歐式能源期貨選擇權評價： 以WTI原油為例 - 政大學術集成
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(2) 謝辭 時光匆匆，碩士兩年飛快的結束，在進入金融所以前本身學的專業科目是理 工背景，所以進入這完全不同專業領域時，對未知的未來也是有感到茫然與恐懼， 金融所這兩年訓練下，對於金融相關專業知識也熟悉了不少，要感謝的人事物也 很多，感謝指導老師-林士貴老師，林士貴老師非常的熱心與負責，讓我在撰寫 論文中學習到許多待事物的態度與許多知識，感謝博班學長-陳亭甫，在論文當 中遇到的難題多虧有學長才能迎刃而解。. 治 政 大 家裡的支持是相當重要的，在撰寫論文的時候，常想起家裡對我的支持就讓我充 立. 感謝我的家人對於我轉科系念金融所這一件事的支持，一個人來台北念書，. 滿動力與活力。. ‧ 國. 學. 最後感謝在這裡認識的每一位朋友，有你們的陪伴讓我在這裡的生活更加多. ‧. 采多姿，期望在接下來的日子裡大家都能夠朝自己的目標前進。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 鄧怡婷謹誌於 國立政治大學金融學系研究所 中華民國一百零一年六月. ii.
(3) 歐式能源期貨選擇權評價：以 WTI 原油為例 學生：鄧怡婷. 指導教授：林士貴. 博士. 國立政治大學金融學系. 摘要. 近年來，能源商品的價格隨著國際政治情勢、國際金融環境以及景氣循環的 影響產生劇烈波動，基於避險的需求，衍生性商品交易量也逐漸增加。然而，在 評價能源衍生性商品的過程中，即期價格動態模型的選擇對於訂價與避險的結果. 政 治 大 的目標。在指數與股價選擇權的評價模型中，大多以 Black and Scholes (1973)提 立. 有著顯著的影響，如何選擇一個適當的動態模型以評價能源商品便成為本文研究. ‧ 國. 學. 出的選擇權評價模型作為基礎，但 Black-Scholes 模型是否適用於評價能源市場 的選擇 權價 格卻 是有 待商榷 。 Schwartz (1997) 提 出以 均數回 歸 模型 (Mean. ‧. Reversion Model)描述能源即期價格，發現比 Black-Scholes 模型中所假設的即期. sit. y. Nat. 價格動態模型更能描述能源市場即期價格的波動。本研究也考慮能源市場遇到重. n. al. er. io. 大事件而造成即期價格產生劇烈波動的情況，因此在模型中加入跳躍項以捕捉價. i Un. v. 格跳躍的現象。另外，能源商品的需求與季節變化有高度相關性，因此本文亦考. Ch. engchi. 量即期價格的變動會受到季節性的變動影響，在模型中加入季節性函數，以補捉 季節性的價格變化。基於前述模型考量，本研究在各種描述能源商品即期價格特 性的動態模型之下，推導各個模型的期貨選擇權定價公式，進一步測試各模型在 金融風暴與非金融風暴期間的訂價誤差與避險誤差，以提供投資人或避險需求者 於原油期貨選擇權模型選用上之參考。. 關鍵字：期貨選擇權、均數回歸、跳躍擴散、季節性. iii.
(4) Valuation of European Energy Futures Option: A Case Study of WTI Oil. Student: Yi-Ting Deng. Advisor: Dr. Shih-Kuei Lin. National Chengchi University Department of Money and Banking. Abstract In recent years, the price of energy commodities has fluctuated with the international political situation and the international financial environment. For the sake of hedging demands, the trading volume of derivatives has been gradually increasing. In the process of valuation of energy derivatives, choices of the spot price. 政 治 大 choose an appropriate dynamic 立 model to evaluate the energy commodities has been dynamics model have a significant impact on pricing and hedging. Therefore, how to. main purpose of this study. Two main models are tested in this paper. One is the. ‧ 國. 學. option pricing model supposed by Black and Scholes (1973), and another is the mean reversion model supposed by Schwartz (1997). This study also considered the. ‧. volatility of the spot price in the energy market in case of major events, so the. sit. y. Nat. researcher adds the jump to explore the mean reversion model. In addition, the demand for energy commodities is highly correlated with seasonal variations. The. io. n. al. er. vibration of spot price often affected by the seasonal variations is considered in the. i Un. v. research. Therefore, the researchers also take the seasonal function into the research to. Ch. engchi. capture the seasonal price changes. Based on considerations described above, the pricing formula for each model of futures option is evaluated in the research. The researcher further tests the pricing errors and hedging errors of each model during the financial crises and non-financial crises in order to provide the investors and hedging demanders with some suggestions about selecting oil futures option models.. Keywords：futures option, mean reversion, jump diffusion, seasonality. iv.
(5) 目錄 1. 緒論 ................................................................. 1 1.1 研究背景與動機 ............................................................................................................ 1 1.2 研究目的 ........................................................................................................................ 2 1.3 論文架構 ........................................................................................................................ 2 2. 文獻探討 ............................................................. 4 2.1. 能源期貨與能源期貨選擇權 .................................................................................. 4. 2.2 模型假設 ........................................................................................................................ 5. 政 治 大 2.2.2 均數回歸模型(Mean Reversion Model, MR).......................................................... 6 立 2.2.1 Black-Scholes 模型(Black-Scholes Model, BS) ...................................................... 6. 2.2.3 均數回歸與跳躍擴散模型(Mean Reversion Jump Diffusion Model, MRJD) ....... 7. ‧ 國. 學. 2.2.4 均數回歸與季節性(Mean Reversion with Seasonality Model) .............................. 8. ‧. 3. 模型與假設 ........................................................... 9 3.1 Black-Scholes 模型 ......................................................................................................... 9. y. Nat. er. io. sit. 3.2 均數回歸模型 .............................................................................................................. 10 3.3 均數回歸與跳躍擴散模型 ........................................................................................... 12. n. al. Ch. i Un. v. 3.4 均數回歸與季節性模型 .............................................................................................. 13. engchi. 3.5 均數回歸季節性與跳躍模型 ....................................................................................... 15 3.6 模型假設 ...................................................................................................................... 16 4. 歐式期貨選擇權評價公式與避險 ......................................... 18 4.1 Black-Scholes 歐式期貨選擇權評價公式與避險 ...................................................... 18 4.2 均數回歸模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險 ................................................... 20 4.3 均數回歸與跳躍模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險 ....................................... 21 4.4 均數回歸季節性模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險 ....................................... 23 4.5 均數回歸季節性與跳躍模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險 ........................... 24 5. 實證分析 ............................................................ 27 v.
(6) 5.1 資料描述與研究樣本 .................................................................................................. 27 5.2 資料分析與參數估計 .................................................................................................. 27 5.2.1 敘述統計 ............................................................................................................... 27 5.2.2 參數估計 ............................................................................................................... 28 5.3 期貨選擇權訂價誤差 .................................................................................................. 30 5.4 投資組合避險價格誤差 .............................................................................................. 33 6. 結論 .................................................................................................................................... 35 參考文獻 ................................................................................................................................. 36 附錄 ......................................................................................................................................... 38. 政 治 大 附錄 B. 均數回歸模型下期貨評價公式 .......................................................................... 39 立 附錄 A. Black-Scholes 歐式期貨選擇權評價公式 ........................................................... 38. ‧ 國. 學. 附錄 C. 均數回歸與跳躍擴散模型期貨評價公式........................................................... 41 附錄 D. 均數回歸與季節性模型下期貨評價公式 .......................................................... 45. ‧. 附錄 E. 均數回歸季節性與跳躍擴散模型下期貨評價公式 ........................................... 48. sit. y. Nat. 附錄 F. 跳躍模型下即期價格轉期貨價格部分解 ........................................................... 51. io. n. al. er. 附錄 G 避險參數(Delta) ..................................................................................................... 53. Ch. engchi. vi. i Un. v.
(7) 表目錄 表 1. 市場最適模型 .................................................... 55 表 2. 蒙地卡羅模擬之參數設定 .......................................... 55 表 3. BS 模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果............................. 55 表 4. BS 模型下期貨蒙地卡羅模擬結果 ................................... 56 表 5. MR 模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果 ............................ 56 表 6. MR 模型下期貨蒙地卡羅模擬結果 .................................. 56 表 7. MRJD 模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果 ......................... 56 表 8. MRJD 模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果 ......................... 57. 政 治 大. 表 9. MR 加季節性模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果 ................... 57. 立. 表 10. MR 加季節性模型下期貨蒙地卡羅模擬結果 ........................ 57. ‧ 國. 學. 表 11. MRJD 加季節性模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果 ............... 57 表 12. MRJD 加季節性模型下期貨蒙地卡羅模擬結果 ...................... 58. ‧. 表 13. 全期間(2007/7~2012/4), WTI 原油期貨選擇權樣本數與平均價格...... 58. y. Nat. sit. 表 14. 2007/7~2008/12 年 WTI 原油期貨選擇權參數估計值 ................. 59. n. al. er. io. 表 15. 2009/1~2012/4 年 WTI 期貨選擇權參數估計值 ...................... 60. i Un. v. 表 16. 2007/7~2008/12 年 WTI 選擇權訂價相對誤差平均數與標準差......... 61. Ch. engchi. 表 17. 2007/7~2008/12 年 WTI 選擇權訂價絕對誤差平均數與標準差......... 62 表 18. 2009/1~2012/4 年 WTI 選擇權訂價相對誤差平均數與標準差 .......... 63 表 19. 2009/1~2012/4 年 WTI 選擇權訂價絕對誤差平均數與標準差 .......... 64 表 20. 2007/7~2008/12 年每日調整避險參數 Delta 產生的平均價格避險誤差 .. 65 表 21. 2007/7~2008/12 年每日調整避險參數 Delta 產生的絕對避險誤差 ...... 66 表 22. 2007/7~2008/12 年每 5 日調整避險參數 Delta 產生的平均價格避險誤差 67 表 23. 2007/7~2008/12 年每 5 日調整避險參數 Delta 產生的絕對避險誤差 .... 68 表 24. 2009/1~2012/4 年每日調整避險參數 Delta 產生的平均價格避險誤差 ... 69 表 25. 2009/1~2012/4 年每日調整避險參數 Delta 產生的絕對避險誤差 ....... 70 表 26. 2009/1~2012/4 年每 5 日調整避險參數 Delta 產生的平均價格避險誤差 . 71 vii.
(8) 表 27. 2009/1~2012/4 年每 5 日調整避險參數 Delta 產生的絕對避險誤差 ..... 72. 圖目錄 圖 1. 紐約商品交易所各年度期貨選擇權總交易量 ......................... 73 圖 2. 2006~2012 年期間 WTI 原油即期價格 ............................... 73. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i Un. v.
(9) 1. 緒論. 1.1 研究背景與動機. 全球石油價格相較於 1990 年相對成長了一倍左右，最高曾達到兩倍，在油 價成長的這段期間，全球石油價格隨著市場一起震動起伏，當產油國家面臨政 治動亂時市場上面對供給不穩定的恐慌因素讓石油價格提高，石油在大多數產 業當中是屬於生產成本，因此石油價格的不穩定會間接讓產業的生產及獲利不. 政 治 大. 穩定，進而影響整個經濟體系。全球石油因為儲存量和開採技術的問題，在未. 立. 來的二十年內石油價格只會漲多跌少，面對未來高油價趨勢的當下，產業可以. ‧ 國. 學. 如何避險就成了新顯學。. ‧. 紐約商品交易所(New York Mercantile Exchange, NYMEX)在 1986 年起將西. sit. y. Nat. 德克輕原油(West Texas Intermediate, WTI)引進到期貨契約、選擇權契約，1988. io. er. 年倫敦國際石油交易所(International Petroleum Exchange, IPE)推出布倫特原油. al. 期貨，之後陸續增加許多油品相關的衍生性商品，直至 1992 年市場上的主要期. n. iv n C 貨契約皆提供選擇權契約讓市場上的投資人有更多樣化的商品選擇，交易較以 hengchi U 往更加熱絡且富有流動性，並且將價格波動的不確定風險轉移或交易。. 在實物商品市場中，市場上的供給者和需求者大多會以期貨作為投資標的 和避險商品，因此，期貨選擇權相較於一般標的物連結現貨的選擇權更能夠符 合投資人的需求，期貨選擇權與期貨相同點在於都是購買未來特定時間點下的 商品或金融資產，但是期貨選擇權投資人在制度上相較於期貨投資人可以省下 更多的成本而達到避險效果，例如：期貨的保證金高於期貨選擇權保證金大約 五~六倍，期貨投資人不管買方或賣方對期貨契約有權利和義務，因此，必需 在期初支付保證金；期貨選擇權的只有在當賣方時才需繳交保證金。投資人選 1.
(10) 擇期貨選擇權的主要原因是投資和避險。根據期貨選擇權的特性，當買方的投 資人預期與市場相反時，即損失掉權利金部分，反之則可獲利，若選擇當賣方 時，期初繳交保證金即可賣出期貨選擇權，投資人可以在期初收到權利金，但 是當期貨選擇權賣方的風險較買方大很多。. 2005 年到 2011 年 WTI 原油歐式期貨選擇權和天然氣歐式期貨選擇權的總 交易量(見圖 1)，資料來源為 Futures Industry 統計的交易量，這份統計資料當中 還包含了全球其他有交易原油期貨和原油期貨選擇權以及其他能源衍生性商品 的交易所，而其中以 NYMEX 各年的 WTI 原油期貨選擇權交易量為能源期貨. 政 治 大. 選擇權商品當中交易量最多，且總交易量有逐年增加的趨勢。. 立. 能源市場的研究中以石油和電力為主，Cartea and Figueroa (2005)針對電力市. ‧ 國. 學. 場中電力價格跳躍頻繁、季節性週期和均數回歸的現象進行假設和估計。本篇論. ‧. 文將石油市場和電力市場相類似的特性加入模型研究，兩者市場差別在於石油的. y. sit. io. n. al. er. 化週期。. Nat. 價格變動和均數回歸速度沒有電力市場頻繁，且電力價格根據不同的季節有其變. 1.2 研究目的. Ch. engchi. i Un. v. 本研究的主要目的在於推導出均數回歸跳躍模型的期貨選擇權公式解，並找 出適用於能源市場的期貨選擇權模型，在本篇研究中比較金融風暴期間與非金融 風暴期間各模型於實際價格與理論價格的誤差，並進一步研究期貨選擇權的避險 參數(Delta)調整日期對避險的影響。. 1.3 論文架構. 本篇論文內文接下來依序為：第二章文獻探討，其中討論幾個主要常用的 2.
(11) 模型和相關研究；第三章模型與假設，探討在能源市場中常使用的均數回歸模 型假設和動態過程；第四章模型推導，討論期貨選擇權在不同模型下的封閉解； 第五章實證研究，紐約商品交易所(NYMEX)中的 WTI 石油歐式期貨選擇權實 際資料代入封閉解和模擬中，並估計模型中的參數；第六章結論。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i Un. v.
(12) 2. 文獻探討 本篇研究內容針對商品期貨選擇權中的石油期貨選擇權進行探討，第一節 能源期貨與能源期貨選擇權；第二節模型假設。 2.1 能源期貨與能源期貨選擇權. 能源是生活當中不可或缺的必需品，其中占我們生活中大部分的交易商品為 石油，石油價格對生活的影響日益升高，能源供給者與需求者對於價格波動更. 政 治 大. 是極其敏感，能源的避險成了市場上的需求，因此，能源的衍生性商品：期貨，. 立. 在市場上開始流通，期貨的優點在於契約的標準化，將能源交易的最小交易量、. ‧ 國. 學. 交易時間、交割時間和品質都在契約內規定清楚。期貨交易雙方必須透過交易 所進行交易，且交易時買賣雙方必須提供保證金以避免違約的問題。全球三大. ‧. 能源期貨市場：紐約商業交易所(NYMEX)、倫敦洲際交易所(IPE)和東京工業品. Nat. er. io. sit. y. 交易所(TOCOM)。. al. 目前能源市場中提供的能源期貨有：煤炭、原油、油品類、天然氣以及電力。. n. iv n C 煤炭期貨交易量小，目前僅在 NYMEX h e n 中交易，各地的煤炭價格、品質會因生 gchi U 產地而不同，所以很難由統一規格的期貨規格配合現貨進行避險，因此 NYMEX 雖推出煤炭期貨，但市場的需求並不如預期中好，有時一整年下來僅交易三百 多口契約。油品類期貨包含：原油、燃油、汽車用汽油、和柴油等油品，油品 的契約雖然多樣化，但就交易量而言，原油期貨的交易量仍然為所有原油類期 貨交易量的一半以上，因此石油市場成為大多數對能源市場研究的主要文獻。 Reismann (1992)，主要針對商品期貨在市場上的評價與修正模型，以蒙地卡羅 模 擬 出石油期貨 並和實證資料 相互比對，可以得到近似解 ；Cortazar and Schwartz (1994)，用實質選擇權的方式對未開發的石油油田進行訂價；Amin and. 4.
(13) Pirrong (1995)則針對市場上石油的各種衍生性商品討論期優缺點；Carr and Jarrow (1995)將期貨價格模型標準化以後加速了商品期貨市場的發展。. 美國紐約商品交易所(NYMEX)為目前全球交易量最大的商品期貨交易所， 此交易所在 1978 年推出第一個以能源為標的物的期貨商品，並陸續以石油相關 產品推出多種期貨契約和期貨選擇權。隨著國際石油價格的起伏，石油期貨更 是快速發展，現今已成為期貨市場中最大的交易項目。選擇權市場中，選擇權 的交易方式主要將選擇權分為：歐式選擇權、美式選擇權、亞式選擇權，在本 篇研究中主要探討的是歐式期貨選擇權的評價理論。現今在市場中交易的能源. 政 治 大. 歐式期貨選擇權有：WTI 原油、天然氣和熱燃油，其中又以 WTI 原油和天然. 立. 氣的交易量為最多。. ‧ 國. 學. 金融創新過程中商品期貨在金融市場中的交易日趨穩定後，選擇權的地位也. ‧. 不可同日而語，在 1973 年 Black-Scholes 選擇權評價模型問世以後，對於選擇. sit. y. Nat. 權的創新和應用更是多如繁星。Black-Scholes 選擇權評價模型為歐式選擇權評. io. er. 價模型，其中的價格動態過程為現在我們常看到的股價動態過程，但是當我們 將標的物換為商品期貨時，可以將股價動態過程視為即期價格模型，最後再以. n. al. Ch. i Un. v. 即期價格與期貨價格間的關係將期貨價格帶到選擇權評價模型中。. engchi. 2.2 模型假設 能源衍生性商品市場的特性與金融市場有許多不同點，因此在模型上適用 的動態過程與金融市場也會不同。在金融市場和能源市場中常見的 2 種價格動 態過程：Black-Scholes 和均數回歸模型，其中以均數回歸模型來探討各種能源 即期價格在市場中的價格行為為最常見的分析研究。Pilipovic (1997)將 S&P500 和各種能源依照價格或對數價格的分配進行分析(見表 1)，S&P500 各種能源適 用的價格動態模型。 5.
(14) 2.2.1 Black-Scholes 模型(Black-Scholes Model, BS). Black and Scholes (1973)與Merton (1973)發表的選擇權評價模型中假設標的 資產是符合幾何布朗運動的條件下推導出選擇權評價模型，已經成為目前不論在 學術界或實務界中皆是非常常用到的選擇權評價模型。期貨、選擇權或是避險參 數都可以由此評價模型推導出封閉解，因此在文獻中Black-Scholes模型常用來計 算股票市場的衍生性商品評價和避險。. Brennan and Schwartz (1985)探討在石油商品和其他石油提煉出的商品之選. 政 治 大. 擇權評價以及數學推導，並運用在石油的避險或敏感度分析；Ewald et al. (2009). 立. 考慮交易成本下計算2002~2007年WTI石油選擇權進行避險分析，結果發現以最. 2.2.2 均數回歸模型(Mean Reversion Model, MR). Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. 小風險避險策略的績效最佳。. io. er. 大多數學者認為在商品期貨市場中商品的即期價格與 Black-Scholes 選擇. al. 權評價模型所假設的即期價格動態不相同，在商品期貨市場中的即期價格動態. n. iv n C 在長期會有回歸到長期平均水準的現象，也就是均數回歸模型。此模型常常被 hengchi U 運用在金融相關產品當中，以股票為例子，股票不可能常常上漲或一直下跌， 而是在長期當中會以一種在平均值附近震盪的方式前進，同樣的在能源市場也 有相同的特性，因此將 Black-Scholes 選擇權評價模型的即期價格動態改為 Schwartz (1997)所提出的均數回歸模型，在這種評價模型下，我們可以發現均 數回歸模型對即期價格的動態過程解釋能力會比 Black-Scholes 模型佳。. 在能源衍生性商品相關的文獻中，一般假設能源價格動態具有均數回歸現 象。Schwartz (1997)提出單因子均數回歸模型，並且將期貨的理論價格推導出 來，模型中僅考慮對數價格在長期會回歸到長期平均水準。Pilipovic (1997)提 6.
(15) 出將便益收益率考慮進模型中，且便益收益率也符合均數回歸過程，又稱為二 因子模型。Schwartz (1997)將二因子模型中加入了市場利率，假設市場利率服 從 Vasicek (1977)提出的利率模型。. 2.2.3 均數回歸與跳躍擴散模型(Mean Reversion Jump Diffusion Model, MRJD). Cox and Ross(1976)用純粹跳躍理論(Pure-Jump model)描述當股票市場中價 格跳躍變動的現象，Merton(1976)將 Cox and Ross(1976)假設跳躍過程的分配重 新定義為普瓦松分配並加入 Black-Scholes 模型當中，跳躍項包含了跳躍頻率、. 政 治 大. 跳躍次數和跳躍幅度，也就是目前看到的跳躍擴散模型。跳躍項可以視為即期. 立. 價格因為市場上某些訊息衝擊，而造成的價格波動。Kou (2001、2008)假設跳. ‧ 國. 學. 躍項分配為雙指數分配，此模型除了描述報酬率具有不對稱和高峽峰現象外， 此模型最主要可以對多種不同種類的選擇權定價進行分析。. ‧ sit. y. Nat. Schwartz (1997)觀察在能源市場中價格的變動，發覺石油和電力市場的價. io. er. 格時常會因為外在因數衝擊而發生劇烈的變動，例如：石油產地發生戰爭，導 致石油價格升高。若僅以均數回歸模型來描述即期價格和期貨價格，就無法描. al. n. iv n C 述劇烈變動下的價格過程，Schwartz (1976)所提出的加入跳躍擴散的 h e將n Merton gchi U 均數回歸模型，一方面可以用均數回歸模型解釋能源市場中價格變動，一方面. 可以用跳躍項解釋價格在劇烈變動下的過程。Clewlow and Strickland (2000)將 Schwartz (1997)運用在能源市場的均數回歸跳躍模型用蒙地卡羅模擬即期價格 與期貨價格，此時並未推導出在跳躍狀態下的封閉解。. Cartea and Figueroa (2005)分析 1990~2004 年間英國電力市場即期價格報酬 率的動態過程，並透過分析報酬率的分配說明電力市場價格具有跳躍現象，因 此將均數回歸模型加入跳躍項，並推導出期貨價格封閉解。. 7.
(16) 2.2.4 均數回歸與季節性(Mean Reversion with Seasonality Model). Branch (1977)和 DeBondt and Thaler (1987)提出在股票市場中會有一種循環 週期，並且這種週期性和美國的稅率制度有關，在繳稅的月份時，股票市場的 股價會相對於其他月份來的低，再繳完稅後，又會慢慢地回到原本的價格，因 此將這種週期性稱為季節性。. Pilipovic (1997)觀察能源市場中的季節性週期則是和能源當月份的需求量 有關，例如在冬天時熱然油的需求會比在夏天時高，則價格會在冬天時相對於. 政 治 大. 夏天高。Pilipovic (1997)用石油和電力作為研究資料，假設季節性為三角函數. 立. 模型，將這種特性加入均數回歸模型當中，可以解釋價格長期的波動趨勢。. ‧ 國. 學. Weron (2006)和 Mayer et al. (2011)認為長期價格的變動應該有時間趨勢，而非一 種常數，並在季節性因子中加入時間趨勢，讓季節性能夠更加符合真實市場中. ‧. 的變化。. sit. y. Nat. io. er. Benth et al. (2003)延伸 Pilipovic (1997)所提出的季節性模型加入到能源市 場中，並將參數從年化和半年化位置參數改為用每日資料計算，並用 GARCH. al. n. iv n C 模型和 EGARCH 檢定市場的報酬率是否符合季節性假設，發現用日資料比用 hengchi U 年資料和半年化資料更能看出季節性。. 8.
(17) 3. 模型與假設. 本章節介紹最近年在能源歐式期貨選擇權上常見的評價模型：均數回歸模 型，之後再深入探討在能源市場中常見的幾種特性：價格跳躍和季節性，並將 這兩種特性加入選擇權模型當中，以期望在進行期貨選擇權定價時能更加貼近 實際價格。建立模型後將針對資料來源和估計方法進行介紹。. 3.1 Black-Scholes 模型. 政 治 大 Black and Scholes (1973)提出選擇權評價模型，假設市場為完美市場，利率 立. ‧ 國. 學. 與波動度皆為常數，交易屬於連續交易，對於金融市場上衍生性商品的影響很 大 ， 在此之前，市場上對選擇權或衍生性商品的評價都還在假設階段，. ‧. Black-Scholes 模型一提出，即造成轟動，並在 2002 年得到若貝爾獎，此模型. sit. y. Nat. 最重要的貢獻在於對即期價格的假設。假設在自然機率測度稱為 P 測度；則在. io. n. al. er. P 測度下即期價格動態過程：. i Un. dStC St dt St dWt P ，. hengchi. v. (1). 其中 S 為即期價格； 為即期價格瞬時報酬率之平均值； 表示為即期價格瞬 時報酬率之波動度； Wt P 為自然機率測度 P 下的布朗運動項。但是我們沒辦法 預測在自然機率測度 P 下的股價報酬率 ，因此用 Girsanov Theorem 進行測度 轉換過程，將自然機率測度 P 轉換到風險中立的 Q 測度下：. dWt Q dWt P (. r )dt ， . (2). 其中 r 是無風險利率，表示在 Q 測度下即期價格的報酬率等於將現金存到銀行 的利率；將(2)式代回(1)式中，可以得到在風險中立下的即期價格動態過程： 9.
(18) dSt rdt dWt Q ， St 利用 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間點下的即期價格動態過程： 1 ST St exp((r 2 )(T t ) (WT Q Wt Q )) 。 2. (3). 由(3)式可以看出在 T 時間點的即期價格將以 指數函數方式成長， 其中以 1 Q Q 表示隨時間成長的部分，而以 (WT Wt ) 表示價格無法 exp((r 2 )( T t )) 2. 預測的隨機部分。. 治 政 根據 Black-Scholes 模型所假設的即期價格動態過程可以計算出在特定時 大 立 間點下的價格，然而觀察能源市場特性，能源價格具有回歸到長期平均的特性， ‧ 國. 學. 這種特性在 Black-Scholes 模型當中無法觀察到，因此在能源預測價格上並非最. n. al. er. io. sit. y. Nat. 3.2 均數回歸模型. ‧. 適合的模型。. i Un. v. Black-Scholes 所提出(1)式的動態過程無法描述在能源市場中即期價格的. Ch. engchi. 趨勢，Schwartz (1997)觀察能源市場中的特性，發現市場即期價格不論上漲或 下跌，在長期的即期價格都會有回到某一水準的趨勢，這種現象稱為均數回歸 (Mean Reversion)。. 假設商品具有均數回歸特性，在自然機率測度 P 測度下，均數回歸模型即 期價格動態過程假設為：. dSt m ln St St dt St dWt P ， 其中 S 為即期價格； 表示即期價格回歸到長期水準的均數回歸速度，且恆大 10.
(19) 於 0；m 表示為即期價格的長期平均水準，即期價格在長期會收斂到此水準； 表示為即期價格瞬時報酬率之波動度； Wt P 為自然機率測度下的布朗運動項。 在此模型當中，均數回歸速度大於 0 意謂當事件衝擊能源市場，使對數即期價 格上漲超過長期平均水準時，表示 m ln S 0 ，則此時價格會以 速度回歸到 長期平均水準；相反地，若對數即期價格下跌超過長期平均水準時，表示 m ln S 0 ，則會以速度回歸到長期平均水準。. 將自然機率測度下的即期價格動過程透過長期平均水準扣除風險因子( ) 項，讓即期價格動態過程轉換到風險中立的 Q 測度：. 政 治 大 dS m ln S S dt S dW 立 t. t. t. t. t. Q. ，. (4). ‧ 國. 學. 利用 Itô formula 和積分過程可以求得(4)在 T 時間點下的即期價格：. . io. er. 2 以方便後面計算 ，此時 m * 表示在風險中立下的長期平均水 al iv 2. n. 假設 m* m . . y. Nat. T 2 T t T exp 1 e m σ e e s dWs Q 。 2 t . sit. T t . ‧. ST Ste. Ch. n engchi U. 準； W Q 為風險中立下的布朗運動。. 均數回歸模型對能源市場價格長期回到平均水準的解釋能力優於 BlackScholes 模型，但是對於市場中遇到重大事件造成價格劇烈波動的解釋能力卻是 不足的，例如：生產國家的政策轉變，或天然災害等因素，造成價格劇烈變動 等等，此時均數回歸模型對價格極端值就沒有辦法有很好的配適能力。. 11.
(20) 3.3 均數回歸與跳躍擴散模型. Merton (1976)針對股價的變動區分為兩部分，第一部分為市場本身供給與 需求所引導的隨機性。第二部分為市場上重大訊息所影響價格劇烈變化，例如： 金融風暴發生時，市場上的價格變化劇烈，產生跳躍現象。而加入跳躍現象的 均數回歸即期價格動態過程，稱為均數回歸跳躍擴散模型 (Mean Reversion Jump Diffusion Model, MRJD)。. Clewlow and Strickland (2000)假設均數回歸加入跳躍項的即期價格動態過 程，在 P 測度下可以表示如下：. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. dSt (m ln St )St dt St dWt P St (e J 1)dNt ，. ‧. 其中 St 為 t 時間點下的即期價格； St 為 t 時間點下的即期價格； 表示即期價 格回歸到長期水準的均數回歸速度； m 表示為即期價格的長期平均水準，為. y. Nat. sit. 大於 0 的常數； 表示為即期價格瞬時報酬率之波動度； Wt P 為自然機率測度. n. al. er. io. P 下的布朗運動項； J 為跳躍幅度，服從常態分配 N ( , 2 ) ，也可以表示為即. i Un. v. 期價格發生跳躍時，價格的變動情形； N t 為跳躍頻率 t 的普瓦松過程。. Ch. engchi. 根據 Cartea and Figueroa (2005)中的均數回歸跳躍模型假設，價格跳躍的發 生屬於可以被分散的非系統風險且獨立於標的資產價格動態的布朗運動項，因 12 2. 此在風險中立下，只須直接扣除跳躍項所的平均數 J E[e J 1] (e. 1) 。. 透過長期平均水準扣除風險因子( )項讓即期價格動態過程從自然機率測度轉 換到風險中立的 Q 測度：. dSt (m . J ln St )St dt St dWt Q St (e J 1)dNt ， . 利用Itô formula和積分將(5)式求解出，得到即期價格： 12. (5).
(21) ST St. e. T t . 其中 m* m . T T * T t T s Q exp m 1 e e dWs e T s JdN s 。 t t . . . 1 2 ( J ) ，表示在風險中立下的長期平均水準；W Q 為風險 2. 中立下的布朗運動。此時在能源市場即期價格以加入跳躍項的均數回歸模型描 述價格劇烈變動下的動態。然而我們觀察即期價格走勢(見圖 2)，可以觀察即期 價格的長期均衡項( m* )有週期性波動和時間趨勢，應該要將這週期和時間趨勢 考慮進均數回歸模型中。. 3.4 均數回歸與季節性模型. 立. 政 治 大. 分析能源市場和股票市場我們會發現兩者都有一種週期性，而在能源市場理. ‧ 國. 學. 的週期和季節有關，例如：美國熱燃油的價格在冬季會達到相對高峰，而在春季 和秋季價格則在相對低點，並且根據不同的商品在不同季節當中的需求而影響價. ‧. 格的變動。在股票市場中的週期性則和稅有關，Branch (1977)和DeBondt and. y. Nat. sit. Thaler (1987)針對股票市場的週期性進行研究分析，並將這種週期性統稱為季節. er. io. 性。Pilipovic (1997)將季節性對市場的影響以三角函數方式表達：. al. n. iv n C g (t ) a cos(2h (t e an)) a hcos(4 g c i U (t a )) ， 1. 3. 2. 4. 其中 g (t ) 表示季節性因素； a1 、 a2 為係數項，表示季節性大小； a3 為年化位置參 數，用來表示季節性高峰與低谷的位置； a4 為半年化位置參數。Pilipovic用三角 函數描述季節性的週期性，卻忽略了即期價格的時間趨勢，Weron (2006)和Mayer (2011)將時間趨勢加入模型中，數學表示如下： 2 t a4 g (t ) a1 a2 t a3 cos ， 250 . 13.
(22) 其中 a1 為常數項； a 2 為時間趨勢項，用來捕捉能源價格隨時間變化的趨勢； a 3 為季節性大小，用來描述季節性對於對數價格的影響； a 4 表示為季節性位置， 用來描述能源價格每年達到高峰和谷底的位置。. 將季節性因子加入均數回歸模型當中，此時稱為均數回歸與季節性模型 (Mean Reversion Model with Seasonality )。假設對數即期價格為 Yt ln St ，並且 將 Yt 分為季節性部分 g (t ) 與在均數回歸模型下未含季節性的對數即期價格 X t ， 數學表示如下：. Yt gt X t ，. 立. 政 治 大. (6). 學. . dg dt (m* X t )dt dWt Q dt. io. sit. 1 dg X t )dt dWt Q ， dt. al. er. Nat. (m* . y. dYt dgt dX t. ‧. ‧ 國. 根據(4)式均數回歸測度轉換可以得到在 Q 測度下的即期價格動態過程：. v. n. 由(6)式可得 X t Yt gt ，故均數回歸模型加入季節性後，對數價格在風險中立 測度下的動態過程為：. Ch. engchi. dYt (m* gt . 其中 m* gt . i Un. 1 dg Yt )dt dWt Q ， dt. (7). 1 dg 為包含季節性的長期平均水準； W Q 為風險中立下的布朗運 dt. 動。相較於在均數回歸模型，加入季節性以後的均數回歸模型的長期均衡項與 時間有關，也就是長期均衡已經不在只是常數項，而是會隨著時間改變的變數。 將(7)式利用 Itô formula 和積分過程求解得到在 T 時間點下的即期價格：. 14.
(23) Y T g (T ) Y t g (t ) e. T t . m* (1 e. T t . T. ) e. T s . t. dWsQ 。. 加入季節性以後的均數回歸模型雖然可以描述在一段時間內即期價格隨時 間變動趨勢，解決了均數回歸模型的長期平均水準為常數的問題，但是均數回 歸與季節性模型對於價格劇烈變動的過程仍無法有很好的解釋。. 3.5 均數回歸季節性與跳躍模型. Benth et al. (2003)提出了均數回歸模型加入季節性和跳躍項，用以描述能源. 政 治 大. 價格除了有隨季節性變化外，在市場上的重大事件也會影響能源價格的變動。. 立. 模型假設和均數回歸與季節性模型相同，差別在於此時對數即期價格 X t 為具有. ‧ 國. 學. 跳躍項的均數回歸模型，因此，在風險中立測度下，包含有季節性以及跳躍項 的即期價表示如下：. sit. y. 1 dg Yt )dt dWt Q JdNt ， dt. er. 1 dg 為包含季節性的長期平均水準， m* 的意義如同 3.3 節所述， dt. io. 其中 m* gt . ‧. Nat. dYt (m* gt . al. n. iv n C 代表排除季節性之後的對數價格動態過程由自然測度轉換至風險中立測度所帶 hengchi U 來的調整項， m* m . 1 2 ( J ) ；W Q 為風險中立下的布朗運動； J 為跳 2. 躍幅度，服從常態分配 N ( , 2 ) ，也可以表示為跳躍發生時，即期價格的變動 情形； N t 為跳躍頻率 t 的普瓦松過程。相較於在均數回歸模型，加入季節性和 跳躍項的均數回歸模型在長期均衡具有隨時間變化的趨勢，也就是長期均衡已 經不在只是常數項，而是會隨著時間改變的變數。利用 Itô formula 和積分過程 可以求得在 T 時間點下的即期價格：. 15.
(24) T. Y T g (T ) Y t g (t ) e T t m* (1 e T t ) e T s dWsQ e T s JdN s T. t. t. 模型中即期價格變動具有均數回歸特性，且長期平均水準會隨著時間變化， 加入跳躍項的部分則可以描述當能源市場遇到重大事件時價格的劇烈變動。. 3.6 模型假設. 本 文 在 完 美 市 場 (Perfect Market) 與 市 場 無 套 利 機 會 (No Arbitrage. 政 治 大 經濟學第一基本定理，若市場中不存在套利機會，若且為若存在一個風險中立 立 Opportunity) 的假設之下，推衍不同動態模型下的期貨選擇權價格。根據財務. ‧ 國. 學. 測度。因此本文在無套利市場的假設下，求解標的資產在風險中立測度下之現 值 E Q [ST Ft ] 作為期貨價格 F (t , T ) ，在不考慮倉儲成本、便利報酬率與資產價格. ‧. 變動所帶來的額外收入時，可交易資產的報酬率應為無風險報酬率，因此期貨. sit. y. Nat. 價格為 F (t , T ) S0er (T t ) ，否則將出現套利的機會；然而在標的資產動態為一均. io. er. 數回復過程時，風險中立測度之下的遠期價格將不再只是單純考慮以無風險利. al. 率作為報酬率，我們依循 Schwartz (1997)與 Bjerksund and Ekern (1995)之評價方. n. iv n C 法，透過市場風險價格的調整，以求得風險中立測度之下的標的資產動態過程 hengchi U 與遠期價格，再進一步求解期貨價格。. 另外，本文參照 Merton (1976)所提出的跳躍擴散模型，我們假設價格跳躍 為可分散的非系統性風險，且跳躍過程之分配與標的資產的布朗運動項獨立， 亦即跳躍過程為一不可預測的事件，根據 Dritschel and Protter (1999)與 Jensen (1999)所述，這樣的跳躍擴散模型是建構在一個不完備市場 (Incomplete Market) 的假設之下。根據財務經濟學第二基本定理，在完備市場中若且為若存在一個 唯一的風險中立測度，因此在不完備市場中，我們的風險中立測度並非唯一決 定，在不同喜好條件與避險考量下，可能會產生不同風險中立的等價測度。而 16.
(25) 本文是仿照 Bakshi et al. (2010), Hilliard and Reis (1999)與 Koekebakker and Lien (2004)等人的方法，透過校估市場風險價格與跳躍分配之參數，得到風險中立 測度下，跳躍擴散模型所隱含的期貨選擇權理論價格。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 17. i Un. v.
(26) 4. 歐式期貨選擇權評價公式與避險 考慮在不同動態過程下，期貨選擇權的評價公式與避險。本篇研究當中主 要以能源市場中常見的 5 種模型進行評價公式與避險，先以 Black-Scholes 選擇 權評價公式為開頭，接著再以均數回歸模型做變化，將能源市場的特性代入模 型當中，最後再求算出各模型的避險比率。在上一章節已經將各種模型轉換到 風險中立測度，這章節將接著討論在風險中立假設下的期貨選擇權評價，各模 型的詳細推導過程可以參考附錄 A~E。. 政 治 大 4.1 Black-Scholes 歐式期貨選擇權評價公式與避險 立. ‧ 國. 學. Black-Scholes 評價模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間點下. ‧. 的即期價格如下. er. io. sit. y. Nat. 1 ST St exp((r 2 )(T t ) (WT Q Wt Q )) ， 2. 其中 S 為即期價格； r 為無風險利率，在風險中立下投資者可以賺到的平均報. al. n. iv n C hengchi U W 酬率為無風險利率； 表示為即期價格瞬時報酬率之波動度；. t. Q. 為風險中立. 測度 Q 下的布朗運動項； t 為起始時間點； T 為未來某一時間點。此時的即期 1 價格將以指數函數方式成長，以 exp((r 2 ) T t 表示隨時間成長的部分， 2 Q Q 而無法預測的隨機部分以 (WT Wt ) 表示。透過 Black-Scholes 選擇權評價公. 式，可以得到在 t 時間點下的選擇權買權價格公式為. Ct St N (d1 ) Ke r (T t ) N (d2 ) ，. 18.
(27) St 1 r 2 (T t ) K 2 此處 d1 ， d2 d1 T t ， 表示在即期價格為 St 、 T t 履約價為 K 、無風險利率為 r 、到期日為 T 的選擇權在 t 時間點時的價格，其中 N () 為累積機率函數。此時的選擇權評價模型代入現貨與期貨的關係式： ln. F (t , T ) E Q [ST ] St er (T t ) ，. 則可以得到以 Black-Scholes 選擇權評價模型計算出來的歐式期貨選擇權公 式：. 政 治 大. Ct e r (T t ) ( F (t , T ) N (d1 ) KN (d2 )) ，. 立. F (t , T ) 1 2 (T t ) K 2 ， d2 d1 T t 。 T t. ‧. ‧ 國. 學. 此處 d1 . ln. (8). 推導出在 BS 模型下期貨與期貨選擇權的理論價格，用蒙地卡羅模擬法模. y. Nat. sit. 擬出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 3 與表 4)，可以觀察到當模擬次. n. al. er. io. 數增加時，模擬的期貨價格與期貨選擇權的價格會愈貼近理論價；在相同模擬. i Un. v. 次數下，若將模擬的區間分得愈細，誤差值也會愈小。. Ch. engchi. 在選擇權評價(8)式中，避險者用選擇權進行避險策略時，使用避險比率 (Delta Hedge)，計算即期價格變動一單位選擇權持有的數量(推導過程見附錄 G)： Ct N (d1 ) ， St. 上式表示價格上漲一單位可以買進 N (d1 ) 單位的選擇權買權進行價格變動的避 險；若價格價跌一單位則賣出 N (d1 ) 單位的選擇權買權，也可以看做是歐式期 貨選擇權對即期價格的敏感度。 19.
(28) 4.2 均數回歸模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險. 同理，將均數回歸模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間點下 的即期價格為. ST S. e t. T t . T t exp 1 e . . m * σe e T. T. s. t. dWs Q ， . 其中 S 為即期價格； 表示即期價格回歸到長期水準的均數回歸速度； m * 表 示為即期價格的長期平均水準，為恆大於 0 的常數； 表示為即期價格瞬時報. 政 治 大 格與期貨關係式 F (t , T ) E [S ] 求得： 立. 酬率之波動度； Wt Q 為風險中立測度 Q 下的布朗運動項。則期貨價格以即期價 Q. F (t , T ) Ste. 2 exp (1 e (T t ) )(m*) (1 e2 (T t ) ) ， 4 . 學. ( T t ). (9). ‧. ‧ 國. T. 上式表示為在均數回歸模型下的期貨價格與現貨關係，因為現貨具有均數回歸. Nat. sit. y. 現象，所以期貨價格也會有均數回歸現象包含在公式裡。將期貨價格代入到公. n. al. Ct e. 此處 d1 . ln(. er. io. 式(8)中，求得均數回歸模型下的歐式期貨選擇權買權為：. iv n C[h F t , T N d iKNU(d )] ， engch. r ( T t ). 1. 2. F t,T 1 2 ) A 2 K 2 1 e2 (T t ) 。 ， d2 d1 A ， A2 2 A. 其中期貨價格具有均數回歸效果，相較於在 BS 模型中的變異數( 2 )，MR 模 型中的波變異數( A2 )具有均數回歸的特性。 推導出在 MR 模型下期貨與期貨選擇的理論價格，用蒙地卡羅模擬法模擬 出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 5 與表 6)，可以觀察到當模擬次數. 20.
(29) 增加時，模擬的期貨價格與期貨選擇權的價格會愈貼近理論價；在相同模擬次 數下，若將模擬的區間分得愈細，誤差值也會愈小。用蒙地卡羅模擬出來的期 貨價格或期貨選擇權價格與理論價格誤差小，表示推導出的 MR 期貨選擇權理 論模型的正確性很高。. 將期貨選擇權對即期價格偏微分可以得到在均數回歸模型下的避險比率 (推導過程見附錄 G)： F t,T Ct e ( r )(T t ) N d1 。 St St. (10). 政 治 大. 均數回歸模型下的避險比率與即期價格動態有關，此時避險比率將具有均數回. 立. 歸特性。. ‧ 國. 學 ‧. 4.3 均數回歸與跳躍模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險. Nat. sit er. io. 即期價格：. y. 均數回歸與跳躍模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間點下的. al. n ST St. e. T t . i n C U h en g c h i. v. T T exp m* 1 e T t e T s dWs Q e T s JdN s ， t t . 其中 S 為即期價格； 表示即期價格回歸到長期水準的均數回歸速度； m * 表 示為即期價格的長期平均水準，為大於 0 的常數； 表示為即期價格瞬時報酬 率之波動度； Wt Q 為風險中立測度 Q 下的布朗運動項。 J 為跳躍幅度，也可以 表示為跳躍發生時，即期價格的變動情形，服從常態分配 N ( , 2 ) ； N t 為跳躍 頻率 的普瓦松過程。則期貨價格以現貨與期貨關係式 F (t , T ) E Q [ST ] 求得：. 21.
(30) F (t , T ) St e. T t . 1 e2 T t exp(m* 1 e T t 2 4 . . . 1 e T t . 2 1 e2 T t 4 . 1 e2 T t 4 . 4 1 e4 T t + 32 . . 3 T t 2 1 e + 6 . ) ，(11) . 將期貨價格代入公式(8)，可以得到均數回歸與跳躍模型的歐式期貨選擇權買權 公式：. 政 治 大. Ct e r (T t ) [ F t , T N d1 KN (d2 )] ，. 立. ‧ 國. F t,T . 學. 此處 d1 . ln(. K. ‧. A. 1 ) A2 2 ， d2 d1 A ，. 2 2 2 2 2 2 2 (T t ) 1 e 1 e2 (T t ) 2 1 e (T t ) 。 2 2 . n. al. er. io. sit. y. Nat. 2 A. i Un. v. 此時的期貨價格波動度除了受到隨機波動的影響，也會受到跳躍項的波動. Ch. engchi. 度影響，因此在選擇權的波動度部分會受到均數回歸、隨機項波動度和跳躍項 波動度影響。. 推導出在 MRJD 模型下期貨與期貨選擇的理論價格，用蒙地卡羅模擬法模 擬出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 7、8)，可以觀察到當模擬次數 增加時，模擬的期貨價格與期貨選擇權的價格會愈貼近理論價；在相同模擬次 數下，若將模擬的區間分得愈細，誤差值也會愈小。用蒙地卡羅模擬出來的期 貨價格或期貨選擇權價格與理論價格誤差小，表示推導出的 MRJD 期貨選擇權 理論模型的正確性很高。. 22.
(31) 推導出期貨選擇權模型後，對即期價格偏微分可以得到避險比率(推導過程 見附錄 G)： F t,T Ct e ( r )(T t ) N d1 。 St St. (12). 比較於公式(10)與公式(12)，公式(10)用 MR 模型推導出來的避險參數 Delta，公 式(12)為 MRJD 模型，兩者只差別在代入的 F (t , T ) ，若採用 MR 模型則代入(9) 的 F (t , T ) ，若為 MRJD 則代入的 F (t , T ) 為(11)。. 政 治 大. 4.4 均數回歸季節性模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險. 立. 均數回歸與跳躍模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間點下的. ‧. ‧ 國. 學. 即期價格：. YT gT Yt gt e T t m* (1 e T t ) e T s dWsQ ， T. t. y. Nat. er. io. sit. 其中 Y 為包含季節性的即期價格； g 為季節性因子； 表示即期價格回歸到長. al. 期水準的均數回歸速度； m * 表示為即期價格的長期平均水準，為大於 0 的常. n. iv n C 數； 表示為即期價格瞬時報酬率之波動度； hengchW i U為風險中立測度 Q 下的布朗 Q. t. 運動項。則期貨價格以現貨與期貨關係式 F (t , T ) E Q [YT ] 求得：. 2 F t , T exp gT ln St gt e T t m* (1 e T t ) (1 e2 T t ) ，(13) 4 . 此式表示期貨價格包含季節性的動態過程，將期貨價格代入公式(8)，可以得到 均數回歸與季節性模型的歐式期貨選擇權買權公式：. Ct e r (T t ) [ F t , T N d1 KN (d2 )] ，. 23.
(32) 在此處 d1 . ln(. F t,T . 1 ) A2 2 K 2 1 e2 (T t ) 。 ， d2 d1 A ， A2 A 2 . 在這裡的季節性因子( g )為一具有時間趨勢的變數，但不具有隨機波動度 項，所以均數回歸加入季節性因子的歐式期貨選擇權買權公式與均數回歸模型 的歐式期貨選擇權買權公式相同，唯一差別就在於期貨是否具有季節性。. 推導出在 MR 加季節性模型下期貨與期貨選擇的理論價格，用蒙地卡羅模 擬法模擬出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 9、10)。可以觀察到當模. 政 治 大 模擬次數下，若將模擬的區間分得愈細，誤差值也會愈小。用蒙地卡羅模擬出 立 擬次數增加時，模擬的期貨價格與期貨選擇權的價格會愈貼近理論價；在相同. ‧ 國. 學. 來的期貨價格或期貨選擇權價格與理論價格誤差小，表示推導出的 MR 加季節 性期貨選擇權理論模型的正確性很高。. ‧. sit. io. F t,T Ct e ( r )(T t ) N d1 。 St St. er. Nat. y. 在 MR 加季節性模型下的避險比率(推導過程見附錄 G)：. al. n. iv n C 將公式(13)的 F (t , T ) 代入可以得到 Delta 值。 h MR e n加季節性避險參數 gchi U 4.5 均數回歸季節性與跳躍模型下歐式期貨選擇權評價公式與避險. 均數回歸季節性與跳躍模型透過 Itô formula 和積分過程可以求得在 T 時間 點下的即期價格：. YT gT Yt gt e. T t . m (1 e *. T t . T. ) e t. T s . T. dW e T s JdN s ， Q s. t. 24.
(33) 其中 Y 為包含季節性的即期價格； g 為季節性因子； 表示即期價格回歸到長 期水準的均數回歸速度； m * 表示為即期價格的長期平均水準，為大於 0 的常 數； 表示為即期價格瞬時報酬率之波動度； Wt Q 為風險中立測度 Q 下的布朗 運動項； J 為跳躍幅度，也可以表示為跳躍發生時，即期價格的變動情形，服 從常態分配 N ( , 2 ) ； N t 為跳躍頻率 的普瓦松過程。則期貨價格以現貨與期 貨關係式 F (t , T ) E Q [YT ] 求得：. 2 F t , T exp gT ln St gt e T t m* (1 e T t ) (1 e 2 T t ) 4 [. 立. 1 e T t . 1 e2 T t 1 e2 T t ] [ ]+[ ] 4 4. 治 政 大 2. 3 T t 1 e4 T t 2 1 e [ ]+[ ] 32 6 4. ‧ 國. 學. ，. sit. y. Nat. 權買權公式：. ‧. 將期貨價格代入公式(8)，可以得到均數回歸季節性與跳躍模型的歐式期貨選擇. n. al. er. io. Ct e r (T t ) [ F t , T N d1 KN (d2 )] ，. 則此處 d1 . ln(. F t,T K. A. Ch. engchi. 1 ) A2 2 ， d2 d1 A ，. i Un. v. 2 2 2 2 2 2 2 (T t ) 1 e 1 e2 (T t ) 2 1 e (T t ) 。 2 2 2 A. 此時的期貨具有季節性因子和跳躍項，因此計算出來的選擇權價格，在波動度 可以看出跳躍項的影響，季節性的影響則要由期貨價格中得到。. 推導出在 MRJD 加季節性模型下期貨與期貨選擇的理論價格，用蒙地卡羅. 25.
(34) 模擬法模擬出期貨平均價格和期貨選擇權平均價格(見表 11、12)，可以觀察到 不論是模擬次數增加或是時間區間增加，期貨與期貨選擇權的模擬價格與理論 價格誤差會慢慢減少。用蒙地卡羅模擬出來的期貨價格或期貨選擇權價格與理 論價格誤差小，表示推導出的 MRJD 加季節性的期貨選擇權理論模型與其貨理 論模型的正確性很高。. 在 MRJD 加季節性下的避險比率(推導過程見附錄 G)： F t,T Ct e ( r )(T t ) N d1 。 St St. 政 治 大. 將 MRJD 加季節性模型推導出來的 F (t , T ) 代入期貨選擇權公式中，並對即期價. 立. 格偏微分可以得到 MRJD 加季節性的避險參數 Delta，此時的 Delta 將帶有均數. ‧ 國. 學. 回歸、季節性與跳躍的特性。. ‧. 本章節推導各模型假設下的期貨選擇權公式與避險參數 Delta，在下一章節. sit. y. Nat. 中將以這些模型作為實證模型，分析在金融風暴期間與非金融風暴期間各模型. n. al. er. io. 的訂價誤差與避險價格誤差。. Ch. engchi. 26. i Un. v.
(35) 5. 實證分析. 5.1 資料描述與研究樣本. 隨著科技進步發明了內燃機以來石油就一直是人類生活中不可缺少的燃料， 機械自動化接著增加人類與石油密不可分的關係，讓原油成為全球最活躍的交 易商品，其中又以輕質低硫(ex：WTI)的原油是煉油廠的首選，因為含硫量低且 容易提煉出汽油、柴油、加熱油與飛機燃料等高附加價值的產品。WTI 為目前. 政 治 大 準價，許多的新聞和研究都會以 WTI 價格作為代表價格。 立. 美國交易量最為頻繁的石油種類，也被投資者與避險者視為國際能源市場的基. ‧ 國. 學. 本研究將以 NYMEX 2007/7~2012/4 的 WTI 即期價格、期貨和歐式期貨選. ‧. 擇權每日收盤價為研究資料；無風險利率則採用美國國庫券利率，資料來源以 美國財政部網站公布為主。在 2008 年金融風暴發生時 WTI 原油價格也大漲大. y. Nat. io. sit. 跌(如圖 2)。因此本篇研究資料期間將根據 Campello et al. (2001)對金融風暴期. n. al. er. 間定義將分析期間區分為包含金融風暴期間 2007/7~2008/12 年和非金融風暴期 間 2009/1~2012/4。. Ch. engchi. i Un. v. 5.2 資料分析與參數估計. 5.2.1 敘述統計 本篇研究中仿照Bakshi et al. (2010)對選擇權買權價內外程度(Moneyness, S/K)範圍的定義，我們將價內外程度區分為三類：當 0.95< 屬於價平；當. S 1.05 選擇權買權 K. S S 1.05 屬於價內買權； 0.95 則為價外買權。Rubinstein (1985) K K. 對選擇權距到期日的定義分為以下五個時期：(1)距到期日剩30天稱為極短期. 27.
(36) (Extremely Short-Term) ； (2)30~60 天 為 短 期 (Short-Term) ； (3)60~120 天 為 近期 (Near-Term) ； (4)120~180 天 為 中 期 (Middle-Maturity) ； (5) 大 於 180 天 則 為 長 期 (Long-Term)。根據上述兩種分類法，可以將選擇權買權分成15種類型。. 全資料期間 2007/7 ~2012/4，WTI 原油歐式期貨選擇權買權的統計量表， 描述在這對期間內依照價內外程度和距到期日分類的買權平均價格和樣本數 (見表 13)。在 2007/7 ~2012/4 這段期間內總樣本數為 69,403 口買權，其中價內 和價外買權分別占總樣本數的 43%和 38%。觀察資料表，極短期的價外買權平 均價格為 0.2202；長期價內買權平均價格為 20.5534。. 立. 5.2.2 參數估計. 政 治 大. ‧ 國. 學. 在選擇權的參數估計上，一般常用極小化選擇權實際價格與理論價格的誤差. ‧. 平方和(Minimize the Sum of Squared Errors, Minimize SSE)，在本研究當中要估計. sit. y. Nat. 的參數有波動度( )、均數回歸速度( )、長期平均水準( m * )、跳躍幅度參數( 、. er. io. )、跳躍頻率參數( )、季節性參數( a1 、 a2 、 a3 、 a4 )。以 ( 、 、 m *、 、. n. 、 、 a1 、 a2 、 a3 、 a4a)表示為要估計的參數，估計步驟如下：. iv l C n hengchi U. 1. 篩選出在同一交易日中交易的不同履約價和不同距到期日的期貨選擇權。. 2. 將篩選出的每日期貨選擇權價格以 Minimize SSE 方式估計出在各模型下的 參數。其中 Minimize SSE 估計方法數學表示如下：. i () Ci (t , i , Ki ) Cˆi (t , i , Ki ) ， I. min i () . i 1. 2. ，. 其中 表示為實際價格與理論價格的誤差；i 為選取的選擇權資料中第 i 種履 28.
(37) 約價， i 1, 2,..., I ， I 10 ； Ci 為第 i 種履約價選擇權實際價格； Cˆ i 為第 i 種 履約價選擇權理論價格； t 選取資料的日期； i 表示為第 i 種履約價選擇權 距到期日的時間； K i 為第 i 種履約價。 3. 將所要觀察期間內的參數平均，可以得到在各模型下的參數平均值和標準 差。. 根據以上的估計方法，可以得到金融風暴期間(2007/7/~2008/12)和非金融 風暴(2009/1~2012/4)的參數估計，估計結果中顯示出金融風暴期間各個參數的. 政 治 大 波動度為 36.62%；MRJD 的平均隱含波動度為 16.06%；MR 加季節性的平均隱 立 平均值，以 Black-Scholes 模型估計出來的隱含波動度 26.21%；MR 的平均隱含. 含波動度為 37.83%；MRJD 加季節性的平均隱含波動度為 14.93%；五個模型. ‧ 國. 學. 間隱含波動度最大值與最小值相差 22.89%(見表 14)。在 2009/1~2012/4 年間. ‧. Black-Scholes 模型的平均隱含波動度為 37.39%；MR 的平均隱含波動度為. sit. y. Nat. 33.37%；MRJD 的平均隱含波動度為 13.45%；MR 加季節性的平均隱含波動度. io. 度最大值與最小值相差 23.94%(見表 15)。. n. al. Ch. engchi. er. 為 33.43；MRJD 加季節性的平均隱含波動度為 15.04%；五個模型間隱含波動. i Un. v. 觀察在這兩段期間的隱含波動度，可以發現 MR 模型加入跳躍項的隱含波 動度比 MR 模型下估計出的隱含波動度小，可能是因為加入跳躍項後，模型對 波動度的解釋能力分散到跳躍項的波動度中，也就是在同樣劇烈變動的價格中， 可以用跳躍項的波動度解釋價格的劇烈變動的現象；同理，MRJD 加季節性模 型的隱含波動度和 MR 加季節性模型的隱含波動度相比較 MRJD 加季節性的隱 含波動度較 MR 加季節性小。. 在這兩段期間內的季節性時間趨勢項( a2 )皆為正數，表示不論金融風暴前 後，WTI 即期價格皆會隨著時間上漲，在長期來說，價格具有一直上漲的趨勢. 29.
(38) 對於將石油視為成本的生產者而言是面臨價格風險。MR 加入季節性後長期平 均水準下降，因為在這裡我們將季節性模型中加入截距項( a1 )，分散了長期平 均水準的數值。. 5.3 期貨選擇權訂價誤差. 各模型估計出來的參數值對期貨選擇權價格是否有預測能力，計算並比較 各模型的期貨選擇權訂價誤差，步驟如下：. 政 治 大 計算第二天的期貨選擇權理論價格，並用第二天實際選擇權價格減去第二天 立. 1. 將第一天市場上選擇權的資料估計出第一組的參數代入選擇權理論價格中. i (t ) Ci (t , , Ki ) Ci (t 1 , , Ki ) ，. Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 數，並產生第二組估計誤差值。以公式表示如下：. 學. 理論價格，產生第一組估計誤差值。同理，用第二天實際資料估計第二組參. n. al. er. io. 其中 表示為實際價格與理論價格的誤差； i 為選取的選擇權資料中第 i 種. v. 履約價， i 1, 2,..., I ， I 10 ； Ci 為第 i 種履約價選擇權實際價格； Ci 為用. Ch. engchi. i Un. 第 t 1期估計出來的參數代入第 i 種履約價所計算出的選擇權理論價格；t 選 取資料的日期； i 表示為第 i 種履約價選擇權的距到期日； K i 為第 i 種履約 價。. 2. 訂價誤差又分為相對誤差百分比和絕對誤差，數學定義如下 相對誤差百分比 . Ci (t , , Ki ) Ci (t 1 , , Ki ) Ci (t , , Ki ). 絕對誤差 Cn (t , , Kn ) Cn (t 1 , , Kn ). 30.
(39) 重覆步驟 1.，並將各個訂價誤差取平均值，可以得到一段期間內各模型的 訂價誤差。. 根據以上步驟，計算五種模型與 5.1 節中對資料的分類可以整理成表(見表 16~表 19)。例如：在 2007/7~2008/12 年間價外選擇權距到期日為 0~30 天期， 此期間 BS、MR、MRJD、MR 加季節性、MRJD 加季節性等模型的絕對誤差值 分別為$0.1860、$0.1204、$0.1217、$0.0895、$0.0936，從表中可以很清楚的觀 察各模型在不同價內外程度和距到期日間的絕對誤差情況。. 政 治 大 以 MR 加季節性在距到期日為 0~90 期間的誤差值較小、90~180 天期以 MRJD 立 在 2007/7~2008/12 年金融風暴期間(表 16 與表 17)，價外選擇權絕對誤差. 加季節性的誤差最小、180 天以上則以 MRJD 為最小；選擇權為價平時，距到. ‧ 國. 學. 期日為 0~30 天期和 60~90 天期以 MR 加季節性模型絕對誤差值為最小，30~60. ‧. 天期以 MRJD 模型誤差最小，90 天期以上則以 MRJD 加季節性的模型有最小. sit. y. Nat. 誤差；價內選擇權則距到期日為 0~60 天期的以 MR 加季節性絕對誤差值為最. io. er. 小，60 天期以上則以 MRJD 加季節性的絕對誤差為最小。在訂價絕對誤差中， 我們可以觀察到 MRJD 加季節性的誤差雖然不完全是最小值，卻與各期間最小. n. al. Ch. i Un. v. 誤差模型的誤差值相差不多，以價外選擇權為例，MRJD 加季節性與 MR 加季. engchi. 節性在 0~180 天期間的誤差值大約相距 1%左右，但到了 180 天以上絕對誤差 則相差了 3%，因此，在金融風暴期間不論距到期日多久在選擇模型的時候可 以選擇 MRJD 加季節性做為評價模型。2009~2012 年間(表 18 與表 19)，價外選 擇權距到期日為 0~90 天期以 MR 加季節性絕對誤差值為最小；價平買權距到 期日為 0~60 天以 MR 加季節性估出的誤差最小，60 天期以上以 MR 的誤差值 為最小，價內選擇權距到期日為 0~30 天期以 MRJD 加季節性為佳 30~120 天期 和 180 天上則以 MR 加季節性模型為佳，120~180 天期則以 MR 模型為佳。觀 察非金融風暴期間，可以發現在這段期間模型中不加入跳躍項的訂價誤差比較. 31.
(40) 小，在這段期間的價格跳躍現象不明顯，所以加入跳躍項的模型在這段期間配 適的能力比未加入跳躍項的模型差。. 從資料當中可以觀察到訂價相對誤差在非金融風暴期間，BS 模型在價外的 誤差值不論距到期日多久皆為負數，表示價外選擇權市價比理論價格低，在價 平則誤差範圍有變小的趨勢，價內的誤差值則皆為正值，表示價內買權市價比 理論價高。Bakshi et al. (2010)將這種在訂價誤差上出現的現象稱為系統性偏差 (Systematic Biases)，其中 MR 模型與 MR 延伸性模型的系統性偏差相對於 BS 較小很多，顯示出在能源市場中 MR 模型與 MR 延伸模型的配適能力較佳，這. 政 治 大 et al. (2010)表示在股票市場中系統性偏差的現象與選擇權波動度微笑(Volatility 立 種結果與 Schwartz (1997)提出能源價格變動為均數回歸動態過程一致。Bakshi. ‧ 國. 學. Smile)有關。波動度微笑是選擇權市場中常見的現象，意指價外買權的波動度 容易被低估，此時價外買權市場價格會比理論價低，而價內買權的波動度容易. ‧. 被高估，所以市場價格則高於理論價，本研究在非金融風暴期間(見表 18)可以. sit. y. Nat. 發現此時訂價誤差與前述一致，代表原油市場在非金融風暴期間與股票市場的. er. io. 系統性偏差有相同的結論。觀察表 16 可以發現在金融風暴期間這種系統性偏差. al. iv n C hengchi U 差為負數，這種現象可能是因為在金融風暴期間價格波動大，使得市場上的投 n. 與正常市場下的情況相反，價外選擇權的訂價誤差為正數，價內選擇權訂價誤. 資人認為價外買權轉變為價內買權的機會很大，因此在這段期間反而是價外買 權的價格容易被高估。. 32.
(41) 5.4 投資組合避險價格誤差. 本篇避險投資組合參考 Bakshi et al. (2010)避險方法，建構一個避險投資組 合包含即期價格與現金部位，數學表示如下： t X 0 Delta(t )St. 其中 t 表示在第 t 期的投資組合價值； X 0 為現金部位，若 X 0 0 可以視為將現 金以無風險利率 r 借出，若 X 0 0 可以視為將現金以無風險利率 r 存入銀行；. 政 治 大. Delta(t ) 第 t 期的 Delta 避險比率； St 表示為第 t 期的即期價格。則以 Delta 進行. 立. 投資組合避險的變動如下：. ‧ 國. 學. 1. 將第 t 期的 Delta 計算出來，代入投資組合中，此時投資組合為：. ‧. t X 0 Delta(t )St. n. er. io. al. sit. y. Nat. 2. 當時間來到第 t t 期，則此時投資組合的價值為：. Ch. i Un. t t X 0 ert Delta(t )St t. engchi. v. 此時的 Delta 仍為第 t 期的 Delta。則避險產生的價格誤差可以表示為：. Ht t Ct t (t t , t; K ) ( X 0 ert Delta(t )St t ). 計算出訂價誤差後接著計算在第 t t 期的 Delta；若 H 0 ，表示選擇權實 際價格比避險投資組合高，模型中低估了價格變化的風險；若 H 0 ，表示 選擇權實際價格比避險投資組合低，模型中高估了價格變化的風險。. 33.
(42) 3. 則重複步驟 2.，可以計算出一段時間內的避險價格誤差，計算這一段時間價 格誤差的平均值，則可以比較根據不同模型在兩段資料期間避險產生的平均 價格誤差值。 平均價格誤差有兩種表示方法，第一種為絕對避險誤差(Average Absolute. 1 L Hedging Error)，將誤差值取絕對值後相加平均， H H (t Lt ) ；第二種 L l 1 1 L 為平均價格避險誤差(Average Dollar-Value Hedging Error)，H H (t l t )， L l 1 其中 L . t t. 。比較各模型投資組合的平均價格避險誤差(見表 20~27)，在. 政 治 大. 2007/7~2012/4 期間未考慮交易成本下，觀察到在相同模型相同價內外程度與相. 立. 同距到期日範圍下的避險誤差，以每天調整( t 1 )投資組合 Delta 的避險誤差. ‧ 國. 學. 與每 5 天調整( t 5 )避險參數 Delta 的誤差相差 2 倍以上，以每日進行調整的 平均價格避險誤差最小；絕對避險誤差的情形也同平均價格避險誤差一樣，以. ‧. 每天進行調整避險參數 Delta 的誤差值最小；若將期間分開來比較，則每日調. Nat. sit. y. 整避險參數的誤差在金風暴期間會比金融風暴結束後的誤差大。觀察避險產生. n. al. er. io. 的價格誤差，此時的誤差值並沒有系統偏差的現象。由以上結果可以發現在未. i Un. v. 考慮交易成本下以每日調整避險參數的誤差為最小，避險者在進行避險的同時. Ch. engchi. 可以根據各自不同的交易成本來選擇避險參數調整的期間。. 34.
(43) 6. 結論 能源價格波動度變大的時候，市場上規避價格風險的需求會增加，此時能 源衍生性商品的交易量就會增加，那該如何選擇出適當的模型來計算衍生性商 品的價格，從文獻可以發現到能源價格長期具有回歸到平均水準，則可以使用 均數回歸模型描述能源價格特性，當市場上發生重大事件，則可以在 MR 模型 中加入跳躍項，最後因為價格具有時間趨勢的特性，我們可以加入季節性去捕 捉價格特性。. 政 治 大. 根據過去對能源期貨選擇權研究的文獻，能源價格具有均數回歸、季節性. 立. 和價格跳躍等特性，因此統整了 Black-Scholes、MR、MRJD、MR 加季節性和. ‧ 國. 學. MRJD 加季節性等五種常見能源訂價模型和推導各模型假設下的期貨選擇權封. ‧. 閉解，並分析 WTI 原油期貨選擇權在這 5 種模型下根據不同價內外程度與不同 距到期日，理論價格與實際價格間的誤差值，結果顯示出在金融風暴期間我們. y. Nat. io. sit. 可以將價格劇烈變動的部分以 MRJD 加入季節性的模型來描述，因為在這段期. n. al. er. 間內 MRJD 加季節型模型訂價誤差相對於另外 4 種模型小；然而在非金融風暴. i Un. v. 期間，則以 MR 加入季節性的訂價誤差較小，表示在非金融風暴期間由於價格. Ch. engchi. 波動不在那麼劇烈因此用 MR 加入季節性因子即可，且不論在哪一期間均數回 歸相關的模型對能源市場皆有較好的配適。. 為了探討選擇權在避險方面的實際功能，建構一個選擇權、即期價格與現 金部位的投資組合，在未考慮交易成本下使用選擇權進行避險策略分析，討論 選擇權避險參數的調整天數對避險訂價誤差的影響。實證結果中發現，不論在 哪一個時期，每日調整避險參數的避險誤差比每 5 日調整避險參數的誤差小了 將近 2 倍，避險者可以根據本身的避險成本考量調整避險參數的期間。. 35.
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