擬題和相關研究

一. 探討擬題的定義、特徵和方式。

二. 探討擬題在數學的相關研究。

三. 探討擬題和解題的關係。

一. 擬題的定義、特徵和方式

針對擬題的定義、特徵和方式，將分成三部份進行探討：

(一) 擬題的定義。

(二) 擬題的特徵。

(三)擬題的方式。

(一) 擬題的定義

擬題的定義究竟是什麼？以下是相關研究學者的看法：

1. Dillon（1982）：認為擬題是解題之後，尋找題目的過程。

2. Silver（1994）：認為擬題有二種方式，包括新問題的產生、

和由給予的問題而形成問題。

3. 梁淑坤（1994）：「自己想出一個數學題目來」，就是「擬題」。

4. Stoyanova and Ellerton（1996）：學生依據數學經驗的基礎，

建構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。

從以上學者的看法，可得知擬題和個人的數學經驗有關，特別是 有了解題的經驗，可將其應用在形成新問題上。因此，研究者依照這 種產生新問題的方式，將本研究的「擬題」界定為：「學生先解完教 師提供的題目後，再以原題為基礎，想出另一個類似的數學問題。」

(二) 擬題的特徵

對於擬題的特徵，國內學者梁淑坤（1994：153）曾提出看法：

1、 組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）。

2、 當中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）。

3、 可以發生在解題前，解題中，以及解題後（before，during，

and after problem solving）；擬題者把想出的題目寫出來時，

是較課本的題目「粗糙的」（primitive）。這些題目可能是非完 整性的（incomplete）；非可行性的（inplausible）；亦可能尚 欠足夠解題資料的（insufficient）。

由以上看法可知，擬題的結果可能會是粗糙、不完整的、不行的 或解題資料不足等，這和擬題者的數學經驗有關。根據 English（1997）

的研究發現，擬題能力強的學生，他們的數字計算能力並不強，但是 在特殊題目的解題表現佳；學生擬的題目具有複雜性，創造思考能力

甚為豐富。

因此，透過擬題的活動自然形成數學化的思考方式，擬題者可將 這些繁複的數學知識重新組織，並發現其系統性與關連性（林原宏、

許淑萍，2002）。另外，擬出正確問題和解決問題是同樣重要的，擬 出數學問題需從逆向角度去審視本身數學知識（Leung ＆ Silver, 1997）。若擬題者缺乏相關數學知識，是無法擬出問題的。

(三) 擬題的方式

有關擬題的方式，以下列舉幾位學者的看法：

1. Brown and Walter（1983：62）建議擬題應該有以下五個階段：

階段 0：選擇起點（Choosing a starting point）

這個起點可以是一種教材，也可以是一個數學定理。

階段 1：列出屬性（Listing attributes）

這個屬性是根據階段 0 的起點而來，無論這些屬性合不 合乎邏輯，都予以保留，因為不合邏輯的題目也可能產 生新的問題。

階段 2：假如不是（What-if-not）

此階段是階段 1 的屬性，再創造一個新題目。

階段 3：問問題或擬題（Question asking or problem posing）

將屬性改變之後，會產生新的屬性，尚未形成一個完整

的題目，藉著問「假如不是會如何」之後，再將這些屬 性經過有效的統整形成新的題目。

階段 4：分析題目（Analyzing the problem）

題目形成後，接下來就是解題。將題目分析完畢，可以 改變屬性，再創造新題目。如此一來，新的題目就可以 源源不絕，擬題、解題、擬題……，就可以依序循環下 去。

2. 1987 年日本小學教師坪田耕三在「生動的算術」一書中，提 出擬題的七個方法（引自梁淑坤，1994：164）：

A.模仿法或類題法：學習某問題後，擬出和此題同樣式的題 目。

B.算式法：提出一個公式，再擬出適用此公式的問題。

C.原理法：給與四則算法和通分等原理，擬出和此相對的題 目。

D.訂正法：擬出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是 給予其他不必要的條件，或擬出矛盾而再訂正的方法。

E.實驗法：實驗或以具體東西的操作，再以此現象為根基來 擬出問題。

F.自由法：以自由的題材，做成自由型式的問題。

G.題材法：依據給定的主題來擬題。

3. Moses, Bjork and Goldenberg（1993）提出將數學文字敘述分

為已知、未知、限制等三部份。改變題目的方法有：將已知 改為未知、增減條件限制、改變情節或單位，如此又可產生 新的問題來。Moses 等人並提出教導學生擬題的原則：

A.確認並改變限制，學生有將焦點放在已知、未知和限制上 嗎？

B.在學生熟悉的方式或領域中，鼓勵他們以不同的角度來看 問題，藉由改變問題的屬性或限制來產生新的問題。

C.使用語意不清的問題，鼓勵學生以猜測的方式，來創造新 的問題。

D.從低年級就教導兒童變化問題的觀念，鼓勵學生以不同的 方式來玩同一種遊戲。

4. Stoyanova and Ellerton（1996）將擬題分成三種情境：

A.結構（structured）的情境：學生可以利用現有的題目加以 改變。

B.半結構（semi-structured）的情境：學生利用先前的數學知 識、技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構的問題。

C.自由（free）的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由 發揮。

5. Cudmore and English（1998）認為學生擬題的階段分為：

A.產生資料。

B.全班資料調查。

C.討論和形成擬題的過程。

D.個人或小組資料調查。

E.個人或小組擬題。

F.試著解題。

G.寫下初稿的題目。

H.接受同儕的回饋。

I.寫下完成的題目。

6. 劉芳妃（1998）提出合作擬題的教學模式流程：

A.教學前準備。

B.進入新單元。

C.引起動機。

D.運用發問技巧提問。

E.小組討論、師生互動（溝通、講解）

F.例題講解及擬題示範。

G.隨堂練習、自我評量。

H.合作擬題活動。

I.小組解題（評估題目是否可解）。 J.各組上台呈現問題。

K.各組解他組題目。

L.教師講解。

由以上可知進行擬題的方式，有多樣性的選擇。研究者考量學生 是初次接觸擬題的活動，而且教材內容（四則混合運算）涉及多個運 算步驟，學生不易建構出問題情境，因此決定採用坪田耕三（1987）

的模仿法（類題法）。坪田耕三建議教師們，可以試著在解答一個問

題後，先不要急著結束，而以這個題目做基礎，要求學生們擬題。這 樣的話，老師會發現自己從未注意到的問題，而且會發現很多小孩活 潑的一面，對教材的看法也會改變。

而本研究的擬題教學，即以上述重點為主：由學生先自己解題，

並經由全班討論、發表解題過程，歸納解題的可能途徑；之後，以前 一題目為基礎，學生擬題後再自行解題；最後，發表挑選的擬題作品，

由全班進行討論分享。

二. 擬題在數學的相關研究

有關數學擬題的研究論述，在國內外均為數不少。現依國外、國 內之分，簡要敘述如下：

(一) 國外方面

美國數學教師協會（NCTM, 1989）在學校數學課程與評量標準 中，建議應該學生在數學課堂上，透過經驗、察覺和形成他們的問題

（即為擬題），並以此作為數學教育的重心，從事擬題活動，以增加 學生的解題樂趣。

Keil（1965）對 800 多位六年級學生作擬題教學研究，由另一位 教師擔任教學，每週一節課，共十六週的時間。提供和數學課本類似 的情境，讓學生從事擬題活動。結果發現，經歷過自行擬題及解自己 所擬題目的實驗組學生，在數學解題能力的表現上比只解課本題目的 控制組學生好，顯示擬題教學對解題能力有正面效果。

Stover（1982）引導六年級學生將已知的故事題，以圖形或添加 其他訊息、編排訊息來改寫。在研究過程中，寫作變成數學課程的一 部份。結果發現，學生經過這樣的訓練後，在解題表現有明顯的進步。

Brown and Walter（1983）在高等教育中研究擬題，在 The art of problem posing 一書中，說明如何在教學中加入擬題活動，使學生能

主動思考與學習。他們提出的擬題策略是「What-if-not」，鼓勵學生 在獲得答案後，第一步先接受答案，第二步再挑戰各種假設，想想情 況如果不是這樣的話，那麼答案又是如何，如此便又形成一個新的問 題。這個擬題策略即是屬於 Silver（1993）所說的：解題之後的擬題。

日本幾位主張「開放取向教學」（open approach teaching）的學者

（Nohda, 1984；Hashimoto, 1987），提出擬題能幫助學生更完整地分 析問題，對解題能力有幫助。

日本國小教師坪田耕三（1987）對國小一到六年級學生，進行開 放性問題教學。以學生剛解過的問題為基礎，鼓勵學生從原有問題中 再擬出問題來。如此學生不會認為找出一個答案後，問題就結束了，

而能藉由教師指導的方式，更改題目條件或數據，主動地發現問題和 分析問題。

澳大利亞教育學會（Australian Education Council）認為學生應該 學習如何擬題，並且試著解出自己所擬的題目（Stovanova & Ellerton, 1996）。

Skinner 是澳大利亞的一位教師，她將自己在幼稚園至國二年級 的教學經驗，寫成 What’s your problem 一書，分享她擬題教學的樂趣

（Skinner, 1990）。她強調上課用的問題，必須是自己擬出來的，而且 擬出的題目要動腦筋才能解出來，否則太容易的題目就達不到擬題教

學的效果。在上課過程中，她會技巧地引導學生擬出問題，並讓學生 有修改題目的機會。學生在解別人擬的題目時，有時會反問擬題者，

而擬題者從他人的疑問中，發現題目的漏洞或缺失，再加以修改，有 助於澄清自己的觀念。從這樣擬題與解題活動的互動情形，可證明幼 稚園和低年級學生也可學會自行擬題。

Winograd（1990）採分組方式，研究五年級學生在小組中分享擬 題和解題的活動，探討學生擬題的表現和困難、小組共同解題的行 為、以及擬題課程中學生的數學信念。Winograd 觀察 8 位學生的擬 題行為、17 位學生的合作擬題學習、訪談 25 位學生的數學信念。結 果發現，學生在擬題過程中，表現出多樣化的型態，學生在小組合作 學習中多以任務導向，完成擬題的學習活動，並在擬題過程中表現出 數學信念。Winograd 建議學生擬題的題目，可以成為教師佈題和教 材的來源。

Borba（1994）以 200 位八年級學生為研究對象，在九個星期的 課程中，每一小組必須選定一個主題，並且擬出一個題目，並由小組 成員合作去解他們所擬的題目。研究者透過觀察、訪談，以及學生的 數學日記來分析結果。結果發現，許多學生覺得透過擬題活動，讓他 們感受到對於學習的自主權，可以自由選擇自己有興趣的題材。但研 究者也發現，在小組擬題的過程中，教師必須適時的引導，才能讓學