案例 １６ 用向量方法研究距离问题
【目的】针对距离问题，通过几种研究方法的比较，提炼解决问
题的通性通法。在教师指导下，学生经历梳理知识、提炼方法、感
悟思想的研究过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。这
样的教学可以为空间向量与立体几何的复习课提供素材。
【情境】在 “几何与代数”内容的阐述中强调： “通过几何图形
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３
１
建立直观，通过代数公式表达规律。”正如希尔伯特所说
［ １ ］
：算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图象化的公式。没 有一个数学家能缺少这些图象化的公式，正如在数学演算中他们不 能不使用加、脱括号的操作或其他的分析符号一样。
距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很 好的载体。在基础教育阶段涉及的距离问题主要有：两点间距离，
点到直线距离，平行线之间距离，点到平面距离，直线到平面距离，
平行平面之间距离，异面直线之间的距离 （选修）。
计算距离可以用综合几何方法，也可以用解析几何方法，还可
以用向量方法。
教学片段
１
梳理求平面上点到直线距离的几种方法。综合几何方法。给定过点
犃
，犆
的直线犾
，犅
为直线犾
外一点，求点
犅
到直线犾
的距离。因为过点犃
，犅
，犆
可以得到一个平面上的三角形，因此求距离就等价于求三角形的高。基本思路是：用余弦
定理确定
∠ 犃
，再用正弦函数值求出犃犆
边上的高。解析几何方法。建立平面直角坐标系，确定点
犅
的坐标和过点犃
，犆
的直线犾
的方程，然后求点犅
到直线犾
的距离。基本思路是：求与直线
犾
垂直的直线的斜率，再求过点犅
的点斜式直线方程，最后求这两条相互垂直直线的交点。交点与点
犅
的距离就是点犅
到直线
犾
的距离。向量方法。建立平面直角坐标系，确定点
犅
的坐标和过点犃
，犆
的直线
犾
的法向量，求点犅
到直线犾
的距离。基本思路是：求向量犃犅 →
到法向量的投影向量，投影向量的长度就是所要求的距离。教学片段
２
比较求点到平面距离和求两条异面直线距离的向量 方法。７ ３ １
［ １ ］
摘自希尔伯特１９００
年在巴黎第二届国际数学家代表大会上演说《
数学问题》，
刊在
《
美国数学会通报》
卷８ ， １９０２ 。
译文参见：
康斯坦丝·瑞德．
希尔伯特：
数学世界的亚历山大
［ Ｍ ］ ．
袁向东，
李文林，
译．
上海：
上海科学技术出版社， ２００３ ： １１６．
点到平面距离。用向量方法求点
犅
到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点
犃
，求向量犃犅 →
到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离。
异面直线距离。用向量方法求异面直线距离基本思路：求出与
两条直线的方向向量都垂直的法向量；在两条直线上分别取点
犃
和犅
，求向量犃犅 →
到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离。
【分析】对于上述两个片段，可以归纳出下面的结论。
片段
１
通过处理距离问题三种方法的对比，可以知道垂直反映了距离的本质，垂直意味着线段长度最短，借助勾股定理可以直观、
准确地揭示这个本质，两点间距离公式以及向量投影都可以看作是 勾股定理的应用。可以让学生在比较的过程中分析不同方法的共性 与差异，进而发现解决问题的关键。
片段
２
无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的 最为直观的表达形式，法向量的方向和法向量上投影向量的长度既 体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画。在这个过程中，向量与起点无关的自由性为求距离带来很大的便利。归纳用向量研究
上述距离问题的方法，可以得到通性通法，即程序思想方法：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度。
通过以上分析，可以体会借助几何直观的必要性：可以启发运
算思路，甚至可以得到解决问题的程序。程序思想方法具有解决一 类数学问题的功能，是计算 （特别是运用计算机进行计算）的基本
思想方法。
【拓展】引导学生用向量方法给出空间所有距离问题的求解程 序，并引导学有余力的学生查阅高等数学中有关的距离问题。
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１
案例 １７ 二项式定理
【目的】根据多项式相乘的运算法则，探索二项式定理的构造性 证明，体会运算法则的作用。感知运算是一种严格的逻辑推理，通
过一般性运算可以发现和提出命题，掌握推理的基本形式和规则，
探索和表述论证过程，发展数学运算素养。
【情境】探索二项式定理的构造性证明。
【分析】首先，让学生分析得到公式
（ ） 犪 ＋ 犫
２＝ 犪
２＋２ 犪犫 ＋ 犫
２的运算过程。
（ ） 犪 ＋ 犫
２＝ （ ） 犪 ＋ 犫 （ ） 犪 ＋ 犫
＝ （ ） 犪 ＋ 犫 犪 ＋ （ ） 犪 ＋ 犫 犫
＝ 犪
２＋ 犫犪 ＋ 犪犫 ＋ 犫
２＝ 犪
２＋２ 犪犫 ＋ 犫
２。中间的两个步骤利用 “乘法对加法分配律”，得到的每一项都是
关于
犪
，犫
的二次项；最后一步利用 “乘法交换律”合并同类项。在此基础上，还可以进一步分析得到
（ ） 犪 ＋ 犫
３公式的运算过程，中间步骤得到的每一项都是关于
犪
，犫
的三次项；最后一步依然利用 “乘法交换律”合并同类项。尝试让学生归纳出多项式相乘的规律，然后
运用规律推出二项式定理。例如下面的过程。