第四章 結果與討論
第二節 學生在擬題教學過程中的解題表現
本節將分成三部份，說明學生在擬題教學過學程中的解題表現：
一. 解題成敗情形：分析學生整體的解題成敗情形，再將學生解 題失敗的原因，區分為解題策略錯誤和運算錯誤二種，並且 提出主要的發現。
二. 策略錯誤解析：將學生策略錯誤的原因，分成三方面討論，
學生在下列四種數學知識的相關問題。
(一) 對問題的察覺Æ語言知識和語意知識。
(二) 問題表徵轉換Æ基模知識。
(三) 擬定策略Æ策略知識。
三. 運算錯誤解析：學生擬定正確的策略後，執行策略需具備程 序性知識。此部份即針對學生運算錯誤的情形，探討學生在 程序性知識的相關問題。
一. 解題成敗情形
研究者將學生 8 次解題和 8 次解擬題的記錄，先依解題成敗分類 統計，並統計每次解題的成功比率。再將學生解題失敗的原因，區分 為解題策略錯誤和運算錯誤二種，整理統計結果成表 4-3。
其中，在進行第 2、4、7 次解擬題時，皆有 1 位學生缺席，故解 題者計有 34 人。另第 8 次解擬題，則因為有 3 位學生擬出不可行的 題目，因而無法解題，故解題者計有 32 人。
分析學生解題成敗情形，主要發現有：
(一) 學生在三步驟四則混合運算解題表現較差。
(二) 學生兩次解題的成功率相近。
(三) 學生在解擬題的解題策略正確率高。
(一)困難的三步驟運算
從表 4-3 中，可發現學生解題成功率，是逐次下降；在前 5 次解 題，不論是解題或解擬題，成功率皆有達到八成以上。但從第 6 次以 後，成功率則明顯低落，顯示後 3 次學生解題表現較差。
對照第二章的表 3-2 運算題型的題目表，發現後 3 次是涉及三步 驟四則混合運算的題目。由此可知，三步驟的四則混合運算問題是學
(二)學生兩次解題的成功率相近
從表 4-1 中發現，除了第 8 次相差較大外，其餘各次解題和解擬 題，成功率都很接近。這個現象和研究者預期的結果不同，因為研究 者認為解自己所擬的題目，應該較容易成功，但事實卻不然。另外，
從解題失敗的人數來看，除了第 8 次相差 9 人外，其餘各次解題和解 擬題，失敗人數相差都在 4 人以內，也顯示解題和解擬題的失敗人數 相近。
(三) 解擬題的解題策略正確率高
從表 4-1 中可看出，各次解題因策略錯誤而解題失敗的人數，解 擬題皆比解題減少。這個現象正如同國內學者梁淑坤（1994）所說的，
如果解題者亦是擬題者，他當然清楚題目的內容，馬上可以做策劃的 功夫，不用再理解他自己擬出的題目。因此解自己所擬的題目時，由 於解題策略早已設定，解題時較不容易出錯。因此，從表 4-3 中，也 可發現解擬題的失敗原因中，較多的是運算錯誤。
表 4-3 解題成敗情形統計表
解題失敗原因 次別 類別 解題成功(比率) 解題失敗
策略錯誤 運算錯誤
解題 34 (97%) 1 0 1
第１次
解擬題 33 (94%) 2 0 2
解題 30 (86%) 5 1 4
第２次
解擬題 31 (89%) 3 1 2
解題 33 (94%) 2 2 0
第３次
解擬題 32 (91%) 3 0 3
解題 34 (97%) 1 0 1
第４次
解擬題 29 (85%) 5 0 5
解題 28 (80%) 7 5 2
第５次
解擬題 28 (80%) 7 3 4
解題 20 (57%) 15 7 8
第６次
解擬題 24 (69%) 11 7 4
解題 22 (63%) 13 11 2
第７次
解擬題 25 (74%) 9 4 5
解題 16 (46%) 19 18 1
第８次
解擬題 22 (69%) 10 5 5
註：1.上表中的數字是表示人數。
2.第 1 至 4 次是二步驟運算，第 5 至 8 次是三步驟運算。
二. 策略錯誤解析
研究者分析學生解題策略的錯誤後，結果發現：
(一) 語言知識和語意知識的問題，例如：學生誤解題目語句意義。
(二) 基模知識的問題，例如：面積和周長的概念混淆。
(三) 策略知識的問題，例如：忽視題目的條件，解題計畫錯誤。
(一)語言知識和語意知識的問題
研究者發現學生在語言知識和語意知識發生問題，問題轉譯 出現錯誤，例如誤解題目的語句，以致將題目條件的人數算錯：
1.【第 5 次解題舉例】
阿星和 3 位同學去逛夜市時，合買 1 個籃球，價錢是 324 元，由 大家平均分攤，阿星自己又買 8 個哈姆太郎玩偶，每個價錢是 17 元，請問阿星總共花了多少元？
研究者發現該次解題，有 5 位學生將解題策略寫成「324÷3
＋17×8」，可能就是學生將「阿星和 3 位同學」視為只有 3 人，
因而解題策略發生錯誤。
2.【第 5 次解擬題舉例】
阿妏和 5 位同學去逛夜市，他們的錢合買了 2 顆足球，價錢是 450 元，由大 家分攤，阿妏的朋友買了 5 枝自動筆，每枝價錢是 25 元，請問阿妏同學共 花了多少錢？（5-p-33）
該位學生將解題策略寫成 450÷5＋25×5，錯誤原因和前一例 子相同，學生將「阿妏和 5 位同學」視為只有 5 人，因而解題策 略發生錯誤。
3.【第 5 次解擬題舉例】
媽媽跟 6 位朋友逛街，她們合買了一組沙發，一組 1500 元，媽媽又買了一 隻大娃娃，共花了 350 元，大娃娃多少元？（5-p-34）
該位學生將解題策略寫成 350－1500÷6，錯誤原因和前一例 子相同，學生將「媽媽和 6 位朋友」視為只有 6 人，因而解題策 略發生錯誤。
(二)基模知識的問題
研究者發現有些學生的基模知識產生混淆，例如學生將「求 面積」的題目，使用「求周長」的方法解題：
1.【第 7 次解題舉例】
A 圖形是正方形，邊長是 10 公分，B 圖是長方形，長是 14 公分，
寬是 8 公分，A、B 二個的面積共是多少平方公分？單位：公分 10 8
10 14
A B
成 10×4＋（14×2＋8×2），顯然學生是使用了求「周長」的解題策 略，來解「面積」的答案。
2.【第 7 次解擬題舉例】
A 是正方形，邊長 20 公分，B 是長方形，長是 14 公分，寬是 9 公分，二個 圖形的面積共是多少平方公分？（7-p-4）
該位學生將解題策略寫成「20×4＋14×2＋9×2」，錯誤情形和 前一例子相同，求「面積」的題目，學生卻用求「周長」的方法。
(三)策略知識的問題
研究者發現學生在策略知識上的問題，是忽視題目的條件，
設定了錯誤的解題計畫，例如：
1.【第 6 次解題舉例】
1 個鹹蛋超人賣 280 元，阿福想買 4 個，可是阿福現在只有 400 元，所以阿福計畫每天存 45 元，請問需要存幾天錢才夠？
研究者發現該次解題，有 3 位學生將解題策略寫成 280×4÷
45，顯然學生是忽視了題目條件--「阿福現在只有 400 元」。
2.【第 6 次解擬題舉例】
1 隻洋娃娃賣 350 元，名娟想買 3 隻，可是名娟現在有 500 元，名娟決定好 每天存 40 元，請問名娟需要存幾天錢才夠？（6-p-33）
該位學生將解題策略寫成 350×3÷40，錯誤原因和前一例子相 同，學生忽視了題目條件--「名娟現在有 500 元」。
三. 運算錯誤解析
研究者將因運算錯誤而失敗的原因，分成計算錯誤、抄錯數字、
未計算和數字除不盡等四類，詳如表 4-4，以下是分類的舉例說明。
(一)計算錯誤：學生在數字相加、或相減、或相乘、或相除時，發生 計算錯誤。例如：
翌紘養了 100000 隻小鳥，昨天賣掉了 1999 隻，今天又買了 100 隻，現在還有 多少隻？（1-p-2）
【學生解題記錄】說明：減法錯 100000－1999＝18001 18001＋100＝18101
(二)抄錯數字：學生在運算過程中，將數字抄錯，以致解題失敗。例 如：
1 個鹹蛋超人賣 280 元，阿福想買 4 個，可是小偉現在只有 400 元，
所以阿福計畫每天存 45 元，請問需要存幾天錢才夠？（6-s-8）
【學生解題記錄】 280×4＝1120 1120－400＝720 說明：抄錯 750÷45＝16…30 16＋1＝17
(三)未計算：沒有作答，或者僅寫出解題計畫。例如：
5 台 Bens 售價 5123555 元，囡仔想買 15 台，要多少元？囡仔有 60000000 元 夠不夠買？（2-p-14）
【學生解題記錄】 （5123555÷5×15）－60000000＝（ ） 說明：僅列出算式，未完成計算。
(四)數字除不盡：學生所擬題目的數據，無法除盡，造成學生解題 失敗。例如：
眼鏡 3 副 200 元，小芳有 70 元，夠不夠買 1 副眼鏡？夠的話還剩多少元？不 夠的話，還差多少元？（4-p-36）
【學生解題記錄】 說明：無法除盡 200÷3＝66…2 70-66＝4
從表 4-4 可看出，其中「計算錯誤」比率達六成以上。而「計算 錯誤」是和程序性知識有關。因此，學生運算錯誤最大的因素是，學 生的程序性知識不夠熟練。
研究者對此項結果不感到意外，因為本研究第一章已提到教育部
（2004）發佈的「數學銜接補強建議」，希望教師對學生提供更多去 情境之練習題，意即加強計算能力，原因便是學生的程序性知識仍有 不足。
另外，「抄錯數字」可能是學生疏於注意，或者是筆誤。「未計算」
者可能是學生生無法擬出解題計畫的問題，或者是擬出解題計畫後，
己無時間執行運算。「數字除不盡」者則應屬題目的數據問題，擬題 者未加以考慮所致，因此研究者特別單獨分類出來。以上三項是和程 序性知識無關，因此在本小節不加以討論。
表 4-4 運算失敗原因統計 次別 類別
錯誤原因
計算錯誤 抄錯數字 未計算 數字除不盡 合計
解題 1 1
第１次
擬解題 2 2
解題 4 4
第２次
擬解題 1 1 2
解題 0
第３次
擬解題 2 1 3
解題 1 1
第４次
擬解題 2 1 1 1 5
解題 2 2
第５次
擬解題 2 1 1 4
解題 6 1 1 8
第６次
擬解題 2 1 1 4
解題 2 2
第７次
擬解題 3 2 5
解題 1 1
第８次
擬解題 2 1 2 5
合計
30(63%) 5(10%) 9(19%) 4(8%) 48 註：上表中數字表示人數