♁
國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文
國小五年級擬題教學之研究
~以整數四則混合運算為例
研究生：吳進寶 撰 指導教授：梁淑坤 博士
中華民國九十四年一月
目 次
第一章 緒論
第一節 研究動機……….1
第二節 研究目的……….6
第三節 待答問題……….6
第四節 名詞釋義……….7
第二章 文獻探討
第一節 解題的相關理念…….……….…………8第二節 擬題和相關研究……….…………25
第三節 四則混合運算的教材內容………..………….………..44
第四節 資料分析的背景………..……….…………..49
第三章 研究方法
第一節 研究架構……….54第二節 研究工具……….57
第三節 研究對象……….………61
第四節 研究程序……….63
第五節 預試資料的分析……….65
第四章 結果與討論
第一節 學生的擬題作品類型和內容……….………73第二節 學生在擬題教學過程中的解題表現………85
第三節 學生對擬題教學的接受程度………97
第四節 教師在擬題教學過程中所遭遇的困難………99
第五章 結論與建議
第一節 結論……….…..101第二節 建議……….……..103
參考文獻
一、中文部份……….………105二、英文部份……….………108
附錄
附錄一 第一次解題學習單舉隅………..……….111附錄二 第二次解題學習單舉隅………..……….112
附錄三 第三次解題學習單舉隅………..……….113
附錄四 第四次解題學習單舉隅………..……….114
附錄五 第五次解題學習單舉隅………..……….115
附錄六 第六次解題學習單舉隅………..……….116
附錄七 第七次解題學習單舉隅………..……….117
附錄八 第八次解題學習單舉隅………..……….118
附錄十 第二次擬題學習單舉隅………..…..……….120
附錄十一 第三次擬題學習單舉隅………..…..……….121
附錄十二 第四次擬題學習單舉隅………..…..……….122
附錄十三 第五次擬題學習單舉隅………..…..……….123
附錄十四 第六次擬題學習單舉隅………..…..……….124
附錄十五 第七次擬題學習單舉隅………..…..……….125
附錄十六 第八次擬題學習單舉隅………..…..……….126
附錄十七 學習日記舉隅一………..…………..……….127
附錄十八 學習日記舉隅二………..…………..……….128
附錄十九 學習日記舉隅三………..…………..……….129
圖次
圖 2-1 Polya（1945）的解題歷程………..…..…….…….9圖 2-2 解題歷程圖示………..…..……….…….21
圖 2-3 解自己所擬的題目………..41
圖 2-4 學生的擬題過程………..………42
圖 2-5 擬題作品分類流程………..………51
圖 3-1 研究架構圖……….….……54
表次
表 2-1 Polya（1945）的解題歷程表……….…10
表 2-2 Schoenfeld（1985）的解題階段及相關問題表………14
表 2-3 Mayer（1992）的數學解題成份分析模式…………...19
表 2-4 解題歷程比較………..20
表 2-5 教育部歷年頒布的數學課程標準的目標………..22
表 2-6 南一版四則運算教學目標………..47
表 2-7 南一版各冊相關主題的教學目標………..48
表 2-8 擬題作品分類表………..49
表 2-9 解題表現的分類表………..52
表 3-1 擬題教學流程………..56
表 3-2 運算題型的題目表………..57
表 3-3 研究對象接受數學課程的情形………..62
表 3-4 預試的擬題作品內容分析表………..66
表 3-5 預試的解題成敗情形統計表………..69
表 4-1 擬題作品分類結果………..75
表 4-2 擬題作品內容分析表………..76
表 4-3 解題成敗情形統計表………….……….88
表 4-4 運算失敗原因統計………..96
國小五年級擬題教學之研究
~以整數四則混合運算為例
第一章 緒論 第一節 研究動機
傳統數學教學方式注重老師教、學生學的知識傳遞歷程，與今日 多元化的數學世界顯然是格格不入的，然而如何培養學生思考能力以 解決數學問題確實相當困難（施淑娟，1999）。尤其在傳統的數學教 室中，教師經常把課本或指引的題目，拿來示範解題給學生模仿（林 文生，1996），這樣的流程反反覆覆，學生就在「成功的模仿下學習」， 直到學會教師要傳授的「功夫」（梁淑坤，1997）。所以，數學教室裡 常只是一群學生認真模仿著老師的算法（劉祥通、周立勳，1999）。
如此的數學教育，實在無法提升學生的自發性思考能力，培養學生解 決問題的能力。
因此自民國八十五年實施的民國 82 年版國小數學課程，其教學 活動的重點在於讓孩子們透過討論與溝通，產生數學知識，解決問題
（周筱亭，1995）。因為在快速變遷的時代中，無法預測學生要學會 的是什麼形式的數學，況且學校數學教育不可能把學生們周遭所遇到 的問題全部都教過，所以培養學生的解題能力，乃為數學教育上極為
迫切的需要（林碧珍，1989）。
針對 82 年版國小數學課程的內容，周筱亭（1995）提出二項重 點說明：
1. 此次數學課程標準的修訂原則為：配合社會的需求、落實以學生 為本位的觀點、強調數學的解題活動。
2. 此次數學課程的重點為：將數學視為解題、將數學視為推理、將 數學視為溝通和數學的聯結。
由以上二點，可明顯看出 82 年版數學課程的改革動向，其學習 理論以建構主義為主，由發現轉向建構，強調由學生自己建構知識，
而不是被動接受知識（甯自強，1993）。落實以兒童為本位的觀點-- 只有在學童主動參與教學活動下，學習才會發生（黃敏晃，1995）。
既然建構主義取向的教學，提出了以「學習者的學習活動」為中 心的「建構式」教學主張，教師們的角色便須隨之改變，由傳統的「教 學者」改變為情境的「設計者」、學習者討論溝通的「協調者」，促進 學習者進行學習。因而在教學情境中，學生已成為主角，整個學習過 程中，他是知識的詮釋者、創造者及問題的探索者（張美珍，2002）。
因此從建構主義的觀點來看，教學者應需妥善運用教學策略，並考量
承如以上所討論的課程精神，國內外有許多學者提出建議，應該 讓學生由主動的建構過程中去學習數學，而提供學生在課堂中擬題的 機會，便是一項被推薦的教學方式（Kilpatrick, 1987；Krulik ＆ Rudnick, 1993；Silver ＆ Cai, 1993；梁淑坤，1994）。比起教科書中 或是教師所出的題目，學生們解自己所擬的題目的動機比較強烈，而 且 問 題若 是由 解題 者 所擬 出來 解題 的 動機 就會 很高 （ Brown ＆ Walter, 1993；梁淑坤，1994）。亦有學者提出採用擬題策略，是促進 建構學習的有效數學解題教學策略之一（施淑娟，1999）。
由以上所述，擬題與 82 年版數學課程精神是相符合的。另外，
在 82 年版之後的國民中小學九年一貫課程暫行綱要（教育部，2002）
中，數學學習領域課程目標第三條：「發展形成數學問題與解決數學 問題的能力。」其中「形成數學問題」意義同於「擬題」，「解決數學 問題」意思同於「解題」。由此可知，九年一貫課程的數學領域，重 視學生發展「擬題」和「解題」的能力培養，而擬題的精神正可符合 其課程目標的需求。
而在九年一貫課程目標（教育部，2002）的說明中亦提到「數學 學習活動應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造 力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社 會互動的過程中建立數學知識。」透過擬題的活動，正可以提供學生
一些討論、思考和想像的機會，藉以提昇學生的創造力，進而培養合 作及溝通表達的能力。
在擬題過程當中，學生必須以自己的數學觀點去思考周遭或日常 生活中的事物，然後透過個人的思考模式想出數學問題來，再以數學 知識和方法解決問題，如此，擬題是訓練一個人的數學思考，培養分 析問題、創造問題與解決問題能力的方法之一（楊惠如，2000）。
美 國 數 學 教 師 協 會 （ National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）則在課程與評量標準（NCTM, 1989：138）
提出「應讓學生在數學課中經驗、察覺和形成他們的問題（即擬題），
並以此作為教學的重心。」。同時 NCTM（1991：95）也建議「學生 應有機會從已知情境中形成問題，並藉由修正已知問題的條件中來創 造新的問題」。意即應該提供機會，讓學生擬他們自己的問題。
另外，由於九年一貫數學領域之課程綱要，於 2003 年 11 月 14 日正式發佈，並將於 94 學年度起，自一年級及七年級同步逐年實施。
因此 93 學年度一年級至六年級的學生，皆面臨國小階段與國中階 段，使用不同課程標準的狀況，為協助這些學生平順銜接二套課程標 準，教育部規劃銜接與補強計畫進行輔導（教育部，2004a）。其中「國 民中小學數學課程銜接補強建議」（教育部，2004a）在五年級下學期
應補強內容的第二項提到：「加強四則混合計算（不超過三步驟）在 處理情境問題與理解算式約定之後，提供更多去情境之練習題，藉以 熟練直式計算，計算數字不必太小，但在（1）的限制之內。」意即 整數四則混合運算，是需要銜接與補強的部份之一。
在教學實務中，研究者現任教對象為國小五年級學生，整數四則 混合運算是上學期數學的其中一個單元。根據研究者的實際了解，班 上學生學習意願普遍不佳，全班有三分之二的學生，評量結果較其他 單元低落許多。在上學期末學年會議中，有幾位同學年的教師也提出 類似的看法，引起了廣泛的討論。如今在「國民中小學數學課程銜接 補強建議」（教育部，2004a），亦有相同看法，認定學生在整數四則 混合運算這方面的不足，希望學生有整個學期的時間，可以練習及熟 悉，因此教師應該持續提供恰當之練習題。
基於上述理由，研究者因而產生研究動機--將整數四則混合運算 和擬題教學相結合，讓學生加深對問題情境結構的熟悉，自己形成數 學問題，自己解決數學問題，並且透過全班討論的進行，分享解題的 方法和擬題的成果，增加學習的樂趣。
第二節 研究目的
根據上述研究動機，本研究的研究目的如下：一、 分析學生擬題的作品類型和內容。
二、 探討學生在擬題教學過程中的解題表現。
三、 探討學生對擬題教學的接受程度。
四、 探討教學者在擬題教學過程中所遭遇的困難。
第三節 待答問題
根據以上四項研究目的，本研究的待答問題如下：
一、 學生的擬題作品出現那些類型和內容變化？
二、 學生在擬題教學過程中的解題表現為何？
三、 學生對擬題教學的感想有那些？
四、 教學者在擬題教學過程中遭遇那些困難？
第四節 名詞釋義
以下是本研究重要相關名詞，有「擬題」、「擬題的類型」、「擬題 的內容」和「解題表現」等四個。
一. 擬題
本研究是指「學生先解完教師提供的題目後，再以原題為基 礎，想出另一個類似的數學問題，學生可以改變數字、事物、問 題結構等。」
二. 擬題的類型
研究者採用國內學者梁淑坤（1999）所發展出的一套評量工 具（如表 2-8），將學生擬題的作品分類，再依此分類方式，進行 擬題作品類型的探討，如題目是否可行、資料是否充足等。
三. 擬題的內容
本研究的擬題作品內容分析，是先收集學生擬題的作品，再 和原題目比較差異，並依照數字、事物和題目結構等三方面，探 討學生如何改變原題目。
四. 解題表現
Mayer（1992）提出解題者需具備五種知識：語言知識、語 意知識、基模知識、策略知識和程序性知識。研究者將學生的解 題記錄，根據 Mayer 五種知識的分類方式，進行錯誤原因的解析。
第二章 文獻探討
本章內容分成四節，概要分述如下：第一節 探討數學解題的相關理念和教學策略。
第二節 探討擬題的相關研究，以及擬題對數學教育的重要性。
第三節 分析整數四則混合運算的教材內容。
第四節 說明本研究資料分析的背景。
第一節 解題的相關理念
在數學解題的研究領域中，Polya（1945）是最早提出數學解題 的歷程模式。其後繼的著名學者，例如 Schoenfeld（1985）加入後設 認知的觀點來看待解題，Mayer（1992）則是以心理學角度詮釋解題 的歷程，雖然是不同的觀點，然而大部份都以 Polya 為基礎，再發展 出各自的理論架構。
本節主要以前述三位學者的解題理論為核心，然後歸納解題的觀 點和教學策略。因此，內容分成以下五個部份：
一. 探討 Polya 的解題四階段。
二. 探討 Schoenfeld 的數學解題歷程模式。
三. 探討 Mayer 的數學解題歷程模式。
四. 歸納三位學者的理論。
一. Polya 的解題四階段
波蘭數學家 Polya（1945）在其所著《How to solve it》中，提出 將解題歷程分成四個階段（如圖 2-1）：
1.瞭解題意（Understand）：了解問題是問什麼？已知、未知的條件是 什麼？
2.擬定解題計畫（Plan）：找出未知數和已知數之間的關係，如果找不 著，就得考慮一些輔助問題，想辦法擬定解題的方法、策略和執行 步驟。
3.實行解題計畫（Carry out）：執行所擬定的計畫。
4.回顧解答（Look back）：檢驗解答的合理性，並鼓勵用不同方法求 解，或應用到別的問題。
圖 2-1 Polya（1945）的解題歷程
在實際進行解題時，不一定是依序直線進行的，有時需折返，有 瞭解題意
擬定解題計畫
實行解題計畫 回顧解答
時需繞圈子，才能達成「解決問題」的目的。在每一階段中，他也提 出許多相關的解題策略，稱之為捷思法（heuristic）策略，供學習解 題者參考。但這些捷思法，如同 Polya 自己在序文所說的，在當時並 不太流行，但是它的歷史很久，將來也許會被重視。有關 Polya 的解 題歷程內容，詳述如表 2-1。
當然在今日的數學教育研究當中，Polya 的解題歷程並不是一個 新的概念，在 80 年代，美國中小學的數學課程即以數學解題為主要 的導向，而且好些中小學教科書的編寫，也是以 Polya 的解題歷程作 為依歸（譚克平，1999）。由此可看出，Polya 的學說對數學教育確實 產生了影響，也應驗了他在書中序文的預言。
綜觀 Polya 的解題四階段歷程，可看出其中最明顯的特徵是，
Polya 將解題歷程視為「階段」。而 Polya 之後的學者，大都以 Polya 提出的解題四階段為基礎，再加以修改增刪。
表 2-1 Polya 的解題歷程表（Polya, 1945；引自閻育蘇，1993：12）
第一步
你必須弄清問 題
了解問題
未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？滿足 條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者 它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？畫張 圖。引入適當的符號。把條件的各個部份分開。你能 否把它們都寫下來？
接下頁
續上頁
第二步 找出已知 數與未知 數之間的 聯繫 如果找不 出直接的 聯繫，你就 可能不得 不考慮輔 助問題 你應該最 終得出一 個求解的 計畫
擬定計畫
你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不 同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能 用得上的定理？看看未知數！試想出一個具有相同未知 數或相似未知數的熟悉的問題。
這裏有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。
你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的 方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元 素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方 法重新敘述它？
回到定義去！
如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關 的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一 個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問 題？你能否解決這個問題的一部份？僅僅保持條件的一 部份而捨去其餘部份，這樣對於未知數能確定到什麼程 度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用 的東西？你能不能想出適於確定未知數的其他數據？如 果需要的話，你能不能想改變未知數或數據，或者二者 都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？
你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條 件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？
第三步 實行你的 計畫
實行計畫
實現你的求解計畫，檢驗每一步驟。你能否清楚的看出 這一步驟是正確的嗎？你能否證明這一步驟是正確的？
第四步 驗算所得 到的解
回顧解答
你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結 果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這結果或方 法用於其他的問題？
二. Schoenfeld 的數學解題歷程模式
Schoenfeld（1985）則認為在複雜的解題活動中，還需加入一些 高層次思考的方法，例如後設認知中的自我控制能力，此外也要考慮 到解題者對數學的信念等因素（譚克平，1999）。
因此，Schoenfeld（1985）著重在解題者心理活動，強調數學解 題要考慮四個變項：資源（resources）、捷思（heuristics）、控制（control）
和信念系統（belief system）。
資源是指解題者所具有相關的數學知識，包括數學事實、數學定 義、運算程序及相關技巧等。若缺乏資源，則解題活動將無法進行。
具有更多資源的解題者，解答正確的機會越高。
捷思是指捷思策略（heuristics strategies），例如畫表格、尋找組 型、簡化問題、猜測等。解題者若具有資源，缺乏適當的解題策略，
解題時仍會不知從何著手。而解題者可以從解題的經驗中，累積獲得 解題策略，之後對類似問題，便會運用解題策略來進行解題。
控制是指解題者如何決定解題計畫、如何選擇目標、如何採用策 略、監控和評估解題結果等。
信念系統是指解題者對於數學的觀點，此數學觀將會影響解題者
的行為。例如有些學生認為數學需要天分，無法靠後天的努力來增 強，在遇到解題失敗時，容易歸咎於本身的因素。有時遇上較耗費時 間的問題，也會放棄繼續作答。
Schoenfeld（1985）研究發現在這四個變項中，控制因素是處於 關鍵的重要地位。因為如何合理的運用資源、如何適當的採用捷思策 略，都是控制因素所主導的。因此他以控制因素的觀點，將解題歷程 分成六個階段，而且每一階段又可分為數個解題步驟（如表 2-2）：
1. 讀題（reading）：開始於解題者閱讀題目的時候，包括解題者為 求更了解題意時，複述題目中重要條件的情形。
2. 分析（analysis）：讀題後，了解問題的陳述，有系統的重新陳述 問題，尋找解題的方向。
3. 探索（exploration）：讀題後，也是尋找解題路徑。要注意的是：
分析和探索的差別是，分析通常較具有良好結構（well structured）
的形式，而探索比較不具良好的結構，所以分析可說是比較系統 化的找尋解題路徑。
4. 計畫（planning）：開始於從分析或探索階段獲得一解題路徑時，
依此路徑規劃解題步驟。
5. 執行（implement）：開始於計畫階段之後，將所規劃的解題步驟
逐一執行。
6. 驗證（verify）：檢驗答案合理性之驗算工作。
從表 2-2 中可發現 Schoenfeld 並沒有把計畫和執行做明顯劃分；
不過其中 PI1、PI2 和 PI3 三個步驟可視為計畫階段，PI4、PI5、PI6 三個步驟則是屬於執行階段。
另外在表 2-2 中，第六個階段是過渡（transition），此一階段的相 關問題，是作為判斷 Schoenfeld 以控制因素所分的六個階段相互轉換 的依據，亦即從一個階段轉到另一個階段時，這中間產生的解題行為。
表 2-2 Schoenfeld 的解題階段及相關問題表
（Schoenfeld, 1985；引自塗金堂，1996：301）
一、 讀題（reading）
R1：注意到問題所有條件嗎？條件是明顯的？或是模糊的？
R2：正確了解目標狀態嗎？目標狀態是明顯的？或是模糊的？
R3：是否評估解題者現有知識與問題的關係？
二、 分析（analysis）
A1：選擇什麼觀點？選擇是明顯的或是不明顯的？
A2：選擇問題條件採取行動嗎？
A3：根據問題目標採取行動嗎？
A4：條件和目標有何關聯？
A5：解題者的行動（A1-A4）合理嗎？
接下頁
續上頁
三、 探索（exploration）
E1：本階段是問題的條件導向？或目標導向？
E2：所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？
E3：有無監視行為？監視行為的有無對解答的結果有何影響？
E4：解題者所採取的行為是否合理？
四、 計畫--執行（planning-implementation）
PI1：是否有計畫行為？
PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？是否有良好架構？
PI3：受試者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？
PI4：執行是否依計畫有系統的進行？
PI5：是否在局部或整體層次評估執行？
PI6：評估之有無對結果的影響如何？
五、 驗證（verification）
V1：解題者是否重新檢查解答？
V2：有無考驗解答？如果有的話？如何考驗？
V3：有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？
六、 過渡（transition）
T1：對解題的當前狀態有無評估？若放棄一種解題途徑，是否企圖 利用其中有用的部份？
T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局部與整體影響 如何？所採行動適當而必要嗎？
T3：是否評估採取新途徑的短程或長程的影響？或直接跳入新的方 法？
T4：採用新途徑後有無評估短程及長程影響如何？行動是否適當而 必要？
比較 Schoenfeld 和 Polya 之間的差異，有二個發現：
首先，Schoenfeld 將「瞭解題意」區分成「讀題」、「分析」，將
「擬定解題計畫」區分成「探索」、「計畫」。他們都著重在探究數學 解題所經歷的階段，並詳述每個階段所採取的策略，只是 Schoenfeld 將各階段再加以細分。
其次，Schoenfeld 所提出的控制因素，和「後設認知」
（metacognition）有相當大的關連性。解題者在規劃、監控與調整解 題活動的表現越好，獲得正確答案的機會越大。Schoenfeld 加入的「後 設認知」概念，是 Polya 並未考慮到的。
雖然 Schoenfeld 對解題歷程的六個階段，都提出了一些相關問 題，但由於解題歷程是複雜的思考過程，要從外在的行為觀察加以劃 分，是不容易的。因此近年來，研究者常採用放聲思考法（thinking aloud），探討解題者表現的解題行為（塗金堂，1996）。它的實施程 序是，研究者在解題過程中，以錄音或錄影方式，將解題者口述的語 言記錄下來，再轉譯成原案（protocol），最後根據原案，進行分析解 題行為。
三. Mayer 的數學解題歷程模式
Mayer（1992）以心理學家的觀點，提出「問題」具有三個特徵：
「給予的條件狀態」、「目標」和「障礙」。他認為問題是個體從已知 的條件狀態，欲達到目標狀態時，因缺乏立即通往正確答案路徑，而 所處的一種情境。所謂解題，即是在符合限制條件的要求之下，用各 種可能方法，從已知條件狀態達到目標狀態的歷程。
Mayer（1987, 1992）把數學解題分為以下四個階段：
1. 問題轉譯：指將每一個陳述句轉譯為內在表徵，也就是去理解語 句之間的關係，將每一個陳述句加以解釋。
2. 問題整合：包括認識問題的類型和資料、決定解題所需要的資 料、用圖示或圖畫來表示問題等，即將資料整合而成一個問題表 徵。
3. 解題計畫和監控：想出及監控解題計畫。
4. 解題執行：運用演算法則進行計算。
而這四個階段可分成「問題表徵」和「問題解決」二大步驟：問 題表徵包含問題轉譯和問題整合兩個歷程；問題解決則包含計畫和監 控、執行兩個步驟。
Mayer 認為解題者需要具備五種知識：語言知識、語意知識、基
模知識、策略知識和程序性知識。其中，問題轉譯需要語言知識和語 意知識，問題整合需要基模知識，計畫和監控需要策略知識，執行解 題需要程序性知識。如果解題者在解題時，缺乏五種知識中的任何一 種，很可能就無法成功的解題。
他舉了一個地磚問題，說明解題時，會如何運用到這五種知識（如 表 2-3）：
1. 語言的知識，例如認字的能力。
2. 語意的知識，例如 1 公尺等於 100 公分、正方形的四邊是等長。
3. 基模的知識，例如長方形的面積等於長乘以寬。
4. 策略的知識，例如先設定子目標，算出房間的面積以及需要多少 磁磚，再算要花多少錢。
5. 程序性的知識，例如能做乘除法的計算。
Mayer 和 Schoenfeld 所關注的是，在解題歷程中影響解題者表現 的因素，是不同於 Polya 按階段解題的觀點。
另外，Mayer 認為解題者需具備的五種知識，和 Schoenfeld 提到 的「資源」變項相似，他重視解題者本身的條件，而將其列為解題歷 程考慮的因素。而且以往的數學教學，經常只強調獲得事實和程序性 的知識，而忽略了基模及策略的知識（鄭博信、劉曼麗、詹勳國，
2000）。Mayer 的觀點，正可以釐清這個現象。
表 2-3 Mayer 的數學解題成份分析模式（Mayer, 1992：459）
【原題】每邊長 30 公分的正方形磁磚，每塊售價 0.72 元，若要以此磁磚鋪滿 一間長 7.2 公尺，寬 5.4 公尺的長方形房間，需要花多少錢？
問題陳述階段 知識階段 地磚問題的例子
問題表徵 轉譯 整合
語言知識 語意知識 基模知識
房間是一個長 7.2 公尺 寬 5.4 公尺的長方形 1 公尺等於 100 公分 這是一個面積的問 題，而面積＝長×寬 首先，房間的面積是 7.2×5.4；其次，每塊 地磚的面積為 0.3×
0.3；然後，計算出鋪 滿整個房間所需的地 磚總數；最後，將所需 的地磚總數乘以
0.72，以求出總共要多 少錢？
7.2×5.4＝38.88 0.3×0.3＝0.09 38.88÷0.09＝432 432×0.72＝311.04 問題解決
計畫與監控 執行
策略知識
程序性知 識
答案
四. 解題理論的歸納
研究者嘗試依解題歷程所含成份的觀點，比較 Polya、Schoenfeld 和 Mayer 三位學者的解題歷程，整理如表 2-4：
表 2-4 解題歷程比較 學者
成份分析
Polya
（1945）
Schoenfeld
（1985）
Mayer
（1992）
對問題的察覺 9 9 9
數學知識和相關概念 9 9
問題表徵轉換 9
擬定策略 9 9 9
執行策略 9 9 9
察覺與監控 9 9
回顧解答 9 9
從上表中可看出，「對問題的察覺、擬定策略、執行策略」是三 人共同的看法，「數學知識和相關概念、察覺與監控問題」是 Schoenfeld 和 Mayer 提出的，Polya 和 Schoenfeld 是提出「回顧解答」，而「表徵 轉換」則是 Mayer 特別提出的。
研究者認為雖然三人的觀點有差異，但卻各有獨到的創見。研究
圖 2-2 解題歷程圖示
其中，就解題歷程而言，依序為：1.對問題的察覺Æ2.問題表徵 的轉換Æ3.擬定策略Æ4.執行策略Æ5.回顧解答。就解題者本身條件 而言，須具備數學知識和相關概念，以及屬於後設認知的察覺與監 控。研究者將依據 Mayer 數學知識的分類方式，解析學生在解題歷程 中前四個階段（1 到 4）的問題。至於察覺與監控，因其涉及心理層 面的活動，本研究不列入探討的範圍。
1.對問題的察覺
2.問題表徵轉換
3.擬定策略
4.執行策略
數學知識和相關概念
察覺與監控
5.回顧解答
五. 解題的教學策略
解題對數學教育而言，一直是重要的課題。從教育部歷年頒布的 數學課程標準的目標中（詳如表 2-5），不難發現解題在數學課程的重 要性。
表 2-5 教育部歷年頒布的數學課程標準的目標
數學課程標準 目標內容
民國 51 年版算術 課程標準（教育 部，1962）
總目標中第三條：「從處理日常生活中有關數 量問題，培育兒童基本數量知識，訓練計算技 能。」
民國 57 年版數學 暫行課程標準（教 育部，1968）
目標第一條：「從解決有關數量問題之經驗 中，訓練兒童解決家庭、學校、社會、日常生 活中有關數量問題之能力。」
民國 64 年版數學 課程標準（教育 部，1975）
總目標中第三條：「能運用數、量、形之間的 相互關係，及使用適當的數學語言，進而解決 日常生活中有關的問題。」
民國 82 年版數學 課程（教育部，
1993）
總目標中第二條：「養成從數學的觀點考慮周 遭事物，並運用數學知識與方法解決問題的能 力。」
民國 91 年版國民 中小學九年一貫 課程暫行綱要（教 育部，2002）
數學學習領域課程目標第三條：「發展形成數 學問題與解決數學問題的能力。」
民國 92 年版國民 中小學九年一貫 課程綱要（教育
數學學習領域課程目標第二條：「學習應用問 題的解題方法。」
其中出現的字眼雖有不同，例如：「處理日常生活中有關數量問 題」、「解決有關數量問題」、「解決日常生活中有關的問題」、「解決數 學問題」等，其意義卻和「解題」相去不遠。因此，歷年的數學課程 目標，確實凸顯了解題在數學課程的重要性，也期望能提升學生的解 題能力。
然而要提升學生的解題能力，需要有適當的解題教學策略。研究 者將幾位相關研究學者的看法摘要如下：
劉祥通（1996）基於數學寫作活動的內涵，提出八項解題的教學 策略：1.鼓勵學生留下解題痕跡以發展算則或符號的教學。2.讓學生 以自己的話表徵數學概念。3.要求學生說明自己的解題策略或困擾。
4.讓學生自創解題算則或程序。5.創造開放式的問題供學生組織答 案。6.要求學生列出解題的步驟與策略。7.要求學生練習擬題以加深 對問題結構的瞭解。8.以寫作活動配合調查活動、實測活動或造形活 動。
施淑娟（1999）從促進學生建構學習的觀點，提出數學解題的教 學策略：1.教導學生使用解題策略：協助瞭解問題、協助擬定與執行 計畫的策略、協助回顧與檢核的策略等。2.生活化、趣味化的佈題：
最好是學生自己的問題。3.搭配數學遊戲。4.結合數學寫作活動。5.
採用擬題策略。
塗金堂（1999）基於合作學習的精神，提出「合作--省思」的數 學解題教學法，其策略為：1.教師示範教學：教師口述解題時的思考 歷程，讓學生了解解題時，需要探索、分析的嘗試過程。2.小組合作 解題：二人一組共同解題，一人解題，另一人為協助者，藉由協助者 的幫忙，培養解題者的省思行為。3.全班成果分享：欣賞與比較別人 不同的解法，幫助學生省思自身的解題歷程。
綜合以上學者的解題教學策略，研究者歸納出重點如下：
1. 解題教學應以學生為主。
2. 鼓勵學生發表。
3. 發展學生自己的解題策略。
4. 學生應自我思考和省思。
5. 讓學生主動學習。
6. 擬題可作為促進解題的途徑之一。
其中第 6 項擬題可促進解題的教學策略，正是本研究中擬題教學 的重點：將整數四則混合運算和擬題教學相結合，讓學生加深問題情 境結構的熟悉，自己形成數學問題，自己解決數學問題，並且透過全 班討論的進行，分享解題的方法和擬題的成果，增加學習樂趣。
第二節 擬題和相關研究
本節針對「擬題」分成以下三個部份進行探討：一. 探討擬題的定義、特徵和方式。
二. 探討擬題在數學的相關研究。
三. 探討擬題和解題的關係。
一. 擬題的定義、特徵和方式
針對擬題的定義、特徵和方式，將分成三部份進行探討：
(一) 擬題的定義。
(二) 擬題的特徵。
(三)擬題的方式。
(一) 擬題的定義
擬題的定義究竟是什麼？以下是相關研究學者的看法：
1. Dillon（1982）：認為擬題是解題之後，尋找題目的過程。
2. Silver（1994）：認為擬題有二種方式，包括新問題的產生、
和由給予的問題而形成問題。
3. 梁淑坤（1994）：「自己想出一個數學題目來」，就是「擬題」。
4. Stoyanova and Ellerton（1996）：學生依據數學經驗的基礎，
建構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。
從以上學者的看法，可得知擬題和個人的數學經驗有關，特別是 有了解題的經驗，可將其應用在形成新問題上。因此，研究者依照這 種產生新問題的方式，將本研究的「擬題」界定為：「學生先解完教 師提供的題目後，再以原題為基礎，想出另一個類似的數學問題。」
(二) 擬題的特徵
對於擬題的特徵，國內學者梁淑坤（1994：153）曾提出看法：
1、 組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）。
2、 當中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）。
3、 可以發生在解題前，解題中，以及解題後（before，during，
and after problem solving）；擬題者把想出的題目寫出來時，
是較課本的題目「粗糙的」（primitive）。這些題目可能是非完 整性的（incomplete）；非可行性的（inplausible）；亦可能尚 欠足夠解題資料的（insufficient）。
由以上看法可知，擬題的結果可能會是粗糙、不完整的、不行的 或解題資料不足等，這和擬題者的數學經驗有關。根據 English（1997）
的研究發現，擬題能力強的學生，他們的數字計算能力並不強，但是 在特殊題目的解題表現佳；學生擬的題目具有複雜性，創造思考能力
甚為豐富。
因此，透過擬題的活動自然形成數學化的思考方式，擬題者可將 這些繁複的數學知識重新組織，並發現其系統性與關連性（林原宏、
許淑萍，2002）。另外，擬出正確問題和解決問題是同樣重要的，擬 出數學問題需從逆向角度去審視本身數學知識（Leung ＆ Silver, 1997）。若擬題者缺乏相關數學知識，是無法擬出問題的。
(三) 擬題的方式
有關擬題的方式，以下列舉幾位學者的看法：
1. Brown and Walter（1983：62）建議擬題應該有以下五個階段：
階段 0：選擇起點（Choosing a starting point）
這個起點可以是一種教材，也可以是一個數學定理。
階段 1：列出屬性（Listing attributes）
這個屬性是根據階段 0 的起點而來，無論這些屬性合不 合乎邏輯，都予以保留，因為不合邏輯的題目也可能產 生新的問題。
階段 2：假如不是（What-if-not）
此階段是階段 1 的屬性，再創造一個新題目。
階段 3：問問題或擬題（Question asking or problem posing）
將屬性改變之後，會產生新的屬性，尚未形成一個完整
的題目，藉著問「假如不是會如何」之後，再將這些屬 性經過有效的統整形成新的題目。
階段 4：分析題目（Analyzing the problem）
題目形成後，接下來就是解題。將題目分析完畢，可以 改變屬性，再創造新題目。如此一來，新的題目就可以 源源不絕，擬題、解題、擬題……，就可以依序循環下 去。
2. 1987 年日本小學教師坪田耕三在「生動的算術」一書中，提 出擬題的七個方法（引自梁淑坤，1994：164）：
A.模仿法或類題法：學習某問題後，擬出和此題同樣式的題 目。
B.算式法：提出一個公式，再擬出適用此公式的問題。
C.原理法：給與四則算法和通分等原理，擬出和此相對的題 目。
D.訂正法：擬出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是 給予其他不必要的條件，或擬出矛盾而再訂正的方法。
E.實驗法：實驗或以具體東西的操作，再以此現象為根基來 擬出問題。
F.自由法：以自由的題材，做成自由型式的問題。
G.題材法：依據給定的主題來擬題。
3. Moses, Bjork and Goldenberg（1993）提出將數學文字敘述分
為已知、未知、限制等三部份。改變題目的方法有：將已知 改為未知、增減條件限制、改變情節或單位，如此又可產生 新的問題來。Moses 等人並提出教導學生擬題的原則：
A.確認並改變限制，學生有將焦點放在已知、未知和限制上 嗎？
B.在學生熟悉的方式或領域中，鼓勵他們以不同的角度來看 問題，藉由改變問題的屬性或限制來產生新的問題。
C.使用語意不清的問題，鼓勵學生以猜測的方式，來創造新 的問題。
D.從低年級就教導兒童變化問題的觀念，鼓勵學生以不同的 方式來玩同一種遊戲。
4. Stoyanova and Ellerton（1996）將擬題分成三種情境：
A.結構（structured）的情境：學生可以利用現有的題目加以 改變。
B.半結構（semi-structured）的情境：學生利用先前的數學知 識、技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構的問題。
C.自由（free）的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由 發揮。
5. Cudmore and English（1998）認為學生擬題的階段分為：
A.產生資料。
B.全班資料調查。
C.討論和形成擬題的過程。
D.個人或小組資料調查。
E.個人或小組擬題。
F.試著解題。
G.寫下初稿的題目。
H.接受同儕的回饋。
I.寫下完成的題目。
6. 劉芳妃（1998）提出合作擬題的教學模式流程：
A.教學前準備。
B.進入新單元。
C.引起動機。
D.運用發問技巧提問。
E.小組討論、師生互動（溝通、講解）
F.例題講解及擬題示範。
G.隨堂練習、自我評量。
H.合作擬題活動。
I.小組解題（評估題目是否可解）。 J.各組上台呈現問題。
K.各組解他組題目。
L.教師講解。
由以上可知進行擬題的方式，有多樣性的選擇。研究者考量學生 是初次接觸擬題的活動，而且教材內容（四則混合運算）涉及多個運 算步驟，學生不易建構出問題情境，因此決定採用坪田耕三（1987）
的模仿法（類題法）。坪田耕三建議教師們，可以試著在解答一個問
題後，先不要急著結束，而以這個題目做基礎，要求學生們擬題。這 樣的話，老師會發現自己從未注意到的問題，而且會發現很多小孩活 潑的一面，對教材的看法也會改變。
而本研究的擬題教學，即以上述重點為主：由學生先自己解題，
並經由全班討論、發表解題過程，歸納解題的可能途徑；之後，以前 一題目為基礎，學生擬題後再自行解題；最後，發表挑選的擬題作品，
由全班進行討論分享。
二. 擬題在數學的相關研究
有關數學擬題的研究論述，在國內外均為數不少。現依國外、國 內之分，簡要敘述如下：
(一) 國外方面
美國數學教師協會（NCTM, 1989）在學校數學課程與評量標準 中，建議應該學生在數學課堂上，透過經驗、察覺和形成他們的問題
（即為擬題），並以此作為數學教育的重心，從事擬題活動，以增加 學生的解題樂趣。
Keil（1965）對 800 多位六年級學生作擬題教學研究，由另一位 教師擔任教學，每週一節課，共十六週的時間。提供和數學課本類似 的情境，讓學生從事擬題活動。結果發現，經歷過自行擬題及解自己 所擬題目的實驗組學生，在數學解題能力的表現上比只解課本題目的 控制組學生好，顯示擬題教學對解題能力有正面效果。
Stover（1982）引導六年級學生將已知的故事題，以圖形或添加 其他訊息、編排訊息來改寫。在研究過程中，寫作變成數學課程的一 部份。結果發現，學生經過這樣的訓練後，在解題表現有明顯的進步。
Brown and Walter（1983）在高等教育中研究擬題，在 The art of problem posing 一書中，說明如何在教學中加入擬題活動，使學生能
主動思考與學習。他們提出的擬題策略是「What-if-not」，鼓勵學生 在獲得答案後，第一步先接受答案，第二步再挑戰各種假設，想想情 況如果不是這樣的話，那麼答案又是如何，如此便又形成一個新的問 題。這個擬題策略即是屬於 Silver（1993）所說的：解題之後的擬題。
日本幾位主張「開放取向教學」（open approach teaching）的學者
（Nohda, 1984；Hashimoto, 1987），提出擬題能幫助學生更完整地分 析問題，對解題能力有幫助。
日本國小教師坪田耕三（1987）對國小一到六年級學生，進行開 放性問題教學。以學生剛解過的問題為基礎，鼓勵學生從原有問題中 再擬出問題來。如此學生不會認為找出一個答案後，問題就結束了，
而能藉由教師指導的方式，更改題目條件或數據，主動地發現問題和 分析問題。
澳大利亞教育學會（Australian Education Council）認為學生應該 學習如何擬題，並且試著解出自己所擬的題目（Stovanova & Ellerton, 1996）。
Skinner 是澳大利亞的一位教師，她將自己在幼稚園至國二年級 的教學經驗，寫成 What’s your problem 一書，分享她擬題教學的樂趣
（Skinner, 1990）。她強調上課用的問題，必須是自己擬出來的，而且 擬出的題目要動腦筋才能解出來，否則太容易的題目就達不到擬題教
學的效果。在上課過程中，她會技巧地引導學生擬出問題，並讓學生 有修改題目的機會。學生在解別人擬的題目時，有時會反問擬題者，
而擬題者從他人的疑問中，發現題目的漏洞或缺失，再加以修改，有 助於澄清自己的觀念。從這樣擬題與解題活動的互動情形，可證明幼 稚園和低年級學生也可學會自行擬題。
Winograd（1990）採分組方式，研究五年級學生在小組中分享擬 題和解題的活動，探討學生擬題的表現和困難、小組共同解題的行 為、以及擬題課程中學生的數學信念。Winograd 觀察 8 位學生的擬 題行為、17 位學生的合作擬題學習、訪談 25 位學生的數學信念。結 果發現，學生在擬題過程中，表現出多樣化的型態，學生在小組合作 學習中多以任務導向，完成擬題的學習活動，並在擬題過程中表現出 數學信念。Winograd 建議學生擬題的題目，可以成為教師佈題和教 材的來源。
Borba（1994）以 200 位八年級學生為研究對象，在九個星期的 課程中，每一小組必須選定一個主題，並且擬出一個題目，並由小組 成員合作去解他們所擬的題目。研究者透過觀察、訪談，以及學生的 數學日記來分析結果。結果發現，許多學生覺得透過擬題活動，讓他 們感受到對於學習的自主權，可以自由選擇自己有興趣的題材。但研 究者也發現，在小組擬題的過程中，教師必須適時的引導，才能讓學
生分工合作，完成小組的任務。
Schloemer（1994）採用「What-if-not」的擬題策略，教導大學生 學習高等代數，並將學生分成控制組和實驗組。他發現控制組和實驗 組在數學成就上並無顯著差異；在擬題能力方面，實驗組比控制組 佳；在數學態度的表現上，前後測結果顯示二組均下降。根據研究者 的結論解釋，實驗組已習慣原來的教材，當教師使用擬題的教學方 式，反而使他們在數學態度上產生負面的影響。
Silver、Mamona-domwns、Leung 和 Kenney（1996）研究 53 位 中學教師和 28 位職前教師，以個別擬題或合作擬題的方式，研究其 IP（Initial Posing）、PS（Problem Posing）、AP（Additional Posing）
等階段。結果發現，受試者在解題前擬的題目比在解題後擬的題目 多，而這種擬題能力可以影響教師將來教學時的佈題。
Leung 和 Silver（1997）嘗試建立擬題作品系統化分類的工具，
以 TAPP（Test Arithmetic Problem Posing）來測驗 63 位職前教師，結 果發現許多受試者都可以擬出「可行的」題目。
English（1997）以五年級和七年級學生為研究對象，建立發展實 驗的數學擬題課程專案，特別是研究不同能力組在擬題方面的表現。
結果發現，擬題能力強的學生，他們的數字計算能力並不強，但是在 特殊題目的解題表現佳；學生擬的題目具有複雜性，創造思考能力甚
為豐富。因此，English 認為要多鼓勵學生擬題，而學生應該學習擬 題並嘗試解自己擬的題目，如此一來，可提昇學生的解題能力和興趣。
English（1998）研究 54 位三年級學生的擬題能力，發現學生在 數概念以及解題能力方面，表現出不同的類型；在許多非例行性的情 境中，可以擬出多樣化的題目；但在加法和除法的類型中，學生所擬 的題目類型是傾向一致的，這可能是受到教材中例行性題目的影響，
使得學生思考產生固化。
Cai（1998）以 181 位美國六年級學生和 223 位中國六年級學生 為研究對象，進行跨文化的比較，探討其擬題和解題的認知分析。結 果發現，雖然中國學生在計算方面優於美國學生，但是在擬題方面卻 有許多相似處。
(二) 國內方面
梁淑坤（1995）以 65 位職前教師和 127 位在職教師為研究對象，
研究他們的擬題行為，以及三種擬題實驗形式（包含數值、文字敘述、
包含符號）對擬題之影響。結果發現，職前教與在職教師在擬題的數 量上並無差異；在三種形式中，有數值的形式較其他二種，容易為教 師們所接受；在文字敘述方面，教師們則自行提供資料、或擬出資料 不足、或甚至不可行的題目；在包含符號的形式方面，教師們依然傾
徐文鈺（1996）以 104 位國小五年級學生為研究對象，將學生分 合作擬題組、個別擬題組及控制組等三組。三組學生各接受為六週，
每週二次、每次約 40 分鐘的分數課程教學。結果發現，合作擬題組 在複雜的「部份/整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力、分數 擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性，效果均優於其二組；但在分數 概念的增進效果上，三組並無顯著差異；而合作擬題組擬題能力的變 通性，效果優於控制組，與個別擬題組並沒有差異。
孫秀芳（1997）研究國小二年級學生的加法擬題能力，以及學生 對擬題的認知程度。結果發現，大多數學生都具有擬題能力，學生所 擬出來的題目大都是熟悉的情境，並且確定擬題與解題的活動是相連 的。
劉芳妃（1998）以國中一年級的學生為研究對象，對數學課程的 擬題作業表現與活動，探討學生學習合作擬題時的情意層面和擬題能 力。結果指出，小組合作擬題活動可供學生數學概念的溝通機會，加 強社會化發展；在擬題的活動中，由觀摩別人的擬題後，提出自己的 看法，從中可以培養學生的批判能力。
林德宗（1999）在國小五年級數學教室中，探討擬題活動的應用。
結果發現，學生透過擬題活動，可以增進其對數學概念的理解，並且
協助學生將知識連結到日常生活經驗中；學生透過討論的過程，能修 正題目，學習接納同學的意見。
楊惠如（2000）以行動研究方式，探討擬題活動在數學教室中教 學的情況、困難和解決的方法。此研究經由「初試啼聲」階段的摸索，
到「漸入佳境」階段的轉型，最進入「步入軌道」階段，一共歷經三 個階段。雖然這三個階段的教學中，教師遭遇到許多教學上的困難，
其中包括教學準備、學生擬題、全班討論、共同評鑑等方面，但是透 過研究者的不斷反省與思考，尋求解決的方法，以實際的行動解決了 教學上的困難。
周幸儀（2002）以國小二年級學生為研究對象，透過合作擬題教 學活動，探討學生擬題學習歷程，以及擬題教學對學生的數學概念、
擬題能力、解題能力的增進效果。結果發現，透過擬題教學活動的實 施，學生在數學概念、擬題能力及解題能力的表現上，均有明顯的進 步。
莊美蘭（2003）以國中一年級的學生為研究對象，進行合作擬題 和個別擬題的教學活動，探討適合進行擬題活動的數學課程單元，以 及合作擬題和個別擬題的差異。結果發現，負數、體積、容積與容量 等較容易進行擬題教學活動；合作擬題的優點是可以透過同儕的互
動，提供討論機會，促進小組的學習，個別擬題則是讓同學激發個人 擬題的創意與實力，發現自己在數學概念的錯誤。
陳佩琦（2003）以國小一年級學生為研究對象，探討擬題教學的 實施情形。結果發現，學生的擬題、解題表現有明顯進步；擬圖畫題 或文字題，均優於擬算式題；擬題教學可增進解題教學。
林群雄（2004）以國小三年級學生為對象，透過行動研究方式，
探討教師的專業成長，瞭解擬題教學的困難和適用的擬題素材。結果 發現，教師引導討論的能力獲致成長，心態也轉為學生本位；學生也 能提升學習興趣、動機和自信。
由以上國外、國內相關的研究，可看出擬題已愈來愈受重視，在 數學教育的應用方式相當廣泛，更肯定擬題可以增進學生解題的表 現。探討擬題的相關研究後，研究者產生以下一些研究構想：
1. 就擬題的教材內容方面，整數四則混合運算是尚未出現的題 材，應是值得嘗試的內容。
2. 就擬題的方法而言，尚未見到坪田耕三類題法的相關實證研 究，而且研究者對此也感到興趣。
3. 就研究對象的背景而言，研究者的這一班學生在國小階段已 歷經三種課程標準（詳見第三章第三節），在擬題相關研究
中尚未出現過此類研究對象。
4. 就實施時間而言，研究者是利用彈性課程時間，配合該學期 課程銜接補強所安排的，並非佔用數學正課時間，和其他使 用數學課時間實施的研究不同。
三、擬題和解題的關係
本章第一節即已說明，Polya（1945）在《How to solve it》一書 中所提出的解題四階段：解題者要先瞭解題意（Understand），才能擬 定解題計畫（Plan），接著實行解題計畫（Carry out），最後回顧解答
（Look back）。
國內學者梁淑坤（1994）根據 Polya 的解題模式，以擬題（Pose）
代替瞭解題意（Understand），成為擬題的四個步驟，如圖 2-3：
圖 2-3 解自己所擬的題目（引自梁淑坤，1994：159）
從圖 2-3 可看出，解題者的工作順序為Æ先擬出題目Æ擬定解題 計畫Æ執行解題Æ回顧解答Æ再擬題。因為解題者亦是擬題者，他
（她）當然清楚題目的內容，馬上可以做策劃功夫，不用再理解他（她）
自己擬出的題目了。在解題時也許會想出新的題目來，然後再策劃、
再解題。再者解題後可將所得結果整理後再擬出題目來，這樣下去，
擬題
（Pose）
回顧
（Look back）
計畫
（Plan）
執行
（Carry out）
可以變成永無休止的擬題和解題活動（梁淑坤，1994：159）。
其後，林群雄（2004：15）參考 Polya（1945）的解題步驟和梁 淑坤（1994）的擬題步驟，自行依據實際上課經驗，將學生的擬題過 程呈現如下：
圖 2-4 學生的擬題過程（林群雄，2004：15）
林群雄認為在進行規劃解題策略時，解題者有時會發現題目條件 不足，便會回頭重新檢視題目或重新擬題，因此擬題和策劃之間，是 以「雙向箭頭」表示可以來回的過程。甚至有些解題者，在執行解題 步驟時，遇到窒礙難行之處，會重新規劃解題策略，若還是無法解題，
便會再檢視題目或重新擬題，再進行解題，因此策劃和執行之間，是 以「迴圈」表示二者是可以返回的過程。
回顧（Look Back） 策劃（Plan）
執行（Carry out）
解題失敗
解題成功
擬題（Pose）
English（1997）認為解題和擬題是明顯緊密相關的。一方面擬題 可從解題過程強烈提取，例如確認問題的關鍵要素，和彼此有關問 題；另一方面擬題可使學生超越解題過程的界限。
美國數學教師協會（NCTM, 1989）提出要求強調增加數學擬題 活動。坪田耕三（1987）認為擬題可以培養學生的創造力，適應現代 激烈變化的社會。
綜合上述的觀點可知，擬題與解題是相連性的活動（Brown &
Walter, 1983）。擬題教學的作用，可以擴展學生重要數學概念的了解，
改善學生解題的方法（Stoyanova & Ellerton, 1996）。而 English（1997）
提出了鼓勵擬題活動的理由，其中有一項是：「不但能提高兒童解題 能力，而且強化基本概念。」亦是說明擬題和解題的密切關係。所以，
從擬題可以促進解題的觀點來看，教師應該增加學生擬題的機會，以 提升學生解題的能力和興趣。
第三節 四則混合運算的教材內容
本節是說明四則混合運算的教材內容，以下分成二個部份。首先 是說明四則混合運算的產生，再來分析四則混合運算的教材內容。
一. 四則混合運算的產生
國內學者謝堅（2000：79）對四則混合運算的產生和解題形成的 共識，曾做了以下的說明：
針對第一個問題，本課程（82 版）認為四則運算混合計算問題，是 用來記錄多步驟文字題的題意或解題計畫的，是另一種形式的文字題；學 童將多步驟文字題改用比較方便的算式填充題重新表徵後，再去求算式填 充題（也就是原文字題）的答案。四則混合計算問題不是當我們解題成功 後，再將解題過程改用一個算式記錄，並要求重新再算一次答案。
針對第二個問題，本課程認為產生併式時，人們先形成由左往右依次 運算的共識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發生混淆時，為了要區別先 算什麼，後算什麼，才使用括號來標示先算的部份，形成先算括號部份的 共識；當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時，為了要減少使 用括號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號最 多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用。
由以上的說明，研究者歸納出二項要點：
(一) 學生開始解題時，會因為記錄解題計畫，而產生多個算式；
之後，再透過併式的方式，簡化成一個多步驟的算式填充題。
(二) 解四則混合計算時，形成約定的共識是：由左而右依序運算；
括號內的先算；先乘、除，後加、減。
因此，學生在整數四則混合運算解題時，有三個關鍵：
1. 學生能否產生多步驟文字題的解題計畫？
2. 學生會不會將多個算式併式簡化成一個算式填充題？
3. 併式之後的算式填充題，學生知道如何解答嗎？
二. 教材內容的分析
本研究教材內容係參考自南一版國小數學第九冊（南一，2000）
主題八「地下街」四則計算的第二、三項教學目標（詳見表 2-6），其 內容分別是：
第 2 項：知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡化算式。
第 3 項：知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式及簡化 算式。
其中「由左而右」和「先乘除後加減」是本研究所指的「數學知 識」，是屬於 Mayer 所說的程序性知識。
另外，對照第七（四上）、第八（四下）、第九冊（五上）相關主 題的教學目標（詳見表 2-7），可發現在四年級上學期的數學（第七 冊），已開始進入兩步驟的問題，在五年級上學期的數學（第九冊）
則是發展至多步驟問題。
因此，本主題教材含有二個面向的交織；一是四則運算的混合，
例如：加減混合、乘除混合、加（減）乘（除）混合、四則混合等；
另一是運算步驟的增加，例如兩步驟、三步驟等。而本研究工具--運 算題型的題目表（表 3-2），即是根據上述二個面向編製而成的。
表 2-6 南一版四則運算教學目標 單元名稱：八、地下街
教材內容：整數、四則運算（數與計算、關係）
1.復習解決生活情境中兩步驟的問題。（N-2-2）
1-1 能解決生活情境中有關加減的兩步驟問題。
1-2 能解決生活情境中有關乘除的兩步驟問題。
1-3 能解決生活情境中有關四則的多步驟問題。
2.知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡化算式。
（N-2-17）
2-1 能把加減兩步驟的紀錄併成一個算式。
2-2 從生活情境中，知道只有加減的運算時，是由左而右進行計算。
2-3 能把乘除兩步驟的紀錄併成一個算式。
2-4 從生活情境中，知道只有乘除的運算時，是由左而右步進行計 算。
3.知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式及簡化算式。
（N-2-17）
3-1 能把加（減）乘（除）兩步驟的紀錄併成一個算式。
3-2 從生活情境中，知道加（減）乘（除）運算，是先乘（除）後 加（減）進行計算。
3-3 能把四則多步驟的記錄併成一個算式。
3-4 從生活情境中，知道四則運算是先乘除後加減進行計算。
4.能在情境中，理解結合律。（N-2-15）
4-1 從不同的解法中，察覺加法的結合律。
4-2 能在情境中，理解加法的結合律。
4-3 從不同的解法中，察覺乘法的結合律。
4-4 能在情境中，理解乘法的結合律。
5.能在情境中，理解乘法對加法的分配律。（N-2-15）
5-1 從不同的解法中，察覺乘法對加法的分配律。
5-2 能在情境中，理解乘法對加法的分配律。
表 2-7 南一版各冊相關主題的教學目標
領域 主題（教材） 教學目標（能力指標編號）
數與計算、代數
第七冊主題一 百貨公司
（一萬以內的數、
算式填充題、加減 直式紀錄）
1.能將情境中的問題表徵為加法、減法算式填充題。
（A-2-1）
2.能理解加法和減法直式算則。（N-2-3）
7.延伸加、減與情境的意義，使能適用來解決更多的 生活情境問題。（N-2-2）
數與計算、代數、量與實測
第七冊主題六 愛心園遊會
（算式填充題、
乘、除、找規律）
1.能將情境中的問題表徵為加法、減法算式填充題，
並能解釋式子與原來問題情境的關係。（A-2-1）
2.能透過具體表徵，解決從生活情境問題中所列出的 加法、減法算式填充題。（A-2-2）
5.解決生活情境中的乘法問題。（N-2-2）
6.解決生活情境中的除法問題。（N-2-2）
8.解決生活情境中的兩步驟問題。（N-2-2）
數與計算
第八冊主題一 電器館
（十萬以內的數、
四則運算）
3.延伸加、減、乘、除情境的意義，使能適用來解決 更多的生活情境問題並用計算器械處理大數（十萬 以內）的計算。
數與計算、代數
第八冊主題五 節約能源
（乘和除、算式填 充題）
1.能將情境中的問題表徵為乘法、除法算式填充題，
並能解釋式子與原問題情境的關係。（A-2-1）
2.能透過具體表徵，解決從生活情境中所列出的乘 法、除法算式填充題。（A-2-2、N-2-2）
4.知道連乘或連除的約定，並能用來列式及簡化式 子。（N-2-16）
5.能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化 式子。（N-2-16）
數與計算、關係
第九冊主題八 地下街
（整數、四則運算）
1. 復習解決生活情境中兩步驟的問題。（N-2-2）
1-3 能解決生活情境中有關四則的多步驟問題。
（N-2-17）
2. 知道併式由左而右運算的約定，並能用來列式及簡 化算式。（N-2-17）
3. 知道併式先乘除後加減運算的約定，並能用來列式 及簡化算式。（N-2-17）
第四節 資料分析的背景
本節分成二方面，說明資料分析的背景：第一是國內學者梁淑坤
（1999）所發展出的擬題分類評量工具，另一方面則是國外學者 Mayer（1992）提出解題者需具備的五種知識分類方式。
一. 擬題分類
在本章第二節擬題相關研究中，研究者認為國內學者梁淑坤
（1999）所發展出的一套評量工具，定義清楚且分類完整，適合作為 本研究學生擬題作品的分類方式。此項評量工具（如表 2-8），將學生 擬題的作品分成 5 類，以「1」至「5」代號編碼。再依此分類方式，
進行內容的探討。此處分類的數字「1」至「5」，是表示「次序量尺
（ordinal）」，而不是「等距量尺（interval）」或「等比量尺（ratio）」
的意思。
表 2-8 擬題作品分類表（梁淑坤，1999：204）
題目類 分類 非題目類 可行的
非數學 不可行
資料不足 資料適中 資料超過
編碼 1 2 3 4 5 5
雖然此分類方式非等比制，亦即「4」並不是「2」的二倍，但 仍可以作為題目好壞程度的高低評比。研究者依此分類方式，進行
擬題作品類型的探討，如題目是否可行、資料是否充足等。
分類的流程（如圖 2-5）說明如下：
1. 先考慮擬題作品是否為題目，若不是，則是屬於第一類「非 題目」。例如：教室長 10 公尺，有 6 個窗戶。Æ只是敘述的 語句，並不是題目。
2. 若是題目，再考慮是否為數學題目，若不是，則是屬於第二 類「非數學」。例如：跳繩有 20 公分，可以切開來使用嗎？
Æ雖有提問，但不能算是數學題目。
3. 若是數學題目，再考慮是否可行，若不合邏輯或相互矛盾，
則是屬於第三類「不可行」。例如：妹妹體重 10 公斤，爸爸 體重 5 公斤，二人差多少公斤？Æ爸爸的體重不合常理，是 是不可行的題目。
4. 若是可行的數學題目，再考慮資料是否充足，若是資料不 足，則是屬於第四類「資料不足」。例如：糖每公斤 18 元，
阿忠付了 200 元，還剩下多少元？Æ缺少阿忠買糖多少公斤 的資料。
5. 若是資料適中或超過，則是屬於第五類「資料適中」或「資
的面積是多少？Æ資料有超過，因為正方形本來就有四個 邊。
圖 2-5 擬題作品分類流程（梁淑坤，1999：205）
擬題答案
非題目（1）
題目
非數學（2）
數學
不可行（3）
可行
資料不足（4） 資料超過（5）
資料適中（5）
