桁架結構最佳化設計使用基因演算法與窄化空間技術

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(1)國立交通大學土木工程研究所碩士論文. 桁架結構最佳化設計使用基因演算法與窄化空間技術 Optimization of truss-structures by genetic algorithms with narrowing space techniques. 研究生：張巍贏指導教授：洪士林博士. 中華民國九十六年八月.

(2) 桁架結構最佳化設計使用基因演算法與窄化空間技術 Optimization of truss-structures by genetic algorithms with narrowing space techniques. 研究生：張巍贏. Student : Wei-Ying Chang. 指導教授：洪士林博士. Advisor : Dr. Shih-Lin Hung. 國立交通大學土木工程研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Science in Civil Engineering July 2007 HsinChu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年八月.

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(4) 桁架結構最佳化設計使用基因演算法與窄化空間技術學生：張巍贏. 指導教授：洪士林博士. 國立交通大學土木工程學系摘要基因演算法(Genetic algorithm，GA)是一種有效的全域搜尋技術，不僅可以處理離散變數(discrete variables)的最佳化問題，同時具有克服局部最小化的能力。以基因演算法處理離散斷面尺寸桁架結構最佳設計已是一個很普及的方法，然而隨著桁架結構桿件數目不斷增加，基因演算法搜尋空間亦隨之擴大，造成全域搜尋過程收斂緩慢。本論文針對桁架結構最佳化問題提出一個窄化空間技術，利用縮小搜尋空間的策略以提高基因演算法的收斂速度。首先以滿載應力設計(Fully stress design, FSD)概念建立最佳桁架拓樸，接著將滿載應力桁架結構透過一組啟發式法則放大其桿件斷面尺寸並將放大後的斷面尺寸作為搜尋空間的中心點，最後使用基因演算法於中心點鄰近空間進行搜尋。本論文所建立的窄化空間技術對最大與最小斷面尺寸限制、單載與多組載重條件、壓力桿件挫屈等問題上均有著墨。經由八個平面與空間桁架的數值案例測試，證實窄化空間技術確能輔助基因演算法讓桁架結構最佳化設計的電腦計算成本大幅減少。. 關鍵字：桁架結構最佳化設計、基因演算法(GA) 、窄化空間技術. i.

(5) Optimization of truss-structures by genetic algorithms with narrowing space techniques Student: Wei-Ying Chang. Advisor: Dr. Shih-Lin Hung. Department of Civil Engineering College Engineering National Chaio Tung University. Abstract. Genetic algorithm (GA) is an efficient search technique in global space. It can not only deal with optimization problems with discrete variables, but also has ability to overcome the local minimization problems. Using GA to process the optimization design of discrete cross-section size for trusses has become a popular approach.For this problems the search space of GA may expand as the number of members of truss increasing; consquently it makes the process of global searching to converge slowly. This study proposes a narrowing search space technique for optimization design of trusses; it based on the strategy that reduces search space of GA to improve the speed of convergence. First it uses concept of fully stress design (FSD) to figure out optimal topology of a truss; then it takes a set of heuristic rules to enlarge cross-section sizes of a truss structure that was designed by FSD and takes the cross-section size that was enlarged to be the center of search space; finally it searches solutions of the problem nearby the center by GA. The narrowing space techniques that were implemented by this study were applied to solve constrainted optimization problems that include maximum and minimum cross-section size constraints, single load and multi-load case, and buckling stress constraints etc. Total eight planar and space truss design problems have been adapted to verify the performance of the porposed approach. The result reveales that the narrowing space techniques assist GA to reduce a lot of computational costs of optimization designs of truss structures. Keywords: Design optimization of truss structures, Genetic algorithm, Narrowing space technique. ii.

(6) 誌謝光陰似箭，在新竹交大兩年的求學生涯即將邁向終點，這段期間讓我成長了許多。首先要感謝我的指導教授洪士林博士，無論是在專業知識或是待人處世上都讓我獲益良多，對於學生在修課和論文的撰寫上，教授提供了許多的協助與指導並且給予學生自行發揮的空間。感激之情溢於言表，在此誠心地祝福教授在未來的日子身體健康、平安快樂。此外，還要感謝 IICAE 研究室的大學長詹君治博士，總是不辭辛勞的遠從中壢到新竹給予我指導，在這兩年的研究所生涯，無論是在學業上或是在論文的研究及寫作上都耐心的帶領著我，啟發我的思考也拓展了我的視野。在此至上深深的謝意。在論文口試期間，要感謝交通大學黃炯憲教授、林昌佑教授與高雄大學陳振華教授提供了很多寶貴的意見及建議，讓論文的疏漏之處得以修補及改進。在此深表感謝。另外，要感謝研究室的成員們，感謝博士班的子軒及勇奇學長，這段求學的過程中提供了許多的建議與協助。感謝博育、濬鴻、宏安、宏宇、心農及忠錦學長，在這期間分享許多你們寶貴的經驗。感謝振剛及瀞云同學，這段期間陪我一起研究、共同奮鬥與努力。還要感謝學弟怡廷、世賢及承禹，因為你們研究室添加了許多活力。最後要感謝我最親愛的家人，一直覺得我是很幸運的人可以生長在這麼好的家庭，在求學的過程中不斷的給我支持與鼓勵，尤其要感謝父母的養育與栽培，讓我可以順利的獲得碩士學位。僅以此論文獻給所有愛我的人及我愛的人。. iii.

(7) 目錄頁次摘要 ............................................................................................................................................i Abstract......................................................................................................................................ii 誌謝 ..........................................................................................................................................iii 目錄 ..........................................................................................................................................iv 表目錄 ......................................................................................................................................vi 圖目錄 ......................................................................................................................................ix 符號說明 ..................................................................................................................................xi 第一章. 緒論 ........................................................................................................................1. 1.1. 研究動機 ............................................................................................................1. 1.2. 研究目的 ............................................................................................................2. 1.3. 研究方法 ............................................................................................................2. 1.4. 論文章節及架構 ................................................................................................3. 第二章. 理論與方法 ............................................................................................................5. 2.1. 結構最佳化設計簡介 ........................................................................................5. 2.2. 桁架結構分析 ....................................................................................................7. 2.3. 基因演算法 ...................................................................................................... 11. 2.4. 啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計 ..................................................................13. 第三章. 基因演算法與窄化空間技術 ..............................................................................16. 3.1. 整體架構 ..........................................................................................................16. 3-2. 包含最大斷面限制的設計 ..............................................................................17. 3.3. 包含多組載重條件的設計 ..............................................................................18. 3.4. 包含挫屈限制的設計 ......................................................................................20. 3.5. 窄化空間技術與基因演算法的整合 ..............................................................22. iv.

(8) 第四章. 數值案例測試 ......................................................................................................24. 4.1. 不含挫屈限制的桁架尺寸最佳化設計 ..........................................................24. 4.2. 不含挫屈限制的桁架尺寸與拓樸最佳化設計 ..............................................28. 4.3. 含挫屈限制的桁架尺寸最佳化設計 ..............................................................31. 4.4. 含挫屈限制的桁架尺寸與拓樸最佳化設計 ..................................................34. 4.5. 結果討論 ..........................................................................................................37. 第五章. 結論與建議 ..........................................................................................................39. 5.1. 結論 ..................................................................................................................39. 5.2. 未來展望 ..........................................................................................................39. 參考文獻 ..................................................................................................................................40 附表 ..........................................................................................................................................42 附圖 ..........................................................................................................................................86. v.

(9) 表目錄頁次表 4.1.1. 例一，滿載應力設計收斂過程 ..........................................................................42. 表 4.1.2. 例一，AF經結構分析後節點位移......................................................................43. 表 4.1.3. 例一，啟發式最佳化設計搜尋的過程 ..............................................................43. 表 4.1.4. 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................43. 表 4.1.5. 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................44. 表 4.1.6. 例一，最佳化結果比較表 ..................................................................................45. 表 4.1.7. 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 ..........................45. 表 4.1.8. 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 ..........................46. 表 4.1.9. 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 ..........................46. 表 4.1.10. 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 ..........................46. 表 4.1.11. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 ..........................47. 表 4.1.12. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 ..........................47. 表 4.1.13. 例二，空間 25 根桿件桁架，桿件編號與節點編號之關係表 ........................48. 表 4.1.14. 例二，空間 25 根桿件桁架，斷面連結情形 ....................................................48. 表 4.1.15. 例二，空間 25 根桿件桁架，設計條件 ............................................................49. 表 4.1.16. 例二，載重條件排序的情形 ..............................................................................49. 表 4.1.17. 例二，第一次搜尋結果在第一組載重條件下各節點位移 ..............................50. 表 4.1.18. 例二，兩次啟發式方法搜尋的初始情形與結果 ..............................................50. 表 4.1.19. 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................50. 表 4.1.20. 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................51. 表 4.1.21. 例二，最佳化結果比較表 ..................................................................................52. 表 4.1.22. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的節點位移 ......52. 表 4.1.23. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的桿件應力 ......53. 表 4.1.24. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的節點位移 ......53 vi.

(10) 表 4.1.25. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的桿件應力 ......54. 表 4.2.1. 例一，啟發式最佳化設計搜尋的過程 ..............................................................55. 表 4.2.2. 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................55. 表 4.2.3. 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................56. 表 4.2.4. 例一，最佳化結果比較表 ..................................................................................56. 表 4.2.5. 例一，Case 1 及Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移...........57. 表 4.2.6. 例一，Case 1 及Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力...........57. 表 4.2.7. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點的位移 ..........................57. 表 4.2.8. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件的應力 ..........................58. 表 4.2.9. 例二，各桿件群組的容許應力 ..........................................................................58. 表 4.2.10. 例二，桁架最佳拓樸的桿件群組及編號 ..........................................................58. 表 4.2.11. 例二，載重條件排序的情形 ..............................................................................59. 表 4.2.12. 例二，兩次啟發式方法搜尋的初始情形與結果 ..............................................59. 表 4.2.13. 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................59. 表 4.2.14. 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................60. 表 4.2.15. 例二，最佳化結果比較表 ..................................................................................60. 表 4.2.16. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的節點位移 ......61. 表 4.2.17. 例二，化搜尋空間下最佳化的結構在第一組載重條件下的桿件應力 ..........61. 表 4.2.18. 例二，窄化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的節點位移 ......62. 表 4.2.19. 例二，化搜尋空間下最佳化的結構在第二組載重條件下的桿件應力 ..........62. 表 4.3.1. 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程 ..................................................63. 表 4.3.2. 例一，啟發式方法搜尋Cycle 3 的結果經結構分析後各節點位移.................64. 表 4.3.3. 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................65. 表 4.3.4. 例一，最佳化結果比較表 ..................................................................................66. 表 4.3.5. 窄化搜尋空間下最佳化的結構經結構分析後各節點位移 ..............................66. 表 4.3.6. 窄化搜尋空間下最佳化的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................67 vii.

(11) 表 4.3.7. 例二，空間 25 桿的桁架結構所受的載重條件 ................................................67. 表 4.3.8. 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 0~Cycle 5).....................68. 表 4.3.9. 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 6~Cycle 10)...................69. 表 4.3.10. 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................69. 表 4.3.11. 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................70. 表 4.3.12. 例二，最佳化結果比較表 ..................................................................................70. 表 4.3.13. 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 ..............................71. 表 4.3.14. 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................71. 表 4.3.15. 例二，Case 2 及Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移...............72. 表 4.3.16. 例二，Case 2 及Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力...............72. 表 4.4.1. 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 0~Cycle 6).....................73. 表 4.4.2. 例一，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 7~Cycle 10)...................74. 表 4.4.3. 例一，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................74. 表 4.4.4. 例一，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................75. 表 4.4.5. 例一，最佳化結果比較表 ..................................................................................75. 表 4.4.6. 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 ..............................76. 表 4.4.7. 例一，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................76. 表 4.4.8. 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 ..............................76. 表 4.4.9. 例一，Case 2 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................77. 表 4.4.10. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 ..............................77. 表 4.4.11. 例一，Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................77. 表 4.4.12. 例二，桁架最佳拓樸的桿件群組及編號 ..........................................................78. 表 4.4.13. 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 0~Cycle 3).....................78. 表 4.4.14. 例二，考慮挫屈限制的啟發式方法搜尋過程(Cycle 4~Cycle 9).....................79. 表 4.4.15. 例二，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 ..............................................80. 表 4.4.16. 例二，窄化搜尋空間後各桿件可選的斷面尺寸 ..............................................80 viii.

(12) 表 4.4.17. 例二，最佳化結果比較表 ..................................................................................81. 表 4.4.18. 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移 ..............................81. 表 4.4.19. 例二，Case 1 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力 ..............................82. 表 4.4.20. 例二，Case 2 及Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各節點位移...............82. 表 4.4.21. 例二，Case 2 及Case 3 最佳化後的結構經結構分析後各桿件應力...............83. 表 4.5.1. 本文各案例Case 1~Case 3 與啟發式方法最佳化結果的相對誤差 .................84. 表 4.5.2. 本文各案例基因演算法染色體二位元字串長度比較 ......................................84. 表 4.5.3. 本文各案例Case 1~Case 3 最佳結果與啟發式方法相差最大的斷面 .............85. ix.

(13) 圖目錄頁次圖 2.1. 區域座標系統下的桿件端點力與桿件端點位移 ..............................................86. 圖 2.2. 區域座標系統下的桁架桿件與全域座標系統座標軸間的夾角 ......................86. 圖 2.3. 全域座標系統下的桿件端點力與桿件端點位移 ..............................................87. 圖 2.4. 基因演算法流程圖 ..............................................................................................88. 圖 2.5. 啟發式桁架最佳化斷面尺寸設計流程圖 ..........................................................89. 圖 3.1. 基因演算法與窄化空間技術整體架構的流程 ..................................................90. 圖 3.2. 啟發式方法在多組載重條件下桁架最佳化設計流程圖 ..................................91. 圖 3.3. 考慮挫屈限制的啟發式方法流程圖 ..................................................................92. 圖 4.1.1. 例一，平面 10 根桿件桁架示意圖 ....................................................................93. 圖 4.1.2. 例一，啟發式最佳化設計收斂過程 ..................................................................93. 圖 4.1.3. 例一，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................94. 圖 4.1.4. 例一，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................94. 圖 4.1.5. 例一，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................95. 圖 4.1.6. 例一，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ..................................95. 圖 4.1.7. 空間 25 根桁架示意圖 ........................................................................................96. 圖 4.1.8. 例二，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................97. 圖 4.1.9. 例二，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................97. 圖 4.1.10. 例二，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................98. 圖 4.1.11. 例二，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ..................................98. 圖 4.2.1. 例一，平面十根桿件桁架的最佳拓樸形式 ......................................................99. 圖 4.2.2. 例一，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ..................................99. 圖 4.2.3. 例一，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................100. 圖 4.2.4. 例一，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................100. x.

(14) 圖 4.2.5. 例一，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................101. 圖 4.2.6. 例二，空間 25 根桿件桁架的最佳拓樸形式示意圖 ......................................101. 圖 4.2.7. 例二，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................102. 圖 4.2.8. 例二，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................102. 圖 4.2.9. 例二，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................103. 圖 4.2.10. 例二，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................103. 圖 4.3.1. 例一，平面 15 根桿件桁架示意圖 ..................................................................104. 圖 4.3.2. 例一，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................104. 圖 4.3.3. 例一，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................105. 圖 4.3.4. 例一，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................105. 圖 4.3.5. 例一，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................106. 圖 4.3.6. 例二，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................106. 圖 4.3.7. 例二，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................107. 圖 4.3.8. 例二，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................107. 圖 4.3.9. 例二，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................108. 圖 4.4.1. 例一，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................109. 圖 4.4.2. 例一，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................109. 圖 4.4.3. 例一，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................ 110. 圖 4.4.4. 例一，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................ 110. 圖 4.4.5. 例二，空間 25 根桿件桁架的最佳拓樸形式示意圖 ...................................... 111. 圖 4.4.6. 例二，基因演算法對Case 1 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................ 111. 圖 4.4.7. 例二，基因演算法對Case 2 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................ 112. 圖 4.4.8. 例二，基因演算法對Case 3 窄化空間搜尋的收斂過程 ................................ 112. 圖 4.4.9. 例二，基因演算法對未經窄化的空間搜尋的收斂過程 ................................ 113. xi.

(15) 符號說明 A：桿件斷面積 A ：進行啟發式修正時之第 i 根桿件初始斷面 A ：經啟發式一次修正後第 i 根桿件斷面。 A ：經啟發式二次修正後第 i 根桿件斷面。 A i ：第 i 根桿件斷面積 A F ,i ：第 i 根桿件經修正後面積 Amin ：設計之最小斷面積 A Max ：設計之最大斷面積 (0) i (1) i ( 2) i. AiL ：第 i 根桿件可選擇的斷面尺寸下限 AiU ：第 i 根桿件可選擇的斷面尺寸上限. {d } ：. 桁架結構位移向量. d F ：無束制自由度方向的節點變位向量 d R ：受束制自由度方向的節點變位向量. d sl ：窄化空間中心與其下限的間距 d su ：窄化空間中心與其上限的間距. E：材料的楊氏係數(Young’s modulus) E i ：第 i 根桿件之楊氏係數. {F } ：. 全域座標系統下的桿件端點力向量. I i ：第 i 根桿件修正敏感度. Ic,i ： K： Kc ： Ks ：. 第 i 根桿件的慣性矩. [k ] ： [K ] ：. 區域座標系統下的桿件勁度矩陣. 放大修正敏感度之正實數有效長度係數挫屈公式中的桿件斷面形狀常數. 全域座標系統下的桿件勁度矩陣 l：桿件長度 li ：第 i 根桿件長度. Pcr,i ：第 i 根桿件的挫屈臨界載重 {P} ：桁架結構所受的外力向量 PF ：作用於無束制自由度方向的節點力向量 PR ：作用於受束制自由度方向的節點力向量. {Q} ：. 區域座標系統下的桿件端點力向量. Si ：第 i 根桿件內力. [S ] ：. 整體結構的勁度矩陣. xii.

(16) [T ] ：. 座標轉換矩陣. u i ：只有單位力施在特點上時，第 i 根桿件內力. {v} ：. 全域座標系統下的桿件端點位移向量. Wa：啟發式方法搜尋所得的桁架的結構總重 Wb：依據挫屈限制放大桿件斷面尺寸後所得的桁架的結構總重 Wi ：第 i 根桿件重量 γ ： FSD 迭代公式中的鬆弛係數 ρ i ：第 i 根桿件材料密度 σ i ：第 i 根桿件所受應力. σi,allow. ：第 i 根桿件之容許應力 L σ allow ：桿件之容許應力下限 U σ allow ：桿件之容許應力上限. σilcn ：第 i 根桿件在第 n 組載重條件作用下的桿件應力 δ j ：第 j 個自由度所受位移 L δ aloow ：自由度之容許位移下限 U δ allow ：自由度之容許位移上限. {δ } ：. 區域座標系統下的桿件端點位移向量. Δ ：以單位載重法計算出的特定點位移 Δ allow ：設計容許位移 Δ i ：以單位載重法計算出的特定位移部分項 Δ F ： A F 經結構分析後控制點位移 ( 2) Δ real ：一次修正後面積 A i 經結構分析所得到的特定點位移 Δ' (K ) ：近似容許位移之特定點位移函數. xiii.

(17) 第一章緒論 1.1 研究動機桁架結構系統是一種多組件(Multi-component)系統，由多根線形桿件以鉸接的方式連接所組合而成。就力學的觀點而言，當外力只作用於桁架的節點上時，桁架主要利用桿件的伸長、縮短來抵抗外力，因此桿件可視為只產生張應力或壓應力而忽略彎矩及剪應力。另一方面，桁架結構具備質輕及省料的特性適合組合成大跨度的結構物，再加上具備施工快速及良好之空間穿透性，所以被廣泛的應用在橋樑、廠房及建築結構上。結構最佳化的目的是在滿足所要求的限制條件下找出最節省材料的設計方式，經過最佳化後的結構可以有效降低自重、體積和建材採購成本。雖然桁架結構在力學分析上較其他形式的結構簡單，但是考量結構最佳化設計時仍有一定的難度，因為許多的限制條件和節省材料的設計之間往往是互相牴觸的，要在兩者之間取得平衡點常常需要複雜的計算或多次的搜尋，不易以人工計算的方式完成正確的最佳化設計。由於計算機快速的發展，利用計算機處理結構最佳化設計可縮短設計週期並提高設計精度，因此用計算機來處理桁架結構最佳化設計成為至今最普遍的方法。用計算機求解桁架最佳化問題時，設計目標是在符合所有限制條件下求得最小結構總重，因此首先依據設計變數和設計目標間的關係建立出目標函數作為搜尋的指標，並結合所有限制條件訂出懲罰機制，接著開始在有限的設計變數值中進行搜尋。搜尋時將不同的設計變數值代入目標函數計算，在符合所有限制條件下較輕的結構總重會對應出較小的目標函數值，若設計違反限制條件時懲罰機制會增加目標函數值，因此若能找出最小的目標函數值即代表找到了最佳設計的解[1]。由過去的文獻可知，最佳化方法中的梯度法[2,3]及基因演算法[4-8]已成功的應用於桁架結構最佳化設計上。由於函數的梯度方向為函數變化率最大的方向，因此梯度法由函數的梯度方向決定搜尋方向，又因梯度為零處即為函數極值發生處，所以梯度. 1.

(18) 法在函數梯度為零時停止搜尋。梯度為零處找到的極值有可能只是局部極值而非全域極值，因此搜尋起始點的不同往往會收斂到不同的結果，很可惜目前尚無方法可以決定最佳起始點。基因演算法則是先利用亂數產生初始代案例群，再利用模擬生物演化的運算機制，讓新一代的案例群較前一代的案例群更逼近最佳解，經歷週而復始的世代更替後有機會找出非常接近最佳解的答案。由於基因演算法採取全域多點同時搜尋的方式，不同於梯度法僅由單一起始點進行搜尋，因此克服了梯度法可能會落入局部最佳解的障礙。另一方面，工程師對桁架結構設計時，桿件斷面尺寸的選擇通常是離散的，正好符合基因演算法適合處理離散搜尋空間的特性，但當設計變數增加時電腦計算量也會大增，造成計算過於耗時，雖然可以藉由電腦硬體的擴充如增加記憶體容量與採用多顆微處理器進行平行運算來節省計算時間，卻需要付出更多的成本在電腦的硬體上。. 1.2 研究目的由於基因演算法處理桁架最佳化設計時有計算耗時或電腦硬體成本昂貴之缺點，本文提出一個窄化搜尋空間的技術，利用縮小搜尋空間的策略以提高基因演算法的收斂速度。窄化搜尋空間技術使用兩個策略加速基因演算法收斂：(1)尋找桁架最佳拓樸；(2)決定搜尋空間中心點。桁架最佳拓樸可能較初始桁架拓樸少幾根桿件、節點，桿件減少代表搜尋變數減少，節點減少表示結構矩陣縮小，兩者都可降低電腦計算量。搜尋空間中心點指的是一個經簡單計算取得的設計結果，如果搜尋空間中心點距離最佳解的距離越近，基因演算法可使用越窄的搜尋範圍去完成搜尋。本論文利用滿載應力設計尋找桁架最佳拓樸，及使用啟發式方法決定搜尋空間中心點。為提高窄化搜尋空間技術的實用性，該技術針對下列設計束制條件分別有因應策略，例如：最大和最小斷面尺寸的限制、避免桿件挫屈的限制及多組載重條件的限制。. 1.3 研究方法. 2.

(19) 本研究開發一套提升基因演算法搜尋效率的窄化空間技術的，研究的方法簡述如下：. 1.. 資料蒐集首先蒐集和桁架最佳化設計相關的論文和研究報告，藉此了解學術界對此問題的研究情形和成果。另一方面，基於程式開發和啟發式法則建立的需求，蒐集結構矩陣、程式語言及最佳化設計的相關資料及工具書。. 2.. 建立啟發式法則與前處理架構桁架結構最佳化的過程主要針對桿件斷面尺寸進行調整，但同時考慮多種限制條件時，處理的步驟及流程成為控制效能及結果的關鍵，因此需要由基礎的力學觀念為依據搭配經驗法則建立出適合計算機演算的基因演算法前處理架構。. 3.. 基因演算法的建構確認基因演算法的輸入參數和細部情形，並配合前處理架構建立基因演算法的搜尋空間及初始代。. 4.. 撰寫程式由於窄化空間技術的架構中包含許多複雜的計算及迭代，並且為了讓整個方法的測試更加便利，因此學生以 Java 程式語言開發一個自動化的程式讓基因演算法與窄化空間技術能確實的整合。. 5.. 數值案例測試及程式修正透過數個自創及文獻所提的桁架最佳化設計問題，對撰寫好的程式進行測試，驗證程式的可行性，並修正流程及程式錯誤發生處。. 6.. 撰寫論文彙整本研究之相關理論、成果及結論撰寫成論文。. 1.4 論文章節及架構本研究之論文架構分為五個章節，第一章為緒論，說明本研究的動機、目的及方法。第二章為理論與方法，簡要的介紹結構最佳化設計、桁架結構分析、基因演算法及啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計。第三章為基因演算法與窄化空間技術，說明基因演算法與窄化空間技術的整體架構、包含最大與最小斷面限制的設計、包含多組載重. 3.

(20) 條件的設計、包含挫屈限制的設計及窄化空間技術與基因演算法的整合。第四章為數值案例測試，包含了文獻上所提的案例和自創案例，用來驗證窄化空間技術的可行性，並比較最佳化過程的效率。第六章為結論與建議，本章節對基因演算法結合窄化空間技術應用於桁架結構最佳化設計的研究提出結論及未來的展望。. 4.

(21) 第二章理論與方法 2.1 結構最佳化設計簡介結構最佳化設計的概念，最早是由 Michell 在 1904 年時所提出的桁架理論中呈現，但在 50 年代以前最佳化設計方法僅限於古典的微分法和變分法。到了 50 年代末期數學規劃方法首次用於結構最佳化，並且在二次世界大戰期間發展成為一個新的數學分支。在數學規劃方法的基礎上發展而來的最佳化設計包含了循序線性規劃法 (SLP)、循序二次規劃法(SQP)、整數規劃法(IP)…等，隨著電子計算機在 60 年代之後被引入結構設計領域，解決了一些從前不能解決的較複雜問題，於是數學規劃方法逐步形成被認同的有效設計方法。然而數學規劃方法和一些傳統的數學最佳化方法，如：共軛梯度法(Conjugate gradient method)、牛頓法(Newton’s method)、最陡降法 (Steepest descent method)…等，這些方法通常需要求得目標函數的梯度以進行最佳化設計，因此無法適用到許多問題上，特別是一些很難或無法求得梯度的問題，而且只順著梯度方向搜尋，若無適當的初始值，極易陷入局部極值。另一方面，不需求得函數梯度的最佳化設計方法也被提出，如基因演算法(GA)、隨機搜尋法(Random search. method)、螞蟻演算法(Ant-algorithm)…等。這些方法通常利用電腦產生隨機的設計變數組合，針對目標函數做全域搜尋以求得最佳解，但缺點是對於設計變數數量過於龐大的最佳化問題需花費相當高的計算成本。若一個結構的設計能滿足所有的限制條件，則稱此設計為可行設計。對於一般的結構，會有多種可行設計，而結構最佳化設計則是在眾多可行設計之中以系統化的方法求出最經濟的設計。一般而言結構最佳化設計可分為結構的尺寸最佳化設計(Size. optimization design)、型態最佳化設計(Configuration optimization design)和拓樸最佳化設計(Topology optimization design)這三個部分。而這三個部分之中，尺寸最佳化設計在 1960 年時首先被 Schmit [9]提出。所謂的尺寸最佳化設計是針對特定外形的結構，. 5.

(22) 在不改變外型的條件下對結構桿件的斷面尺寸進行最佳化，因為結構的外形保持不變，所以易於以結構矩陣或有限元素法的技巧進行結構分析。型態最佳化設計是針對連續性的結構邊界外型或框架式結構的節點位置進行調整，使結構達成最佳化設計的目的。拓樸最佳化設計則是結構在固定的節點位置之下，尋求最佳的桿件配置和最佳的桿間斷面尺寸設計。隨著電腦的快速發展，電腦輔助設計及有限元素分析軟體也迅速被開發，使得結構最佳化的領域從尺寸最佳化設計進展到型態最佳化設計和拓樸最佳化設計，亦有拓樸最佳化設計和型態最佳化設計相互結合等之相關研究[10]。對於桁架結構最佳化設計的問題而言，會考慮的限制條件包含：桿件所受應力需在容許應力的範圍之內、節點的位移需在容許位移的範圍之內、桿間斷面尺寸需在可選擇的斷面尺寸範圍內以及受壓桿件應考慮挫屈限制。在符合所有限制條件之下，通常會將問題目標訂為求結構總重的最小值。因此對於一個含有 n 根桿件及有 m 個自由度的桁架而言，其目標函數與限制函數可表成如下的形式：目標函數： n. minimize f ( A ) = ∑ ρi li Ai. (2-1). i =1. 限制函數： L U σ allow ≤ σ i ≤ σ allow i=1 to n. (2-2). L U δ allow ≤ δ j ≤ δ allow j=1 to m. (2-3). AiL ≤ Ai ≤ AiU i=1 to n. (2-4). σ cr ,i ≤ σ i when σ i < 0. (2-5). 其中： ρ i ：第 i 根桿件材料密度。 A i ：第 i 根桿件斷面積。. li ：第 i 根桿件長度。 σ i ：第 i 根桿件所受應力。. 6.

(23) δ j ：第 j 個自由度所受位移。 L σ allow ：桿件之容許應力下限。. U σ allow ：桿件之容許應力上限。. L δ aloow ：自由度之容許位移下限。. U δ allow ：自由度之容許位移上限。. AiL ：第 i 根桿件可選擇的斷面尺寸下限。 AiU ：第 i 根桿件可選擇的斷面尺寸上限。. σ cr ,i ：第 i 根桿件挫屈應力。. 2.2 桁架結構分析直接勁度法是目前的結構分析軟體廣泛使用的方法，對於結構體中任一自由度方向的勁度是由端點包含此自由度的所有桿件提供而得，因此整體結構的勁度矩陣可依照自由度疊加各桿件的勁度矩陣而獲得[11]。當結構體的變形未超出線彈性範圍時，就結構體中的任一桿件而言，桿件端點位移(Member end displacement)和桿件端點力. (Member end force)的關係可表示成如下的形式：. {Q} = [ k ]{δ }. (2-6). 其中：. {Q} ：區域座標系統(Local coordinate system)下的桿件端點力向量。. [ k ] ：區域座標系統下的桿件勁度矩陣。 {δ } ：區域座標系統下的桿件端點位移向量。. 7.

(24) (2-6)式是在區域座標系統下所寫出的，對於一空間桁架的桿件端點力和桿件端點位移在區域座標系統下如圖 2.1 所示，圖中的桿件端點位移δby、δbz、δey 與δez 在桿件變形很微小的情形下不會使桿件內產生任何力量，因此在計算桿件端點力時可忽略這些桿件端點位移的影響，依據(2-6)式可將圖 2.1 中的桿件端點力和桿件端點位移表示成如下的關係： k12 ⎤ ⎧δ1 ⎫ ⎨ ⎬ k22 ⎦⎥ ⎩δ 2 ⎭. ⎧ Q1 ⎫ ⎡ k11 ⎨ ⎬=⎢ ⎩Q2 ⎭ ⎣ k21. (2-7). (2-7)式中的勁度矩陣可依據材料力學的觀念推導得下列的形式： ⎡k. [ k ] = ⎢ k11 ⎣. 21. k12 ⎤ EA ⎡ 1 −1⎤ = k22 ⎥⎦ l ⎢⎣ −1 1 ⎥⎦. (2-8). 桁架的桿件端點位移和桿件端點力在區域座標系統和全域座標系統(Global coordinate. system)中往往會有不同的表示方式，因此將桿件端點位移和桿件端點力由全域座標系統轉換成區域座標系統需透過下列關係式進行轉換：. {Q} = [T ]{F }. (2-9). {δ } = [T ]{v}. (2-10). 其中：. [T ] ：座標轉換矩陣。 {F } ：全域座標系統下的桿件端點力向量。 {v} ：全域座標系統下的桿件端點位移向量。圖 2.2 表示出區域座標系統下的空間桁架桿件與全域座標系統座標軸間的夾角，而圖. 2.3 為全域座標系統下的桿件端點力與桿件端點位移，比較圖 2.2 與圖 2.3 可得座標轉換矩陣的形式如下： ⎡cosθ x ⎣ 0. [T ] = ⎢. cosθ y 0. cosθ z 0. 0 cosθ x. 0 cosθ y. 0 ⎤ cosθ z ⎥⎦. 8. (2-11).

(25) 依據(2-9)式與(2-10)式，空間桁架的桿件端點力和桿件端點位移在全域座標系統和區域座標系統的轉換可表示成如下的形式：. ⎧Q1 ⎫ ⎡cosθ X ⎨ ⎬=⎢ ⎩Q2 ⎭ ⎣ 0. ⎧δ 1 ⎫ ⎡cosθ X ⎨ ⎬=⎢ ⎩δ 2 ⎭ ⎣ 0. cosθ Y 0. cosθ Y 0. cosθ Z 0. cosθ Z 0. 0 cosθ X. 0 cosθ X. 0 cosθ Y. ⎧ F1 ⎫ ⎪F ⎪ ⎪ 2⎪ 0 ⎤ ⎪⎪ F3 ⎪⎪ ⎨ ⎬ cosθ Z ⎥⎦ ⎪ F4 ⎪ ⎪ F5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ F6 ⎪⎭. (2-12). 0 cosθ Y. ⎧ v1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ 2⎪ 0 ⎤ ⎪⎪v3 ⎪⎪ ⎨ ⎬ cosθ Z ⎥⎦ ⎪v4 ⎪ ⎪v5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩v6 ⎪⎭. (2-13). 若考慮將桿件端點力由區域座標系統轉換至全域座標系統，可由下列關係式進行轉換：. {F } = [T ]T {Q}. (2-14). 將(2-14)式中的 {Q} 用(2-6)式代入得：. {F } = [T ]T [k ]{δ }. (2-15). 將(2-15)式中的 {δ }用(2-10)式代入得：. [F ] = [T ]T [k ][T ]{v}. (2-16). 類似(2-6)式表示區域座標系統下桿件端點力和桿件端點位移間的關係，全域座標系統下桿件端點力和桿件端點位移間的關係可表示成如下形式：. {F } = [K ]{v}. (2-17). (2-17)式中的 [K ] 為全域座標系統下的桿件勁度矩陣，比較(2-16)式與(2-17)式可得：. [K ] = [T ]T [k ][T ]. (2-18). 將(2-8)式與(2-11)式代入(2-18)式，可得空間桁架結構的單一桿件在全域座標系統下的桿件勁度矩陣，其形式如下：. 9.

(26) ⎡ C2θX − C2θX − CθXCθY − CθXCθZ ⎤ CθXCθY CθXCθZ ⎢ ⎥ 2 − C2θY − CθYCθZ ⎥ C θY CθYCθZ − CθXCθY ⎢ CθXCθY ⎢ − CθXCθZ − CθYCθZ − C2θZ ⎥ C2θZ [K] = EA ⎢ CθXC2 θZ CθYCθZ ⎥ L ⎢ − C θX − CθXCθY − CθXCθZ C2θX CθXCθY CθXCθZ ⎥ ⎢− Cθ Cθ − C2θY − CθYCθZ CθXCθY C2θY CθYCθZ ⎥ X Y ⎢ ⎥ − C2θZ CθXCθZ CθYCθZ C2θZ ⎦⎥ ⎣⎢− CθXCθZ − CθYCθZ. (2-19). (2-19)式中ＣθＸ代表 cosθＸ、ＣθY 代表 cosθY 及ＣθZ 代表 cosθZ。計算出各桿件在全去座標系統下的桿件勁度矩陣之後，按照自由度疊加勁度就可求出整體結構的勁度矩陣 [ S ] 。此時整體結構的勁度矩陣、節點變位 {d } 與節點力 { P} 之間的關係可表示成如下式子：. {P} = [ S ]{d }. (2-20). 透過(2-20)式求解結構的節點變位時，由於結構中有部分的節點受到支承束制，造成部分自由度方向的節點變位為零，因此可將(2-20)式改寫成如下的形式： ⎧ PF ⎫ ⎡ S FF ⎨ ⎬=⎢ ⎩ PR ⎭ ⎣ S RF. S FR ⎤ ⎧d F ⎫ ⎨ ⎬ S RR ⎦⎥ ⎩ d R ⎭. (2-21). 其中：. PF ：作用於無束制自由度方向的節點力向量。 PR ：作用於受束制自由度方向的節點力向量。 S FF 、 S FR 、 S RF 、 S RR ：整體結構勁度矩陣中的次矩陣。 d F ：無束制自由度方向的節點變位向量。 d R ：受束制自由度方向的節點變位向量。由於已知 d R 的內容為零，因此可由下列式子求得 d F ：. {d F } = [ S FF ] {PF } −1. (2-22). 透過(2-22)式求結構的節點變位，計算機不需在記憶體中儲存整體勁度矩陣和節點力的所有內容，並且節省計算量，可以有效的提升計算效率。. 10.

(27) 2.3 基因演算法達爾文(Charles Darwin)在經過了多年的觀察與研究之後，於 1859 年在他的著作「物種原始(On the Origin of Species by Means of Nature Section)」提出「物競天擇，適者生存，不適者淘汰。」的生物演化規則。到了 1960 年密西根大學的 John Holland 教授和他的同事爲了發展人工智慧系統參考達爾文的演化理論提出基因演算法的概念，但是直到 1975 年 John Holland 才在他的著作＂Adaptation in Nature and Artificial System＂提出基因演算法的基本架構，並由他的學生 David Goldberg 在 1989 年發表著作＂Genetic. Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning＂詳細說明基因演算法的理論和應用，而且發展出一套基因演算法的電腦程式 SGA(Simple Genetic Algorithms)，奠定了日後基因演算法發展的基礎。在演化理論中，每種生物體會將它們的特徵傳遞到下一代，而傳遞生物體特徵的媒介就是各生物體細胞中的染色體，染色體是由基因組成的基因鏈，每種基因紀錄著不同的生物特徵。每個生物體因為擁有不同的特徵所以對環境的適應力也會有所不同，對環境適應力較高的個體會有較高的存活率，因此優良的基因也會有較大的機率延續到後代，同時生物體透過交配及突變的機制使得上下代之間個體的特徵不完全相同，讓適應力更強的後代有出現的機會。演化的機制會引導生物族群的特徵向適合存活於自然環境的方向發展，而基因演算法就是模擬整個演化的機制所發展出針對問題求最佳解的搜尋技術。基因演算法是一種隨機性的搜尋法，不同於一般傳統的搜尋法需要初始設計值，基因演算法由電腦以亂數產生一群初始的設計值組，稱為族群(Population)，而設計值組會以類似染色體的資料結構(Chromosome-like Data Structure)進行編碼。並使用一些演化運算元 (Operators)如交配(Crossover)、突變(Mutation)及複製(Reproduction)對大量的染色體作運算，運算後產生的子代除了能保存親代中優良的特徵之外，也可能因為交配和突變而出現比親代優良的特徵。基因演算法運作的基本流程如圖 2.4 所示，重要的運算程序包含：. 11.

(28) 1.. 產生初始族群進行基因演算法之前由使用者先行設定族群的個體數目、設計變數的數目及每個設計變數的搜尋空間，在由電腦以隨機亂數的方式產生初始族群。一般而言，所設定的個體數目愈多，會有較大的機率搜尋到好的解，但是也會讓運算的速度較慢。而設計變數的數目及搜尋空間愈大，所需搜尋的範圍會愈廣，使得找出最佳解的難度提高，亦即要獲得最佳解所需演化的世代數愈多。. 2.. 計算適應值在完成一代的演化之後就需對所有新產生的個體以適應度函數計算個體的適應值，適應值愈高表示個體具有較佳的特質，將來有較大機會被複製。. 3.. 編碼與解碼要運用演化運算元運算前需對設計變數值進行編碼(code)的準備動作，首先依照各設計變數的變數值範圍大小與多寡，將其映射為一定長度的二進位位元的子字串，再把所有的子字串連起來成為一個完整的字串，此字串稱為染色體。但在計算適應值之前需將其轉換回實際的設計變數值，稱之為解碼(decode)。. 4.. 擇優與複製爲了演化出更為優良的後代，需經過擇優的程序每次選出一對優良的染色體進行複製，讓原有族群中適應值較高的個體有較大的機會被複製，而淘汰適應值較差的個體。一般較常用的擇優方法有輪盤法(Roulette wheel selection)、比較選取法 (Tournament selection)及排序選取法(Rank selection)…等。本研究擇優的方法採用輪盤法，其作法首先依照每個個體的適應值大小來分割輪盤的面積配置，適應值愈大，在輪盤上會佔有較大的面積比例，接著隨機選取輪盤上的一點，最後複製該點所對應到的個體。. 5.. 交配每次經過擇優與複製後會有一對染色體成為親代，接著進行交配的程序，將兩個染色體中某些位元字串互相交換，以達到產生新子代的效果。一般交配的方式有單點交配 (One-point crossover) 、雙點交配 (Two-point crossover) 與均勻交配 12.

(29) (Uniform crossover)…等。本研究採用均勻交配。另一方面，是否要進行交配的程序則由「交配率」決定，而本研究的交配率均設為 0.8。 6.. 突變在基因演算法中若缺乏突變的機制，經過數代的演化之後，整個族群會很快的趨於一致性，不再有新的搜尋空間。突變時會將染色體中的某一個位元由 1 變為 0 或由 0 變為 1。但是突變發生的機率不適合設定的太高，因為太高的突變率會破壞原有的優良個體使得整個搜尋難以收斂。本研究設定每個位元的突變率為. 0.003。近年來基因演算法被大量的應用在桁架結構斷面最佳化設計上。1999 年，Crossley,. Cook and Fanjoy [12]以雙層淘汰賽篩選法作為基因演算法的擇優方法，並應用於桁架結構最佳化設計上，和其他方法比較的結果可驗證基因演算法求解上的優勢。2000 年，Sama K.C.. and Adeli [13]提出模糊理論(Fuzzy) 和基因演算法結的 Fuzzy GA，應用於桁架最佳化設計時可改善對限制條件的估算讓搜尋到的最佳重量更低並且提升計算的效率。2003 年，. Nicholas, Kamran and Zouheir [14]將有限元素軟體(ANSYS)與基因演算法結合，並以多個桁架斷面尺寸與形狀的最佳化設計案例進行測試，結論中說明此方法富有彈性且適用於各種結構，但也提出基因演算法雖然可以成功地收斂在全域最佳解，但是卻需要花費非常多的電腦計算時間來完成。. 2.4 啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計應力限制和位移限制是進行桁架結構最佳化的過程中最常考慮的限制條件，也由於這些限制條件增加了桁架結構最佳化設計的困難度。啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計可以在不需要梯度資訊與大量計算下，快速的搜尋出最佳解的近似值[1]。由於滿載應力設計(Fully stress design, FSD)迭代後的收斂斷面可滿足應力限制，因此進行啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計時，將滿載應力設計後的收斂斷面以一組啟發式法則放大桿間斷面尺寸讓讓結構同時滿足應力限制和位移限制。桁架之滿載應力設計的斷面修正. 13.

(30) 公示如下：. A F ,i. ⎛ σi = A i ⋅ ⎜⎜ ⎝ σ i ,allow. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. γ. (2-23). 其中： A F ,i. ：第 i 根桿件經修正後面積。. A i ：第 i 根桿件原斷面。 σ i ：第 i 根桿件所受應力。. σi,allow. ：第 i 根桿件之容許應力。. γ ：鬆弛係數，介於 0～1。(本文採 1)。. 為了使設計斷面可以同時滿足應力與位移限制要求，因此透過一正實數 α 縮放 FSD 收斂後的斷面來當作初始斷面，再經啟發式法則的修正，使得最終設計斷面可以同時滿足應力與位移限制，整個設計的流程如圖 2.5 所示，其方法說明如下： 1.. 利用滿載應力法獲得滿足容許應力之面積 A F,i ，經由結構分析後得最大位移 Δ F 與其相對的節點位置，並將其位置當作控制點。. 2.. 藉由 α 值等倍縮放 A F,i 當作啟發式修正之初始斷面，如下： A i( 0 ) = α × A F ,i. 3.. (2-24). 由單位載重法計算每根桿件在 Δ F 方向所造成的部分位移量 Δ i ，如下： N. Δ=∑ i =1. N Si ui li = ∑ Δi Ei Ai(0) i =1. (2-25). 其中：Si 為實際載重所造成的第 i 桿件內力， u i 是作用在 Δ F 方向上之單位力所造成的第 i 桿件內力， li 是第 i 根桿件之長度，Ei 為第 i 根桿件之楊氏係數。 4.. 定義斷面修正敏感度 I i ：. 14.

(31) ⎧ 0 ⎪ Ii = ⎨ Δ i ⎪⎩ Wi. if (Δ i ≤ 0 or A F ,i ≅ 0 ). (2-26). else N. 令 Δ'i (K ) = ∑ i =1. Δi. (1 + KIi )0.5. = Δ allow. (2-27). 計算出 K 值後代入下式完成第一次修正。. A min ⎧ A i(1) = ⎨ (0) 0.5 ⎩A i ⋅ (1 + KIi ) 5.. if A i( 0) ⋅ (1 + KIi ) else. 0.5. ≤ A min. (2-28). 將 A i(1) 經結構分析並獲得控制點真實位移量 Δ real ，再經下式完成第二次修正：. A i( 2 ). ⎧ ⎪⎪ A min =⎨ Δ ⎪A i(1) ⋅ real ⎪⎩ Δ allow. if. A i(1) ⋅. Δ real ≤ A min Δ allow. (2-29). else. 其中 Amin 為設計之最小斷面積。 6.. 更新 α 值，其修改原則為： A i( 2) 經結構分析後，當結果為可行設計時，則縮小 α 值；相反的當結果為不可行設計時，則放大 α 值。其縮放範圍為 0 ~ Δ F Δ allow 。. 7.. 藉由 α 變數之修改，重複步驟 2～6 直到收斂。. 由上述的步驟可知啟發式桁架斷面尺寸最佳化設計將原本多變數的桁架最佳化問題轉換成對單一變數 α 的搜尋問題，針對此一特性本文採用黃金切割搜尋(Golden section. search)方法來尋找最輕的結構總重。. 15.

(32) 第三章基因演算法與窄化空間技術 3.1 整體架構基因演算法雖然是一種適用於全域搜尋的最佳化方法，但是在搜尋空間較龐大時因下列幾項特性造成電腦硬體及時間成本過度的消耗： 1.. 基因演算法會將設計變數編碼成二進位位元字串，因此較大的搜尋空間就需要較長的字串來表示，使得演算法進行過程中對記憶體空間需求大增。. 2.. 搜尋空間較大時需要較大族群的個體數目才能讓搜尋維持穩定，因此造成記憶體空間需求增加，且每一次的迭代要花更多的時間來計算個體適應值。. 3.. 在較大的搜尋空間下要找出理想的解需要更多的迭代次數，造成計算時間的需求增加。. 由以上幾點特性可以得知，當基因演算法的搜尋空間增加時，對於計算時間和記憶體空間的消耗不會只是線性的增加，因此在基因演算法搜尋前讓搜尋空間有效的縮減可以顯著的減少記憶體及時間的消耗。另一方面，透過啟發式方法進行桁架結構最佳化設計，雖然不一定能直接求得最佳解，但可以在少次的迭代及少量的計算量下，快速的搜尋出最佳解的近似值。本文提出一套窄化空間的技術，在執行基因演算法之前先以啟發式方法進行搜尋取得一組近似最佳解的設計，再將基因演算法的搜尋空間縮減至此設計結果的附近，讓基因演算法在桁架結構最佳化問題的搜尋空間有效的縮減，達到節省電腦記憶體及計算時間的目的。對於一些實際應用上常見的限制條件如：包含最大斷面的限制、包含多組載重條件與包含挫屈的限制，由於啟發式方法並未完整的考慮這些常見的限制條件，造成求解包含這些限制條件的問題時無法有效縮減基因演算的搜尋空間，因此本研究針對這些限制條件提出新的法則及搜尋策略並和啟發式桁架斷面尺寸最佳化整合，讓窄化空間技術應用的層面更加廣泛。基因演算法與窄化空間技術整體架構的流程如圖 3.1。. 16.

(33) 3-2 包含最大斷面限制的設計工程師在進行桁架結構設計時，爲了讓建造的成本更低，對於桿件斷面的選擇通常會遷就於已被工廠大量生產的桿件斷面尺寸，因此桿件斷面在選擇時會受到最大斷面尺寸與最小斷面尺寸的限制。啟發式方法修正桁架桿件斷面時已將最小斷面尺寸的限制納入考量，但缺乏最大斷面尺寸限制的考量。為了對包含最大斷面限制的桁架結構最佳化問題窄化搜尋空間，須對啟發式法則進行部份的補充和修正，首先(2-24)式需修正成如下的形式： ⎧A Max if A i(0) = ⎨ ⎩α × A F,i. α × A F,i ≥ A Max. (3-1). else. 其中 A Max 為設計之最大斷面積。而(2-26)式、(2-28)與(2-29)式分別修改成(3-2)~(3-4) 式，如下： ⎧⎪ 0 ⎪⎪ I i = ⎪⎨ Δ ⎪⎪ i ⎪⎪⎩ Wi. A i(1). if (Δ i ≤ 0 or A F,i ≅ 0. or. A i(0) ≥ A Max ) else. ⎧ A min if A i(0) ⋅ (1 + KIi )0.5 ≤ A min ⎪ = ⎨A Max if A i(0) ⋅ (1 + KIi )0.5 ≥ A Max ⎪ A (0) ⋅ (1 + KI )0.5 else i i ⎩. ⎧⎪ ⎪⎪ A ⎪⎪ min ⎪⎪ ⎪ A i(2) = ⎨⎪A Max ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ (1) Δ real ⎪⎪ A i ⋅ Δallow ⎪⎩. if. A i(1) ⋅. Δreal ≤ A min Δallow. if. A i(1) ⋅. Δreal ≥ A Max Δallow. (3-2). (3-3). (3-4). else. 要特別注意的是啟發式方法修正桁架斷面時以(3-1)式與(3-3)式對桿件斷面放大，再以. (3-4)式對桿件斷面微調，若桿件為最小設計斷面積時在放大的過程中通常不會超出斷面尺寸可選擇的範圍，但是當桿件為最大設計斷面積時，在放大的過程必定會超出斷面尺寸可選擇的上限，因此需由(3-1)式讓滿載應力設計的斷面在放大 α 倍後不可超出最大設計斷面積，並且由(3-2)式讓斷面超出最大設計斷面的斷面修正敏感度 I i 為零， 17.

(34) 如此已達最大設計斷面積的桿件在(3-3)式中不會再次被放大。. 3.3 包含多組載重條件的設計啟發式方法修正桁架斷面主要是針對單一載重條件的情況下，將產生最大位移的節點視為控制點，因此只要控制點可以滿足容許位移限制，則其餘節點亦可以同時滿足。對於多組載重條件的情況，啟發式方法只能在其中一組載重條件明顯的控制最大位移的情形下才可使用。為了對一般性多組載重條件下的桁架結構最佳化問題窄化搜尋空間，本文嘗試修改啟發式方法處理單一載重條件的流程並增加部分法則，如圖 3.2 所示其修改及新增的要點如下： 1.. 滿載應力設計的結果滿足所有載重條件的應力限制由於桁架受多組載重作用，因此滿載應力設計的過程中應同時考慮各種載重條件進行迭代，則迭代收斂後的最終斷面 A F 才可同時滿足多組載重條件下的應力限制要求。所以在多組載重條件的情形下滿載應力設計的公式應修正如下： γ γ ⎡ ⎛ lc1 ⎞γ ⎛ σ lc2 ⎞⎟ ⎛ σ lcn ⎞⎟ ⎤⎥ ⎢ ⎜ σi ⎟⎟ ⎜ ⎜ i i ⎟⎟ , ", A i ⋅ ⎜ ⎟⎟ ⎥ A F,i = Max ⎢ A i ⋅ ⎜⎜ ⎟ , A i ⋅ ⎜⎜ ⎜ ⎢ ⎝⎜ σi,allow ⎠⎟ ⎝⎜ σi,allow ⎠⎟ ⎝⎜ σi,allow ⎠⎟ ⎥ ⎣ ⎦. (3-5). 其中 σilc1、σilc2 "σilcn 為第 i 根桿件在第一組、第二組…第 n 組載重條件作用下的桿件應力。 2.. 對載重條件重新排序由於滿載應力設計收斂後的桁架結構在不同的載重條件下，可能會在不同的節點發生最大位移，且最大位移的大小也不同，因此在進行啟發式方法放大桿件斷面之前先將各組載重條件按照其所造成的最大位移值來排序。另外，需要注意有些結構設計對每個節點會有不同的位移限制，因此排序時先判斷位移是否超過容許位移，再比較位移的大小進行排序。. 3.. 依序對各組載重條件進行啟發式方法將桿件放大啟發式方法主要是針對單一載重條件下的最大位移進行桿件斷面的放大，所以一. 18.

(35) 次只針對一組載重條件利用啟發式方法放大桿件斷面，由圖 2.5 可知每次放大桿件斷面之後需檢查結構是否滿足應力限制和位移限制，但是在考慮多組載重條件下，檢查結構的桿件是否滿足應力限制時須對所有的載重條件進行檢查，而檢查結構的節點是否滿足位移限制時則是對已執行過啟發式方法的載重條件進行檢查。例如：一桁架結構設計時需考慮三組不同的載重條件，三組載重條件也經過排序，若此時對第二組載重條件進行啟發式方法放大桿件斷面，則過程中每次檢查應力限制時在三組載重條件作用下每根桿件的應力都不超過容許應力才算滿足應力限制，而每次檢查位移限制時要考慮在第一組和第二組載重條件作用下，所有節點的位移都不超過容許位移才算滿足位移限制。 4.. 搜尋所得桁架結構以剩下未經搜尋的載重條件檢查是否滿足位移限制在多組載重條件的情形下，會出現找出前幾組載重條件作用下滿足位移限制和應力限制的桁架結構之後，亦會滿足接下來的幾組載重條件作用下的位移限制和應力限制，此時就可結束啟發式方法的搜尋不須對下一組載重條件進行啟發式方法。. 5.. 縮小單一組載重條件下啟發式方法搜尋所得的桿件斷面在考慮單一載重條件下啟發式方法會對 A F 的放大倍數 α 進行搜尋，最後找出一組符合應力限制及位移限制的桁架結構也會對應一個 α 值。但是對於多組載重條件的情形，第一組載重條件下以啟發式方法搜尋出的桁架結構，以第二組載重條件作用此結構，可能會出現不滿足位移限制的情形，因此需將第一組載重條件搜尋的結果重新以第二組載重條件進行搜尋，但是若在第一組載重條件下搜尋結果對應的 α 值大於一，直接以第二組載重條件重新搜尋過程中會出現所對應的 α 值過小很容易造成誤差，所以在第一組載重條件下搜尋結果所對應的 α 值若大於一，需先將搜尋所得的桿件斷面除 α 值再以第二組載重條件進行搜尋。. 6.. 重新進行結構分析考慮前一組載重條件作用以啟發式方法搜尋所得的桁架結構，在下一組載重條件作用下的節點位移和桿件應力會和之前結構分析的結果不同，因此必須再進行結構分析確認最大位移的值和發生位置。 19.

(36) 3.4 包含挫屈限制的設計隨著科技快速的進步，建築材料的強度也日益提高，設計上桁架桿件愈趨細長，但是細長的桿件在受壓時容易發生挫屈的情形，因而危害整個結構物的安全，所以挫屈限制的考量在桁架結構最佳化設計中已成了重要的課題。由於啟發式方法進行桁架斷面尺寸的修正時未將挫屈限制納入考量，為了對包含挫屈限制的桁架結構最佳化問題窄化搜尋空間，本文亦嘗試修改啟發式方法的流程並增加部分法則，如圖 3.3 所示其修改及新增的要點如下： 1.. 啟發式方法放大桿件斷面後加入挫屈限制的檢查對於桁架受壓的桿件檢查是否滿足挫屈限制，可依據尤拉(Euler)挫屈公式，其形式如下：. Pcr,i = −. π 2 EIc,i. (3-6). 2. ( K c li ). 其中 Pcr,i 為第 i 根桿件的挫屈臨界載重， Ic,i 為第 i 根桿件的慣性矩， K c 為有效長度係數，其大小和桿件的邊界束制條件有關。在桿件斷面形狀固定的情形下，可由(3-6)式推導成如下的形式：. Pcr,i = −. K s EA i2 li2. (3-7). 其中 K s 為一常數，其大小和桿件的斷面形狀相關。在不考慮挫屈限制的條件下，啟發式方法放大桿件斷面後只檢查是否滿足應力限制和位移限制，因此只要同時滿足應力限制和位移限制的設計即為可行設計。但是啟發式方法針對已經滿足應力限制的桁架結構放大部分的桿件斷面，若放大桿件後將挫屈限制加入檢查的項目，會出現部份會發生挫屈的桿件在啟發式方法中一直沒有被放大斷面尺寸，也使得搜尋的過程中無法找出符合可行設計的桁架結構，因此在搜尋的法則中需要設定搜尋終止條件，讓程式跳離搜尋的機制進行下一階段的程序。. 20.

(37) 2.. 檢查搜尋所得桁架結構是否滿足挫屈限制由於啟發式方法搜尋所得的桁架結構未必能滿足挫屈限制，因此必須對啟發式搜尋的結果進行挫屈限制的檢查，若檢查的結果不符合挫屈限制，則進入下一階段的程序對產生挫屈的桿件進行放大，若檢查的結果符合挫屈限制，則結束整個啟發式方法的最佳化過程。. 3.. 放大不滿足挫屈限制的桿件斷面尺寸經啟發式方法搜尋所得的桁架結構已能滿足應力限制和位移限制，但是可能會有部分的桿件無法符合挫屈限制的要求，因此可以根據(3-7)式放大桿件斷面調整桿件的挫屈臨界載重，讓桿件的挫屈臨界載重恰等於目前桿件所受的載重。但是桿件斷面尺寸放大之後，由(2-8)式或(2-19)式可知桿件的勁度矩陣也會變動，造成結構內部的應力重新分配，桿件所受的載重也會有所提升。因此需要重複進行結構分析和桿件斷面尺寸放大的迭代過程，當桿件所承受的載重和桿件的挫屈臨界載重之間的差值收斂到可容許的範圍內時即可停止迭代，本文取 10-7 為兩種載重間的容許差值。. 4.. 計算(由挫屈限制)放大桿件斷面尺寸前後結構總重的差值假設啟發式方法搜尋所得的桁架的結構總重為 Wa，而依據挫屈限制放大桿件斷面尺寸後所得的桁架的結構總重為 Wb，當 Wb-Wa 的值在低於容許值時即可結束整個啟發式方法的最佳化過程，本文設 Wb-Wa 的值為 10-2 時結束啟發式方法的最佳化過程。. 5.. 縮小已滿足挫屈限制的桁架的斷面尺寸並以啟發式方法重新搜尋當 Wb-Wa 的值未低於容許值時，必須縮小斷面尺寸再以啟發式方法重新搜尋。在依據挫屈限制放大桿件斷面尺寸的過程中，只針對會發生挫屈的受壓桿件進行放大，其餘桿件的斷面尺寸不會被放大，因此縮小斷面尺寸時將未被放大的桿件換成滿載應力設計收斂時的斷面尺寸，而放大過的桿件則將斷面尺寸除啟發式方法搜尋終止時所對應的 α 值。. 21.

(38) 3.5 窄化空間技術與基因演算法的整合對於桁架結構最佳化問題啟發式方法搜尋的結果通常不是最佳，但是可以在少量的搜尋次數與結構分析次數下完成設計。本文嘗試利用啟發式方法作為基因演算法在桁架結構最佳化問題的前處理機制，透過啟發式方法搜尋的結果縮減基因演算法的搜尋空間。然而要整合以啟發式方法為前處理機制的窄化空間技術與基因演算法仍需克服一些問題。首先基因演算僅能處理離散變數的最佳化問題，因此搜尋前需給定所有可選擇的桿件斷面尺寸，因為可選的斷面尺寸有最大值和最小值的限制，所以啟發式方法需克服包含最大斷面與最小斷面的限制，對於這方面的限制條件本文已在 3.2 節中詳細說明了啟發式方法經改良後的處理過程。另一方面，啟發式方法的搜尋是在連續的搜尋空間中進行，因此由啟發式方法所搜尋出的桁架結構的斷面尺寸 A i(2) 通常無法和基因演算法搜尋時可選擇的斷面尺寸相合，造成啟發式方法搜尋的結果無法直接作為基因演算初始族群的個體。本文處理的方法分為兩種方式。第一種方式是先給定一組合理的斷面尺寸的上下間距值 d su 及 d sl ，接著將啟發式方法搜尋所得的桿件斷面尺寸和所有可選擇的斷面尺寸比對，淘汰尺寸值在 A i(2) + d su 以上及 A i(2) − d sl 以下的可選擇斷面，因此基因演算法搜尋時的可選擇斷面尺寸的範圍會大幅縮小。但是要注意原來的可選擇的斷面尺寸有最大值和最小值的限制，因此 A i(2) + d su 不可大於最大斷面尺寸的值且 A i(2) − d sl 不可小於最小斷面尺寸的值。第二種方式是直接指定每個桿件可選擇的尺寸數目，縮減搜尋空間後只在 A i(2) 附近的數個離散斷面尺寸進行搜尋。基因演算法的搜尋空間在縮減後，需考慮的是染色體的長度可以隨著搜尋空間的縮減而使用較短的二位元字串構成，由於本文所使用的基因演算法依照斷面尺寸大小對應成二進位編碼，因此需先計算各桿件可選擇的斷面尺寸數目，接著產生小於或等於斷面尺寸數目的整數亂數以組成初始族群的個體，最後基因演算法再依照這些整數所對應的桿件尺寸來計算適應值或計算所對應的二進位值以產生染色體。例如：經窄. 22.

(39) 化搜尋空間後某根桿件可選擇的斷面尺寸剩下 1.8、2.0、2.2、2.4 in2，因此可選擇的斷面尺寸數目為 4，基因演算利用亂數產生初始族群時這根桿件所對應的亂數必須是小於或等於 4 的正整數，若產生的亂數是 3 則這根桿件對應的斷面尺寸為 2.2(in2)，而其所對應的二進位值為 10。如此在接下來基因演算法的流程中才能順利的執行，而不至於有對應錯誤的情形。. 23.

(40) 第四章數值案例測試為了探討窄化空間技術和基因演算法整合後在不同的限制條件下的效能與結果，本文利用文獻蒐集到的六個及自行設定的兩個平面與空間桁架案例進行測試。4.1~4.4 節探討的內容及案例如下：. 4.1 節討論不含挫屈限制桁架尺寸最佳化設計：例一：10 根桿件的平面桁架（單一載重條件，文獻案例）例二：25 根桿件的空間桁架（多組載重條件，文獻案例） 4.2 節討論不含挫屈限制桁架尺寸與拓樸最佳化設計：例一：10 根桿件的平面桁架（單一載重條件，文獻案例）例二：25 根桿件的空間桁架（多組載重條件，文獻案例） 4.3 節討論含挫屈限制桁架尺寸最佳化設計：例一：15 根桿件的平面桁架（單一載重條件，文獻案例）例二：25 根桿件的空間桁架（單一載重條件，文獻案例） 4.4 節討論含挫屈限制桁架尺寸與拓樸最佳化設計例一：15 根桿件的平面桁架（單一載重條件，自行設定的案例）例二：25 根桿件的空間桁架（單一載重條件，自行設定的案例）. 本文會在各案例完成最佳化設計後，以圖說明其收斂過程，並且將節點位移及桿件應力分別以表格方式呈現，以說明最佳斷面滿足設計的限制條件。對於每個案例測試的結果將與文獻中相同案例的結果互相比較，若探討本研究自行設定的案例時，本文會在未經窄化搜尋空間的情況下以基因演算法進行搜尋，再將其結果與結合窄化空間技術的基因演算法搜尋的結果互相比較。. 4.1 不含挫屈限制的桁架尺寸最佳化設計例一：平面 10 根桿件桁架. 24.

(41) 如圖 4.1.1 所示，為一平面 10 根桿件的懸臂桁架。先前有一些研究已對此案例做過最佳化設計，如：Rajeev and Krishnamoorthy [10]，Elperin [14]，而本文也採用此案 3. 例作為第一個測試。其材料密度為 0.1lb/in ，彈性係數 E=10000 ksi，桿件容許應力為 ±25 ksi，各節點容許位移為±2 in(水平與垂直方向)，桿件可選斷面為 64 種，分別為 0.1，. 0.5，1.0，1.5，…，30.0，30.5，31.0，31.5 in2，受力情形為節點 2 與節點 4 各受一 100 kips 向下垂直力。 2. 首先將 10 根桿件的斷面尺寸皆設為 1 in 進行滿載應力設計，表 4.1.1 為滿載應力設計經 40 次迭代後收斂的結果，由於滿載應力設計最終收斂結果會出現極小值之斷面，為了使結構分析過程中避免分母為零(Divide by zero)的錯誤發生，故將極小值以 -4. 10 代替。因此 A F,i 分別為 8.0000，0.0001，8.0000，4.0000，0.0001，0.0001，5.6569， 5.6569，5.6569，0.0001 in2。 A F 斷面經結構分析後節點位移如表 4.1.2 所示，結構的最大位移發生在節點 2，且最大位移量 Δ F 約為 7.2 in 往下，因此將節點 2 設為控制點進行啟發式方法搜尋。表 4.1.3 為啟發式方法的搜尋過程，過程中僅經過了 14 次的搜尋就達到收斂條件，其收斂的過程如圖 4.1.2 所示。收斂後各桿件的斷面尺寸分別為 30.0753，0.1006，. 23.006，15.0377，0.1006，0.1006，8.7747，21.2660，21.2665，0.1006 in2，相對應的結構總重為 5080.4054 lb。接著窄化基因演算法的搜尋空間，以啟發式方法收斂的結果作為搜尋空間中心點，將搜尋空間縮減到中心點附近，爲了探討搜尋空間縮減程度的不同對基因演算法搜尋效率和結果的影響，本文以三種不同的程度窄化搜尋空間，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距 d su 及 d sl 如表 4.1.4 所示，表 4.1.5 為窄化搜尋空間後各桿件可選擇的斷面尺寸。基因演算法對三種窄化後的搜尋空間進行搜尋，其收斂的情形分別如圖 4.1.3～. 4.1.5 所示。爲了比較窄化空間技術對基因演算法的影響，本文另外以基因演算法對未經窄化的空間進行搜尋，其收斂的情形如圖 4.1.6 所示。表 4.1.6 為本文基因演算法的. 25.