3. 模型與假設
3.5 均數回歸季節性與跳躍模型
Benth et al. (2003)提出了均數回歸模型加入季節性和跳躍項，用以描述能源 價格除了有隨季節性變化外，在市場上的重大事件也會影響能源價格的變動。
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T t *(1 T t) tT T s sQ T T s s tY T g T Y t g t e m e
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e JdN模型中即期價格變動具有均數回歸特性，且長期平均水準會隨著時間變化，
加入跳躍項的部分則可以描述當能源市場遇到重大事件時價格的劇烈變動。
3.6 模型假設
本 文 在 完 美 市 場 (Perfect Market) 與 市 場 無 套 利 機 會 (No Arbitrage Opportunity) 的假設之下，推衍不同動態模型下的期貨選擇權價格。根據財務 經濟學第一基本定理，若市場中不存在套利機會，若且為若存在一個風險中立 測度。因此本文在無套利市場的假設下，求解標的資產在風險中立測度下之現 值EQ[S FT t]作為期貨價格F t T( , )，在不考慮倉儲成本、便利報酬率與資產價格 變動所帶來的額外收入時，可交易資產的報酬率應為無風險報酬率，因此期貨 價格為F t T( , )S e0 r T t( )，否則將出現套利的機會；然而在標的資產動態為一均 數回復過程時，風險中立測度之下的遠期價格將不再只是單純考慮以無風險利 率作為報酬率，我們依循 Schwartz (1997)與 Bjerksund and Ekern (1995)之評價方 法，透過市場風險價格的調整，以求得風險中立測度之下的標的資產動態過程 與遠期價格，再進一步求解期貨價格。
另外，本文參照 Merton (1976)所提出的跳躍擴散模型，我們假設價格跳躍 為可分散的非系統性風險，且跳躍過程之分配與標的資產的布朗運動項獨立，
亦即跳躍過程為一不可預測的事件，根據 Dritschel and Protter (1999)與 Jensen (1999)所述，這樣的跳躍擴散模型是建構在一個不完備市場 (Incomplete Market) 的假設之下。根據財務經濟學第二基本定理，在完備市場中若且為若存在一個 唯一的風險中立測度，因此在不完備市場中，我們的風險中立測度並非唯一決 定，在不同喜好條件與避險考量下，可能會產生不同風險中立的等價測度。而
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本文是仿照 Bakshi et al. (2010), Hilliard and Reis (1999)與 Koekebakker and Lien (2004)等人的方法，透過校估市場風險價格與跳躍分配之參數，得到風險中立 測度下，跳躍擴散模型所隱含的期貨選擇權理論價格。
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Black-Scholes 評價模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在T時間點下 的即期價格如下
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比較於公式(10)與公式(12)，公式(10)用 MR 模型推導出來的避險參數 Delta，公 式(12)為 MRJD 模型，兩者只差別在代入的F t T( , )，若採用 MR 模型則代入(9)
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模擬法模擬出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 11、12)，可以觀察到 不論是模擬次數增加或是時間區間增加，期貨與期貨選擇權的模擬價格與理論 價格誤差會慢慢減少。用蒙地卡羅模擬出來的期貨價格或期貨選擇權價格與理 論價格誤差小，表示推導出的 MRJD 加季節性的期貨選擇權理論模型與其貨理 論模型的正確性很高。
在 MRJD 加季節性下的避險比率(推導過程見附錄 G)：
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將 MRJD 加季節性模型推導出來的F t T( , )代入期貨選擇權公式中，並對即期價 格偏微分可以得到 MRJD 加季節性的避險參數 Delta，此時的 Delta 將帶有均數 回歸、季節性與跳躍的特性。
本章節推導各模型假設下的期貨選擇權公式與避險參數 Delta，在下一章節 中將以這些模型作為實證模型，分析在金融風暴期間與非金融風暴期間各模型 的訂價誤差與避險價格誤差。
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l C h engchi U ni ve rs it y 5. 實證分析
5.1 資料描述與研究樣本
隨著科技進步發明了內燃機以來石油就一直是人類生活中不可缺少的燃料，
機械自動化接著增加人類與石油密不可分的關係，讓原油成為全球最活躍的交 易商品，其中又以輕質低硫(ex：WTI)的原油是煉油廠的首選，因為含硫量低且 容易提煉出汽油、柴油、加熱油與飛機燃料等高附加價值的產品。WTI 為目前 美國交易量最為頻繁的石油種類，也被投資者與避險者視為國際能源市場的基 準價，許多的新聞和研究都會以 WTI 價格作為代表價格。
本研究將以 NYMEX 2007/7~2012/4 的 WTI 即期價格、期貨和歐式期貨選 擇權每日收盤價為研究資料；無風險利率則採用美國國庫券利率，資料來源以 美國財政部網站公布為主。在 2008 年金融風暴發生時 WTI 原油價格也大漲大 跌(如圖 2)。因此本篇研究資料期間將根據 Campello et al. (2001)對金融風暴期 間定義將分析期間區分為包含金融風暴期間 2007/7~2008/12 年和非金融風暴期 間 2009/1~2012/4。
5.2 資料分析與參數估計
5.2.1 敘述統計
本篇研究中仿照Bakshi et al. (2010)對選擇權買權價內外程度(Moneyness, S/K)範圍的定義，我們將價內外程度區分為三類：當0.95< S 1.05
K 選擇權買權
屬於價平；當 S 1.05
K 屬於價內買權；S 0.95
K 則為價外買權。Rubinstein (1985)
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平方和(Minimize the Sum of Squared Errors, Minimize SSE)，在本研究當中要估計 的參數有波動度( )、均數回歸速度()、長期平均水準(m )、跳躍幅度參數(* 、‧ 國
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約價，i1, 2,...,I，I 10；C 為第i i種履約價選擇權實際價格； ˆC 為第i i種 履約價選擇權理論價格；t選取資料的日期；i表示為第i種履約價選擇權 距到期日的時間；K 為第i i種履約價。
3. 將所要觀察期間內的參數平均，可以得到在各模型下的參數平均值和標準 差。
根據以上的估計方法，可以得到金融風暴期間(2007/7/~2008/12)和非金融 風暴(2009/1~2012/4)的參數估計，估計結果中顯示出金融風暴期間各個參數的 平均值，以 Black-Scholes 模型估計出來的隱含波動度 26.21%；MR 的平均隱含 波動度為 36.62%；MRJD 的平均隱含波動度為 16.06%；MR 加季節性的平均隱 含波動度為 37.83%；MRJD 加季節性的平均隱含波動度為 14.93%；五個模型 間隱含波動度最大值與最小值相差 22.89%(見表 14)。在 2009/1~2012/4 年間 Black-Scholes 模型的平均隱含波動度為 37.39%；MR 的平均隱含波動度為 33.37%；MRJD 的平均隱含波動度為 13.45%；MR 加季節性的平均隱含波動度 為 33.43；MRJD 加季節性的平均隱含波動度為 15.04%；五個模型間隱含波動 度最大值與最小值相差 23.94%(見表 15)。
觀察在這兩段期間的隱含波動度，可以發現 MR 模型加入跳躍項的隱含波 動度比 MR 模型下估計出的隱含波動度小，可能是因為加入跳躍項後，模型對 波動度的解釋能力分散到跳躍項的波動度中，也就是在同樣劇烈變動的價格中，
可以用跳躍項的波動度解釋價格的劇烈變動的現象；同理，MRJD 加季節性模 型的隱含波動度和 MR 加季節性模型的隱含波動度相比較 MRJD 加季節性的隱 含波動度較 MR 加季節性小。
在這兩段期間內的季節性時間趨勢項(a )皆為正數，表示不論金融風暴前2
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重覆步驟 1.，並將各個訂價誤差取平均值，可以得到一段期間內各模型的 訂價誤差。
根據以上步驟，計算五種模型與 5.1 節中對資料的分類可以整理成表(見表 16~表 19)。例如：在 2007/7~2008/12 年間價外選擇權距到期日為 0~30 天期，
此期間 BS、MR、MRJD、MR 加季節性、MRJD 加季節性等模型的絕對誤差值 分別為$0.1860、$0.1204、$0.1217、$0.0895、$0.0936，從表中可以很清楚的觀 察各模型在不同價內外程度和距到期日間的絕對誤差情況。
在 2007/7~2008/12 年金融風暴期間(表 16 與表 17)，價外選擇權絕對誤差 以 MR 加季節性在距到期日為 0~90 期間的誤差值較小、90~180 天期以 MRJD 加季節性的誤差最小、180 天以上則以 MRJD 為最小；選擇權為價平時，距到 期日為 0~30 天期和 60~90 天期以 MR 加季節性模型絕對誤差值為最小，30~60 天期以 MRJD 模型誤差最小，90 天期以上則以 MRJD 加季節性的模型有最小 誤差；價內選擇權則距到期日為 0~60 天期的以 MR 加季節性絕對誤差值為最 小，60 天期以上則以 MRJD 加季節性的絕對誤差為最小。在訂價絕對誤差中，
我們可以觀察到 MRJD 加季節性的誤差雖然不完全是最小值，卻與各期間最小 誤差模型的誤差值相差不多，以價外選擇權為例，MRJD 加季節性與 MR 加季 節性在 0~180 天期間的誤差值大約相距 1%左右，但到了 180 天以上絕對誤差 則相差了 3%，因此，在金融風暴期間不論距到期日多久在選擇模型的時候可 以選擇 MRJD 加季節性做為評價模型。2009~2012 年間(表 18 與表 19)，價外選 擇權距到期日為 0~90 天期以 MR 加季節性絕對誤差值為最小；價平買權距到 期日為 0~60 天以 MR 加季節性估出的誤差最小，60 天期以上以 MR 的誤差值 為最小，價內選擇權距到期日為 0~30 天期以 MRJD 加季節性為佳 30~120 天期 和 180 天上則以 MR 加季節性模型為佳，120~180 天期則以 MR 模型為佳。觀 察非金融風暴期間，可以發現在這段期間模型中不加入跳躍項的訂價誤差比較
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小，在這段期間的價格跳躍現象不明顯，所以加入跳躍項的模型在這段期間配 適的能力比未加入跳躍項的模型差。
從資料當中可以觀察到訂價相對誤差在非金融風暴期間，BS 模型在價外的 誤差值不論距到期日多久皆為負數，表示價外選擇權市價比理論價格低，在價 平則誤差範圍有變小的趨勢，價內的誤差值則皆為正值，表示價內買權市價比 理論價高。Bakshi et al. (2010)將這種在訂價誤差上出現的現象稱為系統性偏差 (Systematic Biases)，其中 MR 模型與 MR 延伸性模型的系統性偏差相對於 BS 較小很多，顯示出在能源市場中 MR 模型與 MR 延伸模型的配適能力較佳，這 種結果與 Schwartz (1997)提出能源價格變動為均數回歸動態過程一致。Bakshi et al. (2010)表示在股票市場中系統性偏差的現象與選擇權波動度微笑(Volatility Smile)有關。波動度微笑是選擇權市場中常見的現象，意指價外買權的波動度 容易被低估，此時價外買權市場價格會比理論價低，而價內買權的波動度容易 被高估，所以市場價格則高於理論價，本研究在非金融風暴期間(見表 18)可以 發現此時訂價誤差與前述一致，代表原油市場在非金融風暴期間與股票市場的 系統性偏差有相同的結論。觀察表 16 可以發現在金融風暴期間這種系統性偏差 與正常市場下的情況相反，價外選擇權的訂價誤差為正數，價內選擇權訂價誤 差為負數，這種現象可能是因為在金融風暴期間價格波動大，使得市場上的投 資人認為價外買權轉變為價內買權的機會很大，因此在這段期間反而是價外買
從資料當中可以觀察到訂價相對誤差在非金融風暴期間，BS 模型在價外的 誤差值不論距到期日多久皆為負數，表示價外選擇權市價比理論價格低，在價 平則誤差範圍有變小的趨勢，價內的誤差值則皆為正值，表示價內買權市價比 理論價高。Bakshi et al. (2010)將這種在訂價誤差上出現的現象稱為系統性偏差 (Systematic Biases)，其中 MR 模型與 MR 延伸性模型的系統性偏差相對於 BS 較小很多，顯示出在能源市場中 MR 模型與 MR 延伸模型的配適能力較佳，這 種結果與 Schwartz (1997)提出能源價格變動為均數回歸動態過程一致。Bakshi et al. (2010)表示在股票市場中系統性偏差的現象與選擇權波動度微笑(Volatility Smile)有關。波動度微笑是選擇權市場中常見的現象，意指價外買權的波動度 容易被低估，此時價外買權市場價格會比理論價低，而價內買權的波動度容易 被高估，所以市場價格則高於理論價，本研究在非金融風暴期間(見表 18)可以 發現此時訂價誤差與前述一致，代表原油市場在非金融風暴期間與股票市場的 系統性偏差有相同的結論。觀察表 16 可以發現在金融風暴期間這種系統性偏差 與正常市場下的情況相反，價外選擇權的訂價誤差為正數，價內選擇權訂價誤 差為負數，這種現象可能是因為在金融風暴期間價格波動大，使得市場上的投 資人認為價外買權轉變為價內買權的機會很大，因此在這段期間反而是價外買