問題解決

在運用以貝氏網路為基礎的適性測驗時，以往的研究用結合 Shannon 亂度

（entropy）的方式計算，但依照其演算法所衍生的公式計算，如數學式 2.14 所示，

其所需的運算量是相當龐大的，以一份 30 題的測驗為例，其所需要的運算量就 為2 次，而每一個給定學生下一施測試題步驟都必須計算並展開一次，故其所³⁰ 需要計算的決策空間數以及運算量，皆呈指數成長，本研究提出嘗試以 MPE 的 方法去改良 AO*方法需要展開所有可能集合的方式，將其運算量從2 次降為³⁰ 1 次，其概念圖示如下：

圖 3-2 AO*運用 entropy 示意圖

圖 3-3 應用 MPE 改良 entropy 示意圖

Y 為學生的能力，也就是本論文中所欲探討的錯誤類型、子技能、能力指標，

其中橫軸為 Y 的狀態值，也就是不同學生能力的有無所形成的組合，P 為機率值，

P PM

Y

P PM

PA

Y

其中 PM（probability maximum）為所有狀態的最大機率值，PA（probability average）

都有兩種狀態，可以用0和1表示。搜尋的過程中，欲建立一個狀態空間樹，而狀 態空間樹上的每個節點都會包含著Y的子集合，樹的根節點包含一個空集合，左 邊的子節點包含{Y ，右邊的子節點包含一個空集合；接著往下發展的左邊的子₁} 節點包含了{Y₁,Y₂}，右邊的子節點則包含了{Y 。一般而言，對同一水平節點i₁} 來說，左邊的節點會多包含了Y_i+1，且其右邊的節點未包含。在狀態空間樹裡的 每個葉節點表示了一個可能解，為了解決這些問題，計算每個葉節點的條件機率 集合，並找出一個該節點的最大機率值。

當然在搜尋的目標上，我們希望可以避免找到狀態空間樹的太多節點，因而 衍生出一個用於建立的函數，對於每個節點，將他的子節點會造成的條件機率影 響，給予一個上界，當在計算節點時，需要計算的為該節點的條件機率值、以及 其子節點的上界可能機率值。利用上界當做一個規範有兩個目的，第一、對於上 界比最佳條件機率值還要小的節點，可以予以忽略不用展開；第二、可以確保下 一個要展開的節點是具有最大的上界值。用此種方法找到的節點都將會是最佳解 的狀態，這樣技術我們稱之為修剪法之廣度優先搜尋之最佳優先演算法。將其界 線的函數做一些定義，以下對此函數所做的一些定義：

其中定義若Y 和 'Y 為測驗目標的兩個欲解釋子集，如測驗中所欲探討的學生 子技能、錯誤類型以及能力指標的有無，則

) ( ) '

(Y P Y

P ≤

且

) (

) ) (

|'

( P m Y m P

Y

P ≤

証明：利用貝氏定理予以證明

) 解來的好時，則將此節點稱之為不可行節點（nonpromising），其餘的，我們稱之 為可行節點（promising）。展開可行節點，避開不可行節點，依序搜尋直到找到 最佳解，用best來表示當前的最佳解，P(Best|m)將用來表示最佳解的條件機率 值，目標就是要找出最佳best節點其最大條件機率值，並記錄該節點狀態值，將 其作為評估函數中P(Y_k)的值。