貝氏網路

一、貝氏網路

由於科學方法要求嚴密性，為避免引用極端資料可能會扭曲研究結果，因 此，古典推論模式並不允許將先前知識引入計算中。然而在許多情況下，善用先 前知識並結合可觀察的資訊是有助於推論的，此種統計推論模式被稱為貝氏推論 統計。以貝氏推論統計為基礎並透過圖形理論（graphical theory）表達變項間關 係或是解決計算複雜度（calculating complexity）問題的統計模型稱為貝氏網路

（bayesian network）（Richard & Neapolitan , 2003）。

貝氏網路可叫做因果關係網路（causal network）或機率網路（probabilistic network）。貝氏網路是廣泛應用於人工智慧、決策系統、電腦科學以及工程界的 診斷工具之一，對於不確定性的管理與評估有很好的表現（Spiegelhalter, Dawid, Lauritzen & Cowell,.1993; Jensen, 2001）。

貝氏網路是以條件機率（conditional probability）為基礎，所建構出來的具方 向性的非循環有向圖（directed acyclic graph, DAG）。一個貝氏網路包含二部份，

分別為節點與節點之間的連線，節點表示變項，連線則表示變項間的因果關係，

連線的有無代表節點間是否有因果關係，其影響程度藉由條件機率來表達。

二、貝氏定理

貝氏定理（bayesian rule）是貝氏網路的基礎，就貝氏定理簡介如下：

P(B) A)P(A)

| B) P(B

|

P(A = （2.1）

1.條件機率 P(B|A)表示在 A 的條件之下，B 發生的機率。

2.機率 P(A)和機率 P(B)則表示 A 和 B 各自發生的機率。

3.P(B|A)，P(B)和 P(A)在研究中是先用訓練的資料所求得的。

由以上貝氏定理可以看出，使用貝氏方法最大的優點為貝氏結合事前機率

（經驗值）與樣本機率（可經由訓練樣本得知），且有效的利用樣本資訊,引入經

驗值來得到理想的統計數據。傳統的統計方法只由樣本數統計，比較起來貝氏方 法可以得到更多資訊，況且貝氏方法利用到以前的經驗（即事前機率），因此在 分析時不需太多樣本數即可得到不錯的結果（黃雅鳳，2006）。

三、貝氏網路圖形

貝氏網路圖形是一個以條件機率（conditional probability）為基礎所建構出來 的具方向性的非循環有向圖（directed acyclic graph, DAG），如圖 2-2 所示。圖中 的每一個節點（node）表示一個事件（event），節點間的連線（link）則表示事件 之間的因果關係，而連線的有無及其影響程度，依其強弱則藉由條件機率來表 達；該網路中之節點表示隨機變數，而連結線用來表示兩個變數間的關聯或因果 關係，所以此有向圖是這些變數之聯合機率分佈的分解表示法（呂靜芳，1999）。

Pearl（1988）將貝氏網路中，變數之間的影響用因果關係來表示，當變數 A 確定有影響變數 B 的因果關係時，從 A 到 B 將產生一個相依的連結邊。此時，

節點 A 稱為節點 B 的父節點，而節點 B 稱為節點 A 的子節點。

圖 2-2 貝氏網路非循環的有向圖

在本研究中，以節點代表能力指標、子技能、錯誤類型與試題，以有向邊連 結成貝氏網路結構，節點之間的連結，視有向邊的有無，來代表節點之間的關係 是否為條件相依或條件獨立的情形；節點之間有連結表示條件相依，具有因果關 係，節點間沒有連結就被稱為條件獨立。本研究將學生紙筆測驗的資料，利用貝

節點( node ) B A

C

（link）

條件機率

節點( node )

節點( node )

式定理運算程式進行資料分析，結合透過領域專業人士之主觀認知所建立的貝氏 網路，以圖形結構建製的貝氏網路，可以為學生的評量資訊建立模型，提供教師 圖形化的觀察，並由系統分析推估出學生具有的錯誤類型訊息，研究結果亦可為 後續的補救教學的依據。

四、貝氏網路在教育測驗上之相關應用

為了探討如何將貝氏網路應用於實際教育評量中，近年來已累積了一些相關 的研究成果，其中包括理念的闡述（Mislevy, 1994）；學科領域應用（Mislevy, 1995）；建立以機率推理為基礎的智慧家教系統（Mislevy & Gitomer, 1996）；以貝 氏網路建立評量設計的概念架構，再利用 MCMC 技術估計實徵資料所需的條件 機率（Mislevy, Almond, Yan & Steinberg, 1999）；以及如何建立以貝氏網路的圖形 模式為基礎的電腦適性測驗（Almond & Mislevy, 1999）。

本研究在將貝氏網路應用於實際教育評量中，也有相當多的研究結果，概括 可分列為三種類型：1.診斷錯誤概念。2.理論與技術上的應用。3.將貝氏網路應用 於適性化測驗。

1.診斷錯誤概念

貝氏網路在教育測驗上最基本且主要的應用是診斷錯誤概念的研究，依研究 範圍有區分為以教材單元為主的以及能力指標為主，另一個在教學上的應用是在 診斷錯誤概念之後，可在加上相關的補救教學，其相關文獻整理如表 2-2。

表 2-2 貝氏網路在教育上之應用 1

3.將貝氏網路應用於適性化測驗

還有部分研究是將貝氏網路應用於適性化測驗上，包含適性化測驗的可行 性、適性測驗演算法及電腦化適性測驗系統等。其相關的研究整理如表 2-4。

表 2-4 貝氏網路在教育上之應用 3

研究範圍 研究者 研究內容摘要

謝典佑、曾筱倩、

郭伯臣、許天維

（2007）

結合知識本體論與貝氏網路之電腦適性 診斷，藉以診斷出學生的錯誤概念以及 所擁有的子技能。

楊智為、劉育隆、

楊晉民、曾彥鈞

（2006）

利用試題順序理論進行電腦化適性測驗 後，使用貝氏網路作為診斷工具。能節 省施測題數並保有一定的正確率。

適性化測 驗

李俊儀（2005） 以國小數學診斷測驗為例，探討以貝氏 網路為基礎的電腦適性測驗選題策略。

由這些文獻結果可知，利用貝氏網路分析學生所具有的錯誤類型資訊，除了 大量節省人工判斷的時間，還能提供有效的診斷訊息。因此，貝氏網路的機率推 理模型，在教育測驗上是一個很有效的診斷工具