不含挫屈限制的桁架尺寸最佳化設計

例一：平面 10 根桿件桁架

如圖4.1.1 所示，為一平面 10 根桿件的懸臂桁架。先前有一些研究已對此案例做 過最佳化設計，如：Rajeev and Krishnamoorthy [10]，Elperin [14]，而本文也採用此案 例作為第一個測試。其材料密度為0.1lb/in³，彈性係數E=10000 ksi，桿件容許應力為

±25 ksi，各節點容許位移為±2 in(水平與垂直方向)，桿件可選斷面為 64 種，分別為 0.1，

0.5，1.0，1.5，…，30.0，30.5，31.0，31.5 in²，受力情形為節點2 與節點 4 各受一 100 kips 向下垂直力。

首先將10 根桿件的斷面尺寸皆設為 1 in²進行滿載應力設計，表4.1.1 為滿載應力 設計經40 次迭代後收斂的結果，由於滿載應力設計最終收斂結果會出現極小值之斷 面，為了使結構分析過程中避免分母為零(Divide by zero)的錯誤發生，故將極小值以 10^-4代替。因此A 分別為 8.0000，0.0001，8.0000，4.0000，0.0001，0.0001，5.6569，_Fi, 5.6569，5.6569，0.0001 in²。A_F斷面經結構分析後節點位移如表4.1.2 所示，結構的 最大位移發生在節點2，且最大位移量

Δ

表4.1.3 為啟發式方法的搜尋過程，過程中僅經過了 14 次的搜尋就達到收斂條件，

其收斂的過程如圖4.1.2 所示。收斂後各桿件的斷面尺寸分別為 30.0753，0.1006，

23.006，15.0377，0.1006，0.1006，8.7747，21.2660，21.2665，0.1006 in²，相對應的 結構總重為5080.4054 lb。接著窄化基因演算法的搜尋空間，以啟發式方法收斂的結 果作為搜尋空間中心點，將搜尋空間縮減到中心點附近，爲了探討搜尋空間縮減程度 的不同對基因演算法搜尋效率和結果的影響，本文以三種不同的程度窄化搜尋空間，

各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距d 及^u_s d 如表 4.1.4 所示，表 4.1.5 為窄化搜尋空^l_s 間後各桿件可選擇的斷面尺寸。

基因演算法對三種窄化後的搜尋空間進行搜尋，其收斂的情形分別如圖 4.1.3～

4.1.5 所示。爲了比較窄化空間技術對基因演算法的影響，本文另外以基因演算法對未 經窄化的空間進行搜尋，其收斂的情形如圖4.1.6 所示。表 4.1.6 為本文基因演算法的

最佳化設計結果和先前文獻的結果做比較，而表4.1.7~4.1.12 為 Case 1~Case 3 最佳化 設計後的結構經結構分析得到的桿件應力和節點位移，顯然在三種窄化的搜尋空間下 所得的結構都能符合應力限制及位移限制。由表4.1.6 可以發現採用窄化空間技術後基 因演算法搜尋的結果明顯優於文獻的結果，其中對Case2 和 Case 3 的窄化空間搜尋所 得的結構總重均為5070.42 lb，但是 Case 3 的搜尋空間較 Case 2 大一些，因此基因演 算法在採用同樣150 的族群大小的情況下，對 Case 2 的搜尋僅經過 61 個世代就找到 收斂時的結構總重，而在Case 3 的搜尋空間下卻需經歷 177 個世代的搜尋。在表 4.1.6 中顯示 Case 1 的搜尋空間下雖然經歷 63 個世代的搜尋就找到收斂時的結構總重 5077.88 lb，但是相較於 Case 2 及 Case 3 的搜尋空間下找到的結構總重是較差的，可 能是Case 1 將搜尋空間縮減的過小，以致於無法找到更佳的結果。就搜尋的效率而言，

不論使用何種最佳化設計方法，過程中大部分的時間皆花費在結構分析計算上，因此 本文以結構分析的計算次數作為比較計算成本的依據，對於計算成本的節省百分比本 文計算的方式如下：

GA

-Computational cost saving= 100%

GA ×

結構分析總次數 相對方法的結構分析總次數

結構分析總次數 (4-1)

在Case 3 的搜尋空間下比沒有採用窄化空間技術的情形計算成本節省了 84.73%，而 Case 1 和 Case 2 的搜尋空間下結構分析的計算成本分別節省了 96.14%及 96.27%，由此 可知採用窄化空間技術後基因演算法的搜尋效率明顯提升許多。

例二：空間 25 根桿件桁架

空間25 根桿件如圖 4.1.7 所示，共有 10 個節點，桿件與節點關係可參考表 4.1.13。

先前的研究如：Ringertz[15]與 Wu and Chow[16]對此結構都作過最佳化設計。其材料 密度為0.1lb/in³，彈性係數為10000 ksi，斷面為分組設計，如表 4.1.14 共分為 8 組，

桿件可選斷面為16 種，分別為 0.01，0.4，0.8，1.2，…，5.6，6.0 in²，各節點位移限 制為0.35 in，容許應力為 40 ksi，受力情形如表 4.1.15。

結構經滿載應力設計收斂的結果A 分別為 0.0001，0.3497，0.4926，0.0001，_Fi, 0.0001，0.0934，0.2914，0.3641 in²。由於此案例需考慮兩組載重條件，依照3.3 節所

提的設計流程，首先將各組載重條件按照其所造成的最大位移值來排序，經結構分析 後第一組載重條件作用下結構的最大位移發生於1 號節點大小為 2.046 in，第二組載 重條件作用下結構的最大位移發生於1 號節點處，大小為 2.333 in，因此載重條件重 新排序後的情形如表 4.1.16。進行啟發式方法時先在第二組載重條件下搜尋，搜尋後 各群組斷面的尺寸分別為0.0100，1.3096，2.8062，0.0100，0.0100，0.8221，1.3739，

3.2277 in²，結構總重為520.0382 lb。接著再進行結構分析確認第一組載重條件作用下 結構是否能滿足應力及位移的限制條件，分析後各節點位移如表 4.1.17，最大位移發 生在1 號和 2 號節點處，大小約為 0.442 in，已經超過容許位移 0.35 in，因此需以第 一次搜尋的結果為初始值進行第二次的啟發式方法的搜尋。表4.1.18 是兩次啟發式方 法搜尋的初始條件與結果，第二次搜尋後各群組斷面的尺寸分別為 0.8084，0.0100，

1.8542，3.1714，0.0100，0.0100，0.6923，1.7166，2.5948 in²，結構總重為545.7115 lb。

接下來縮減基因演算法的搜尋空間，本例題亦將窄化後的搜尋空間分成三種情形 討論，各窄化搜尋空間中心與其上下限的間距d 及^u_s d 如表 4.1.9 所示，表 4.1.20 為各^l_s 窄化的搜尋空間下各桿件可選擇的斷面尺寸。圖 4.1.8~4.1.10 為基因演算法在各窄化 的搜尋空間下收斂的情形，而圖4.1.11 為基因演算法在未經窄化搜尋空間的情形下收 斂的情形。表4.1.21 為基因演算法在各搜尋空間下的最佳化設計結果和先前文獻的結 果比較，在Case 1、Case 2 及 Case 3 的搜尋空間下基因演算法最後都收斂到相同的結 果，各群組斷面的斷面尺寸分別為0.01、1.6、3.2、0.01、0.01、0.8、2.0、2.4 in²，相 對應的結構總重為 551.61 lb 亦明顯的優於文獻的結果。 表 4.1.22~4.1.25 為 Case 1~Case 3 的搜尋空間下最佳化設計的結果分別在第一組及第二組載重條件下桿件應力 和節點位移的情形，顯然都能滿足載重限制和位移限制的條件。

基因演算法搜尋時，由於Case 1 和 Case 2 的搜尋空間相較於原來的搜尋空間明顯 大幅縮減，因此本文將其族群大小設為50，而 Case 3 和未採用窄化空間技術的對照組 採用的族群大小為100。Case 1、Case 2 和 Case 3 達到收斂結果的世代數分別為 12、

39 與 25 代，相較於未採用窄化空間技術的對照組所需的世代數 1630，採用窄化空間

技術後基因演算法達到收斂結果時的世代數顯著的減少。就結構分析的計算量 Case 1、Case 2 和 Case 3 較未採用窄化空間技術的對照組分別節省了 99.63%、98.80%與 98.47%。