四則混合運算的教材內容

本節是說明四則混合運算的教材內容，以下分成二個部份。首先 是說明四則混合運算的產生，再來分析四則混合運算的教材內容。

一. 四則混合運算的產生

國內學者謝堅（2000：79）對四則混合運算的產生和解題形成的 共識，曾做了以下的說明：

針對第一個問題，本課程（82 版）認為四則運算混合計算問題，是 用來記錄多步驟文字題的題意或解題計畫的，是另一種形式的文字題；學 童將多步驟文字題改用比較方便的算式填充題重新表徵後，再去求算式填 充題（也就是原文字題）的答案。四則混合計算問題不是當我們解題成功 後，再將解題過程改用一個算式記錄，並要求重新再算一次答案。

針對第二個問題，本課程認為產生併式時，人們先形成由左往右依次 運算的共識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發生混淆時，為了要區別先 算什麼，後算什麼，才使用括號來標示先算的部份，形成先算括號部份的 共識；當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時，為了要減少使 用括號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號最 多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用。

由以上的說明，研究者歸納出二項要點：

(一) 學生開始解題時，會因為記錄解題計畫，而產生多個算式；

之後，再透過併式的方式，簡化成一個多步驟的算式填充題。

(二) 解四則混合計算時，形成約定的共識是：由左而右依序運算；

括號內的先算；先乘、除，後加、減。

因此，學生在整數四則混合運算解題時，有三個關鍵：

1. 學生能否產生多步驟文字題的解題計畫？

2. 學生會不會將多個算式併式簡化成一個算式填充題？

3. 併式之後的算式填充題，學生知道如何解答嗎？

二. 教材內容的分析

本研究教材內容係參考自南一版國小數學第九冊（南一，2000）

主題八「地下街」四則計算的第二、三項教學目標（詳見表 2-6），其 內容分別是：

第 2 項：知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡化算式。

第 3 項：知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式及簡化 算式。

其中「由左而右」和「先乘除後加減」是本研究所指的「數學知 識」，是屬於 Mayer 所說的程序性知識。

另外，對照第七（四上）、第八（四下）、第九冊（五上）相關主 題的教學目標（詳見表 2-7），可發現在四年級上學期的數學（第七 冊），已開始進入兩步驟的問題，在五年級上學期的數學（第九冊）

則是發展至多步驟問題。

因此，本主題教材含有二個面向的交織；一是四則運算的混合，

例如：加減混合、乘除混合、加（減）乘（除）混合、四則混合等；

另一是運算步驟的增加，例如兩步驟、三步驟等。而本研究工具--運 算題型的題目表（表 3-2），即是根據上述二個面向編製而成的。

表 2-6 南一版四則運算教學目標 單元名稱：八、地下街

教材內容：整數、四則運算（數與計算、關係）

1.復習解決生活情境中兩步驟的問題。（N-2-2）

1-1 能解決生活情境中有關加減的兩步驟問題。

1-2 能解決生活情境中有關乘除的兩步驟問題。

1-3 能解決生活情境中有關四則的多步驟問題。

2.知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡化算式。

（N-2-17）

2-1 能把加減兩步驟的紀錄併成一個算式。

2-2 從生活情境中，知道只有加減的運算時，是由左而右進行計算。

2-3 能把乘除兩步驟的紀錄併成一個算式。

2-4 從生活情境中，知道只有乘除的運算時，是由左而右步進行計 算。

3.知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式及簡化算式。

（N-2-17）

3-1 能把加（減）乘（除）兩步驟的紀錄併成一個算式。

3-2 從生活情境中，知道加（減）乘（除）運算，是先乘（除）後 加（減）進行計算。

3-3 能把四則多步驟的記錄併成一個算式。

3-4 從生活情境中，知道四則運算是先乘除後加減進行計算。

4.能在情境中，理解結合律。（N-2-15）

4-1 從不同的解法中，察覺加法的結合律。

4-2 能在情境中，理解加法的結合律。

4-3 從不同的解法中，察覺乘法的結合律。

4-4 能在情境中，理解乘法的結合律。

5.能在情境中，理解乘法對加法的分配律。（N-2-15）

5-1 從不同的解法中，察覺乘法對加法的分配律。

5-2 能在情境中，理解乘法對加法的分配律。

表 2-7 南一版各冊相關主題的教學目標

領域 主題（教材） 教學目標（能力指標編號）

數與計算、代數

第七冊主題一 百貨公司

（一萬以內的數、

算式填充題、加減 直式紀錄）

1.能將情境中的問題表徵為加法、減法算式填充題。

（A-2-1）

2.能理解加法和減法直式算則。（N-2-3）

7.延伸加、減與情境的意義，使能適用來解決更多的 生活情境問題。（N-2-2）

數與計算、代數、量與實測

第七冊主題六 愛心園遊會

（算式填充題、

乘、除、找規律）

1.能將情境中的問題表徵為加法、減法算式填充題，

並能解釋式子與原來問題情境的關係。（A-2-1）

2.能透過具體表徵，解決從生活情境問題中所列出的 加法、減法算式填充題。（A-2-2）

5.解決生活情境中的乘法問題。（N-2-2）

6.解決生活情境中的除法問題。（N-2-2）

8.解決生活情境中的兩步驟問題。（N-2-2）

數與計算

第八冊主題一 電器館

（十萬以內的數、

四則運算）

3.延伸加、減、乘、除情境的意義，使能適用來解決 更多的生活情境問題並用計算器械處理大數（十萬 以內）的計算。

數與計算、代數

第八冊主題五 節約能源

（乘和除、算式填 充題）

1.能將情境中的問題表徵為乘法、除法算式填充題，

並能解釋式子與原問題情境的關係。（A-2-1）

2.能透過具體表徵，解決從生活情境中所列出的乘 法、除法算式填充題。（A-2-2、N-2-2）

4.知道連乘或連除的約定，並能用來列式及簡化式 子。（N-2-16）

5.能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化 式子。（N-2-16）

數與計算、關係

第九冊主題八 地下街

（整數、四則運算）

1. 復習解決生活情境中兩步驟的問題。（N-2-2）

1-3 能解決生活情境中有關四則的多步驟問題。

（N-2-17）

2. 知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡 化算式。（N-2-17）

3. 知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式 及簡化算式。（N-2-17）