第四章 數值案例測試
4.2 不含挫屈限制的桁架尺寸與拓樸最佳化設計
例一：平面 10 根桿件桁架
此例題針對 4.1 節例一的桁架結構同時考慮尺寸與拓樸最佳化設計，所有的設計 條件除了桿件可選的斷面尺寸不同之外其餘的條件不變，其桿件可選的斷面尺寸為32 種，分別為0.1，1.0，2.0，…，30.0，31.0 in2，先前的研究如：Hajela, Lee and Lin [17]
與Deb and Gulati [18] 都對此結構作過尺寸與拓樸最佳化設計。
首先對結構進行滿載應力設計，其收斂結果同 4.1 節例一，接著依照滿載應力設 計的結果決定桁架最佳的桿件和節點配置。決定桁架桿件配置的方法主要是將滿載應 力設計後斷面尺寸接近零的桿件移除，當與某一節點相連接的所有桿件都被移除時，
則移除該節點。但是爲了避免結構出現不穩定的情形，仍需加入一些法則判斷結構的 拓樸形式是否合理[19]，因此本文採用以下的法則：
1.
對於有外加荷載作用的節點不可刪除，在平面桁架結構的情形下與該節點連接的 桿件數不可小於2，若只有兩根桿與該節點相連時兩桿不可在同一直線上；在空 間桁架結構的情形下與該節點連接的桿件數不可小於3，若只有三根桿件與該節 點連接時任兩桿不可在同一直線上。2.
位於支承處的節點不可刪除，且與該節點相連接的桿件數必須大於等於1。3.
沒有外加荷載作用且不是位在支承處的節點只要沒有桿件與其相連時即可刪 除。但有桿件與該節點相連時則節點不可刪除，若在平面桁架結構的情形下有桿 件與該節點相連時與該節點連接的桿件數不可小於 2，當只有兩根桿與該節點相 連時兩桿不可在同一直線上；在空間桁架結構的情形下與該節點連接的桿件數不 可小於3，當只有三根桿件與該節點連接時任兩桿不可在同一直線上。依照法則最後移除了編號2、5、6、10 的桿件及 1 號節點。爲了在接下來的程序中順 利進行結構分析，因此須對桿件及節點重新編號，如圖4.2.1 為桁架的最佳拓樸形式及 其節點與桿件重新編號的情形。
表4.2.1 為啟發式方法的搜尋過程，過程中僅經過了 15 次的搜尋就達到收斂條件，
收斂後各桿件的斷面尺寸分別為1.0755，30.0951，22.1330，15.0475，6.0838，21.2804，
21.2804 in2，相對應的結構總重為4898.4988 lb。接著窄化基因演算法的搜尋空間，本 例題亦將窄化後的搜尋空間分成三種情形討論，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間 距d 及us d 如表 4.2.2 所示，表 4.2.3 為各窄化的搜尋空間下各桿件可選擇的斷面尺寸。ls 圖4.2.2~4.2.4 為基因演算法在各窄化的搜尋空間下收斂的情形，而圖 4.2.5 為基因演 算法在未經窄化搜尋空間的情形下收斂的情形。表4.2.4 為基因演算法在各搜尋空間下 的最佳化設計結果和先前文獻的結果比較，在Case 1、Case 2 及 Case 3 的搜尋空間下 基因演算法最後收斂的桿件斷面有些微的差異，但收斂時所對應的結構總重均為 4912.85 lb，和文獻的結果中最佳的結構總重相同。其中 Case 1 和 Case 2 收斂的結果 相同，各桿件的斷面尺寸分別為30.0，24.0，16.0，6.0，21.0，20.0 in2，而Case 3 收 斂時各桿件的斷面尺寸分別為31.0，24.0，15.0，6.0，20.0，21.0 in2。而表4.2.5~4.2.8 為Case 1~Case 3 最佳化設計後的結構經結構分析得到的桿件應力和節點位移，顯然在 三種窄化的搜尋空間下搜尋所得的結構都能符合應力限制及位移限制。
本例題基因演算法的族群大小均設為150，表 4.2.4 中顯示 Case 1、Case 2 和 Case 3 達到收斂結果的世代數分別為 9、18 與 25 代，相較於未採用窄化空間技術的對照組 所需的世代數1365，採用窄化空間技術後基因演算法達到收斂結果時的世代數顯著的 減少。就結構分析的計算量Case 1、Case 2 和 Case 3 較未採用窄化空間技術的對照組 分別節省了99.34%、98.68%與 98.17%。
例二：空間 25 根桿件桁架
此例題以 4.1 節例二的桁架結構進行尺寸與拓樸最佳化設計，所用的設計條件除 了桿件的容許壓應力和桿件可選的斷面尺寸不同之外其餘的條件不變，桿件的容許應
力如表4.2.9，而桿件可選的斷面尺寸為 18 種，分別為 0.120，0.195，0.332，0.519，
0.630，0.718，1.014，1.200，1.400，1.680，1.964，2.260，3.330，5.400，6.900，8.200，
9.340，10.110 in2。先前對此結構作過尺寸與拓樸最佳化設計的研究如：Chai, Shi and Sun [20]與 Kaveh and Kalatjari [21]。
對結構進行滿載應力設計，其收斂結果A 分別為 0.0，1.2317，1.1250，0.0，0.0，Fi, 0.5528，1.7098，1.3328 in2。由滿載應力設計的結果判斷結構的拓樸形式，因此移除 了編號 1、10、11、12、13 的桿件，接著對桿件及桿件群組重新編號如表 4.2.10，而 圖4.2.6 為桁架最佳拓樸形式的情形。
接著按照各組載重條件造成結構的最大位移值對載重條件重新排序，經結構分析 後第一組載重條件作用下結構的最大位移發生於1 號節點大小為 0.600 in，第二組載 重條件作用下結構的最大位移發生於1 號節點處，大小為 0.644 in，因此載重條件重 新排序後的情形如表 4.2.11。進行啟發式方法時先以第二組載重條件作用的情形搜 尋，再以第一組載重條件進行第二次的啟發式搜尋。表4.2.12 是兩次啟發式方法搜尋 的初始條件與結果，第二次搜尋後各組斷面尺寸分別為 1.9189，2.7775，0.7441，
1.8776，2.6290 in2，對應的結構總重為549.1283 lb。
接下來縮減基因演算法的搜尋空間，本例題亦將窄化後的搜尋空間分成三種情形 討論，各窄化搜尋空間中心與其上下限間的間距d 及us d 如表 4.2.13 所示，表 4.2.14 為sl 各窄化的搜尋空間下各桿件群組可選擇的斷面尺寸。圖4.2.7~4.2.9 為基因演算法在各 窄化的搜尋空間下收斂的情形，而圖4.2.10 為基因演算法在未經窄化搜尋空間的情形 下收斂的情形。表4.2.15 為基因演算法在各搜尋空間下的最佳化設計結果和先前文獻 的結果比較，在三種窄化空間的情形下均搜尋到與文獻[21]相同的結果。表
4.2.16~4.2.19 為 Case 1~Case 3 的搜尋空間下最佳化設計的結果分別在第一組及第二組 載重條件下桿件應力和節點位移的情形，顯然都能滿足載重限制和位移限制的條件。
本例題在窄化空間的情形下基因演算法的族群大小均設為100，表 4.2.15 中顯示 Case 1、Case 2 和 Case 3 達到收斂結果的世代數分別為 3、10 與 50 代。對於未採用窄
化空間技術的情形下將基因演算法的族群大小設為150，在經歷了 3990 個世代後基因 演算法才搜尋到573.21 lb 的結構總重。顯然採用窄化空間技術後基因演算法達到收斂 結果時的世代數大幅的減少。就結構分析的計算量Case 1、Case 2 和 Case 3 較未採用 窄化空間技術的對照組分別節省了99.94%、99.83%與 99.16%。