1746 0.1723 0.5516 84.1265 Heuristic
Result 6.0318 0.1000 0.6762 2.7950 0.1000 1.5666 1.0532 1.0393 3.3272 509.6877 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6767 2.7950 0.1000 1.5666 1.0537 1.0401 3.3272 509.8079 7
Modify areas — 0.0 0.1122 0.4634 0.0 0.2597 0.1747 0.1724 0.5516 84.1465 Initial — 0.0001 0.1122 0.4634 0.0001 0.2597 0.1747 0.1724 0.5516 84.1465 Heuristic
Result 6.0309 0.1000 0.6766 2.7946 0.1000 1.5664 1.0535 1.0400 3.3267 509.7325 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6767 2.7946 0.1000 1.5664 1.0537 1.0402 3.3267 509.7692 8
Modify areas — 0.0 0.1122 0.4634 0.0 0.2597 0.1747 0.1725 0.5516 84.1525 Initial — 0.0001 0.1122 0.4634 0.0001 0.2597 0.1747 0.1725 0.5516 84.1525 Heuristic
Result 6.0307 0.1000 0.6767 2.7944 0.1000 1.5663 1.0536 1.0402 3.3265 509.7462 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6767 2.7944 0.1000 1.5663 1.0537 1.0402 3.3265 509.7574 9
Modify areas — 0.0 0.1122 0.4634 0.0 0.2597 0.1747 0.1725 0.5516 84.1544 Initial — 0.0001 0.1122 0.4634 0.0001 0.2597 0.1747 0.1725 0.5516 84.1544 Heuristic
Result 6.0306 0.1000 0.6767 2.7944 0.1000 1.5663 1.0537 1.0402 3.3265 509.7504 10 Satisfy buckling
constraints — 0.1000 0.6767 2.7944 0.1000 1.5663 1.0537 1.0403 3.3265 509.7538
表4.3.10 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距
表4.3.11 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸
Case Group number Number of Size Cross-section area (in2)
1 3 0.1，0.2，0.3
2 6 0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9
3 4 2.5，2.6，2.8，3.0
4 4 0.1，0.2，0.3，0.4
5 5 1.4，1.5，1.6，1.7，1.8
6 6 0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3
7 6 0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3
2
8 2 3.2，3.4
1 5 0.1，0.2，0.3，0.4，0.5
2 8 0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0
3 6 2.4，2.5，2.6，2.8，3.0，3.2
4 5 0.1，0.2，0.3，0.4，0.5
5 8 1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9 6 8 0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4 7 8 0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4 3
表4.3.13 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 1.35549E-02 -3.49170E-01 -4.66276E-02 2 3.50103E-02 -3.48370E-01 -5.41582E-02 3 -1.05021E-03 5.73010E-03 5.52108E-02 4 7.93788E-03 5.80394E-03 5.03036E-02 5 -8.63535E-03 1.00601E-02 -1.18369E-01 6 1.70571E-02 1.03172E-02 -1.14140E-01 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.3.14 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±40 ksi
Members Euler buckling stress (ksi)
1 -2.222 2~5 -5.872 6~9 -30.685 10~11 -2.222 12~13 -33.333 14~17 -4.190 18~21 -4.190 22~25 -22.456
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi)
表4.3.15 例二，Case 2 及 Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 1.34132E-02 -3.49592E-01 -4.67195E-02 2 3.51520E-02 -3.48792E-01 -5.42502E-02 3 -1.30778E-03 5.76991E-03 5.53326E-02 4 8.19545E-03 5.84375E-03 5.04253E-02 5 -9.39201E-03 1.01429E-02 -1.18713E-01 6 1.78137E-02 1.04000E-02 -1.14483E-01 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.3.16 例二，Case 2 及 Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±40 ksi
Members Euler buckling stress (ksi)
1 -2.222 2~5 -5.872 6~9 -30.685 10~11 -2.222 12~13 -31.111 14~17 -4.190 18~21 -4.190 22~25 -22.456
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi)
表4.4.1 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 0~Cycle 6)
Cycle Step α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) Weight (lb) 0 FSD — 8.0000 8.0000 4.0000 5.6569 5.6569 5.6569 1583.9998 Initial — 8.0000 8.0000 4.0000 5.6569 5.6569 5.6569 1583.9998 Heuristic
Result 3.6000 28.8000 28.8000 14.4000 20.3647 20.3647 20.3647 5702.4010 Satisfy buckling
constraints — 28.8000 57.4477 40.6217 20.3647 68.3172 20.3647 10119.0408 1
Modify areas — 8.0000 15.9577 11.2838 5.6569 18.9770 5.6569 2810.8439 Initial — 8.0000 15.9577 11.2838 5.6569 18.9770 5.6569 2810.8439 Heuristic
Result 2.4534 19.6272 39.1506 27.6836 13.8785 46.5581 13.8785 6896.1219 Satisfy buckling
constraints — 19.6272 57.4477 40.6217 13.8785 68.3172 13.8785 9128.3769 2
Modify areas — 8.0000 23.4155 16.5573 5.6569 27.8459 5.6569 3720.7060 Initial — 8.0000 23.4155 16.5573 5.6569 27.8459 5.6569 3720.7060 Heuristic
Result 2.2453 17.9623 52.5747 37.1759 12.7013 62.5222 12.7013 8354.0691 Satisfy buckling
constraints — 17.9623 57.4477 40.6217 12.7013 68.3172 12.7013 8948.5718 3
Modify areas — 8.0000 25.5858 18.0919 5.6569 30.4269 5.6569 3985.4835 Initial — 8.0000 25.5858 18.0919 5.6569 30.4269 5.6569 3985.4835 Heuristic
Result 2.2075 17.6602 56.4813 39.9383 12.4876 67.1679 12.4876 8798.0342 Satisfy buckling
constraints — 17.6602 57.4477 40.6217 12.4876 68.3172 12.4876 8915.9373 4
Modify areas — 8.0000 26.0236 18.4015 5.6569 30.9475 5.6569 4038.8932 Initial — 8.0000 26.0236 18.4015 5.6569 30.9475 5.6569 4038.8932 Heuristic
Result 2.2007 17.6053 57.2693 40.4955 12.4488 68.1050 12.4488 8888.2485 Satisfy buckling
constraints — 17.6053 57.4477 40.6217 12.4488 68.3172 12.4488 8910.0141 5
Modify areas — 8.0000 26.1047 18.4588 5.6569 31.0439 5.6569 4048.7836 Initial — 8.0000 26.1047 18.4588 5.6569 31.0439 5.6569 4048.7836 Heuristic
Result 2.1994 17.5954 57.4152 40.5987 12.4418 68.2786 12.4418 8904.9762 Satisfy buckling
constraints — 17.5954 57.4477 40.6217 12.4418 68.3172 12.4418 8908.9391 6
Modify areas — 8.0000 26.1195 18.4693 5.6569 31.0615 5.6569 4050.5853
表4.4.2 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 7~Cycle 10)
Cycle Step α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) Weight (lb) Initial — 8.0000 26.1195 18.4693 5.6569 31.0615 5.6569 4050.5853 Heuristic
Result 2.1992 17.5936 57.4418 40.6175 12.4405 68.3102 12.4405 8908.0242 Satisfy buckling
constraints — 17.5936 57.4477 40.6217 12.4405 68.3172 12.4405 8908.7439 7
Modify areas — 8.0000 26.1222 18.4712 5.6569 31.0646 5.6569 4050.9125 Initial — 8.0000 26.1222 18.4712 5.6569 31.0646 5.6569 4050.9125 Heuristic
Result 2.1992 17.5932 57.4466 40.6209 12.4403 68.3159 12.4403 8908.5778 Satisfy buckling
constraints — 17.5932 57.4477 40.6217 12.4403 68.3172 12.4403 8908.7085 8
Modify areas — 8.0000 26.1226 18.4715 5.6569 31.0652 5.6569 4050.9719 Initial — 8.0000 26.1226 18.4715 5.6569 31.0652 5.6569 4050.9719 Heuristic
Result 2.1991 17.5932 57.4475 40.6215 12.4403 68.3170 12.4402 8908.6783 Satisfy buckling
constraints — 17.5932 57.4477 40.6217 12.4403 68.3172 12.4402 8908.7021 9
Modify areas — 8.0000 26.1227 18.4716 5.6569 31.0653 5.6569 4050.9827 Initial — 8.0000 26.1227 18.4716 5.6569 31.0653 5.6569 4050.9827 Heuristic
Result 2.1991 17.5932 57.4477 40.6216 12.4402 68.3172 12.4402 8908.6965 10 Satisfy buckling
constraints — 17.5932 57.4477 40.6217 12.4402 68.3172 12.4402 8908.7009
表4.4.3 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 3.0 5.0 7.0
l
d (ins 2) 3.0 5.0 7.0
表4.4.4 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸
Case Member Number of Size Cross-section area (in2)
1 6 15.0，16.0，17.0，18.0，19.0，20.0
2 6 55.0，56.0，57.0，58.0，59.0，60.0
3 6 38.0，39.0，40.0，41.0，42.0，43.0
4 6 10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0
5 6 66.0，67.0，68.0，69.0，70.0，71.0
1
6 6 10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0
1 10 13.0，14.0，15.0，16.0，17.0，18.0，19.0，20.0，21.0，22.0 2 10 53.0，54.0，55.0，56.0，57.0，58.0，59.0，60.0，61.0，62.0 3 10 36.0，37.0，38.0，39.0，40.0，41.0，42.0，43.0，44.0，45.0 4 10 8.0，9.0，10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，17.0 5 8 64.0，65.0，66.0，67.0，68.0，69.0，70.0，71.0 2
6 10 8.0，9.0，10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，17.0 1 14 11.0，12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，17.0，18.0，19.0，20.0，
21.0，22.0，23.0，24.0
2 14 51.0，52.0，53.0，54.0，55.0，56.0，57.0，58.0，59.0，60.0，
61.0，62.0，63.0，64.0
3 14 34.0，35.0，36.0，37.0，38.0，39.0，40.0，41.0，42.0，43.0，
44.0，45.0，46.0，47.00
4 14 6.0，7.0，8.0，9.0，10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，
17.0，18.0，19.0
5 10 62.0，63.0，64.0，65.0，66.0，67.0，68.0，69.0，70.0，71.0 3
6 14 6.0，7.0，8.0，9.0，10.0，11.0，12.0，13.0，14.0，15.0，16.0，
17.0，18.0，19.0 Weight (lb) 8974.05 8859.88 8794.05 8677.32
Population 150 150 150 150 Generation 2117 15 18 57 Computational
cost Saving － 99.29% 99.15% 97.31%
表4.4.6 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 -2.11943E-01 -1.98983E+00 2 4.23529E-01 -5.71100E-01 3 -1.24138E-01 -1.14237E+00 4 0.00000E+00 0.00000E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.4.7 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±25 ksi
Member Euler buckling stress (ksi) Axial strss (ksi)
1 -1.030 11.765 2 -3.515 -3.448 3 -2.485 -2.439 4 -0.303 14.142 5 -2.091 -2.050 6 -0.394 10.879
表4.4.8 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 -2.11943E-01 -1.94277E+00 2 4.00000E-01 -5.47570E-01 3 -1.24138E-01 -1.39693E+00 4 0.00000E+00 0.00000E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.4.9 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±25 ksi
Member Euler buckling stress (ksi) Axial strss (ksi)
1 -1.091 11.111 2 -3.515 -3.448 3 -2.485 -2.439 4 -0.242 17.678 5 -2.091 -2.050 6 -0.394 10.879
表4.4.10 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±2.0 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) 1 -2.11943E-01 -1.96594E+00 2 3.78947E-01 -5.26517E-01 3 -1.24138E-01 -1.82119E+00 4 0.00000E+00 0.00000E+00 5 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.4.11 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±25 ksi
Member Euler buckling stress (ksi) Axial strss (ksi)
1 -1.151 10.526 2 -3.515 -3.448 3 -2.485 -2.439 4 -0.182 23.570 5 -2.091 -2.050 6 -0.364 11.785
表4.4.12 例二，桁架最佳拓樸的桿件群組及編號
FSD Optimal topology Group
number Members
Area (in2) Group
number Members
1 1 0.0 ─ ─ 0 FSD — 0.0548 0.4634 0.2597 0.1078 0.0112 0.5516 64.6229
Initial — 0.0548 0.4634 0.2597 0.1078 0.0112 0.5516 64.6229 Heuristic
Result 7.2541 0.5598 3.3874 2.8150 1.1632 0.1285 3.3874 490.5903 Satisfy buckling
constraints — 0.5930 3.3874 2.8150 1.1632 0.9694 3.3874 553.2554 1
Modify areas — 0.0817 0.4634 0.2597 0.1078 0.1336 0.5516 74.8964 Initial — 0.0817 0.4634 0.2597 0.1078 0.1336 0.5516 74.8964 Heuristic
Result 6.5868 0.5563 3.2172 1.7511 0.7492 0.9005 3.3990 493.7351 Satisfy buckling
constraints — 0.6098 3.2172 1.7511 1.0628 1.0214 3.3990 528.0065 2
Modify areas — 0.0926 0.4634 0.2597 0.1613 0.1551 0.5516 80.8977 Initial — 0.0926 0.4634 0.2597 0.1613 0.1551 0.5516 80.8977 Heuristic
Result 6.1904 0.5744 2.8797 1.6101 1.0006 0.9615 3.4000 500.8386 Satisfy buckling
constraints — 0.6385 2.8797 1.6101 1.0627 1.0294 3.4000 513.6048 3
Modify areas — 0.1031 0.4634 0.2597 0.1717 0.1663 0.5516 83.0107
表4.4.14 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 4~Cycle 9)
Cycle Step α A1 (in2) A2 (in2) A3 (in2) A4 (in2) A5 (in2) A6 (in2) Weight (lb) Initial — 0.1031 0.4634 0.2597 0.1717 0.1663 0.5516 83.0107 Heuristic
Result 6.0869 0.6255 2.8010 1.5783 1.0425 1.0100 3.3818 505.0395 Satisfy buckling
constraints — 0.6459 2.8010 1.5783 1.0627 1.0338 3.3818 509.4990 4
Modify areas — 0.1061 0.4634 0.2597 0.1746 0.1698 0.5516 83.6350 Initial — 0.1061 0.4634 0.2597 0.1746 0.1698 0.5516 83.6350 Heuristic
Result 6.0577 0.6428 2.8070 1.5734 1.0577 1.0289 3.3415 506.6392 Satisfy buckling
constraints — 0.6451 2.8070 1.5734 1.0627 1.0402 3.3415 507.9486 5
Modify areas — 0.1065 0.4634 0.2597 0.1754 0.1717 0.5516 83.8511 Initial — 0.1065 0.4634 0.2597 0.1754 0.1717 0.5516 83.8511 Heuristic
Result 6.0485 0.6441 2.8027 1.5709 1.0611 1.0386 3.3363 507.1706 Satisfy buckling
constraints — 0.6455 2.8027 1.5709 1.0627 1.0411 3.3363 507.5413 6
Modify areas — 0.1067 0.4634 0.2597 0.1757 0.1721 0.5516 83.9124 Initial — 0.1067 0.4634 0.2597 0.1757 0.1721 0.5516 83.9124 Heuristic
Result 6.0457 0.6452 2.8014 1.5702 1.0622 1.0407 3.3348 507.3109 Satisfy buckling
constraints — 0.6456 2.8014 1.5702 1.0627 1.0414 3.3348 507.4209 7
Modify areas — 0.1068 0.4634 0.2597 0.1758 0.1723 0.5516 83.9306 Initial — 0.1068 0.4634 0.2597 0.1758 0.1723 0.5516 83.9306 Heuristic
Result 6.0449 0.6455 2.8010 1.5700 1.0626 1.0413 3.3344 507.3526 Satisfy buckling
constraints — 0.6456 2.8010 1.5700 1.0627 1.0415 3.3344 507.3852 8
Modify areas — 0.1068 0.4634 0.2597 0.1758 0.1723 0.5516 83.9360 Initial — 0.1068 0.4634 0.2597 0.1758 0.1723 0.5516 83.9360 Heuristic
Result 6.0447 0.6456 2.8009 1.5700 1.0627 1.0414 3.3343 507.3649 9 Satisfy buckling
constraints — 0.6456 2.8009 1.5700 1.0627 1.0415 3.3343 507.3746
表4.4.15 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ds Case 1 Case 2 Case 3
u
d (ins 2) 0.2 0.3 0.4
l
d (ins 2) 0.2 0.3 0.4
表4.4.16 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸
Case Group number Number of Size Cross-section area (in2)
1 4 0.5，0.6，0.7，0.8
2 2 2.8，3.0
3 4 1.4，1.5，1.6，1.7
4 4 0.9，1.0，1.1，1.2
5 4 0.9，1.0，1.1，1.2
1
6 2 3.2，3.4
2 6 0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9
3 3 2.6，2.8，3.0
5 6 1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8
6 6 0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3
7 6 0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3
2
8 2 3.2，3.4
2 8 0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0
3 5 2.5，2.6，2.8，3.0，3.2
5 8 1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9 6 8 0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4 7 8 0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4 3
8 3 3.0，3.2，3.4
表4.4.17 例二，最佳化結果比較表
Area (in2) GA Case 1 Case 2 Case 3
A1 0.7 0.8 0.8 0.8 A2 3.0 2.8 2.8 2.8 A3 1.2 1.5 1.4 1.4 A4 1.2 1.1 1.1 1.1 A5 1.2 1.1 1.1 1.1 A6 3.0 3.2 3.2 3.2 Weight (lb) 516.75 514.12 512.62 512.62
Population 150 150 150 150 Generation 1480 2 21 80 Computational
cost Saving － 99.86% 98.58% 94.59%
表4.4.18 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 5.05732E-03 -3.49170E-01 -4.76243E-02 2 4.35009E-02 -3.48370E-01 -5.51493E-02 3 -7.23238E-04 4.76452E-03 5.46818E-02 4 7.61911E-03 4.90616E-03 4.98056E-02 5 -8.95413E-03 1.09579E-02 -1.18867E-01 6 1.73841E-02 1.12828E-02 -1.14669E-01 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.4.19 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±40 ksi
Members Euler buckling stress (ksi)
1~4 -5.872 5~8 -30.685 9~10 -33.333 11~14 -4.190 15~18 -4.190 19~22 -22.456
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 2.188 9 1.112 17 -4.008 2 3.274 10 -3.512 18 -3.789 3 -4.363 11 1.852 19 2.877 4 -3.274 12 -3.636 20 2.357 5 -6.227 13 1.578 21 -5.975 6 2.413 14 -3.911 22 -5.432 7 2.667 15 1.606
8 -5.973 16 1.744
表4.4.20 例二，Case 2 及 Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 Allowable displacement= ±0.35 in
Joint X Translation (in) Y Translation (in) Z Translation (in) 1 4.78367E-03 -3.49592E-01 -4.77375E-02 2 4.37745E-02 -3.48792E-01 -5.52624E-02 3 -9.56703E-04 4.79274E-03 5.47889E-02 4 7.85257E-03 4.93438E-03 4.99128E-02 5 -9.73490E-03 1.10523E-02 -1.19225E-01 6 1.81648E-02 1.13771E-02 -1.15027E-01 7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 8 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 9 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 10 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00
表4.4.21 例二，Case 2 及 Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 Allowable Stress = ±40 ksi
Members Euler buckling stress (ksi)
1~4 -5.872 5~8 -30.685 9~10 -33.111 11~14 -4.190 15~18 -4.190 19~22 -22.456
Axial Stress
No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) No. Stress (ksi) 1 2.208 9 1.175 17 -4.050 2 3.293 10 -3.720 18 -3.831 3 -4.383 11 1.852 19 2.874 4 -3.293 12 -3.636 20 2.353 5 -6.223 13 1.578 21 -5.964 6 2.409 14 -3.911 22 -5.421 7 2.662 15 1.619
8 -5.968 16 1.756
表4.5.1 本文各案例 Case 1~Case 3 與啟發式方法最佳化結果的相對誤差
表4.5.1 本文各案例 Case 1~Case 3 與啟發式方法最佳化結果的相對誤差